Một số kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F -NGUYỄN THỊ THANH NGA MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNHPARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

F

-NGUYỄN THỊ THANH NGA

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNHPARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN

VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

F

-NGUYỄN THỊ THANH NGA

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNHPARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN

VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 4

1.1 Không gian Banach, không gian Hilbert 4

1.2 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp chỉnh hóa 7

Chương 2 Một số kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 2.1 Tổng quan các kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 14

2.2 Các kết quả mới về chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 18

KẾT LUẬN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong

lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào

đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại Bài toánnày đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệm của bài toán khôngphải bao giờ cũng tồn tại và trong trường hợp tồn tại, nghiệm không phụthuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán Trong thực hành, dữ kiện có đượcdựa trên các đo đạc vật lý mà mọi phép đo đều không thể tránh khỏi cácsai số Do tính đặt không chỉnh, một sai số nhỏ trong dữ kiện cũng có thểgây ra một sai lệch lớn về nghiệm của bài toán Điều này gây ra một khókhăn lớn trong việc giải số với dữ kiện bị nhiễu Để vượt qua khó khănnày, chúng ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa cho bài toán.Cho tới nay đã có rất nhiều bài báo viết về phương trình parabolicngược thời gian Tuy nhiên, hầu hết các bài báo đó dành cho phươngtrình tuyến tính Rất ít bài báo dành cho phương trình phi tuyến Đặcbiệt, các bài báo dành cho phương trình parabolic phi tuyến ngược thờigian với hệ số phụ thuộc thời gian là rất hiếm

Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài liệu

về việc chỉnh hóa phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian với hệ

số phụ thuộc thời gian, trên cơ sở các bài báo [5], [3] và [4], chúng tôi lựachọn đề tài cho Luận văn của mình là : "Một số kết quả chỉnh hóacho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gianvới hệ số phụ thuộc thời gian"

Mục đích chính của luận văn là đề xuất phương pháp chỉnh hóa baogồm đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp trên cơ sở tìm hiểu cácphương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thờigian với hệ số phụ thuộc thời gian đã được công bố Với mục đích đó luậnvăn này được chia thành 2 chương:

Chương 1: Trình bày về các không gian Banach, không gian Hilbert,

lý thuyết chuỗi trong không gian Banach, khái niệm bài toán đặt khôngchỉnh, phương pháp chỉnh hóa cùng một số ví dụ minh họa

Chương 2: Trình bày tổng quan các kết quả chỉnh hóa cho phươngtrình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thờigian Trên cơ sở đó, đề xuất kết quả mới tốt hơn các kết quả đã có.Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc của mình đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơnBan chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toánhọc và cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa Sư PhạmToán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gianhọc tập và hoàn thành đề cương, luận văn này Cuối cùng, tác giả cảm ơngia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 21Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An,tháng 8 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bàyChương 2 Các kiến thức trong chương này được chúng tôi tham khảotrong các tài liệu [1] và [2]

1.1 Không gian Banach, không gian Hilbert

Cho X là không gian tuyến tính thực

1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ k.k : X → R được gọi là chuẩn nếu

(i) kuk> 0, ∀u ∈ X;

(ii) kuk = 0 nếu và chỉ nếu u = 0;

(iii) kλuk = |λ|kuk, ∀u ∈ X, λ ∈ R;

(iv) ku + vk 6 kuk + kvk, ∀u, v ∈ X Không gian tuyến tính trang

bị chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn Không gianBanach X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ

1.1.2 Định lý Ánh xạ chuẩn x 7→ kxk là một hàm liên tục đều từ Xvào R

1.1.3 Định lý Giả sử X là một không gian định chuẩn Khi đó ánh

xạ (x, y) 7→ x + y từ X × X vào X và (λ, x) 7→ λx từ K× X vào X làliên tục

1.1.4 Định lý Giả sử X là không gian định chuẩn Khi đó, với mọi

a ∈ X, ánh xạ x 7→ a + x là phép đồng phôi đẳng cự (tức là bảo toànkhoảng cách) từ X lên X

1.1.5 Định nghĩa Một tập con A của một không gian định chuẩn Xđược gọi là toàn vẹn nếu tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của Atrù mật trong X Ta nói rằng dãy {an} ⊂ X là toàn vẹn nếu tập tất cảcác phần tử của dãy là toàn vẹn.

