Về một áp dụng của định lý điểm bất động vào bài toán dirichlet đối với hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính

Không gian Sobolev..... Không gian Sobolev.. Không gian Sobolev Không gian Sobolev 1... C I là không gian Banach v3i chuGn này vì... Chú ý rMng tính duy nh$t là không nh$t thi t... Các

5 C C

56c 76c 1

L i m8 9:u 2 L i ;.m <n 4 =0 hi>u 5 CH "NG 1 KI&N TH?C CHU@N

1.1 M t s nh a chung v ph ng nh o m riêng 1.2 H i y u

1.3 Không gian Sobolev

1.4 n t a i n Dirichlet

1.5 nh ! Lax-Milgram

CH "NG 2 M T S NH V I M B T NG

2.1 " c nh ! i#m b$t ng a nh % co

2.2 " c nh ! i#m b$t ng a nh % không &'n

2.3 " c nh ! i#m b$t ng a nh % liên c

CH "NG 3 I N DIRICHLET I V I H! PH "NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH TRÊN MI N KHÔNG CHAN

3.1 (t bài toán

3.2 S) t*n i a nghi+m y u a i n Dirichlet

L i kBt

i li>u tham CD.o

6 6 7 8 10 14 18 18 26 33 40 40 43 50 52

L I ME FU

Ph ng nh vi phân o m riêng b môn khoa ,c -.p nghiên c/u r$t nhi u i n /ng & ng 0 c nhau nh : ng l)c ,c, i+n ,c, quang ,c, ! thuy t n h*i Ph ng nh vi phân o m riêng 1n 2

m i quan h+ quan ,ng v3i ! thuy t % c su$t Hi+n nay ph ng nh vi phân ng4u nhiên công n ,c y u nghiên c/u m t v$n quan ,ng trong nh v)c kinh t i 5nh nh - c6 phi u M t s nh v)c

n ,c hi+n i 0 c nh : 7! thuy t bi#u di8n 2m, 7! thuy t tr 9ng

l :ng t , 7! thuy t c không gian thu;n nh$t < V=t ! n trong 2

ph ng nh vi phân o m riêng 2ng vai 1 quan ,ng M t nh v)c quan ,ng nh$t trên ph ng di+n /ng & ng, 2 5nh n khoa ,c >

m t trong nh?ng n i dung y u a 2 -@i c ph ng nh vi phân

o m riêng

Tuy nhiên nhi u i n ph ng nh vi phân o m riêng > vi+c m nghi+m a 2 r$t ph/c p m(c &A 2 0 n -@n v m(t c$u c B2i chung không 2 ph ng C p chung # -@i c ph ng nh vi phân o m riêng i u ng 9i ta quan tâm khi nghiên c/u c ph ng

nh vi phân o m riêng 5nh t*n i < t*n i duy nh$t nghi+m a

2

V3i i "VG mHt +p I6ng ;Ja 9Knh 7L 9iMm bNt 9Hng O o P i / +n Dirichlet 91i v2i h> ph <ng /QRnh elliptic nSa tuyBn /0nh" ng tôi nghiên c/u /ng & ng a nh ! i#m b$t ng a nh % co m i u kiên t*n i nghi+m a i n Dirichlet i v3i h+ ph ng nh elliptic

n a tuy n 5nh trên mi n không ch(n

N i dung a lu=n vDn :c nh y d)a trên i o "On a System of Semilinear Elliptic Equations on an Unbounded Domain"

a PGS TS ng Qu1c n E i o :c Dng bFi p 5 n ,c Vi+t Nam (Viet Nam journal of Mathematics)

B c a lu=n vDn g*m 2 ba ch ng

Ch <ng 1 KiBn th c chuTn PK

Trong ch ng y ng tôi nh y m t s ki n th/c chuGn g*m m t s nh a chung v ph ng nh vi phân o m riêng, 0 i ni+m h i y u, không gian Sobolev, n t a i n Dirichlet, nh ! Lax-Milgram

Ch <ng 2 MHt s1 9Knh 7L 9iMm bNt 9Hng

Trong ch ng y ng tôi nh y m t s k t HI@ quan ,ng <

c ch/ng minh chi ti t Jng nh m t s <5 & minh ,a /ng & ng a m t

s nh ! trong ! thuy t v i#m b$t ng "2 K k t HI@ n6i ti ng nh$t trong ! thuy t v i#m b$t ng nguyên ! nh % co Banach 2 !

do ng tôi bLt ;u ch ng y bMng vi+c nh y v nh % co < m t ch/ng minh a nguyên ! y 2 Jng c sF y u # m i u ki+n t*n i nghi+m a i n Dirichlet cho h+ ph ng nh elliptic n a tuy n 5nh Trong ch ng hai ng tôi 1n nh y thêm m t s k t HI@ 0 c

a ! thuy t i#m b$t ng < m t s v5 & /ng & ng ' :c nghiên c/u

N i dung ch ng hai :c tham 0 @o y u tN i li+u [6]

Ch <ng 3 Bài toán Dirichlet 91i v2i h> ph <ng /QRnh elliptic nSa tuyBn /0nh trên miGn U+c 9Knh không PK chVn

Trong ch ng y ng tôi nh y c k t HI@ nghiên c/u v s) t*n i a nghi+m y u a i n Dirichlet cho h+ ph ng nh elliptic

n a tuy n 5nh trên m t mi n không ch(n trong n " c ch/ng minh

y u d)a trên nh ! i#m b$t ng trong không gian Banach N i dung

ch ng 3 :c trình bày d)a trên tài li+u [5]

L I WM "N

B@n lu=n vDn này :c hoàn thành d 3i s) h 3ng d4n t=n tình c a PGS TS HOÀNG QU C TOÀN, Tr 9ng i h,c Khoa h,c T) nhiên –

i h,c Qu c gia O N i Th;y là ng 9i xu$t, dành nhi u th9i gian

h 3ng d4n, s a các lPi cJng nh gi@i áp các thLc mLc c a tôi trong su t quá trình làm lu=n vDn Tôi mu n bày tQ lòng bi t n sâu sLc nh$t n

ng 9i th;y c a mình

Tôi xin c@m n Tr 9ng THPT Chu VDn An, 7 ng S n ã giúp R,

t o i u ki+n thu=n l:i cho tôi hoàn thành khoá h,c này Và tôi cJng xin cám n Xeminar c a b môn Gi@i tích, Tr 9ng i h,c Khoa h,c T) nhiên

ã giúp tôi b6 sung, c ng c các ki n th/c v Lý thuy t ph ng trình o hàm riêng

Qua ây, tôi xin g i t3i các th;y cô Khoa Toán- C - Tin h,c, Tr 9ng

i h,c Khoa h,c T) nhiên, i h,c Qu c gia Hà n i, cJng nh các th;y

cô ã tham gia gi@ng d y khóa cao h,c 2008-2010, l9i c@m n i v3i công lao d y dP trong su t quá trình ,c t=p i nhà tr 9ng

Tôi xin c@m n gia ình, b n bè và t$t c@ m,i ng 9i ã quan tâm, t o

i u ki+n, ng viên c6 vJ tôi # tôi có th# hoàn thành nhi+m v c a mình

Hà n i, tháng 12 nDm 2010

ng c C ng

=' HI!U

MHt s1 C0 hi>u th ng IXng trong luYn vZn

1. N: không gian Euclide th)c N chi u

j

N j

CH NG 1

KI N TH C CHU N

1.1 MHt s1 9Knh [,D\a chung vG ph <ng /QRnh 9]o D m riêng

M t ph ng nh o m riêng m t ph ng nh 2 ch/a nhi u bi n ch a bi t <

k∈ < U t=p mF trong n Knh [,D\a 1.1 M t bi#u th/c 2 & ng

Ph ng nh o m riêng (1.1) :c ,i t a tuy n nh n u 2 2 & ng

Cho X không gian Banach

Knh [,D\a 1.3 U'y { }un ch/a trong X :c ,i h i y u n u X∈ n u

Khi t n i m t y con { }un k ⊂{ }un u∈X sao cho { }un k h i y u n u

NhYn U^t 1.2

1 M t &'y ch(n trong không gian Hilbert ch/a m t &'y con h i y u

2 VWt X =Lp( )Ω X*=Lq( )Ω , 1 1 1

p+ = , 1 qq < ≤ ∞ M t phi m m tuy n 5nh ch(n f trên p( )

2 fn k ( )x ≤h x( ) v%i &'i k h.k.n trên Ω v%i h∈Lp( )Ω

1.3 Không gian Sobolev

Knh [,D\a 1.4 (Không gian Sobolev) Không gian Sobolev

1 V3i p= , không gian 2 k( ) 2 k( ), 0,1,

p p

k W

α α

≤ Ω Ω

( )

2

a W

Knh [,D\a 1.7 Z-@s X < Y c không gian Banach

1 X :c ,i - ng liên c trong Y n u t*n i nh % tuy n 5nh

Khi 2 ta *ng nh$t X v3i không gian con i X( )⊂ Y

2 2

2

0 2

uu

uu

suy ra −∆ là n ánh Gi@ s mi n giá tr c a −∆ là R( )−∆ Ta l$y dãy {−∆( )un }

trong R( )−∆ h i t n v0 Vì {−∆( )un } là dãy Cauchy trong R( )−∆ nên:

0 j

Knh lý 1.11 Gi s X là không gian Hilbert th c, a(u, v) là phi m hàm song tuy n tính

th c trên X Gi s a(u, v) th7a mãn các i0u ki6n

V=y u v( ) là phi m hàm tuy n tính liên t c trên X Theo nh lý Riesz-Frechet, t*n t i

m t ph;n t kí hi+u là Au X∈ sao cho:

Kí hi+u A X( ) {= Au u, ∈X}, ta ch/ng minh A X( ) óng trong X

Th=t v=y; gi@ s { }Auj là dãy h i t n v X∈ Vì { }Auj là dãy Cauchy trong X , ta có:

Gi@ s F u( ) là phi m hàm tuy n tính liên t c trên X Theo nh lý Riesz-Frechet, t*n

t i duy nh$t g X∈ sao cho

- Yng c$u :A X →X :c xây d)ng trong nh lý Lax-Milgram sao cho (Au v, )=a u v( , ,) ∀u v, ∈X

:c g,i là toán t liên k t v3i d ng song tuy n tính a u v( , ) trên không gian Hilbert X Hay a u v( , ) :c g,i là d ng song tuy n tính liên k t v3i toán t A

- D ng song tuy n tính liên t c a u v( , ) :c g,i là Qa >'n i0u ki6n b<c n u t*n t i hMng s c> sao cho 0

Suy ra @nh c a A là óng trong V’

V=y A là song ánh tN V lên V’

TN b$t Yng th/c (1.14) và nh lý Banach v ánh x ng :c suy ra A−1 liên t c V=y A

là Yng c$u tN V lên V’

CH NG 2

Trong ch ng này, chúng tôi trình bày m t s nh lý v i#m b$t ng c a ánh

x co, ánh x không dãn, ánh x liên t c và m t s /ng d ng c a nó Trong s ó, nh

quy t bài toán F ch ng sau

2.1 Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] co

Cho (X d, ) là m t không gian metric M t ánh x :F X →X :c g,i là m t ánh x Lipschitz (Lipschitzian) n u t*n t i m t hMng s α không âm sao cho:

(2.1) d F x( ( ) ( ),F y )≤αd x y( , ) v3i m,i ,x y∈X

Chú ý rMng mPi ánh x Lipschitz u liên t c trên X HMng s α nhQ nh$t thQa mãn (2.1) :c g,i là hMng s Lipschitz i v3i F kí hi+u là L N u L< thì ta nói F là ánh 1

x co, L= thì ta nói F là ánh x không dãn 1

Cho :F X →X , x X∈ , ta xác d nh bMng qui n p dãy { n( ) }

Vì X là không gian nên t*n t i u X∈ sao cho:

Cho :F → xác nh bFi F x( )= + , khi ó: x 1

( ) ( )

Nh ng x≠ + v3i m,i x ∈ và do ó F không có i#m b$t ng nào x 1

Knh lý 2.2 Cho (X d là m t không gian metric compact v%i , ) F X: →X th7a mãn

( ) ( )

d F x F y <d x y v%i m'i x y, ∈X và x≠ yKhi ó F có m t i9m b t ng duy nh t trong X

Ch<ng minh:

Tính duy nh$t là hi#n nhiên Ta ch/ng minh tính t*n t i

Xét ánh x G X: → xác nh bFi G x( )=d x F x( , ( ) ), G liên t c trên X Vì X là compact nên G t giá tr nhQ nh$t trên X, hay t*n t i x0∈X sao cho

( ) ( 0 , 0) (1 )

Theo nh lý 2.1, F có m t i#m b$t ng duy nh$t trong B x r( 0, 0)⊂B x r( 0, 0) Vi+c ch/ng minh tính duy nh$t c a i#m b$t ng là d8 dàng

