HƯỚNG dẫn học SINH các PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC

Đã có rất nhiều tài liệu viết về bất đẳng thức của nhiều tác giả, để giỏi về bất đẳng thức thì người giáo viên và học sinh phải đọc rất nhiều sách và mất tương đối nhiều thời gian về vấn đề này.Vấn đề đặt ra là làm thế nào để trong một thời lượng thời gian nhất định (chẳng hạn được giao dạy bồi dưỡng một số buổi về chuyên đề bất đẳng thức) mà có thể truyền thụ được cho các em học sinh những kiến thức để có thể có nhiều khả năng giải được bài toán bất đẳng thức trong khi tham dự kỳ thi học sinh giỏi? Sáng kiến này đã hệ thống cho các em học sinh một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức với sự đổi mới là : với mỗi phương pháp được nêu đều có tư tưởng của phương pháp, cách nhận dạng bài toán nào để áp dụng được phương pháp đó và phương pháp tiến hành phương pháp vào dạng bài của phương pháp.Và đặc biệt là với mỗi phương pháp đều có sự chọn lọc các ví dụ cô đọng, điển hình cho phương pháp đó. Sáng kiến được áp dụng cho các đội tuyển học sinh giỏi toán tại các trường THPT, và có thể giảng dạy một phần ở các lớp ôn thi đại học, có tác dụng tạo hứng thú học tập, định hướng cho học sinh việc tập dượt, tìm tòi, tự nghiên cứu khoa học từ đó giúp cho các em học sinh có sự say mê và yêu thích đối với bộ môn toán.

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG NGẠN

HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾNKính gửi: - Hội đồng khoa học trường THPT Nguyễn Trung Ngạn

- Hội đồng khoa học ngành GD&ĐT Hưng Yên

I.THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên : Vũ Sỹ Dũng

2 Ngày tháng năm sinh: 09 /05/1973

3 Chức vụ: Giáo viên

4 Nhiệm vụ được giao: + Tổ phó tổ Toán – Tin

+ Giảng dạy: Môn Toán

5 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trung Ngạn

6.Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ chuyên ngành: Toán ứng dụng

Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến : “HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC”

Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học

II MÔ TẢ SÁNG KIẾN:

- Sáng kiến này đã hệ thống cho các em học sinh một số phương pháp cơ bảnchứng minh bất đẳng thức với sự đổi mới là : với mỗi phương pháp được nêuđều có tư tưởng của phương pháp, cách nhận dạng bài toán nào để áp dụngđược phương pháp đó và phương pháp tiến hành phương pháp vào dạng bàicủa phương pháp.Và đặc biệt là với mỗi phương pháp đều có sự chọn lọc các

ví dụ cô đọng, điển hình cho phương pháp đó

- Sáng kiến được áp dụng cho các đội tuyển học sinh giỏi toán tại các trường THPT, và có thể giảng dạy một phần ở các lớp ôn thi đại học, có tác dụng tạo hứng thú học tập, định hướng cho học sinh việc tập dượt, tìm tòi, tự nghiêncứu khoa học từ đó giúp cho các em học sinh có sự say mê và yêu thích đối với

bộ môn toán.

- Sau khi áp dụng sáng kiến chuyên đề đối với đội tuyển học sinh giỏi toán

ở trường THPT Nguyễn Trung Ngạn các em học sinh đã có khả năng giải đượcbài toán về Bất đẳng thức trong các đề thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi nhiềuhơn

Ân Thi, ngày 27 tháng 3 năm 2017

Người viết đơn

Vũ Sỹ Dũng

MỤC LỤC

Phần I: Mở đầu Trang 5

Phần II: Nội dung 6

ChươngI Kiến thức chuẩn bị 6

Chương II Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức 8

1 Phương pháp sử dụng định nghĩa 8

2 Phương pháp biến đổi tương đương 8

3.Phương pháp làm trội, dùng tổng sai phân 11

4 Phương pháp qui nạp 13

5 Phương pháp phản chứng 15

6 Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cổ điển 16

7 Phương pháp tam thức bậc hai 24

8 Phương pháp tọa độ 25

9 Phương pháp sử đụng nguyên lý diricler 27

10 Phương pháp đổi biến 31

11 Phương pháp lượng giác hóa 33

12.Phương pháp sử dụng đạo hàm 35

13 Phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh Bất đẳng thức 39

Chương III Bài tập tự luyện 41

Phần III Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 47

PHẦN I MỞ ĐẦU

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

1.Thực trạng của vấn đề:

Bất đẳng thức là một bộ phận của toán học và ngày càng được chú trọng vì

nó bao hàm nhiều sáng tạo và suy luận Bài toán chứng minh bất đẳng thứcthường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏitỉnh, học sinh giỏi Quốc gia và thi học sinh giỏi Quốc tế Trong hầu hết các kỳthi học sinh giỏi toán quốc gia, thi Olympic toán khu vực và quốc tế, các bàitoán liên quan đến bất đẳng thức hay được đề cập và thường thuộc loại khóhoặc rất khó Đây là loại toán có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải.Vìvậy, việc tìm hiểu và học hỏi các phương pháp chứng minh bất đẳng thức làcần thiết.Việc dạy về bất đẳng thức khi bồi dưỡng các đội tuyển học sinh giỏi

là một vấn đề quan trọng rất được quan tâm Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng

học sinh giỏi, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh một số

phương pháp giải bài toán chứng minh bất đẳng thức”.

2.Ý nghĩa và tác dụng của sáng kiến:

Đã có rất nhiều tài liệu viết về bất đẳng thức của nhiều tác giả, để giỏi vềbất đẳng thức thì người giáo viên và học sinh phải đọc rất nhiều sách và mấttương đối nhiều thời gian về vấn đề này.Vấn đề đặt ra là làm thế nào để trongmột thời lượng thời gian nhất định (chẳng hạn được giao dạy bồi dưỡng một sốbuổi về chuyên đề bất đẳng thức) mà có thể truyền thụ được cho các em họcsinh những kiến thức để có thể có nhiều khả năng giải được bài toán bất đẳngthức trong khi tham dự kỳ thi học sinh giỏi?

Sáng kiến này đã hệ thống cho các em học sinh một số phương pháp cơ bảnchứng minh bất đẳng thức với sự đổi mới là: với mỗi phương pháp được nêuđều có tư tưởng của phương pháp, cách nhận dạng bài toán nào để áp dụngđược phương pháp đó và phương pháp tiến hành phương pháp vào dạng bàitương ứng Đặc biệt là với mỗi phương pháp đều có sự chọn lọc các ví dụ côđọng, điển hình cho phương pháp đó Việc giảng dạy nội dung của sáng kiếnnày có tác dụng nâng cao năng lực tư duy, biết phán đoán để đưa ra con đường

hợp lý cho lời giải; phát huy vai trò chủ động, sáng tạo, tích cực của học sinh Kích lệ học sinh tìm tòi, sáng tạo trong học toán và giải toán cũng như nghiêncứu toán học ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường

3 Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến:

Có nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi như : số học, hình học phẳng,bất đẳng thức, đa thức, phương trình hàm, dãy số, tổ hợp Sáng kiến này chỉ đisâu vào nghiên cứu một trong những chuyên đề nói trên đó là chuyên đề Bấtđẳng thức

4 Phương pháp tiến hành:

- Ý tưởng viết sáng kiến được hình thành và từ cuối năm học 2015-2016 và

dự kiến hoàn thành vào cuối tháng 3 năm 2017

-Trang bị các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

- Cung cấp trước hệ thống bài tập của mỗi phương pháp để học sinh tự tìmtòi, nghiên cứu ở nhà sau đó cùng với học sinh tổng kết lại lý thuyết và ý tưởngcủa mỗi phương pháp

- Giáo viên và học sinh sưu tầm các tài liệu viết về các phương pháp chứngminh bất đẳng thức, tổng hợp, hệ thống lại các phương pháp chứng minh bấtđẳng thức mà mình sưu tầm được, lựa chọn những bài hay, điển hình minh họacho mỗi phương pháp từ đó rút ra được những kinh nghiệm cần thiết về cáchsuy nghĩ, cách tìm tòi lời giải với tùy từng bài cụ thể mà lựa chọn phương phápchứng minh cho thích hợp để giải được bài toán chứng minh bất đẳng thức

PHẦN II:NỘI DUNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI

BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Định nghĩa:

Các mệnh đề “a > b”, “a < b” , “a b ”, “a b ” được gọi là các bất đẳng thức

2 Các tính chất của bất đẳng thức:

a < b  a – b < 0

a a

mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0)

Một số kinh nghiệm khi giải bài toán chứng minh bất đẳng thức

Khi học về BĐT cần ghi nhớ các lời khuyên bổ ích sau:

1 Nắm chắc định nghĩa và các tính chất cơ bản của BĐT

2 Nắm vững các phương pháp cơ bản chứng minh BĐT

3 Chú trọng để nắm vững các kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si, luôn biết đặt và trảlời các câu hỏi như: khi nào áp dụng; điều kiện cho các biến là gì; dấu bằng

xảy ra khi nào; nếu áp dụng thế thì có xảy ra dấu bằng không; tại sao lại thêmbớt như vậy

4 Luôn bắt đầu với các BĐT cơ bản; học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều

áp dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp dụng được, chẳng hạn như:

Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH

+Tích của các thừa số cùng dấu: A B  XY  0 ( X Y, cùng dấu).

+Tích của một số không âm và một biểu thức dương (theo điều kiện):

A B  X Y2  0

Xây dựng các bất đẳng thức từ điều kiện bài toán:

Nếu x y z, , a b; thì ta nghĩ ngay đến các bất đẳng thức hiển nhiên đúng

VT(1)ab a b c( 1 )bc a b c( 1 )ca a b c( 1 ) abc1

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

3.Phương pháp làm trội, dùng tổng sai phân.

Ý tưởng của phương pháp này là: Giả sử cần chưng minh bất đẳng thức A B ,

ta làm trội A C , rồi chứng minh C B

Đôi khi để chứng minh một bất đẳng thức dạng

Bài toán trên ứng với n=2005.

+)Từ giả thiết bất đẳng thức đúng với n k k N (  ), ta suy ra được bất đẳng thức đúng với n k  1

Để chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ,ta thực hiện các bước:

- Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức đúng với giá trị đầu tiên của n.

- Bước 2:Giả sử bất đẳng thức đúng với n k k N (  ), ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n k  1.

đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n

Nhận xét Ở bài này , nếu giải bằng phương pháp là trội thì ta sẽ gặp khó khăn

Để chứng minh bất đẳng thức A B , ta giả sử A B , sau đó bằng suy luận

và các phép toán đi đến mâu thuẫn Như vậy, bất đẳng thức A B đúng, hay ta

có điều phải chứng minh

Tương tự, ta có b ca , c ab Từ đó suy ra a b c ab bc ca     (1)

a b c ab bc ca   abc ab bc ca   (2)

Từ (1)và (2) ta có abc a b c   (mâu thuẫn với giả thiết)

a b c abc   Chứng minh rằng có ít nhất hai trong số các bất đẳng thức sau đúng

Ví dụ 6.1: Cho a b , 0 thỏa mãn a b  1 Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

*Dạng 2 Chứng minh XYZ ABC , với X Y Z , , 0.

Ý tưởng Nếu ta chứng minh được XY A2 Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra

2

YZ B và ZX C2 (nhờ tính đối xứng của bài toán) Sau đó, nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta được

2 2 2

XYZ A B C ABC ABC điều phải chứng minh.

Ở bài toán này, ta vẫn sẽ sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng nhưng sẽ “ghép”một cách tinh tế hơn Đó là

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 6.6.Cho ba số thực x, y, z 2  và 1 1 1 1

x yz  Chứng minh rằng

(x  2)(y 2)(z 2) 1   

Phân tích

Với giả thiết x, y, z đều lớn hơn 2, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa bài toán

về dạng đơn giản và quen thuộc hơn Hãy xét lời giải sau:

Bài giải: Đặt x a  2,y b  2,z c  2 với a 0,b 0,c 0 Bài toán quy vềchứng minh abc 1 , với a b c , , 0 thỏa mãn:



2

p m n p c

Phân tích: Trước hết, ta cần chú ý đến sự xuất hiện của biểu thức (a b c  ) 2

số biến (chẳng hạn giảm biến a )

Nhận xét Bất đẳng thức đã cho có thể viết lại dưới dạng

Đây chính là đề thi Olympic Toán Singapore năm 2011.

b c a

c a b

.

a b c

2 2 2

1 1 1 abc abc abc

ab bc ca a b c

a b c   a  b  c      

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c   1

7 Phương pháp tam thức bậc hai

Đưa BĐT cần chứng minh về dạng A 0 (*) Khi đó ta có thể xem vế trái của (*) là một tam thức bậc hai của một biến nào đó rồi sử dụng định lý thuận hoặc đảo của tam thức bậc hai để chứng minh.

Dạng 1: Sử dụng định lý thuận về dấu tam thức bậc hai.

2 2

Dạng 2: Sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai.

Có f(0) ( 1) (f   a b c  ).2(a c) 0   (theo giả thiết) suy ra phương trình f x ( ) 0

luôn có hai nghiệm phân biệt hay

(b c) 4 (a a b c) 0 (b c) 4 (a a b c)

            (đpcm)

8 Phương pháp tọa độ véc tơ

Ý tưởng của phương pháp này là: Biến đổi BĐT đã cho sau đó xét các véc tơ

có tọa độ thích hợp rồi áp dụng BĐT véc tơ để chưng sminh BĐT đã cho.

9 Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet:

"Nếu nhốt nhiều hơn n con thỏ vào n truồng thì ít nhất một truồng nhiều hơn 1 con thỏ."

Từ nguyên lý Drichlet suy ra mệnh đề : "Cho 3 số thực bất kỳ ,bao giờ ta cũng lấy ra được 2 số sao cho tích của chúng không âm ".

Vận dụng vào bài toán chứng minh bất đẳng thức:

Giả sử cần chứng minh bđt f(a,b,c, )0

Bước 1: Thử để tìm được a=b=c= =k thì bất đẳng thức xảy ra dấu bằng Bước 2: Áp dụng mệnh đề trên : Trong các số a-k,b-k,c-k, có một cặp có tích không âm Giả sử (a-k)(b-k)0.

Bước 3: Khai thác (a-k)(b-k)0 để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 9.1: Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng :

a2 b2 c2  2abc  1 2(ab bc ca  )

Bài giải: Bất đẳng thức xảy ra dáu bằng khi a b c   1

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số (a-1),(b-1),(c-1) có một cặp tíchkhông âm

Gỉa sử a 1 b 1 0  2 (c a 1)(b 1) 0   2abc 2bc 2ac 2c

Do đó ta chỉ cần chứng minh a2 b2 c2  2c  1 2ab (a b ) 2  (c 1) 2  0 Bất đẳng thức trên luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 9.2:Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng :

a2 b2 c2  2abc  3 (a 1)(b 1)(c 1)

Bài giải: Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi a b c   1

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số (a-1),(b-1),(c-1) có một cặp tíchkhông âm

Bất đẳng thức trên luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 9.3: Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng :

Bài giải: Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi x  y z 1

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số x 1,y 1, z 1, có một cặp tíchkhông âm

Gỉa sử x 1 y 1   0 xy x y     1 0 xyz xy yz z   (*)

Do đó BĐT đã cho được chứng minh nếu ta chứng minh được:

Ví dụ 9.5: Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh rằng :

(x  2)(y  2)(z  2) 9(  xy yz z  x)

Bài giải: Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi x=y=z=1.

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số (xy-1),(yz-1),(zx-1) có một cặp tíchkhông âm

(3c 1) (2c  2c 1) 0  BĐT này hiển nhiên đúng vậy ta có đpcm.

Ví dụ 9.7: Cho các số thực dương a,b,c Chứng minh rằng :

Do BĐT đã cho là thuần nhất,không mất tính tổng quát giả sử a+b+c =1

(3c 1) (13c  62c 5) 0  BĐT này hiển nhiên đúng vậy ta có đpcm.

10 Phương pháp đổi biến:

Trong tình huống bất đẳng thức không chứng minh trực tiếp được người ta thường sử dụng phương pháp đổi biến số Với các biến mới bất đẳng thức dễ dàng chứng minh hơn

Ví dụ 10.1: (Bất đẳng thức Nesbit) Cho các số a,b,c dương Chứng minh rằng

3 2

a b c

b c c a a b     

Bài giải: Dự đoán đẳng thức xảy ra tại điểm rơi a b c   1

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức vừa thu được, ta nhận được bất đẳng thức (1) Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.

Đối với các bài toán BĐT ba biến có điều kiện tích của ba biến là một hằng

số thường khó sử lý trực tiếp, nếu ba biếnx y z, , thỏa mãn x y z k  3

ta thường đổi biến bằng một trong ba cách sau:

Vậy bài toán được chứng minh

11 Phương pháp lượng giác hóa:

Phương pháp lượng giác hóa ( hay biến đổi lượng giác) nhiều khi rất hiệu

quả đối với một số BĐT có điều kiện rằng buộc Bằng cách đổi biến thích hợp

Trước hết ta cần nắm được một số kết quả sau:

Bổ đề 1: Nếu x y z, , là các số dương thỏa mãn điều kiện x y z xyz   thì tồn tại một tam giác nhọn ABC sao cho x tan , y tanB, z tanCA   .

Bổ đề 2: Nếu x y z, , là các số dương thỏa mãn điều kiện xy yz zx   1 thì tồn

tại một tam giác ABC sao cho tan , y tan , z tan

x    .

Bổ đề 3: Nếu x y z, , là các số dương thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2  2xyz 1

thì tồn tại một tam giác nhọn ABC sao cho x c A os , y cos B, z cos C.

2

1 x  1 y  1 z 

tan , y tanB, z tanC

Đây là một BĐT cơ bản trong tam giác dễ dàng trong việc chứng minh

tan , y tan , z tan

1 tan 1 tan 1 tan

1 tan 1 tan 1 tan

sinA sinB 2cos cos 2cos

Cộng vế với vế ba BĐT trên ta thu được điều phải chứng minh

cos , y cos , z cos

1 cos 1 cosB 1 cosC 3

1 cosA 1 cosB 1 cosC

Đây là một BĐT cơ bản trong tam giác dễ dàng trong việc chứng minh

Dấu “=” xảy ra sin 2 1 2

y x y x

y x y

1 2

t t

) 1 (

2

2 /

)

t t

y

x y

x y

y

x y

x y

10 180 6

180

9 180

9 180 5

tg tg

2 sin 2

2 2

/ )

x x

x x

f x

( vì 2x sin 2x x 0 )  f ( x) đồng biến trên )

4

; 0 ( 

180 6 ( ) 180 5 (

0  f   f  ;   ) 

180 10 ( ) 180 9 (

2

tgC tgB tgA C

;

) 2

; 0 ( 



0 1 3 3

1 1 ) cos

1 cos (cos 3

1 1 cos 3

1 cos

3

2

2 2

/

t t

t t