Tiểu luận môn LÝ THUYẾT HÀM LỒI SUY RỘNG LỜI TỰA VÀ TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI.

Tiểu luận môn LÝ THUYẾT HÀM LỒI SUY RỘNG LỜI TỰA VÀ TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI. Chương I. Lời tựa. Phần này, chúng tôi làm rõ về lịch sử phát triển của lý thuyết và những nội dung trọng tâm của nó. Chương II. Tiêu chuẩn cho tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng trong trường hợp hàm khả vi. Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu về tiêu chuẩn cho hàm giả lồi và tính chất đơn điệu suy rộng đối với lớp hàm khả vi.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI.

Học viên thực hiện : Phan Huy PhongChuyên ngành : Toán Giải tích

Giảng viên hướng dẫn : PGS TS Phan Nhật Tĩnh

HUẾ, 2013

số vấn đề được giao Vì vậy trong tiểu luận này chúng tôi tìm hiểu về tổng quan

lý thuyết này và từ đó trình bày một số tiêu chuẩn cho tính lồi suy rộng và tínhđơn điệu suy rộng trong trường hợp khả vi Do đó, nội dung tiểu luận được chialàm ba chương:

Chương I Lời tựa Phần này, chúng tôi làm rõ về lịch sử phát triển của lýthuyết và những nội dung trọng tâm của nó

Chương II Tiêu chuẩn cho tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suyrộng trong trường hợp hàm khả vi Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu vềtiêu chuẩn cho hàm giả lồi và tính chất đơn điệu suy rộng đối với lớp hàm khả vi.Trong quá trình giải quyết vấn đề, chúng tôi đã tham khảo, tìm hiểu các tàiliệu, trao đổi với bạn bè và đặc biệt là thông qua các buổi seminar ở lớp Quađây, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Phan Nhật Tĩnh đãnhiệt tình giảng dạy chúng tôi trong suốt thời gian qua Đặc biệt, chúng tôi xincảm ơn thầy đã tạo điều kiện để chúng tôi tiếp cận, tìm hiểu đề tài

Huế, tháng 05 năm 2013PHAN HUY PHONG

Chương 1

LỜI TỰA

Tính lồi của hàm đóng vai trò trung tâm trong nhiều lĩnh vực của toán ứngdụng Một trong những lý do, đó là nó được trang bị rất tốt để giải các bài toáncực trị Chẳng hạn, một số điều kiện cần để tồn tại cực tiểu trở thành điều kiện đủtrong bài toán lồi Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán thực tế có thể được

mô tả bởi mô hình lồi Trong nhiều trường hợp, hàm không lồi cho ta biểu diễnthực chính xác hơn Những lớp hàm không lồi này được sinh ra mà vẫn giữ một sốtính chất tốt và đặc trưng của hàm lồi Chẳng hạn, sự có mặt của chúng bảo đảmnhững điều kiện cần để có cực tiểu trở thành đủ hoặc cực tiểu địa phương cũng làcực tiểu toàn cục Điều này dẫn đến sự ra đời một số khái niệm suy rộng của lớphàm lồi Nó xảy ra trong các lĩnh vực khác nhau như kinh tế, xây dựng, khoa họcquản lý, lý thuyết xác suất và những khoa học ứng dụng khác trong suốt nửa saucủa thế kỉ XX

Chẳng hạn, một tính chất nổi trội và thường dùng của hàm lồi là các tập mứccon cũng là tập lồi Nhiều hàm không lồi thuần túy cũng có tính chất này Nếu xétlớp tất cả các hàm có các tập mức con là lồi thì ta nhận được lớp các hàm tựa lồi

Nó rộng hơn nhiều so với lớp các hàm lồi De Finetti được xem là người đã đưa rathuật ngữ hàm tựa lồi vào năm 1949 Tuy nhiên tính tựa lồi đã đóng vai trò quantrọng trong năm 1928 với định lý minimax của John von Neumann, định lý nàyđược đưa ra như một giả thuyết kĩ thuật chứ không phải là một loại hàm mới.Nhiều lớp hàm lồi suy rộng khác cũng được đưa ra sau đó Những năm gần đây,bên cạnh hàm lồi suy rộng nhận giá trị thực cũng như giá trị vectơ, các hàm lồisuy rộng đa trị cũng được tập trung nghiên cứu Trong suốt 40 năm qua, các hoạtđộng nghiên cứu trong lĩnh vực này có dấu hiệu gia tăng đáng kể

