giai tich loi phan 1

L Ờ I N Ó I Đ Ầ U Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết các bài toán cục trị và các ngành toán học ứng dụng có sù dụng công cụ giải tích và không gian t

Đ Ạ I H Ọ C V I N H THƯ V I Ệ N

515

PGS.TS ĐỖ VÃN LƯU - PGS.TS PHAN HUY KHẢI

G I Ả I TÍCH L Ồ I

ro

NHÀ XUẤT BẢN KHOA H Ọ C V À KỸ THUẬT

HÀ NÔI - 2000

5 1 - 5 1 7 2

451-£ / / 451-£ r - 00

L Ờ I N Ó I Đ Ầ U

Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu

lý thuyết các bài toán cục trị và các ngành toán học ứng

dụng có sù dụng công cụ giải tích và không gian tuyến tính

Sau các kết quả đầu Hên của H.Minkowski (1910) về tập lồi

và hàm lồi, lý thuyết giải tích lồi đã thu hút sụ quan tâm nghiên cứu của nhiêu nhà toán học Lý thuyết giải tích lồi

được hoàn ihiện khoảng ba chục nấm nay, sau các công trình

nổi tiếng của H.Minkowski, C.Carathéodory, W.Fenchel, J.J.Moreau, R.T.Rockafellar, L.Klee, A.Brondsted, W.V.­

Jensen, G.Choquet,

Giáo trình này trình bày các kiến thúc cơ bản của giải

tích lồi và một số ứng dụng trong lý thuyết các bài toán cực

trị Chương ì trình bày các kiến thúc về tập lồi và nón lồi

chiều, cùng với định lý nổi tiếng của Carathéodory ve tập

lồi Chuơng li nghiên cứu hàm lồi, các phép toán về hàm lồi

và tính liên tục của hàm lồi trong không gian lồi địa phuơng Chuơng IU trình bày các định lý tách cơ bàn, các tính chất

của hàm liên hợp, bao gồm định lý Fenchel-Moreau và các định lý đối ngẫu quan trọng Chương IV nghiên cứu khái niệm duới vi phân hàm lồi và các định lý cơ bản ve duới vi phân, trong đó có định lý Moreau-Rockafellar Lớp hàm lồi địa phuơng cũng đuợc khảo sái trong chương này Dựa trên các kết quả đã nghiên cứu trong các chuơng ỈTUỚC, chương

V trình bày các điều kiện cực trị cho lớp các bài toán lồi, trơn và bài toán trơn-lồi tổng quát Sau mỗi chương đền,:

có bài tập nhằm cùng cố và nâng cao nời dung kiến thúc đã trình bày

Dể hiểu được giáo trình này, đờc giả cằn có mời số kiến thức tối thiểu vê giải tích hàm và đại số tuyến tính Giáo trình này dành cho các học viên cao học, nghiên cứu sinh

và sinh viên toán của các trường đại học Giáo trinh đang được dùng làm tài liệu cho học viên cao học của Viện Toán học Các tác giả xin chân thành cẩm ơn Trung tâm Dào tạo sau đại học - Viện Toán học, đã đờng viên khuyến khích

các tác giả biên soạn và cử nhân Đỗ Kim Chung, TS Vũ

Văn Đạt đã xù lý văn bản cuốn sách trên hệ soạn thào AMSTEX

C Á C T Á C G I Ả

Nhận ze'i í í

T ậ p -4 l à l ồ i n ế u : V X I , Í C2 G A = > • [ £ 1 , 2 : 2 ] c A

Ví dụ LI

4

Các nửa không gian là các t ậ p lồi Các tam giác v à hình

t r ò n trong mặt phang là các t ậ p l ồ i H ì n h cầu đ ơ n vị trong

không gian Banach là t ậ p l ồ i

í í ỗ 5aơ tòi và bao lồi đóng

Đ i n h nghĩa 1.4 Giả sử A c X Tương giao của t ấ t cà các

tập lồi chứa A được gọi là bao lồi (convex hull) của tập A,

7

Theo nhận xét 1.2, co A lồi Bởi vì A c coA, cho nên co A

chứa t ấ t cả các tố hợp lồi của A (định lý 1.1)