Knh lý 2.4 Cho Br =B[ ]0,r trong không gia Banach X F B: r →X là m t ánh x co

và F( )∂Br ⊂Br Khi ó F có m t i9m b t ng duy nh t trong B r

Theo nh lý 2.1, G có i#m b$t ng duy nh$t u∈Br Hi#n nhiên n u G u( )= thì u

Cho ε > , ch,n 0 δ( )ε thQa mãn (2.3) Ta ch,n N l3n sao cho d u u( n, n+1)< v3i m,i ε

và do ó ( ) ,

3n

y∈C I là nghi+m c a (2.4) y∈C I( ) (Không gian Banach các hàm liên t c trên I

Ta sK áp d ng nh lý 2.1 # ch/ng minh T có i#m b$t ng duy nh$t

kho@ng con c a I Ta sK dùng chuGn maximum v3i tr,ng s

( )0

yα = e−α y t

trên C I( ) C I( ) là không gian Banach v3i chuGn này vì α và là hai chuGn 0

011

2.2 Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] không dãn

Cho (X d, ) là m t không gian metric v3i C⊆ X NhLc l i rMng m t ánh x :

F C→X :c g,i là ánh x không dãn n u L= , hay F thQa mãn 1

Knh lý 2.9 Cho t p C l i, óng, b ch n và khác r(ng trong không gian Hilbert H Khi

ó m(i ánh x không dãn F C: → có ít nh t m t i9m b t ng C

NhYn xét 2.3 Chú ý rMng tính duy nh$t là không nh$t thi t Ví d

( ) , [ ]0,1

NhYn xét 2.4 Th)c t trong nh lý 2.9 chT c;n gi@ thi t H là m t không gian Banach l*i u

Không gian Banach X :c g,i là không gian l*i u n u v3i m,i ε > , t*n t i 0 δ( )ε > 0sao cho v3i m,i ,x y∈X : x ≤1, y ≤ và x y1 − ≥ ta luôn có ε 1 ( )

# ch/ng minh nh lý 2.9 ta c;n t3i hai b6 sau

Be 9G 2.1 Cho H là m t không gian Hilbert v%i ,u v∈Hvà cho r, R là các h5ng s+ v%i

ta có

12

Ta có F Cn: → và C Fn là ánh x co do F là ánh x không dãn Theo nh lý 2.1 suy

ra t*n t i duy nh$t xn∈ sao cho C

Ta có { }An là dãy gi@m các t=p óng khác rPng Ch/ng minh An ≠ ∅ , th=t v=y, tN (2.7)

18

( ) ( )

28

Ch<ng minh:

Theo nh lý 2.9 suy ra A khác rPng

Vì F liên t c nên A là t=p óng Thât v=y, gi@ s

{ }xn ⊂ , A xn → và x F x( )n =xnsuy ra F x( )= và x Ax ∈

Ta sK ch/ng minh A là t=p l*i Gi@ s

Suy ra F m( )=λu+ −(1 λ)v=m, hay t=p A các i#m b$t ng c a F là t=p l*i

NhYn xét 2.5 K t qu@ trên ây còn úng cho không gian Banach l*i u

Knh lý 2.11 Cho H là không gian Hilbert th c và Br =B[ ]0,r ={x∈H: x ≤r} v%i 0

r> Khi ó m(i ánh x không dãn :F Br →H có ít nh t m t trong hai tính ch t sau: (A1) F có i9m b t ng trong B r

( ) ( ) F x( ) ( ) ( )

ngh a là tính chât (A2) úng vì x = hay r x∈ ∂Br

Knh lý 2.12 Cho H là không gian Hilbert th c, Br ={x∈H: x ≤r} v%i r> , và cho 0: r

F B →H là ánh x không dãn Gi s r5ng v%i m'i x∈ ∂Br m t trong các i0u ki6n sau ây là úng:

Ta ch/ng minh nh lý khi (ii) úng Gi@ s ng :c l i, F không có i#m b$t ng Theo

nh lý 2.11 suy ra t*n t i z∈ ∂Br và λ∈( )0,1 v3i z=λF z( ), suy ra F z( )≠ và 0

hay 1 1≤ − v3i λ λ> , i u này là mâu thu4n V=y F có i#m b$t ng 0

2.3 Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] liên t6c

Knh ngh\a 2.1 Hai không gian topo X và Y :c g,i là ng phôi n u t*n t i m t ánh

x kh@ ngh ch :f X → sao cho f và Y 1

f− là liên t c Ánh x f :c g,i là phép ng phôi

Knh ngh\a 2.2 M t không gian topo X d :c g,i là có tính ch t i9m b t ng n u m,i ánh x liên c :f X →X u có i#m b$t ng