Một điểm nổi bật của tính lồi đó là mối liên hệ gần gũi với tính đơn điệu: mộthàm khả vi là lồi khi và chỉ khi gradient của nó là ánh xạ đơn điệu Điều này cóthể mở rộng cho các hàm không khả vi thông qua các đạo hàm suy rộng, các viphân dưới và ánh xạ đa trị Những liên hệ tương tự cũng được phát hiện giữa hàmlồi suy rộng với ánh xạ đơn điệu suy rộng Ví dụ: hàm khả vi là tựa lồi khi và chỉ

khi gradient của nó tựa đơn điệu.

Mảng ánh xạ đơn điệu suy rộng không mới trong các tài liệu Thật thú vị làviệc xuất hiện lần đầu của tính đơn điệu suy rộng lại là năm 1936 (trước cả khi rađời thuật ngữ này) Đáng lưu ý là điều này được tìm thấy độc lập và gần như cùngthời gian trong cả 2 bài báo: một là của Georgescu-Roegen (1936) đề cập đến kháiniệm sở thích địa phương trong thuyết tiêu dùng của kinh tế học, và tài liệu kia làcủa Wald (1936) chứa đựng chứng minh chặt chẽ đầu tiên về sự tồn tại trạng tháicân bằng cạnh tranh chung Điều đáng chú ý là những tiên đề khác nhau về sự ưathích được bộc lộ trong thuyết tiêu dùng thực ra là những điều kiện về tính đơnđiệu suy rộng

Việc thừa nhận mối liên hệ gần gũi giữa trường được thiết lập tốt có sẵn củatính lồi suy rộng với trường tương đối không phát triển được của tính đơn điệusuy rộng đã mang lại sự thúc đẩy cho cả hai và dẫn đến sự gia tăng các hoạt độngnghiên cứu chuyên ngành Ngày nay, tính đơn điệu suy rộng thường được sử dụngtrong việc giải quyết các vấn đề phụ, bất đẳng thức biến phân và trạng thái cânbằng

Tập sách đầu tiên viết riêng cho tính lồi suy rộng, đó là Proceedings of a NATOAdvanced Study Institute (Báo cáo của viện nghiên cứu cấp cao NATO) được tổchức bởi Avriel, Schaible và Ziemba ở Vancouver, Canada từ ngày 4-15 tháng 8 năm1980; "Generalized Concavity in Optimization and Economics" (Tính lõm suy rộngtrong tối ưu hóa và kinh tế học) của Schaible và Ziemba (1981, Academic Press)(học viện báo chí) Tiếp sau đó là chuyên đề "Generalized Concavity" (tính lõm suyrộng) của Avriel, Diewert, Schaible, Zang (1988, Plenum Publishing Corporation)(nhà xuất bản Plenum) Cả hai tập sách này đều xác nhận mối liên hệ gần gũigiữa hàm lồi suy rộng trong toán với ứng dụng thích hợp của nó, đặc biệt trong lýthuyết kinh tế, nơi mô tả lĩnh vực này ngay từ đầu

Mordecai Avriel là người đã khởi xướng chuyên đề đầu tiên về sự suy rộng củatính lồi năm 1978 Ngay sau đó ông cũng đề xuất tổ chức hội nghị quốc tế về chủ

đề này Ông thường nhấn mạnh tầm quan trọng của những ứng dụng tính lồi suyrộng trong lý luận Điều này cho thấy phạm vi nghiên cứu liên ngành của đề tàinày

Từ 2 tập sách ban đầu này đã có một lượng lớn các kiến thức mới được tíchlũy, được trình bày riêng biệt trong các tài liệu nghiên cứu, đã dẫn đến sự ra đờicủa ý tưởng giới thiệu những kết quả nghiên cứu chính về tính lồi suy rộng và tínhđơn điệu suy rộng trong một quyển sách chỉ nam

Tập sách này gồm 14 chương được biên soạn bởi các chuyên gia hàng đầu thuộccác lĩnh vực khác nhau nghiên cứu về tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng.Mỗi chương bắt đầu từ những vấn đề rất cơ bản và sau đó phát biểu khéo léo nộidung của nó Chúng tôi đưa ra nhiều tài liệu trong lĩnh vực này và có một số chủ

đề không đưa vào Chúng tôi tin rằng việc xuất bản sách tổng hợp viết theo từngchương có thể lấp các khoảng cách.

Các chương được chia thành 2 phần của cuốn sách, điều này phụ thuộc vàotrọng tâm là tính lồi suy rộng hay tính đơn điệu suy rộng

Chương 1 được soạn bởi Frenk và Kassay , cung cấp kiến thức về giải tích lồi

và tựa lồi trong không gian hữu hạn chiều Vì phần này nghiên cứu chủ yếu trêncác tập đã biết, chẳng hạn các tính chất đại số và tôpô quan trọng nhất của khônggian con tuyến tính, tập affine, tập lồi và lồi đều, nón Các kết quả tách nổi tiếngcũng được trình bày và sau đó dùng để suy ra các biểu diễn đối ngẫu cho các tậplồi (lồi đều) Phần tiếp theo chủ yếu nghiên cứu các hàm lồi, tựa lồi, tựa lồi đều.Qua đó cho thấy việc nghiên cứu này có thể quy về nghiên cứu trên các tập đượckhảo sát ở phần trước Ví dụ: biểu diễn tương đương của kết quả tách các tập lồiđược sử dụng cho biểu diễn đối ngẫu của một hàm Kết quả quan trọng trong phầnnày là định lý Fenchel-Moreau đối với các hàm tựa lồi đều trong giải tích lồi và

sự suy rộng của nó Phần cuối của chương trình bày một số ứng dụng quan trọngcủa giải tích lồi và tựa lồi đối với thuyết tối ưu hóa, thuyết trò chơi và nghiên cứuhàm tựa lồi đều thuần nhất dương

Chương 2 được trình bày bởi Crouzeix, phần này dành cho đặc trưng cấp 1 và

2 của hàm lồi suy rộng, tiêu chuẩn cấp 1 đối với tính đơn điệu suy rộng Đặc trưngcấp 1 của hàm lồi (tựa lồi, giả lồi, ) suy rộng khả vi bao gồm các đặc trưng trongđiều kiện ánh xạ gradient đơn điệu (tựa đơn điệu, giả đơn điệu, ) suy rộng Đặctrưng cấp 2 của tính lồi suy rộng liên quan đến đặc trưng cấp 1 của tính đơn điệusuy rộng Trong đó sự hạn chế của dạng toàn phương (nửa) xác định dương trênkhông gian con tuyến tính rất quan trọng Nghiên cứu toàn diện vấn đề chính lànội dung trình bày trong phần này Chương bao gồm có một số ứng dụng quantrọng của hàm Cobb-Douglas, điều kiện để một hàm là hàm toàn phương lồi suyrộng, lồi, ánh xạ affine đơn điệu suy rộng, phương pháp điểm trong và tính táchđược cộng tính

Tính lồi của đồ thị trên (epigraph), là cấu trúc hình học đẹp của hàm lồi đượcbiết đến trong giải tích lồi, có nhiều mối liên hệ mật thiết với tính đơn điệu và khả

vi theo hướng Đối với hàm tựa lồi, đồ thị trên không lồi nhưng các tập mức convẫn lồi Tương tự các hàm lồi, cấu trúc hình học của các tập mức con kéo theo cáctính chất liên tục và khả vi quan trọng của hàm tựa lồi Chương 3 được viết bởiCrouziex, cung cấp cái nhìn sâu sắc về sự tranh luận trong giải tích tựa lồi giữatính chính quy hóa tựa lồi và sự tăng của nón, cũng như các tính chất liên tục vàkhả vi đối với hàm tựa lồi Trong trường hợp không có đạo hàm theo hướng, cácđạo hàm suy rộng như đạo hàm Dini trên và dưới có thể dùng được Trong cáctrường hợp xác định, các đạo hàm này liên hệ với các đối tượng hình học quantrọng như: nón chuẩn tắc với các tập mức con và tựa vi phân dưới của hàm tựa lồi

tại một điểm cho trước Vai trò và lợi ích của các vấn đề này đều được khảo sáttriệt để trong phần này.

