bai tap dao ham

b Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4−2x2=m c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ x=2.. d Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có

KHẢO SÁT HÀM SỐ Chuyên đề 2

Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 – 4

Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

3

3

x

y = −x + +x

Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = − +x3 3x2 −4x +2

Giải Ví dụ 1:

Tập xác định D = Bước 1: Tìm tập xác định của hàm

số y’ = 3x2 + 6x

y’ = 0 ⇔ 3x2 + 6x = 0 ⇔ x(3x + 6) = 0

⇔ x = 0; x = - 2

Bước 2:Tìm y’ và lập phương trình

y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có thì ghi ra nếu vô nghiệm thì nêu vô nghiệm –

vì chủ yếu là để Tìm dấu của y’ sử

dụng trong bảng biến thiên

Giới hạn: xlim→+∞y= +∞; lim

x y

hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm

3

lim ??

x x

→±∞ = hoặc 3

lim ( ) ??

→±∞ − =

Bảng biến thiên: x -∞ -2 0 +∞

y' + 0 - 0 +

y 0 +∞

-∞ - 4

Bước 4:BBT luôn gồm có “ 3

dòng”: dành cho x, y’ và y

Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0

Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4

y’’ = 6x + 6

y’’ = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = 1 ( điểm uốn I(1;-2))

Bước 5:Phải nêu điểm cực đại; điểm

cực tiểu (nếu không có thì không

nêu ra) (Điểm uốn cần thiết khi

giúp vẽ đồ thị của hàm số không cực trị)

Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ

Đồ thị hàm số:

Giao điểm với Ox:

y = 0 ⇒ x = -2; x = 1

Giao điểm với Oy:

x = 0 ⇒ y = - 4

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo

thứ tự gợi ý sau:

 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy

 Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy

 Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình

(tham khảo các dạng đồ thị ở sau

mỗi dạng hàm số) Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3

Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x4 - 2x2 – 3

x

y= − − +x

Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= − +x4 2x2 − 2

Giải Ví dụ 4:

Tập xác định D = Bước 1:Tìm tập xác định của

hàm số y’ = 4x3 - 4x

y’ = 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔ x(4x2 – 4) = 0

⇔ x = 0; x = 1; x = - 1

Bước 2: tính y’ và xét dấu ý

Giới hạn: xlim→+∞y= +∞; lim

x y

của số hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm xlim→±∞x4 =??

x

y

O

• I

x

y

O

• I

a < 0

a > 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?

x

y

O

•

I

x

y

O

•

I

a < 0

a > 0

Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?

Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ

Bảng biến thiên:

x -∞ -1 0 1 +∞

y' - 0 +

y0

-

0

+

+∞ -3 +∞

-4 -4

Bước 4: BBT luôn gồm có “

3 dòng”: dành cho x, y’ và y

Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3

Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4

x = 1; y = -4

Bước 5: Phải nêu các điểm

cực đại; các điểm cực tiểu

Đồ thị hàm số:

Giao điểm với Ox:

x = ; y = 0

x = - ; y = 0

Giao điểm với Oy:

x = 0 ; y = - 3

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực

hiện theo thứ tự gợi ý sau:

 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy

 Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy

 Dựa vào BBT và dạng đồ thị để vẽ đúng dạng

(tham khảo các dạng đồ thị

ở sau đây)

Học sinh giải ví dụ 5 và ví dụ 6- Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương

cx d

+

= + ( tử và mẫu không có nghiệm chung)

CĐ

x

y

y

O

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số có 1 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 1 nghiệm

duy nhất x = 0

x

y

y

O

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân

biệt

Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ

1

x y x

− +

= + .

2 1

x y x

−

= +

2 4

x y

x

−

=

−

Giải Ví dụ 7:

Tập xác định D = \{-1} Bước 1: Tìm tập xác định của

hàm số y’ = 2

3

(x 1)

−

+ < 0 ∀x∈D

Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định

Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số

để khẳng định luôn luôn âm (hay luôn luôn dương) từ đó suy ra: Hàm số luôn luôn giảm ( hay luôn luôn tăng )

Giới hạn và tiệm cận:

Tiệm cận đứng x = - 1 vì xlim→−1−y= −∞;

1

lim

x +y

Tiệm cận ngang: y = - 1 vì xlim→−∞y= −1 lim 1

x y

→+∞ = −

Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm

cận là tiệm cân đứng và tiệm cận ngang

Bảng biến thiên:

x -∞ -1 +∞

y'

y

-

1 +∞

-∞ -1

Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3

dòng”:

Hàm số không có cực trị Bước 5:luôn không có cực trị

Đồ thị hàm số:

Giao điểm với Ox: y = 0 ⇒ x = 2

Giao điểm với Oy: x = 0 ⇒ y = 2

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện

theo thứ tự gợi ý sau:

 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định giao điểm với Ox,Oy

 Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và ngang

 Nhận xét hàm số có bao nhiêu

Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ

dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình

(tham khảo các dạng đồ thị ở

sau mỗi dạng hàm số)

Học sinh giải ví dụ 8 và ví dụ 9

Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến

BÀI TẬP

1 Hàm số bậc ba:y ax= 3+bx2+ +cx d (a≠0)

Bài 1 Cho hàm số y x= − +3 3x 2 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương x3− + − =3x 2 m 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( )2;4

2

x=

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ y=0

Bài 2 Cho hàm số y= − +x3 3x2−4 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương

x − x + =m

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là 1

2

x=

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến 9

4

k=

e) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

( )d y: = +3x 2012

y

I

x

y

O

Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến

x O

I

Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ

Bài 3 Cho hàm số y=4x3− −3 1x (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương rình:

4

x − x m+ =

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

9

d y= − x+

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

72

x

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Bài 4 Cho hàm số y=2x3−3x2−1 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

( )1 : 2 2012

3

d y= x+

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua M( )2;3 và tiếp xúc với đồ thị (C).

d) Tìm m để đường thẳng ( )d2 :y mx= −1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

e) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C)

Bài 5 Cho hàm số y= − +x3 3(m +1)x2− −3x 2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m =1

b) Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình: x3−6x2+ − =3x 2k 0

c) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

d) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x =2

e) Tìm m để hàm số luôn giảm trên tập xác định.

Bài 6 Cho hàm số y=4x3−3(m+1)x+1 ( )C m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C0) của hàm số khi m =0

3

4x − + =3x k 0

c) Tìm m để họ đồ thị (Cm) có hai cực trị

d) Tìm m để họ đồ thị (Cm) đạt cực tiểu tại x=1

Bài 7 Cho hàm số y x= 3–mx m+ +2 có đồ thị là ( )C m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.

Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ

b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3– 3 –x k+ =1 0

sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

Chứng minh rằng : 1 2

y y

x x x x

−

− − = 2 Kết quả : m < 1

có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 và khi đó x2 – x1 không phụ thuộc tham số m

Kết quả : ∀m và x2 – x1 = 1

3 2

và đường thẳng (d): 13 1

( )

KQ: 1 giao điểm ( m ≤ 27

12

− ), 3 giao điểm ( m > 27

12

− )

2 Hàm số trùng phương : y ax= 4+bx2+c, (a≠0)

Bài 1 Cho hàm số y x= −4 2x2 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4−2x2=m

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x=2

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y=8

e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

24

Bài 2 Cho hàm số y= − +x4 2x2−1 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4−2x2=m

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x=2

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y= −9

e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24

Bài 3 Cho hàm số y x= + +4 x2 1 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4−2x2=m

Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ 21

16

y=

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )d1 :y= +6x 2012

e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )2 : 1 2012

6

4

y= − x + x − (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để phương trình x4−8x2+ =4 m có 2 nghiệm thực phân biệt

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x=1

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng( )d :8x−231 1 0y+ =

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục Ox và các đường

thẳng x= −1;x=1

Bài 5 Cho hàm số y x= −4 2x2+3 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình − +x4 2x2> −8

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3

e) Tìm m để đường thẳng ( )d y mx: = +3 cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt

x

y= − mx + m (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =1

b) Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình x4−6x2+ =k 0

2

x x

e) Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị

Bài 7 Cho hàm số y mx= 4+(m2−9)x2+10 (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =1

b) Tìm k để phương trình x4−8x2+10k=0có hai nghiệm thực phân biệt

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng ( )d :2x+45 1 0y− =

Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ

d) Tìm m để hàm số có một điểm cực trị

e) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị

3 Hàm số hữu tỉ : y ax b

cx d

+

= +

1

x y x

+

= + (C)

a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2

x=

2

y= −

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k= −3

3

d y mx= + − m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

1

x y x

+

=

− (C)

a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2

y=

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng( )1 : 9 2012

2

d y= − x+

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng( )2 : 1 1

8

d y= x−

3

d y mx= + m + cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm

1

x y x

−

= + (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng( )1 : 8 1

9 3

d y= − x+

Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ

3

d y mx= − m+ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương

2

x y

x

+

=

− (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân

giác của góc phần tư thứ hai (y= −x ).

c) Tìm m để đường thẳng( )d1 :y mx= + −3 m đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt

d) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.

1

x y x

+

=

− có đồ thị (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

d) Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;3]

e)Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên.

2 1

x y x

− +

=

− có đồ thị (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung.

d) Tìm giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình y= − −2 1x

y

x m

=

− (m ≠0) và có đồ thị là (Cm )

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2)

thẳng x=3,x=4

c) Tìmm để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.