Về nghiệm xấp xỉ cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian

Chính vì vậy nên chúng takhông thể tìm được nghiệm chính xác của bài toán mà chỉ có thể tìm đượccác nghiệm xấp xỉ của bài toán thông qua các phương pháp chỉnh hóa.Cho tới nay, đã có rất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC

Nghệ An - 2014

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 5

1.1 Không gian Banach 5

1.2 Không gian Hilbert 6

Chương 2 Chỉnh hoá phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian 12

2.1 Giới thiệu bài toán 12

2.2 Bất đẳng thức Gronwall 15

2.3 Phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số 18

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

LỜI NÓI ĐẦU

Nhiều bài toán thực tế của khoa học, công nghệ dẫn ta đến bài toánngược và bài toán đặt không chỉnh Chính vì vậy lĩnh vực này được rấtnhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

Điểm mấu chốt làm cho bài toán này khó giải quyết hơn so với nhữngbài toán khác là ở chỗ những bài toán này thường đặt không chỉnh theonghĩa Hadamard Một sai số nhỏ trong dữ kiện đo đạc cũng có thể dẫnđến một sai lệch lớn về nghiệm của bài toán Chính vì vậy nên chúng takhông thể tìm được nghiệm chính xác của bài toán mà chỉ có thể tìm đượccác nghiệm xấp xỉ của bài toán thông qua các phương pháp chỉnh hóa.Cho tới nay, đã có rất nhiều phương pháp chỉnh hóa được đề xuất cho cácbài toán ngược song hầu hết dành cho các bài toán tuyến tính, rất ít kếtquả về bài toán phi tuyến

Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài liệu vềbài toán ngược, trên cơ sở bài báo "An approximate solution for nonlinearbackward parabolic equations" của các tác giả Phan Thanh Nam đăngtrên tạp chí Journal of Mathematical Analysis and Applications năm

2010, chúng tôi lựa chọn đề tài cho Luận văn của mình là : "Về nghiệmxấp xỉ cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thờigian" dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Văn Đức.Mục đích chính của luận văn nhằm tìm hiểu việc chỉnh hóa phươngtrình



ut+ Au = f (t, u(t)), 0 < t < T

với A là toán tử không bị chặn, tự liện hợp, xác định dương trong mộtkhoảng không gian Hilbbert H , f là hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiệnLipschitz và g là dữ kiện xấp xỉ.

Với mục đích đó luận văn này được chia thành 2 chương:

Chương 1: Trình bày về các không gian Banach, không gian Hilbert,

lý thuyết chuỗi trong không gian Banach

Chương 2: Trình bày chứng minh phương trình parapolic nửa tuyếntính ngược thời gian là bài toán đặt không chỉnh, trình bày chứng minhbất đẳng thức Gronwall, trình bày phương pháp chỉnh hóa và các đánhgiá sai số

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc của mình đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơnBan chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán học và cảm

ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa Toán học đã nhiệt tìnhgiảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành

đề cương, luận văn này Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình, đồng nghiệp,bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 20 Giải tích đã cộng tác,giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An,tháng 6 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc

CHƯƠNG 1MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bàyChương 2 Các kiến thức trong chương này được chúng tôi tham khảotrong tài liệu [2]

Cho X là không gian tuyến tính thực

1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ k.k : X → R được gọi là chuẩn nếu

(i) kuk> 0, ∀u ∈ X;

(ii) kuk = 0 ⇔ u = 0;

(iii) kλuk = |λ|kuk, ∀u ∈ X, λ ∈ R;

(iv) ku + vk 6 kuk + kvk, ∀u, v ∈ X Không gian tuyến tính trang bịchuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn Không gian Banach

X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ

1.1.2 Định lý Ánh xạ chuẩn x 7→ |xk là một hàm liên tục đều từ Xvào R

1.1.3 Định lý Giả sử X là một không gian định chuẩn Khi đó ánh

xạ (x, y) 7→ x + y từ X × X vào X và (λ, x) 7→ λx từ K × X vào X làliên tục

1.1.4 Định lý Giả sử X là không gian định chuẩn Khi đó với mọi

a ∈ X, ánh xạ x 7→ a + x là phép đồng phôi đẳng cự (tức là bảo toàn

khoảng cách) từ X lên X, và với mọi λ ∈ K, λ 6= 0 ánh xạ x 7→ λx làphép đồng phôi đều từ X lên X.

1.1.5 Định nghĩa Một tập con A của một không gian định chuẩn Xđược gọi là toàn vẹn nếu tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của Atrù mật trong X Ta nói rằng dãy {an} ⊂ X là toàn vẹn nếu tập tất cảcác phần tử của dãy là toàn vẹn

Cho H là không gian tuyến tính thực

1.2.1 Định nghĩa 1 Ánh xạ h·, ·i : H × H → R được gọi là tích vôhướng nếu

(i) hu, vi = hv, ui , ∀u, v ∈ H;

(ii) ánh xạ u 7→ hu, vi là tuyến tính với mọi v ∈ H;

kì của A đều trực giao với nhau

1.2.3 Định nghĩa Giả sử M là một tập con của không gian Hilbert

H Vectơ x ∈ H được gọi là trực giao với M nếu x ⊥ y với mọi y ∈ M,trong trường hợp này ta kí hiệu x ⊥ M Nếu N là tập con của E sao cho

x ⊥ M với mọi x ∈ N thì N gọi là trực giao với M và kí hiệu là N ⊥ M

Rõ ràng N ⊥ M thì M ⊥ N

Ta kí hiệu M⊥ = {x ∈ H : x ⊥ M } và gọi nó là phần bù trực giaocủa M.

1.2.4 Bổ đề Một hệ trực giao trong không gian Hilbert là độc lập tuyếntính

Chứng minh Giả sử A là một hệ trực giao và Pn

i=1αiai = 0 là một tổhợp tuyến tính bất kì các phần tử của A Với mỗi j = 1, , n ta có

0 = hP

αiai, aji = P

αihai, aji = αjkajk2 Vì kajk > 0 nên αj = 0 với

j = 1, , n Từ đó A độc lập tuyến tính

1.2.5 Bổ đề Nếu M là một tập con tùy ý của không gian Hilbert H thì

M⊥ là một không gian con đóng của E

Chứng minh Giả sửx, y ∈ M⊥, α, β ∈K Với mọia ∈ M ta cóhαx + βy|ai =

α hx, ai+β hy, ai = 0, vì vậyαx+βy ∈ M⊥vàM⊥là không gian vectơ concủaE Để chứng minh M⊥ đóng, ta lấy tùy ý dãyxn ⊂ M⊥, xn → x ∈ E.Với mọi a ∈ M do tính liên tục của tích vô hướng ta có hxn, ai → hx, ai.Bởi vìhxn, ai = 0 với mọi nnên hx, ai = 0và x ∈ M⊥ Vậy M⊥ đóng

1.2.6 Định lý Giả sử F là một không gian Hilbert con của không gianHilbert H Khi đó với mọi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ F (gọi là hìnhchiếu trực giao của x trên F) sao cho kx − yk = d(x, F ) = inf

y∈F kx − yk.Chứng minh Đặt α = d(x, F ) Lấy dãy xn ∈ F sao cho kx − yk → α

Ta sẽ chứng minh yn là dãy Cauchy

Theo đẳng thức bình hành, áp dụng cho cặp vectơ x − ym và x − yn

Vậy {yn} là dãy Cauchy trong F Do F đầy đủ nên yn → y ∈ F và

kí hiệu là PF(x) Do tính duy nhất của y nên ta có ánh xạ PF : H → F,ánh xạ này gọi là phép chiếu trực giao H lên không gian con Hilbert F.1.2.7 Định lý Giả sử F là không gian con Hilbert của không gianHilbert H Khi đó H = F ⊕ F⊥ và phép chiếu trực giao PF : H → F

Vì kzk = α nên với mọi λ ∈K : λ hz, vi + λhz, vi + |λ|2kvk2 ≥ 0

Lấy λ = t hz, vi thì với mọi t ∈ K ta có : t| hz, vi |2(2 + t kvk2) ≥ 0.Đến đây ta kết luận được hz, vi = 0 vì nếu hz, vi 6= 0 thì bất đẳng thứccuối cùng không thể xảy ra khi t ∈



− 2kvk2, 0

 Bởi vì hz, vi = 0 với mọi

v ∈ F nên z ∈ F⊥ Như vậy với mọi x ∈ H ta đều có x = y + (x − y) =

y + z ∈ F + F⊥ Chú ý rằng F ∩ F⊥ = 0 nên H là tổng trực tiếp đại sốcủa F và F⊥

Bởi vì PF chính là phép chiếu H lên F trong tổng trực tiếp đại số, do

đó PF là ánh xạ tuyến tính Để hoàn thành chứng minh chỉ còn phải chỉ

ra PF liên tục Bởi vì PF(x) ⊥ (x − PF(x)) nên theo định lí Pythagorekxk2 = kPF(x)k2+ kx − PF(x)k2.