1.1.6 Định nghĩa 1 Cho H là không gian tuyến tính thực Ánh xạh·, ·i : H × H → R được gọi là tích vô hướng nếu

(i) hu, vi = hv, ui , ∀u, v ∈ H;

(ii) Ánh xạ u 7→ hu, vi là tuyến tính với mọi v ∈ H;

(iii) hu, ui > 0;

(iv) hu, ui = 0 nếu và chỉ nếu u = 0

Không gian Hilbert là một không gian Banach với chuẩn được sinh rabởi một tích vô hướng

2 Hai phần tử u, v ∈ H là trực giao nếu hu, vi = 0 Khi đó ta ký hiệu

u ⊥ v

1.1.7 Định nghĩa Một hệ trực giao trong không gian Hilbert H làmột tập con A các vectơ khác 0 của H sao cho hai vectơ khác nhau bất

kì của A đều trực giao với nhau

1.1.8 Định nghĩa Giả sử M là một tập con của không gian Hilbert

H Vectơ x ∈ H được gọi là trực giao với M nếu x ⊥ y với mọi y ∈ M,trong trường hợp này ta kí hiệu x ⊥ M Nếu N là tập con của E sao cho

x ⊥ M với mọi x ∈ N thì N gọi là trực giao với M và kí hiệu là N ⊥ M

1.1.11 Định lý Giả sử F là một không gian Hilbert con của khônggian Hilbert H Khi đó với mọi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ F (gọi

là hình chiếu trực giao của x trên F) sao cho kx − yk = d(x, F ) =inf

y∈F kx − yk

Điểm y hình chiếu trực giao của x trên không gian con F thường được

kí hiệu là PF(x) Do tính duy nhất của y nên ta có ánh xạ PF : H → F,ánh xạ này gọi là phép chiếu trực giao H lên không gian con Hilbert F.1.1.12 Định lý Giả sử F là không gian con Hilbert của không gianHilbert H Khi đó H = F ⊕ F⊥ và phép chiếu trực giao PF : H → F

Parse-1.1.16 Định lý Nếu {en} là một dãy trực chuẩn trong không gianHlbert H thì các điều kiện sau đây là tương đương :

a) H là khả li;

b) Hcó một dãy toàn vẹn độc lập tuyến tính;

c) H có một cơ sở trực chuẩn đếm được;

Khi đó d được gọi là một mêtric trên X và không gian (X, d) được gọi

là một không gian mêtric

1.2.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y và A là ánh

xạ đơn ánh đi từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử

x0 ∈ X được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x0) = f.Đặt

R(A) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X thỏa mãn A(x) = y}

Khi đó tồn tại ánh xạ R : R(A) −→ X xác định bởi công thức R(f ) =

x ∈ X, ∀f ∈ R(A) Khi đó việc tìm nghiệm x ∈ X của phương trìnhA(x) = f dựa vào dữ kiện ban đầu f ∈ Y thường được xem xét dưới dạngphương trình x = R(f )

1.2.3 Định nghĩa Cho (X, dX), (Y, dY) là hai không gian mêtric Bàitoán tìm nghiệmx = R(f )của phương trìnhA(x) = f được gọi là ổn địnhtrên cặp không gian (X, Y )(hay được gọi là liên tục theo dữ kiện của bàitoán) nếu ∀f1, f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho dY(f1, f2) ≤ δ(ε) thì

dX(R(f1), R(f2)) ≤ ε

1.2.4 Định nghĩa.Bài toán tìm nghiệmx ∈ X của phương trìnhA(x) =

f theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gianmêtric (X, Y ) nếu

i) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X;

ii) Nghiệm x đó là duy nhất;

iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y )

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn bài toán tìmnghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh Đôi khi người ta gọi là bàitoán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn.1.2.5 Ví dụ 1) Xét chuỗi Fourier

với hệ số (a0, a1, , an, ) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an+ nε, n ≥ 1

và c0 = a0 Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng

Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε cóthể lấy nhỏ tùy ý Trong khi đó,

cn với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhaukhông nhiều trong L2[0, π]

2) Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều

Nếu lấy f (x) = f2(x) = ϕ(x) = ϕ2(x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán là

u2(x, y) ≡ 0 Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xéttrong độ đo đều ta có

ổn định

1.2.6 Định nghĩa Cho phương trìnhA(x) = f0, với Alà một toán tử từkhông gian mêtricX vào không gian mêtricY, nằm trong một tập compăc

M của X và f0 ∈ Y Gọi x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f0 Toán

tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào X được gọi là mộttoán tử chỉnh hóa cho phương trình A(x) = f0, nếu

i) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định vớimọi α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ Y : dY(f, f0) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);

ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 :

∀f ∈ Y, dY(f, f0) ≤ δ ≤ δ1, dX(xα, x0) ≤ ε, ở đây xα ∈ R(f, α(f, δ)).Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn không phụ thuộc f thì ta gọi

là cách chọn tiên nghiệm Nếu α được chọn phụ thuộc cả f và δ thì tagọi là cách chọn hậu nghiệm

1.2.7 Nhận xét Trong định nghĩa này không đòi hỏi tính đơn trị củatoán tử R(f, α) Phần tử xấp xỉ xα ∈ R(fδ, α) được gọi là nghiệm chỉnhhóa của phương trình A(x) = f0, ở đây α = α(fδ, δ) = α(δ) được gọi là

tham số chỉnh hóa Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệuchỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụthuộc liên tục vào vế phải của phương trình A(x) = f0 gồm các bướci) Tìm toán tử chỉnh hóa R(f, α),

ii) Xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bàitoán về phần tử fδ và sai số δ

Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phươngpháp chỉnh hóa

1.2.8 Ví dụ 1) Tính giá trị z = df (t)dt trong C, khi f (t) cho xấp xỉ.Đạo hàm z tính được dựa vào tỷ sai phân

R(f, α) = f (t + α) − f (t)

Nếu thay cho f (t) ta biết xấp xỉ của nó là fδ(t) = f (t) + g(t), ở đây

|g(t)| ≤ δ với mọi t, khi đó,

g(t + α) − g(t)

α

≤ 2δ

α .Nếu chọn α sao cho α = η(δ)δ , vớiη(δ) → 0 khi δ → 0, thì 2δα = 2η(δ) → 0

Vì vậy, với

α = α1(δ) = δ

η(δ), R(fδ, α1(δ)) → z.

2) Bài toán khôi phục hàm số, khi biết hệ số Fourier của nó Giả sử

ϕk(t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có sup

được cho xấp xỉ bởi c = (c1, c2, ) sao cho

→ 0, khin(δ) → ∞ Ngoài ra,

≤ C0





n(δ)

≤ C0pn(δ)δ2

= C0

r[η(δ)

δ2 ] → 0khi δ → 0

1.2.9 Nhận xét Trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử chỉnh hóa códạng đơn giản sau: Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là mộttoán tử chỉnh hóa, nếu:

i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi

0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho dY(f, f0) ≤ δ;

ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0(ε, fδ) ≤ δ1 sao cho từ dY(fδ, f0) ≤

δ ≤ δ0 ta có dX(xδ, x0) ≤ ε ở đây xδ ∈ R(fδ, δ)

CHƯƠNG 2MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNHPARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN

VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN

Chương này trình bày tổng quan các kết quả chỉnh hóa cho phươngtrình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thờigian Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất và chứng minh kết quả mới tốt hơnmột số kết quả đã được công bố

2.1 Tổng quan các kết quả chỉnh hóa cho phương

trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian

Xét bài toán tìm một hàm u : [0, T ] → H sao cho

ít Đặc biệt các kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic phi tuyếnngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian là rất hiếm

Vào năm 2012, các tác giả P H Quan, L M Triet và D D Trong ([3])

đã đề xuất kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic phi tuyến ngượcthời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Họ đã xét bài toán

f (x, s, u(x, s)) sin(kx)dx,

gk = 2π

Z π 0

g(x) sin(kx)dx,λ(t) =

Z t 0

a(s)ds,

αk(δ) = δk2.Đầu tiên các tác giả đã chứng minh bài toán (2.3) có duy nhất nghiệm

ek2(λ(s)−λ(t)−λ(T ))

αk(δ) + e−k2λ(T ) fk(uδ)(s)ds

sin(kx)(2.4)

Sau đó họ chứng minh được rằng, nếu uδ và vδ là 2 nghiệm của (2.4) vớicác giá trị cuối tương ứng là g và gδ thì

kuδ(·, t) − vδ(·, t)k ≤ √

2λ1eL2λ21 T (T −t)δλ(t)/λ(T )

ln

λ(T )δ

ku(·, t) − uδ(·, t)k ≤ C(t)δλ(t)/λ(T )

ln

λ(T )δ

λ(t)−λ(T )λ(T )

trong đó C(t) = √

2λ1eL2λ21 T (T −t) +pQ(t) + M (t).Các tác giả trong [3] đặt điều kiện rất mạnh lên nghiệm, điều kiện đặt

ra ở đây phụ thuộc vào đạo hàm của nghiệm theo cả biến không gian vàthời gian Hơn nữa các tác giả không so sánh tốc độ với trường hợp a(t)

là hàm hằng

Vào năm 2013, các tác giả P H Quan, D D Trong va L M Triet ([4])cũng đưa ra một phương pháp chỉnh hóa cho bài toán phi tuyến ngượcthời gian với hệ số phụ thuộc cả thời gian và không gian Cụ thể trong [4],

các tác giả đã chỉnh hóa bài toán



ut(x, t) + a(x, t)uxx(x, t) = f (x, t, u, ux, uxx), (x, t) ∈ R× [0, T ),u(x, T ) = g(x), x ∈ R,

(2.5)trong đó 0 < p ≤ a(x, t) ≤ q và

|f (x, t, u1, v1, w1) − f (x, t, u2, v2, w2)| ≤ L(|u1− u2| + |v1− v2| + |w1− w2|)bởi bài toán

uε(x, t) = Pε(x, t) − Kε(x, t, uε) (2.6)trong đó

eξ2(η(T )−η(t))F (ϕ(uε, uεx, uεxx))(ξ, s)ds×

× χ[−aε, aε](ξ)eiξxdξ

với b(x, t) = a(x, t) − k(t), k(t) = lim

x→∞a(x, t),ϕ(u, ux, uxx)(x, t) = b(x, t)uxx+ f (x, t, u, ux, uxx)

và η(t) =R0tk(s)ds Còn F : L2(R) → L2(R) là biến đổi Fourier

kuε(·, t) − vε(·, t)kH2 (R) ≤ √2ea2ε (η(T )−η(t))p

R(aε)eK2T2R(aε )ε.Sau đó họ đã chỉ ra tốc độ chỉnh hóa bằng định lí sau

2.1.2 Định lý ([4]) Đặt uε là nghiệm của bài toán (2.6) tương ứngvới dữ kiện cuối là g trên L2(R) và u là nghiệm chính xác của bài toán(2.5) thỏa mãn

trong đó m0 = η(T ) + m + 3/2 > 0, với m là hằng số dương

(i) Nếu 0 < ε < min{e−(3K2T 2m )4+αα

, e−1}, thì chúng ta đạt đượcku(·, t) − uε(·, t)kH2 (R) ≤ pCα,m0εm2

với mọi t ∈ [0, T )

(ii) Nếu 0 < ε < min{e−(3K2T 2m )4+αα

, ee−1}, thì chúng ta đạt đượcku(·, t) − uε(·, t)kH2 (R) ≤ pCα,m0

1ln(1ε)

η(t)+m2

với mọi t ∈ [0, T )

Các tác giả trong [4] đã chỉnh hóa được cho bài toán (2.5) với hệ số phụthuộc cả không gian, thời gian và đưa ra đánh giá trong chuẩn k · kH2 (R).Tuy nhiên điều kiện áp đặt lên nghiệm khá mạnh Hơn nữa tốc độ đượcchỉ ra trong phần (ii) của Định lí 2.1.2 có dạng Logarithm chứ không phảidạng H¨older

2.2 Các kết quả mới về chỉnh hóa cho phương trình

parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ

số phụ thuộc thời gian

Giả sử ϕ ∈ L2(0, π) và ε > 0 Xét bài toán

và f là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz

|f (x, t, w1) − f (x, t, w2)| ≤ L1|w1− w2| + L2(|w1x− w2x| + |w1xx− w2xx|).Định nghĩa phép biến đổi Fourier F : L2(R) → L2(R) là

F (υ)(ξ) := bυ(ξ) = √1

2πZ

eξ2(η(s)−η(t))F (ϕ(u))(ξ, s)dseiξxdξ

với

ϕ(u) = b(x, t)uxx+ f (x, t, u), η(t) =

Z t 0

πDbν =



1 trên [−ν, ν],

0 ngoài đoạn [−ν, ν]

CHƯƠNG 2MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HĨA CHO PHƯƠNG TRÌNHPARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN< /p>

VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN

Chương trình bày tổng quan kết chỉnh hóa cho phươngtrình parabolic. ..

trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian< /h3>

Xét tốn tìm hàm u : [0, T ] → H cho

ít Đặc biệt kết chỉnh hóa cho phương trình parabolic phi tuyếnngược... parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thờigian Trên sở đó, đề xuất chứng minh kết tốt hơnmột số kết công bố

2.1 Tổng quan kết chỉnh hóa cho phương< /h3>

trình