tích phân mặt (toán cao cấp)

Chú ý : Nếu hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy chỉ là một đường cong trường hợp này xảy ra khi S là một mặt trụ song song với trục Oz thì phải chiếu S xuống các mặt phẳng tọa độ k

Trường Đại học Bách khoa tp Hỗ Chi Minh

Bo mon Toán Ưng dụng

Giải tích hàm nhiều biến Chương 6: Tích phân mặt

¢ Giang viên Ts Dang Van Vinh (4/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Tích phân mặt loại l

1) Định nghĩa : Cho hàm ƒ (x, y, z) xác định

trên mặt cong Š chia mặt cong thành # phần

không trùng lấp nhau , ký hiệu là

S.,52.53 S„ Gọi đ/(Š;) là diện tích cửa

mặt cong Š;, trên mdi mat cong S; ta chon

một điểm tùy ý Ä⁄Z;(x;, v; z;) Thiết lập tổng

Hi

Ly — » I (Xj, Vị, Z¡).đ1(57)

i=]

Xét lim 7;,,néu gidi han này tồn tại hữu

n> o

hạn , không phụ thuộc cách ta chia mặt cong

Ñ và cách chọn điểm tùy ý Ä⁄;(x; y;,z;) thì

giá trị giới hạn ấy gọi là tích phân mặt loại

cửa hàm (+, y, z) lấy trên miền S va ky hiéu

2)Tính chất: tương tự như tích phân đường 1

3) Cách tính :

®) Nếu phương trình của mặt cong Š cho bởi

Z= Z(x, y)

Tương tự ta có thể chiếu

xuống các mặt phẳng còn lại

Nếu phương trình cửa mặt cong Š cho bởi

y= y(x,z), D„; là hình chiếu cửa Š xuống

mặt phẳng Óxz thì

*)Néu phương trình cửa mặt cong S cho

bởi x= x(y,Z), 2y; là hình chiếu cửa 5

xuống mặt phẳng Ôyz thì

Chú ý : Nếu hình chiếu của S

xuống mặt phẳng Oxy chỉ là một

đường cong (trường hợp này xảy

ra khi S là một mặt trụ song song

với trục Oz ) thì phải chiếu S

xuống các mặt phẳng tọa độ khác

„ không được chiếu xuống Oxy

z= {x2 4 y?

dy =

|| Wx? + v2} I 2dxdy _Dg

Vidu :Tinh || z ds trong

S

đó S 1a phan ctia mat

paraboloid z= 2-x*-y? trong miền z >0

z=2-x —ở

Ví dụ : Tính tích phân Ï[x“ + v2 ds , trong

Ss

đó % là nửa trên của mặt cầu x? ty? +27 =R?

, lay phan z>0

Hinh chiéu ctia S xu6ng mat phang Oxy 1a

2

hinh tron x ty? <R?, phương trình của mặt sS

là z=+-|R2—x2— y2,

OZ

[fx + y- ds =

»

Ví dụ: Tính || x+ +2 ds trong dé S cho

S

bédi x+ y+z2=1, z>0,x=0,y2=0

Ví dụ: Tính || x+ +2 ds trong dé S cho

S

bởi x+ + z =1, z>0,x>0,y>0

Vidu: Tinh || x+ y+ z ds trong đó S là

S

mặt xung quanh hình chóp cho bởi

x+y+Z<l, z>0,x>0,y>0

Ví dụ: Tính || x+ y+ z & trong đồ S là

S

mặt xung quanh hình chóp cho bởi

x+y+Z<l, z>0,x>0,y>0

Mặt S gồm có bốn mặt của tứ diện OABC

Tích phân Ï; trên mặt AB€ đã tính trong vi

dụ trước Ta tính tích phần trên các mặt còn

lai OAB, OBC , OCA

L I 1L

Trén mat OAB , phuong trinh cla mat 1a

z=0@, hinh chiéu ctia mat xu6ng Oxy 1a

chinh tam gidc OAB

4) Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 :

*®) Tính diện tích mặt cong 8: || 1á

Ví dụ : Tính diện tích nửa trên mặt cầu bán

kính & và diện tích toàn bộ mặt cầu

Ví dụ : Tính diện tích của mặt cong S,

trong đó S là phân của mặt paraboloid z=2-x“_—y^ lấy trong phần 0 <z< 1

| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai

Định nghĩa mặt hai phía

Cho mặt cong S có biên là đường cong kín C

Di chuyển pháp vécto của S từ một điểm A nào đó theo một đường cong tùy ý không cắt biên C Nêu khi quay lại

vị trí xuất phát, pháp vécto không đối chiêu thì mặt cong S

được gọi là mặt hai phía

Trong trường hợp ngược lại, pháp vectơ đối chiêu thì mặt cong S được gọi là mặt một phía

| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai

Định nghĩa mặt định hướng

S là mặt cong hai phía

Nêu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía còn lại

là âm thì mặt Š được gọi là mặt định hướng

Chú ý Pháp véctơ của mặt định hướng luôn được chọn theo qui tac sau:

Khi đứng lên phía dương của mặt định hướng thì pháp

véctơ đi từ chân lên đâu

Vi du

Tìm pháp véctơ của mặt nón z= Xu + y' tại A(1,1,V2}

biết mặt nón được định hướng phía dưới nhìn theo hướng

Phap vécto tai diém A: n= + _— 1

Vi du

Tim phap vécto cla x°+y*+z° =4 © tai AÍI, 0,3)

biết mặt câu được định hướng phía ngoài

S định hướng phía ngoài nên: n= (2x, 2y, 2z)

Pháp véctơ tai diém A: n= (2 0,243

| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai

Pháp vécto đơn vị của mặt S là: #= (cos,cos /,cos 7)

Tích phân mat loai mot J = [[(Pcosa+Qcos B+ Reosy)ds

| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai

Cách tính

Vì tích phân mặt loại hai là tích phân mặt loại một nên ta

có thê sử dụng cách tính tích phân mặt loại một

Pháp véctơ đơn vị phức tạp, ta có cách tính sau:

I = || Pdydz+ Qdxdz + Rdxdy = [[ Pdyds + [[Odxdz +[[ Rdxdy

4) Cách tính: 72: = jj R(x, y,z)dxdy

S

Dâu cộng nêu pháp véctơ tạo với chiêu dương 0z

một góc nhọn, ngược lại dâu trừ.

Chú ý : Nếu hình chiếu của S xuống

một mặt phẳng tọa độ nào đó (ví dụ

mặt phẳng Oxy) chỉ là một đường cong

(trường hợp này xảy ra khi S là một

mặt trụ song song với trục Öz ) thì tích

phân tương ứng với các biến vi phân

của mặt phẳng đó bằng không

Tương tự cho cách tính các tích phân

I, =J] Px, y, 2) dydz

S

( chiếu xuống mặt phẳng Øyz , biểu diễn

phương trình mặt cong S theo x = X(,Z)

trong do S la phan mat phăng x+y+z=3 năm trong hình

tru x* + y* = 2x, phia dudi theo hướng trục 0z

5) Công thức Ostrogratxki-Gauss :

Cho Š là mặt kín, lấy hướng ra phía ngoài

V là vật thể được bao quanh bởi S, nếu

[| PQ, », 2) dvdz+ Ox, y, z)dxdz+ R(x, y, 2) dedy

S

Vidu : Tinh tich phan

{| 2° dydz + xdxdz—zdxdy

S

Trong đó S là mặt xung quanh , hướng

phía ngoài của vật thể giới hạn bởi các mặt

z=4-y^,z=0 ,„ x=l, x=0

Dùng công thức Ostrogratxki-Gauss ta có

{| 2° dydz + xdxdz—zdxdy =

S

Ví dụ : Tính tích phan

l[(y+z)dv& + (x— z)dxđ&z + (z +1) dvẩy

S

trong đó Š là mặt hướng phía trên của nửa

trên mặt cầu x 4 yp? 427 = RY, Z20

Công thức Ostrogratxki-Gauss viết

Công thức viết dưới dạng vectơ

I = || P(x.y.,z)dvdz+ O(x, y,z)dxdz+

Công thức Stokes :

| P(x, y,z)dx+ O(x, y,z) dy + R(x, y,2) đz

if (B2 ayier( FR dzdx+ 2S asa

tích phân mặt loại 2

Vi du

C

paraboloid z = x* + yˆ ngược chiêu kim đông hô theo

Chọn S là phân mặt 2x + z = 2

năm trong paraboloid

Chọn phía trên của mặt S

Pháp véctơ đơn vị của S

—

Ny = Fee

Chuyén vé tich phân mặt loại hai

Vi du

Tinh ï =t†(x+ y)dx +(2x— z)dy + ydz

C

trong đó S là giao của mặt phăng z = y“ và mat paraboloid

x2 + y2 = l ngược kim đông hô theo hướng của trục 0z

Chuyén vé tich phân mặt loại hai

T=(\(x+ y)dx + (2x — z)dy + ydz

DE THI HOC KY 2 NAM HOC 2002-2003

Môn học: Toán3 Noày thị: 1606/2003 Thời gian làm bài: 90 phút

* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ và LAM TRUC TIẾP LÊN ĐỀ THI

* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 7 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)

* Sinh viên TỰ ĐIỀN vào bắng sau Nếu KHÔNG ĐIỀN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ

Câu 1 : Tìm vi phân cấp 1 và 2 của hàm 2 biến z = (z + w)* tai diém A(2, 0)

Câu 2 : Tìm tất cả các cực trị của hàm 2 biến z(z.) = ð — 3z — 4, với điều kiện z? + ° = MẺ

Câu 3 : Tính diện tích S miền hình phẳng D = {(z.) e FỶ : z?+? < My: z <g: —z <9}

———— ————=>————————————————=——) `" oO ee ee ee ee er ee ee eee ee eee

Công thức tính S (dạng tích phân lặp): _

trục Oz) của paraboloid z = z” + ˆ nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = MI

Tinh a = 4 (div F)(A), voi F=2’yi ty’27 +k, O(0,0,0), A(1,2,M), | =0A

8

CHU NHIEM BO MON

DE THI HOC KY 2 NAM HOC 2004-2005

Môn học: Toán3 Ngày th: 16/06/2005 Thời gian làm bài: 90 phút

* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ va LÀM TRỰC TIEP LEN DE THI

* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 7 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)

* Sinh viên TỰ ĐIÊN vào bảng sau Nếu KHÔNG ĐIÊN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ

DE THI SỐ 01

Câu 1 : (2đ) a Cho z = z(z.) là hàm ẩn xác định bởi phương trình 2z3 + 2y? + z3 — 3zz — 2u+ 2 = 0

Tinh dz(zx, y),dz(0, 0)

b Viết khai triển Taylor cia ham f(z, y, z) = In(2zy+z?) tới cấp 2 tại lân cận điểm 1/(1 1,0)

Câu 2 : (1đ) Tìm cực trị hàm ƒ(z,) = z? + — 2zˆ — 4zụ — 2uˆ với z > 0

Điểm nehingờ Cực trị (ghi rõ cực đại hay cực tiểu):

(1đ) Gọi Š là diện tích phần mặt phẳng z = 5(z + y) được giới hạn bởi mặt cong z = z” + tý

Viết cône thức tích phan LAP tính Š với miền và hàm đã cho ở trên Từ đó, tính Š

(1.54) Cho J = i Izy|dl với C 1a du6ng cong x*/4+y? =1 Viét cong thức tích phân tính /

C với hàm và cận phù hợp Từ đó, tinh 1

TRINH BAY LOI GIAI CHI TIET CAU 6 VA CAU7 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY

Cau 6: (1.5d) Tinh J = [ (e? + ry)dr + (y cosy + x°)dy vdi C' 1a bién cia tam gidc ABC c6 huéng

C

CÙNG chiều kim đồng hồ, với A(1, 1), B(2,2),C(4,1)

Cau 7: (1.5d) Tinh J = j xzdudz + zdzd+ + xdzdụ với S la mặt trong của vật thể xác định bởi

S

ety? +27 < 64, z2>0 z ¬

A A

S$ là biên của vật thể nên S kín

I = | xzdydz + yzdxđz + xảxdy = -TI[(P, +Q.+R, \dxdydz

DE THI HOC KY 2 NAM HOC 2005-2006

Môn học: Toán3 Thời gian làm bài: 90 phút

* Sinh viên shi họ tên, nhóm, mã số sinh viên đây đủ và LÀM TRỰC TIẾP LEN DE THI

* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 7 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)

* Sinh viên TỰ ĐIỀN vào bảng sau Nếu KHÔNG ĐIÊN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ

DE THI SO 01

(1.0 đ) Gọi Š là diện tích phan mat paraboloid z + z? + ? = 4 nằm trong hình trụ 2? +y? =1

Viết công thức ở dạng tích phân lặp với cận và hàm cụ thể để tính 5 Từ đó tính Š

không phụ thuộc đường đi từ 4 đến Ö Với h(y) tìm được, tính 7ï nếu 1 —1,2):B

Két qua: A(y) =_-_ ts PS LL

TRINH BAY LOI GIAI CHI TIETCAU 7 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY

Câu 7 : (1,5 đ) Tính tích phân mặt loại hai J = II adydz + (4y + 1)drdz + zdxdụ với S là phần hữu

S$

Chú ý: Š không kín; pháp vếctơ của Š tạo với chiều dương ÓØz một góc luôn nhọn

CHU NHIEM BO MON

Thém mat S, la phan mat

phang trong paraboloid

Chọn phía dưới cua mat S,

theo hướng trục 0z

DE THI CUOI HOC KỲ 2 NĂM HỌC 2006-2007 Môn học: TOÁN 3 Thời gian làm bài: 90 phút

Ngày thi: 18/06/2007

* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ va LAM TRUC TIEP LEN DE THI

* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 8 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)

Câu 2 : Cho hàm số ƒ(z.) = 2# — 3z + 2u + (a — 1)z + (b+ 4)y+c Tìm a,b,c để hàm có cực

tiểu tại điểm 1⁄(1, 1), với ƒ(1,1) = 0

Câu 4 : Tính diện tích S phan mat z = 2? + y? nam wong hinh tu 2? + y? = 1, trong sóc phần tám thứ

TRINH BAY LOI GIAI CHI TIET CAU7 VA CAU 8 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY

Câu 7 : Cho tích phân đường J = | (2ue? + e?” cosu)d+ + (2xe”* — e°” sìn u) dụ Cc

a) Tìm hằng số a để I không phụ thuộc đường đi

b) Với œ ở câu a), hãy tính 7, biết Œ là cung tuỳ ý nối 4(0,z) và B(1,0)

Cau 8: Tinh J = ih 2+dudz + 3udzdz + (5z + 2)dzdụ với S là mặt ngoài của vật thể giới hạn bởi các

S

mặt zˆ +ˆ+ z = 4, z = V22 + t

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

Nội dung ôn thị học ky nam 2007-2008

1 Đạo hàm riêng và ứng dụng: Cách tìm ĐHR cấp I1, cấp 2

của ham f = f(x,y), ham hợp, hàm ân, đạo hàm theo hướng,

vécto Gradient

2 Ung dụng của DHR: Taylor, cuc tri tu do, cuc tri có diéu

kién, gia tri l6n nhat, gia tri nho nhat, mat phang tiép dién, phap vécto

3 Tích phân kép: cách tính, tọa độ cực, tọa độ cực mở rộng

Ung dụng hình học: diện tích, thê tích, diện tích mặt cong

4 Tích phân bội ba: cách tính, tọa độ trụ, tọa độ câu Ứng

dụng hình học: thê tích

5 Tich phan duong loai mot: cach tinh, tich phan duong loai

một trong không gian: chu ý cách tham sô hóa đường cong

trong không gian

6 Tích phân đường loại hai: cách tính, công thức Green, tích

phân không phụ thuộc đường đi Chú ý: điều kiện của định lý Green, điêu kiện tích phân không phụ thuộc đường đi

7 Tích phân mặt loại một: cách tính, ứng dụng tính điện tích mặt cong S

$ Tích phân mặt loại hai: cách tìm pháp véctơ mặt định hướng Cách tính: 1/ chuyên vê mặt loại một (nêu pháp véctơ đơn giản: mat phang); 2/ dung cong thirc Gauss — Ostrogradski): mat kin

Công thức Stokes: điều kiện sử dụng, dùng tính tích phần

đường loại hai trong không gian khi mà pt tham số khó viết