| hx, eii |2 ≤ kxk2 với mọi x ∈ H (Bất đẳng thức Bessel)

b) Với mọi (λi) ∈ l2 chuỗi

∞

P

i=1

λiei hội tụ trong H.Chứng minh a) Đặt hx, eii = ci Với mọi n ∈ N ta có :

nên mọi ε > 0 tồn tại n0 sao cho mọi n ≥ n0, p ∈ N,

n+p

P

i=n+1

|λi|2 < ε Theođịnh lí Pythagore ksn+p− snk2 =

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.2.10 Định lý Giả sử không gian Hilbert H có một cơ sở trực chuẩnđếm được {en} Khi đó

Do hệ {ej} đầy đủ nên x − y = 0 hay x = y

b) Vì tích vô hướng liên tục nên theo a)

Chứng minh Giả sử {an} là một dãy toàn vẹn, độc lập tuyến tính trong

E Kí hiệu L là không gian các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của tập {an}.Gọi D là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn với hệ số hữu tỉ (tagọi số phức α + iβ là hữu tỉ nếu α và β là hữu tỉ) Ta đã biết D là đếmđược Để chứng minh D là trù mật trong E ta chỉ cần chứng minh D trùmật trong L

Bây giờ giả sử E khả li Giả sử D = {an} là trù mật trong E Lấy k1

là chỉ số nhỏ nhất để ak1 6= 0 Giả sử đã chọn được ak1, , akn−1, ta chọn

akn bằng cách sau : kn là số nhỏ nhất lớn hơn kn−1 sao cho akn không

là tổ hợp tuyến tính của ak1, , akn−1 Ta nhận được dãy {akn} gồm cácphần tử độc lập tuyến tính trong E Vì tổ hợp tuyến tính của các phần

tử này chứa D, do đó dãy là toàn vẹn

1.2.12 Định lý Trong một không gian Hilbert H vô hạn chiều, cácđiều kiện sau đây là tương đương

a) H là khả li ;

b) Hcó một dãy toàn vẹn độc lập tuyến tính ;

c) H có một cơ sở trực chuẩn đếm được ;

(Ax|y) = (x|A∗y), ∀x, y ∈ H

ii) Nếu A∗ = A thì A được gọi là toán tử tự liên hợp

CHƯƠNG 2CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA

TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN

Chương này trình bày kết quả chỉnh hóa cũng như các đánh giá sai sốcủa phương pháp cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thờigian trong bài báo [5]

2.1 Giới thiệu bài toán

Cho H là không gian Hilbert thực hoặc phức với tích vô hướng h·, ·i vàchuẩn k.k Giả sử A : D(A) → H là toán tử dương, tự liên hợp, không bịchặn và ánh xạ f : [0, T ] × H → H Xét bài toán tìm hàm u : [0, T ] → Hthỏa mãn



ut+ Au = f (t, u(t)), 0 < t < T

với dữ kiện g ∈ H đã cho với sai số bậc ε Chúng ta luôn giả thiết rằng

H có một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng {φn}∞n=1 của A tương ứngvới các giá trị riêng {λn}∞n=1 với

0 < λ1 6 λ2 6 và lim

t→∞λn = ∞,

và ánh xạ f thỏa mãn điều kiện Lipschitz

kf (t, w1) − f (t, w2)k 6 kkw1 − w2k, (2.2)trong đó k > 0 là một hằng số độc lập với t, w1, w2

Mặc dù tính duy nhất nghiệm được đảm bảo theo định lý duy nhấtnghiệm ngược (xem [4]), bài toán (2.1) vẫn là một bài toán đặt không

chỉnh Một sai số nhỏ trong dữ kiện g có thể gây ra một lỗi lớn chonghiệm tương ứng (nếu nghiệm của bài toán này tồn tại) Thật vậy, từdạng biểu diễn quen thuộc của nghiệm

2.1.1 Định nghĩa Hàm u ∈ C([0, T ] , H) được gọi là một nghiệm yếucủa bài toán (2.1) nếu

hφn, u(t)i = eλn (T −t)hφn, gi −

Z T t

eλn (s−t)hφn, f (s, u(s))i ds (2.3)với mọi n = 1, 2,

Do tính không ổn định của nghiệm nên các phương pháp chỉnh hóacho bài toán này là cần thiết Mặc dù có rất nhiều kết quả về việc chỉnhhóa dành cho bài toán thuần nhất (nghĩa là bài toán (2.1) với f ≡ 0)bằng cách sử dụng các phương pháp khác nhau như phương pháp tựa đảo(quasi-reversibility method) của Lattes và Lions, phương pháp Tikhonov,phương pháp dựa trên khai triển hàm riêng của Gajewski and Zacharias,phương pháp biên không địa phương, phương pháp sử dụng phương trìnhSobolev, , các kết quả chỉnh hóa cho bài toán (2.1) với f 6= 0 còn rất hạnchế Trước hết, chúng ta hãy điểm qua một số kết quả chỉnh hóa dành chobài toán phi tuyến

Vào năm 1994, Long và Định [9] đã sử dụng phương pháp nửa nhóm

để xử lý bài toán phi tuyến (2.1) và đạt được các đánh giá sai số bậc

t−2(ln(1/ε)−1 với mỗi t > 0 Đánh giá này có kiểu logarithmic với mỗi

t > 0 cố định Năm 2008, Đặng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn [12] đãcải tiến phương pháp tựa đảo để đưa ra nghiệm xấp xỉ với sai số có bậc

εT khi t > 0 và (ln(1ε))−1/2 khi t = 0 Tuy nhiên, họ đã đòi hỏi một điềukiện tương tự như u(t) ∈ D(eT A) với mọi t ∈ [0, T ].

Trong luận văn này, ta xét ba điều kiện

t ∈ [0, T ] tương ứng

Như đã thảo luận ở trên, sự tăng rất nhanh của đại lượng e(T −t)λn gây

ra tính không ổn định của bài toán (2.1) Một cách tự nhiên để xử lý bàitoán này là hạn chế bài toán trong một không gian con hữu hạn chiều,một ý tưởng từ phương pháp chặt cụt Cụ thể hơn, chúng ta sẽ sử dụngbài toán đặt chỉnh sau

PMw = X

λ n 6 M

hφn, wi φn với mọi w ∈ H

Như chúng ta sẽ thấy trong các phần sau, bài toán (2.7) là đặt chỉnh vànghiệm của nó là một nghiệm xấp xỉ địa phương (cụ thể với t > T − β)tới nghiệm chính xác của bài toán (2.1).

2.2.1 Định lý ([8])(Bất đẳng thức Gronwall dạng vi phân) Giả sử η(t)

là hàm liên tục tuyệt đối không âm trên [0, T ], thỏa mãn hầu khắp nơitrên [0, T ] bất đẳng thức

η0(t) 6 φ(t)η(t) + ψ(t), (2.8)trong đó φ(t) và ψ(t) là các hàm không âm, khả tích trên [0, T ] Khiđó

η(t) 6 eR

t

0 φ(s)ds

η(0) +

Z t 0

ψ(s)ds

, ∀t ∈ [0, T ] (2.9)Đặc biệt, nếu η0 6 φη trên [0, T ] và η(0) = 0, thì η ≡ 0 trên [0, T ].Chứng minh Từ bất đẳng thức (2.8) ta có

d

ds

η(s)e−R

Z t 0

dds

η(s)e−

R s

0 φ(r)drds 6

Z t 0

Bất đẳng thức (2.10) kéo theo bất đẳng thức (2.9)

Định lý được chứng minh

2.2.2 Định lý ([8])(Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân) Giả sửξ(t) là hàm không âm, khả tích trên [0, T ] và thỏa mãn hầu khắp nơitrên [0, T ] bất đẳng thức tích phân

ξ(t) 6 C1

Z t 0

với các hằng số C1, C2 không âm Khi đó

ξ(t) 6 C2 1 + C1teC1 t

(2.12)với hầu khắp t ∈ [0, T ] Đặc biệt, nếu

ξ(t) 6 C1

Z t 0

ξ(s)dsvới hầu khắp t ∈ [0, T ] thì ξ(t) = 0 hầu khắp t ∈ [0, T ]

Chứng minh Đặt η(t) =R0tξ(s)ds, ∀t ∈ [0, T ] Ta có η0 6 C1η + C2 hầukhắp nơi trên [0, T ] Theo bất đẳng thức Gronwall dạng vi phân ta có

η(t) 6 eC1 t(η(0) + C2t) = C2teC1 t (2.13)

