BÀI TẬP ĐẠO HÀM HÀM SỐ RIÊNG
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) y x= 3 b)y =3x2 +1 c) y= x+1 d) 1
1
y x
=
−
Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) = 3 − 2 + − 5
x x
2
2 5 − +
= x x
y 3) = −2 42 + 53 − 64
7
y
x x x x
4) y =5x2(3x −1) 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) 6)y =(x2 +5)3 7)y = (x2 + 1 )( 5 − 3x2 ) 8) y= x(2x −1)(3x +2) 9)y=(x+1)(x+2)2(x+3)3
10) = + ( − )
2 3 1
y x x
x 11) y= 2x3 12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 13)y = 3x4 +x2 14) y=(2x2 + 1) (x− 2 3) ( x+ 7) 15) 2 2 5
2
x y x
−
= +
y
x x
=
+ − 17)
3 2
2 1
x x y
x x
−
= + + 18)
=
−
2 2
3
x x y
x x
19) y= x2 +6x +7 20)y = x−1+ x+2 21)
1 )
1
1 2
3 2
2
+
+
−
=
x
x x
1 x
+
=
−
2
y = x + x −
y= x + x + x − x 26) y = x (x2- x +1) 7)
3 2
2
x
y x x
x
= + − ÷÷
−
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Trang 21) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3) 3) y = x.cotx
4) y=(1+cotx)2 5) y =cosx.sin2 x 6)
3
1
3
y = x− x 7)
2 sin4 x
y = 8)
x x
x x
y
cos sin
cos
sin
−
+
3
y cot (2x )
4
π
= +
10) y=sin (cos3 )2 x 11) y cot 1 x= 3 + 2 12) y =3sin2 x.sin3x
13) y= 2 tan x+ 2 14) y cosx3 4cot x
3sin x 3
= − + 15) y =sin(2sin )x 16)
4
) 2 sin 1 (
1
x
y
+
= 18) y xsin x
1 tan x
= + 19)
sin x x
y
x sin x
= + 20) y = 1 2 tan x+
Bài 4: Cho hai hàm số : f x( ) sin = 4x+ cos 4 x và ( ) 1cos 4
4
g x = x
Chứng minh rằng: '( )f x = g x'( ), (∀ ∈x R)
Bài 5: Cho y=x3−3x2 +2 Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3
ĐS: a) 0
2
x
x
<
>
b) 1− 2 < < +x 1 2
Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = 3sinx−cosx+x
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1
Bài 7: Cho hàm số f(x)= 1 x Tính :+ f(3) (x 3)f '(3)+ −
Bài 8: a) Cho hàm số:
2
2 2
2 + +
= x x
y Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
Trang 3b) Cho hàm số 3
4
x y x
−
= + Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’
c) Cho hàm số y= 2x x Chứng minh rằng: − 2 y y" 1 03 + =
Bài 9: Chứng minh rằng '( ) 0 f x > ∀ ∈x R , biết:
a/ ( ) 2 9 6 2 3 3 2 6 1
3
f x = x − +x x − x + x− b/ f x ( ) 2 = x + sin x
Bài 10: Tính vi phân các hàm số sau:
a) y = x3 −2x +1 b)
2 sin4 x
y = c) y = x2 +6x+ 7 d) y =cosx.sin2 x e) y =(1+cotx)2
Bài 11: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
2
x
y
x
+
=
− 2) 2
2
x y
+
= + − 3) 2 1
x y
x
=
− 4) y x x= 2+1 5) y x= 2sinx 6) y= −(1 x2) cosx
7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x
ĐS: 1) ( )3
6 ''
2
y
x
=
3 2
''
2
y
x x
=
+ − 3)
2
3 2
''
1
x x y
x
+
=
−
3
''
y
+
=
+ + 5) y''= −(2 x2)sinx+4 cosx x 6) y'' 4 sin= x x+(x2 −3) cosx
7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 12: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
1
y
x
=
Trang 4ĐS: a) ( ) ( )
! 1
1
n n
n
n y
x +
= −
n
y = x n+ π
Bài 13: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) y = (x2 − 3x+ 3 )(x2 + 2x− 1 ) ; b) y= (x2 − 3x+ 2 )(x4 +x2 − 1 ) c) = ( + 1 )( 1 − 1 )
x x
d)
2
1
2
2
+
+
=
x
x
y e)y = ( 1 − 2x2 ) 5 f)
3 1
1 2
−
+
=
x
x
y g) ( 2 2 5 ) 3
1 +
−
=
x x
y k) y= x3 −x2 + 5
l) y= sin 3 ( 2x3 − 1 ) m) y= sin 2 +x2 n) y= 2 sin 2 4x− 3 cos 3 5x o) y= ( 2 + sin 2 2x) 3 p) y= sin 2 (cos 2x) g) 2 2
tan 3
x
y = r) tan cot
Bài 14 : Cho hàm số f(x) = x5 + x3 – 2x - 3 Chứng minh rằng: f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)