Tính lồi được biết đến trong lý thuyết tối ưu hóa vô hướng cổ điển, đóng vaitrò cơ sở vì nó bảo đảm các tính chất quan trọng như: cực tiểu địa phương cũng làcực tiểu toàn cục; điểm dừng là cực tiểu địa phương (điều kiện cần tối ưu thứ nhấtcũng là điều kiện đủ) Những kết quả này đạt được trong trường hợp vô hướng

có ảnh hưởng lớn đến lĩnh vực tối ưu hóa vectơ, điều này đang được phát triểntốt trong thập niên gần đây Trong tối ưu hóa vectơ, khái niệm cực tiểu thườngđược xem như một nón thứ tự trên không gian ảnh của hàm mục tiêu Nón này chỉcảm sinh một thứ tự bộ phận, đây là lý do chính tại sao một số phương pháp mởrộng khái niệm tính lồi suy rộng trong tối ưu hóa vectơ Chương 4 được soạn bởiCambini và Martein, bàn luận về quy luật của tính chất lồi suy rộng trong vấn đềtối ưu hóa vectơ và vô hướng trong hữu hạn chiều Trường hợp giá trị vô hướng,bài toán cực trị với hàm tựa lồi, tựa tuyến tính, giả lồi, giả tuyến tính, preinvex,invex đều được nghiên cứu Trường hợp giá trị vectơ, điều kiện tối ưu được suy racho lớp hàm lồi suy rộng khả vi giá trị vectơ cho trước, gồm có các hàm C- tựa lồi,(C], C§)- giả lồi, (C], C§)- giả tuyến tính, (C, η)- invex, với C là nón thứ tự củakhông gian ảnh

Chương 5 được viết bởi Lực, cũng giải quyết bài toán tối ưu vectơ nhưng trongtình huống tổng quát hơn, đó là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực và dướidạng giải tích phi tuyến Lớp các hàm vectơ lồi suy rộng khác nhau đều được giớithiệu và nghiên cứu Những kết quả tồn tại nghiệm hữu dụng và những tính chấtcấu tạo như tính compact, tính liên thông của các tập nghiệm cũng được khảo sát,chứng minh Các điều kiện tối ưu cũng được cung cấp cho 3 loại đạo hàm: đạohàm cổ điển, đạo hàm liên tiếp và các xấp xỉ Jacobian Phần cuối của chương bànluận về phương pháp vô hướng hóa để giải bài toán tối ưu vectơ

Một chủ đề trung tâm trong tối ưu là lý thuyết đối ngẫu lồi Cho trước một bàitoán cực tiểu lồi gốc, một mặt nhúng nó vào một họ các bài toán cực tiểu nhiễu vàsau đó cân đối với các nhiễu này, một mặt kết hợp nó với một vấn đề đối ngẫu Tồntại những mối quan hệ chặt chẽ giữa bài toán gốc và đối ngẫu giúp ích cho việcphân tích các tính chất của bài toán ban đầu, và đặc biệt để đạt được điều kiệntối ưu hóa Chúng cũng được dùng để hệ thống các thuật toán số Trong trườnghợp các vấn đề xuất hiện trong ứng dụng thuộc các khoa học khác nhau, đặc biệttrong kinh tế học, các vấn đề đối ngẫu thường có giả thuyết đẹp mang lại một sựđộng lực mới để phân tích chúng Chương 6 được soạn bởi Martínez-Legaz, bàn

về đối ngẫu lồi suy rộng và các ứng dụng kinh tế của nó Việc mở rộng lý thuyếtđối ngẫu lồi cho trường hợp lồi suy rộng được dựa vào sơ đồ đối ngẫu suy rộngFenchel-Moreau và vào lý thuyết chung của sự liên hợp Trong giải tích tựa lồi sựliên hợp các tập mức rất hữu dụng Sơ đồ đối ngẫu tổng quát Fenchel-Moreau và

các liên hợp này cũng được đề cập chi tiết trong chương này Phần cuối chươngdành cho các ứng dụng trong kinh tế học như: tính đối ngẫu giữa hàm tiện ích trựctiếp và gián tiếp trong thuyết người tiêu dùng, tính đơn điệu của hàm nhu cầu vàthuyết người tiêu dùng trong trường hợp thiếu hàm tiện ích.

Khái niệm vi phân dưới của hàm lồi tại một điểm cho trước trong miền xácđịnh của nó đóng vai trò chính trong giải tích lồi Thực vậy vi phân dưới đóng 2vai trò khác nhau Một là tính địa phương: nó trang bị một xấp xỉ địa phương chohàm lồi trong một lân cận của một điểm cho trước Một vai trò khác là tính toàncục: nó là công cụ để xây dựng siêu phẳng tựa cho đồ thị trên của hàm lồi Những

sự suy rộng của ý kiến đầu về vi phân dưới dẫn đến giải tích không trơn, trongkhi đó ý kiến thứ hai dẫn đến tính lồi trừu tượng Tính lồi trừu tượng chính là nộidung của Chương 7, được viết bởi Rubinov và Dutta Một trong những kết quả cơbản của giải tích lồi là: mỗi hàm lồi nửa liên tục dưới là bao hình trên (cận trên bénhất theo từng điểm) của tất cả các hàm affine được làm trội bởi một hàm Độnglực chính để phát triển tính lồi trừu tượng ở chỗ sự biểu diễn bao hình rất thuậnlợi, kể cả khi ta xét bao hình trên của các tập gồm các hàm không affine Hai kiểuđối tượng được nghiên cứu trong khuôn khổ tính lồi trừu tượng là: hàm lồi trừutượng và tập lồi trừu tượng Hàm lồi trừu tượng có thể được miêu tả thông quabiểu diễn bao hình của các hàm không nhất thiết tuyến tính hay các hàm affine sơcấp Tập lồi trừu tượng được định nghĩa thông qua tính chất sau: một điểm khôngthuộc tập lồi trừu tượng có thể tách khỏi tập đó bởi một hàm sơ cấp Chương nàytrình bày các định nghĩa chính liên quan đến tính lồi trừu tượng và đưa ra các ví

dụ về hàm lồi trừu tượng dựa vào các tập khác nhau của hàm hàm sơ cấp, gồm cócác hàm tựa lồi trừu tượng Một số ứng dụng của tính lồi trừu tượng cũng đượctrình bày ở đây như: sơ đồ đối ngẫu Minkowski, liên hợp Fenchel-Moreau và bấtđẳng thức loại Hadamard đối với hàm tựa lồi

Chương 8 được trình bày bởi Frenk và Schaible, được dành cho FractionalPrograming (lập trình phân thức) Nó kết luận phần 1 của quyển sách, tập trungvào tính lồi suy rộng Những chương trình phân thức là các bài toán tối ưu tỉ sốbao hàm một hay một số tỉ số trong hàm mục tiêu Chẳng hạn: hàm mục tiêuthường không lồi nhưng lồi suy rộng trong trường hợp tử thức và mẫu thức lồi,lõm hay affine Một tài liệu bao quát có thể so sánh điều đó với các lớp bài toántối ưu hóa khác đang được phát triển Trong suốt 40 năm qua chương trình phânthức được lợi từ sự tiến bộ của tính lồi suy rộng và ngược lại

Chương bắt đầu với tóm tắt về những ứng dụng rộng lớn khác nhau của chươngtrình phân thức tỉ số đơn, min-max và tổng các tỉ số Những ứng dụng gần đâychú trọng Một số trường hợp nghiên cứu cũng được đề cập đến Tóm tắt về nhữngứng dụng của chương trình phân thức này củng cố cho sự tương thích của tính lồisuy rộng với các môn học ứng dụng, đặc biệt là đối với khoa học quản lý Điều

này bổ sung cho sự trình bày những ứng dụng tính lồi suy rộng trong lý thuyếtkinh tế ở Chương 6 Tóm tắt những ứng dụng của lập trình phân thức kéo theo sựphân tích cụ thể chương trình phân thức min-max, bao gồm tỉ số đơn và chươngtrình phân thức min-max cổ điển được giới hạn hơn Cơ sở của phân tích là phépxấp xỉ tham số Đầu tiên, thuật toán Dinkelbach gốc được đưa ra và các tính chấthội tụ của nó được phân tích Khi đó tính đối ngẫu được đưa ra để đáp ứng vớichương trình phân thức max-min đối ngẫu và những quan hệ đối ngẫu đều đượcchứng minh Cuối cùng thuật toán Dinkelbach đối ngẫu được trình bày và suy ranhững tính chất hội tụ của nó.

Chương đầu tiên của phần hai quyển sách là Chương 9, viết bởi Hadjisavvas vàSchaible Nó được bắt đầu với giới thiệu sự biểu diễn của 9 loại ánh xạ đơn điệusuy rộng và chỉ ra liên kết giữa những ánh xạ này và các hàm lồi suy rộng khả vi:một hàm thuộc vào 1 trong 9 lớp hàm lồi suy rộng nếu và chỉ nếu gradient của nóthuộc vào lớp ánh xạ đơn điệu suy rộng tương ứng Phần cuối chương trình bàytiêu chuẩn đối với ánh xạ đơn điệu suy rộng Đầu tiên trình bày về ánh xạ khả

vi rồi đến các ánh xạ không khả vi (Lipschitz địa phương hay chỉ liên tục) Cuốicùng đề cập chi tiết đến trường hợp đặc biệt ánh xạ affine vì sự thích hợp của nóvới chương trình toàn phương lồi suy rộng và các bài toán phụ tuyến tính đơn điệusuy rộng

Các hàm lồi suy rộng không nhất thiết khả vi Trong trường hợp này, gradientcủa nó thường được thay bởi đạo hàm suy rộng xấp xỉ Chương 10 viết bởi Komlósi

về việc nghiên cứu các hàm lồi suy rộng không trơn với các lớp đạo hàm suy rộngđặc biệt Một số kết quả được trình bày sự liên kết giữa tính đơn điệu suy rộng củađạo hàm suy rộng với tính lồi suy rộng của hàm suy rộng trong phần bàn luận Sựphong phú các khái hiệu khác nhau của đạo hàm suy rộng đã thúc đẩy việc giảiquyết tiên đề, trong đó có khái niệm trừu tượng xấp xỉ bậc 1 Lợi ích của xấp xỉbậc 1 tựa lồi trong lý thuyết tối ưu cũng được khảo sát Cụ thể, các hàm tựa khả

vi trên suy rộng được nghiên cứu, và các định lý loại Farkas tựa lồi và điều kiệntối ưu loại KKT đang được chứng minh

Mối quan hệ giữa hàm lồi suy rộng và ánh xạ đơn điệu suy rộng cũng được xấp

xỉ bởi vi phân dưới thay cho các đạo hàm suy rộng Đối với hàm không lồi, tiêuchuẩn vi phân dưới Fenchel-Moreau không thỏa mãn Điều này dẫn đến Clarke,Rockafellar và những nhà toán học khác đưa ra các vi phân dưới khác nhau Trongchương 11 viết bởi Hadjisavvasm, trình bày mối liên hệ giữa tính lồi suy rộng củahàm nửa liên tục dưới với tính đơn điệu suy rộng của vi phân dưới của chúng Việchợp nhất xấp xỉ này gồm đa phần các vi phân dưới Một số loại mới của tính đơnđiệu suy rộng, như tính đơn điệu suy rộng cyclic và tính tựa đơn điệu riêng cũngđược giới thiệu Khái niệm sau cùng được chứng minh có liên hệ gần gũi với bấtđẳng thức biến phân Minty Cuối cùng, trình bày một số kết quả gần đây về cực

đại của toán tử giả đơn điệu và mối quan hệ của nó với tính liên tục.

Tính đơn điệu suy rộng không loại trừ khái niệm đối ngẫu của tính lồi suyrộng Chẳng hạn khái niệm giả đơn điệu xuất hiện lần đầu trong bài toán phụ.Chương 12 viết bởi Yao và Chadli giải thích tầm quan trọng của khái niệm nàytrong những bài toán phụ và các bất đẳng thức biến phân Phần đầu của chươngtrình bày những kết quả gần đây về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với bàitoán phụ và bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều dưới tính giảđơn điệu Đưa ra một ứng dụng của bài toán phụ về trạng thái cân bằng tới hạncủa đĩa đàn hồi mảnh Phần tiếp theo trình bày về tính giả đơn điệu tôpô và hơnnữa những kết quả tồn tại nhận được và một số ứng dụng Khái niệm tính giả đơnđiệu tôpô được đưa ra bởi Brézis năm 1968 đối với toán tử phi tuyến để thu đượcđịnh lý tồn tại đối với phương trình khả vi từng phần eliptic tựa tuyến tính vàparabolic Trong phần cuối, đưa ra một số khả năng mở rộng đối với bài toán phụ

và bất đẳng thức biến phân, và trình bày sự tương đương giữa một số vấn đề, gồm

có các bài toán phụ, các bài toán tối thiểu yếu tố và các bài toán bất đẳng thứcbiến phân

Bài toán cân bằng đưa ra sự hợp nhất và chung nhất cho tối ưu hóa, các bàitoán phụ và bất đẳng thức biến phân Thông thường, đa số việc nghiên cứu trêncác khía cạnh khác nhau của bài toán cân bằng đều bị giới hạn bởi vấn đề tínhđơn điệu Tuy nhiên, giả thiết tính đơn điệu tham gia làm hạn chế đối với nhiềubài toán ứng dụng, đặc biệt trong kinh tế học và khoa học quản lý Trong suốtthập kỉ gần đây, các bài toán cân bằng đơn điệu suy rộng đã được khảo sát kỹlưỡng hơn và nhiều tiến triển đã đạt được trong những hướng khác nhau Chương

13 được viết bởi Konnov, trình bày những kết quả cơ bản trong lý thuyết và xâydựng phương pháp giải cho bài toán cân bằng đơn điệu suy rộng và bất đẳng thứcbiến phân Trong đó bài toán cân bằng giá trị vectơ cũng được đề cập đến

Chắc chắn lợi ích đầu tiên của tính đơn điệu suy rộng (trước cả khi xuất hiệnthuật ngữ này) đã được tìm thấy cách đây 68 năm trong ngành kinh tế học Như

đã nói ở trên, nó tồn tại độc lập trong một bài báo của Georgescu-Roegen (1936),đưa ra khái niệm sở thích địa phương trong lý thuyết người tiêu thụ, và trong bàibáo của Wald (1936) chứa chứng minh gốc đầu tiên của sự tồn tại cân bằng chungcạnh tranh Những tiến bộ đáng kể sẽ được trình bày trong Chương 14 được viếtbởi John Chương này đưa ra nhiều ví dụ quan trọng về cách dùng tính lồi suyrộng và tính đơn điệu suy rộng trong kinh tế Ví dụ đầu tiên là lý thuyết ngườitiêu thụ Phép xấp xỉ hàm tiện ích tăng thêm tầm quan trọng cho tính tựa lõm vàgiả lõm của hàm Phép xấp xỉ quan hệ nhu cầu được thể hiện bởi các tính chấtđơn điệu suy rộng, trong tài liệu kinh tế điều đó được xem như các tiên đề trongthuyết ưa chuộng bộc lộ Trong trường hợp sở thích không bắc cầu lồi (lần lượtnửa lồi chặt hay lồi chặt), các tính chất đơn điệu suy rộng khác nhau của lượng

cầu xuất hiện khá tự nhiên Ví dụ thú vị thứ hai là lý thuyết cân bằng chung Sựtương thích của lượng cầu giả đơn điệu vượt quá so với tính ổn định của trạng tháicân bằng sẽ được chấp nhận bởi biểu diễn của nó như là nghiệm của bài toán bấtđẳng thức biến phân Minty.

Nghiên cứu về tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng vẫn được tiếp diễn

và những kết quả khoa học đã đạt được rất nhiều Chúng được trình bày thườngxuyên hằng năm trong nhiều hội thảo chuyên ngành, đặc biệt ở Hội nghị khoa họcquốc tế về Tính đơn điệu và tính lồi suy rộng được tổ chức vào mỗi 3 năm Chođến nay, đã có 7 hội nghị chuyên đề được tổ chức Gần đây nhất được tổ chức vớichủ đề "Khai thác nhóm tính lồi suy rộng" Đây là sự kết hợp của vài trăm nhànghiên cứu, trang web của họ (http://www.genconv.org) cung cấp nhiều thông tin

cũ và mới về các hội nghị, các báo cáo, các ấn bản

Chúng tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến ông Dr John Martindale, Nhàxuất bản Học viện Kluwer đã ủng hộ cho sự ra đời của tập sách này

NICOLAS HADJISAVVASSANDOR KOMLOSISIEGFRIED SCHAIBLE