Từ các bất đẳng thức (2.11) và (2.13) ta có

ξ(t) 6 C1η(t) + C2 6 C2 1 + C1teC1 t
hầu khắp nơi trên [0, T ]

hφn, ui(t)i = eλn (T −t)hφn, ui(T )i

−

Z T t

eλn (s−t)hφn, f (s, ui(s))i ds (2.14)

với mọi n = 1, 2, và i = 1, 2 Từ công thức (2.14) ta thấy

hφn, ui(0)i = eλn T hφn, ui(T )i −

Z T 0

eλn shφn, f (s, ui(s))i ds (2.15)hay

hφn, ui(T )i = e−λn T



hφn, ui(0)i +

Z T 0

eλn shφn, f (s, ui(s))i ds

.(2.16)Thay (2.16) vào (2.14) ta được

hφn, ui(t)i = e−λn thφn, ui(0)i +

Z t 0

eλn (s−t)hφn, f (s, ui(s))i ds (2.17)với mọi n = 1, 2, và i = 1, 2 Đặt u(t) = u1(t) − u2(t), ∀t ∈ [0, T ] Từ(2.17) suy ra

hφn, u(t)i = e−λn thφn, u(0)i

+

Z t 0

eλn (s−t)hφn, f (s, u1(s)) − f (s, u2(s))i ds (2.18)với mọi n = 1, 2, Sử dụng bất đẳng thức (a + b)2 6 2(a2+ b2) ta cóku(t)k2 =

e2λn (s−t)|hφn, f (s, u1(s)) − f (s, u2(s))i|2ds

6 2ku(0)k2 + 2T

Z t 0

∞

X

n=1

|hφn, f (s, u1(s)) − f (s, u2(s))i|2ds

Do đó, sử dụng điều kiện (2.2) ta có

ku(t)k2 6 2ku(0)k2+ 2T

Z t 0

kf (s, u1(s)) − f (s, u2(s))k2ds

6 2ku(0)k2+ 2T

Z t 0

k2ku1(s) − u2(s)k2ds

= 2ku(0)k2+ 2T k2

Z t 0

ku(s)k2ds

Đặt ξ(t) = ku(t)k2, ∀t ∈ [0, T ] Bất đẳng thức trên trở thành

ξ(t) 6 2ξ(0) + 2T k2

Z t 0

ku1(t) − u2(t)k 6

q

2 1 + 2k2T te2k2T t
ku1(0) − u2(0)k, ∀t ∈ [0, T ].Định lý được chứng minh

Trong phần này, chúng ta xem xét bài toán đặt chỉnh (2.7) và đánh giásai số giữa nghiệm của nó với nghiệm của bài toán đặt không chỉnh (2.1).2.3.1 Định lý ([5])(Tính đặt chỉnh) Với mỗi g ∈ H, bài toán (2.7) cónghiệm duy nhất u ∈ C1([0, T ] ,PM(H)) Hơn nữa, nghiệm phụ thuộcliên tục vào dữ kiện theo nghĩa nếu ui là nghiệm của bài toán (2.7)với g được thay thế bởi gi, i = 1, 2, thì

ku1(t) − u2(t)k 6 e(k+K)(T −t))kg1− g2k

Chứng minh Chú ý rằng nếu u là một nghiệm của bài toán (2.7) thìu(t) ∈ PM(H) với mọi t ∈ [0, T ] Đặt GM(t, w) = −Aw +PMf (t, w) Bàitoán (2.7) trở thành một hệ phương trình phi tuyến



ut = GM(t, u(t)), 0 < t < T,u(T ) = PMg

trên không gian hữu hạn chiều PM(H) Sử dụng bất đẳng thức

kAwk 6 M kwkvới w ∈ PM(H) và điều kiện Lipschitz (2.2) ta có

kGM(t, w1) − GM(t, w2)k 6 (k + M )kw1− w2k,với mọi w1, w2 ∈ PM(H)

Tính đặt chỉnh của hệ phương trình phi tuyến nói trên kéo theo từ định

lim

j→∞Mj = ∞, lim

j→∞uj = u trong C([0, T ] , H)thì u là một nghiệm yếu của bài toán (2.1) vớig := limj→∞gj Tuy nhiên,

ta vẫn không biết được tốc độ hội tụ của nghiệm bài toán (2.7) tới nghiệmchính xác của bài toán (2.1) Để có điều này, ta cần có thêm giả thiết về

độ trơn của nghiệm chính xác của bài toán (2.1) Bổ đề sau đây cung cấpmột vài đánh giá sai số giữa các nghiệm của bài toán (2.7) và (2.1).2.3.2 Bổ đề ([5]) Giả sử rằng bài toán (2.1) với g = g0 ∈ H có mộtnghiệm yếu u0 ∈ C([0, T ] , H) Với bất kỳ ε > 0, lấy gε ∈ H sao cho