Mặt khác, tập t ấ t cả các tố hạp lồi của A là lồi, chứa A

Do đó, nó chứa coA •

H ê q u ả 1.2.1 Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa t ấ t cả các

tố hợp lồi của A

Bâv giờ giả sử X là không gian lồi địa phương

Đ i n h nghĩa 1.5 Giả sử A c X Tương giao của t ấ t cả các

tập lồi đóng chứa A đưạc gọi là bao lồi đóng của tập A,

và kí hiầu là cõA

Nhận xét 1.3

cõA là một tập lồi đóng Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất

chứa A

M ầ n h đ ề 1.5 Giả sử A c X lồi Khi đó,

a) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi;

b) Nếu X i £ intA, X2 € Ả, thì

[xi, Xi) = { Xxị +(ì -\)x2 : 0 < A < Ì } c intA

Nói riêng, nếu intA ^ 0 thì

Ă = intA, intà = intA

Chứng minh

Lấy Xi G intA, X2 G Ả Khi đó, tồn tại lân cận u cùa X] sao cho lĩ c Ả

Đặt X = Xx-í+{\-X)x2 (0 < A < 1), ta có AỈ7 + (1 - A)x2

là một lân cận của :r và xu + (Ì — X)X2 c A X G

intA =>• intA lồi

Bây giờ lấy Xì,X2 (E A Đặt:

Định lý 1.3 Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng

của bao lồi của A, tức là:

cô A = co A Chứng minh

9

Theo mệnh đề 1.5, co Ả lồi Như vậy, co A là tập lồi đóng

chứa Ả Do đó,

cõÃ D cõA (1.1)

Mặt khác, cỏ A D coA, bởi vì co A là tương giao của tất

cả các tập lồi (không cần đóng) chứa A Vì vậy,

cô A D cõÃ (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) suy ra cõA = coA •

1.2 N Ó N L Ồ I

Giả sử A" là không gian tuyến tính

Đ i n h nghĩa 1.6 Tập K c X được gọi là nón có đỉnh tại

0, nếu:

Ve GA", VA > 0 \x € À'

À" được gọi là nón có đỉnh t ạ i Xo, nếu K — Xo là nón có

đình t ạ i 0

Đ i n h nghĩa 1.7 Nón A* có đình tại 0 được gọi là nón lồi,

v.c, y G Ả", VA, ịx > 0 =^ A.r + ịiy e K

Ví dụ 1.2

Các tập sau đây trong Rn :

{ 6 , 6 > 0 , i = l , , n }

1 0

(orthant không â m ) ,

{ f i , - , í n e i ỉ n : & > ( M = l , , n } (orthant d ư ơ n g )

cộng v à phép n h â n vô hướng Ta có K D Ả Hem nửa, m ọ i

n ó n l ồ i chứa Ả thì phải chir

12

Đ i n h nghĩa 1.8 T ư ơ n g giao cùa t ấ t cả các nón l ồ i (có dinh

t ạ i 0) chứa t ậ p 4 và đ i ể m 0 là một nón lồi và đ ư ợ c gọi là

nón lồi fiiii.il, bời táp A, ký hiệu là K4

Đ ì n h nghĩa 1.9 T ư ơ n g giao cùa t ấ t cà các k h ô n g gian con

tuyến tính chứa t á p 4 đirơc S;GÌ là bao tuy (in tính cùa t á p

A' 1 = u A.4 = { r <E X : X = \ z , Ả > 0, ve Ả}

Chúv.Ị/ minh Phần n à y dễ d à n g đ ư o r rhứug niinh

( b e l l i (loe t ư l à m ) •

Sau dây ta dưa ra vài loại nón d ư ợ c sử dụng nhiều troll";

Già sử X là không gian l ồ i địa p h ư ơ n g , X* là khôn"; gian

các- phiếm h à m tuyến t í n h liên tục trên A"

13

Đ i n h nghĩa 1.10 Vectơ X* e X* được gọi là pháp tuyến

của t ậ p l ồ i A t ạ i X G A, nếu:

< x*,x-x><0 (Vĩ 6 A )

T ậ p t ấ t cà các vectơ p h á p t u y ế n của tập lồi A tại X.€ A

đ ư ợ c gọi là nón pháp tuyến cùa A t ạ i X, ký hiệu là iV(;r|A)

N h ư vậy,

N(x\A) = {x* e À'* : < x*, x -x><Q,Vx£ A}

Nhận xét 1.5

Nón p h á p t u y ế n cùa t ậ p lồi A t ạ i X G Ả là l ồ i đóng

Bây giờ già sử X là không gian t u y ế n tính

Đ i n h nghĩa 1.11 Già sử A c X l ồ i , khác 0 Ta nói t ậ p A

lùi xa theo p h ư ơ n g í/ ^ 0, nếu -(4 + Xả c A (VÀ > 0), hay

X + Xd € 4 (VÀ > 0, Va- e A). (1.3)

Nhận xét 1.6

T ậ p A lùi xa theo p h ư ơ n g d n ế u A chiíra t ấ t cả các nửa

d ư ờ n g t h ẳ n g xuất p h á t t ừ các đ i ể m của A và theo p h ư ơ n g

ả

Đ i n h nghĩa 1.12 T ậ p các vectơ d € X thỏa m ã n (1.3) và

vectơ d = 0 được gọi là nón lùi xa (recession cone) của A;

ký h i ệ u là o A

14

Định lý 1.5 Già sử tập A c X lồi, khác 0 Khi đó, O+A

là nón lồi chứa điểm 0 Đồng thời,

G i ả sử X là không gian hữu h ạ n chiều: X = lư 1

D i n h l ý 1.6 Già sử A c R N khác 0, KA là nón lồi sinh

b ở i tập Ả K h i đ ó , m ỗ i đ i ể m X ^ 0 thuộc có t h ể b i ể u

diễn d ư ớ i dạng:

X = Ai X i "4~ À f X y 5

16

trong đó Ai > 0, Xi 6 A (i = Ì , , r ) , các điểm Xi, , xr

độc lập tuyến tính Nói riêng, r < n

Giả sử các v e c t ơ X i , ,£jfc p h ụ thuộc tuyến t í n h Khi

đó, tồn tại các số 7 i , ,jk không đồng thời bằng 0 sao

cho:

71X1 + + 7jfc£jfc = 0 (1.8)

Như vậy, trong các số 7 i , - ,7fc có các 7i > 0 (Nếu

không ta đ ổ i dấu toàn bộ 7 i , ,7fc)

Đ i n h nghĩa 1.13 T ậ p A c Rn được gọi là tập affine, nếu

( Ì - X)x + Ấy e A (Va:,y € A,\/X <E R)

Đ i n h lý 1.9 M ồ i t ậ p aíĩìne A Ỷ 0 song song với một khôni

gian con duy nhất L được xác định n h ư sau:

L — Ả — A = {x - y : X e A, y e A}

Chứng minh

Trước h ế t ta chứng minh rằng: nếu A song song với c á

không gian con L\,L2 thì LỊ = L2

T h ậ t vậy, ta có Li Ị Ị Lì =>• 3a € Rn

: L2 = Li + a

Ta l ạ i có 0 G L2 = > — a G Li a ẽ l i

= > Lx D L i + a = £ 2

Đ i n h nghĩa 1.15 Chiều của một t ậ p affine không rỗng

được định nghĩa là chiều của k h ô n g gian con song song v ớ i

nó

Chú ý: ta quy ước dim® = — 1

G i ả sử li là một không gian con trong Rn Phần bù trực

giao của L được xác định n h ư sau:

22

Định lý 1.10 Giả sử ạ <E R, 0 ^ b e Rn, Khi đó,-tập:

H = {xeRn : <x,b>=p)

là một siêu phằng trong Rn Hơn nữa, mọi siêu phang đềm

có thê biểu diễn duy nhất bằng cách này ( theo nghĩa: đồng

nhất các siêu phàng có b và ậ được nhân với cùng một số ).,

G i ả sử A là t ậ p affine k h á c 0 của R n ; L là không gian con

song song v ớ i A\ bị, , b m là m ộ t cơ sở của L^ K h i đ ó ,

Tbi^b'i (í = 0 , 1 , , m )

N ế u m = n t h ì T cliiv n h ấ t

Chúng minh

ta sè m ở r ộ n g c á c t ậ p đ ộ c l ậ p a f f i n e đ ù cho K h i đ ó , theo

dimMi = cỉimM-2 K h i đ ó , t ồ n t ạ i á n h x ạ affine 1-1 T t ừ R n

lên R n sao cho T M , = M 2

28

Đ i n h n g h ĩ a 1.21 Bao l ồ i của k + Ì ( l i ê m độc l ậ p affinei

bo,bi, , bk đ ư ợ c g ọ i l à đơn hình k-chiêu (Ả*-simplex).'

30

Mặt khác A c M , bởi vì nếu 3b € A\M, thì tập m + 2

phần tvr { 60, b ì , , bin , ỉ)} c -4 độc lập aíĩine, và do đó nlau

thuẫn vái tính cực đại cùa m

=^ A c M c a / / A

a / M = M

=>• dim A = in •

1.5 P H Ầ N T R O N G T Ư Ơ N G Đ ố i

Đ i n h nghĩa 1.23 Phần trong ịxtơng dổi (relative interior)

của tập A c Rn là phần trong của A trong affA; ký hiệu

trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn

Đ i n h nghĩa 1.24 Tập A\riA được gọi là biên iuơng đối

(relative boundary) cùa A

Tập A được gọi là mà tu ừng đối (relatively open), nếu

ri A — A

31

Nhận xét 1.14

Ai c A 2 J> ri Ai c riA 2 Thật vậy, chằng hạn lấy Ao là một khối lập phương

i?3, ẢI là một mặt của Ải- Khi đó, Ai c -4.2, ri Ai Ỷ

Giả sử A là tập lồi m-chiều trong Rn Theo hệ quả 1.12.1,

tồn tại ánh xạ affine 1-1 T : Rn —> Rn sao cho T ánh xạ aff'A lên không gian con L :

L — {.T = (à: Ì , , xm, x m +\, , xn ) :

Xm+l = = x n = 0}, Không gian con L có thể đồng nhất với i ?m Vì vậy, để chờng minh định lý ta chỉ cần chờng minh cho trường hợp

A l à 71-chiều Khi đ ó , riA = intA

Lấy A G [0,1) Ta sẽ chi ra tồn t ạ i e > 0 sao cho:

(Ì - X)x + Xy + eBcA, trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn

Theo định lý 1.15, Ẩ chứa t ậ p ?? + Ì đ i ể m độc lập affine

òo, ó i , , ồn- Đơn hình 5 các đ ỉ n h ỉ>0> bi, ,'6n có ints ^ 0

34

H ệ quả 1.18.2 Giả sử A là tập lồi trong Rn Khi đó,

dimA = dim(riA) = dimA

Nói riêng, 4 Ỷ 0 ri A

Định lý 1.19 Giả sir -4 là tập lồi trong J ĩn Khi đó,

Chúng minh

Già sử dim A - in < n Không mất tính chất tống quát

ta có thể xem như 0 € -4 Khi đó, tí f fA là không gian con

và ta có thế đồng nhất a f f A với j Rm Áp dụng mệnh đề 1.5

Hê quả 1.19.1 Già sử A i , A2 là các tập lồi trong Rn Khi

dó,

ÃÌ = 4-2 <í=> r i Ai = ri.4-2

B À I T Ậ P

1.1 Cho c C i?" là tập hợp lồi, dóng nhung không giới

nội Chứng minh rằng ton t ạ i ít nhất một tia s = {z : z =

Ac0, A > 0}, ở đây ~u

ta có từ X G c suy ra. ;V + s C c

1.3 Xét không gian R2 Biết rằng có bốn nửa mặt phang

lấp đầy không gian Chứng minh rằng tồn tại ba trong bốn mra mặt phang ấy sao cho ba nửa mặt phang này cũng lấp đầy không gian

1.4 Trên mặt phang cho n hình tròn (ri > 3) Giả sử cứ với mồi ba hình tròn, đều có mẳt hình tròn bán kính r cắt

cả ba hình tròn ấv Chứng minh rằng tồn tại mẳt hình tròn

bán kính r cắt cả ri hình tròn trên

1.5 Cho lĩ đoạn thằng song song trên mặt phang (n > 3)

Biết rằng cứ với bất kỳ ba đoạn thẳng nào cũng có mẳt đường thẳng cắt cả ba đoạn thằng ấy Chứng minh tồn tại mẳt đường thằng cắt cả ba đoạn thằng đã cho

1.6 Cho C j , / G z là mẳt họ tùy ý các tập compăc lồi trong

R" Giả sử với mỗi n + Ì tập Cị đều có giao khác trống

Chứng minh rằng

1.7 Cho c c R" là tập lồi Chứng minh rằng X £ riC khi

và chỉ khi Ví/ € C , 3/i > Ì sao cho /Y.T + (Ì — ụ )y e c

L ^ Cho Cj.i G / l à h ọ c á c t ậ p l ồ i t r o n g lì" sao cho

hiệu là epif, được định nghĩa như sau:

epif = {(x, r ) e D X R : f ( x ) < r)

hàm / , ký hiệu là domf, được định nghĩa như sau:

dom ỉ = {x G D : f ( x ) < + 0 0 }

Đ i n h nghĩa 2.3 Hàm / được gọi là chính thuởng (proper), nếu dom/ / 0 và f ( x ) > —00 (Vx € D)

39

Đ i n h nghĩa 2.4 Hàm /' được gọi là lồi trên D (convex on

D ) , nếu epif là t ậ p lồi trong À' X R H à m / được gọi là lõm

trên D (concave o n D ) , nếu — f là h à m lồi trên D

Già sử X* là không gian liên h ợ p của X Hàm tua (sup­

port function) của- tập l ồ i A c -Ý* là m ộ t h à m lồi:

Hi

T h ậ t vậy,

lì>a

G i à sir (.ro, a o ) ị epiị Đề c h ứ n g m i n h epif đ ó n g , t a c h ứ n g

m i n h t ồ n t ạ i l â n c ậ u V c ủ a (j-o,o.'o) sao cho:

( c p i f ) n v = íồ

Bời vì (.ro.cvo) Ệ e p í f , cho n ê n Xo ị £>n 0 ỉ- T ừ (2.4) suy r a

3 d > G'0 sao cho ;ỉ'o ị £ỊÌỈ- D O đ ó , t ồ n t ạ i l â n c ậ n u c ù a To

sao cho: {Cịif) n ự = 0

47 2.2 C Á C P H É P T O Á N v ề H À M L ồ i

N ế u / ' ( ( • Ì ) < r t h ì t ừ ( 2 5 ) suy ra: 3//~i < / ' ( 1 " Ì , / Í 1 ) G F

= » (Aa-1 + ( Ì - A).r-2 A/í I + ( Ì - A)//\> <= F (0 < A < Ì )

lồi trong X X i ỉ Theo đ ị n h nghĩa (x,f.i) e F 3xị e

i ?n, 3ụ,i € i? sao cho: /(a,'i) < (ỉ = Ì , , m ) , / í = /i.] +

• + / i m , X = l i + + a; Do đ ó , h à m / được xác đ ị n h

49

bời (2.6) là một hàm lồi được xây dựng theo định lý 2.7 bời

tập F •

Nhận xét 2.5

Nếu các h à m / ì , , fm là các hàm lồi chính thường, thì

hàm / được xác định bởi (2.6) là một hàm lồi, nhưng có

thể không chính thường

Thật vậy, chẳng hạn ta xét hai hàm tuyến tính khác nhau

/ j , fi trên R K h i đó,

ƠI @h)(x) = - o o ựixeR)

Định nghĩa 2.8 Giả sử { f a } a £ l là một họ tùy ý các hàm

a) Cận trên của các hàm fa, ký hiệu là vag / /a, được

xác định như sau:

( V a G / fa)(x) = s u p /a ( : r ) ;

oe/

b) Cận du ới của các hàm /a , ký hiệu là A a £ / /a , được

xác đinh như sau:

( A o G / / „ ) (.r) : = inf a eifa(x);

c) Bao /oi cận dưới của các hàm fa, ký hiệu co Aag / /a ,

được xác định như sau:

(co A a g / / a ) ( x ) : = i n f i f i e R : (ar, ,u) € co Ị | J e p z /ơ Ị }

V a 6 / /

51

b ) Dao lồi v à bao lồi đóng c ủ a h à m / , k ý h i ệ u l à c o / v à

c ỡ / , đ ư ợ c x á c đ ị n h t ư ơ n g ứ n g n h ư sau:

epi(cof) = co(epif), ejri(cõf) = cõ(epif)

a) 6[.\Ai) + 6(.\A 2 ) = 6(.\Ai) VỖ(.\A 2 ) = S(.\Ai n A2) ;

b ) ồị.ịẢ,) tf» 6(.\A 2 ) = Sị.ịAi + Ai);

/ ( ỉ - ) < c < + o o (Vxeư)

T a có t h ề x e m n h ư ỉ' = 0 v à / ( 0 ) = 0, b ồ i vì n ế u X Ỷ 0«

t a t h a y u b ằ n g ự — (• v à n ế u / ( 0 ) Ỷ 0 t a t h a y / ( r ) b ằ n g / ( , • + * ) - / ( * )

Đ ị n h nghĩa 2.10 G i ả sử X là không gian Banach H à m

/ : X —> R được gọi là Lipschitz địa phương tại ĩ, (E A",

n ế u t ồ n t ạ i lân cận u của X, số K > 0 sao cho:

Đ i n h lý 2.10 G i ả sử J í là không gian Banach; f là h à m lồi

trên t ậ p m ở D c X; / bị chỉn t r ê n trong một lân cận của

một đ i ể m nào đ ó thuộc D K h i đ ó , / Lipschitz địa p h ư ơ n g