Knh lý 2.13 N u X có tính ch t i9m b t ng và X ng phôi v%i Y thì Y cCng có tính

ch t i9m b t ng

Ch<ng minh:

cho :h X → là phép *ng phôi và gi@ s rMng :Y g Y → là ánh x liên t c Chúng ta Yph@i ch/ng minh rMng g có i#m b$t ng trong Y Chú ý rMng

Knh ngh\a 2.3 M t t=p con A c a m t không gian topo X là m t co rút c a X n u t*n

t i m t ánh x liên t c :r X → sao cho A r a( )= v3i m,i a Aa ∈ Ánh x r :c g,i

Trong , hình c;u óng n v là [−1,1] N u f : 1,1[− ] [→ −1,1] là ánh x liên t c thì

f có i#m b$t ng trong [−1,1] Th=t v=y, xét ánh x g x( )= −x f x( ) liên t c do f liên

t c và g( )− ≤ ≤1 0 g( )1 và do ó ph@i t*n t i x0∈ −[ 1,1] sao cho

( )0 0 ( )0 0

g x =x − f x = hay f x( )0 =x0 V=y [-1,1 có tính ch$t i#m b$t ng ]

Knh lý 2.15 Hình c u óng n v B=B[ ]0,1 trong n có tính ch t i9m b t ng Vi+c ch/ng minh nh lý này c;n s d ng nhi u k t qu@ và khá dài nên không :c trình bày trong lu=n vDn này Ch/ng minh chi ti t nh lý có th# tham kh@o trong [6] Knh lý 2.16 M'i t p con l i, óng, b ch n và khác r(ng trong n 0u có tính ch t i9m b t ng

Ch<ng minh:

Gi@ s C là t=p con l*i, óng, b ch(n và khác rPng trong n và :f C→ là ánh x Cliên t c Ta sK ch/ng minh f có i#m b$t ng trong C

Vì C là t=p b ch(n do ó C ch/a trong m t hình c;u óng *

B trong n Mà *

B *ng phôi v3i B, theo nh lý 2.13 và 2.15 suy ra *

Knh lý 2.17.(Nguyên 7L Schauder) M'i t p con l i, khác r(ng, compact K c4a không gian nh chuBn X có tính ch t i9m b t ng

Ch<ng minh:

Cho :T K →K là ánh x liên t c, ε > c nh tùy ý Do K là t=p compact suy ra t*n 0

t i ε l 3i h?u h n {a a1, , ,2 an}⊂K sao cho

1,n i i

m x ax

n

i n

i n i i

Cho qua gi3i n suy ra

Knh ngh\a 2.4 Z-@ s t=p M ⊂ X v3i X m t không gian Banach T=p c i#m

{x x1, , ,2 xn}⊂M :c ,i m t ε_l 3i cho M n u v3i >,i x M∈ luôn m :c i

x sao cho xi−x < , hay <2i >,i x Mε ∈ min{ x−xi :i=1, 2, ,n}< ε

T=p M :c ,i compact t ng i n u < Tn u v3i >,i ε > t*n i m t 0 ε_l 3i

H> cd 2.1.(H> cd ;Ja nguyên 7L Schauder) Cho K t p l i, ng, ch n, 3 $c

n u δ Q Khi 2 F K( )⊂K X f liên c u trên M, do f liên c trên t=p M

HI@nguyên ! Schauder (h+ HI@ 2.1) suy ra F 2 i#m b$t ng trong K, < 2 5nh nghi+m a ph ng nh vi phân v3i i u ki+n ban ;u

CH NG 3

TRÌNH ELLIPTIC N A TUY N TÍNH TRÊN

MI N KHÔNG B CH N

Trong ch ng này chúng ta xen %Wt s) t*n t i c a nghi+m y u c a bài toán Dirichlet

i v3i m t h+ các ph ng trình Elliptic n a tuy n tính trên mi n không b ch(n trong không gian n Các ch/ng minh d)a trên nh lý i#m b$t ng trong không gian Banach

Ω là mi n không b ch(n v3i biên ∂Ω tr n trong n, , , ,α β δ γ là các s th)c ã cho,

β > δ > ; q x( ) là m t hàm xác nh trong Ω , f u v1( , ,) f2(u v, ) là các hàm không tuy n tính v3i ,u v sao cho: