tích phân kép

Định nghĩa, cách tính tích phân kép --- Cho vật thể hình trụ cong được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f  f x y , giới hạn dưới bởi miền D đóng, bị chặn.. giới hạn xung quanh bởi những đ

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

0.2 – Tọa độ cực

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép -

Cho vật thể (hình trụ cong) được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f  f x y( , )

giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn)

giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D

Tìm thể tích vật thể

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép -

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép -

Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f x y( , )

giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn)

giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D Tìm thể tích vật thể

1) Chia D một cách tùy ý ra thành n miền không dẫm nhau: D1, D2, , Dn

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép -

Định nghĩa tích phân kép

Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích trên D

Cho f = f(x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D

Tích phân kép của f trên miền D là giới hạn (nếu có)

Tính chất của tích phân kép

1) Hàm liên tục trên một miền đóng, bị chặn, có biên trơn tùng khúc thì

khả tích trên miền này

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

-

Ví dụ

Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f x y( , ) 16  x2  2y2 giới hạn dưới bởi hình vuông: R  [0,2] [0,2] giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên R

Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau:

a) Chia R thành 4 phần bằng nhau;

b) Chia R thành 16 phần bằng nhau;

c) Chia R thành 64 phần bằng nhau;

d) Chia R thành 256 phần bằng nhau;

e) Tính thể tích của vật thể

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép -

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép -

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép -

1 2

x x

Tính tích phân kép ( ) , trong đó D là tam giác OAB, với

1115

Tính tích phân kép 2

0

x y

I   dy e dx

Tích phân không tính được ( qua các hàm sơ cấp) 2

1

x y

x D

I   dx e dy 1 2

0 0

x x

e y dx

 

2

1 0

x

xe dx

 

2 1 0

Thay đổi thứ tự lấy tích phân

II Tọa độ cực -

Ví dụ Phương trình đường tròn tâm 0, bán kính bằng 2:

Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r  2

Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r2  2 cosr   r  2 cos

Ví dụ Phương trình đường tròn tâm (1,0), bán kính bằng 1: x2  y2  2x

Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r2  2 sinr   r 2sin

Ví dụ Phương trình đường tròn tâm (0,1), bán kính bằng 1: x2  y2  2y

Phương trình đường thẳng này trong tọa độ cực là: cos 2 2

II Tọa độ cực -

cossin

     

Trên Rij lấy một điểm ( ,r i* *j )

Tọa độ cực của điểm Rij là: (r i* cos*j ,r i* sin*j )

Tính tích phân kép ( ) , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi



8cos3

0 0

cossin



II Tọa độ cực -

x

r a

y

r b

Khi đó định thức Jacobi:

r r

x x J

Tính (2 ) , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

Gốc tọa độ dời về đây

sin2

Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

III Ứng dụng hình học -

Diện tích miền D: D 1

D

S   dxdy

Thể tích hình trụ cong được giới hạn trên bởi f = f(x,y), giới hạn dưới bởi miền

D, giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song 0z, tựa trên biên D

( , )

D

V   f x y dxdy

Thể tích hình trụ cong được giới hạn trên bởi f = f2(x,y), giới hạn dưới bởi

f = f1(x,y), giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song 0z, tựa trênbiên D:

 2( , ) 1( , )

D

V   f x y  f x y dxdy

Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

D

S   

III Ứng dụng hình học -

 2( , ) 1( , )

D

V   z x y  z x y dxdy

Để tính thể tích khối 

1) Xác định mặt giới hạn bên trên: z  z x y2( , )

2) Xác định mặt giới hạn bên dưới: z  z x y1( , )

3) Xác định hình chiếu của xuống 0xy:  D  proxy

Chú ý: 1) Có thể chiếu xuống 0xz, hoặc 0yz Khi đó mặt phía trên, mặt phía dưới phải theo hướng chiếu xuống

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi và các mặt tọa độz  2x2  y2 1; x  y 1;

(2 ( 1))

y y

III Ứng dụng hình học -

Mặt S cho bởi phương trình z = z(x,y), D là hình chiếu của S xuống 0xy

Chia miền D thành n miền con D1, D2, , Dn S được chia thành các mặtcon S1, S2, , Sn

Lấy điểm bất kỳ ( ,P x y i i i, 0) D i Tương ứng điểm ( ,M x y z i i i, )i S i

T là mặt tiếp diện với S tại Mi

Với Di nhỏ ta coi diện tích của Ti là diện tích gần đúng của mảnh Si

Gọi là góc giữa hai mảnh Di i và Ti : S D( i )  S D( i) cos i

Ta có là góc giữa pháp tuyến tại Mi i với mặt S và trục Oz

Véctơ pháp của S tại Mi :

 '  2 ' 2

1cos

1 ( )lim

Diện tích mặt cong có phương trình z = f(x,y), có hình chiếu xuống mặt phẳng

xy là D được tính bởi công thức:

2 2

Ví dụ

Tính diện tích phần mặt paraboloid nằm trong hình trụ z  1 x2  y2

Hình chiếu của S xuống 0xy: