PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV - SCHMIDT VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHOA TOÁN CƠ TIN ĐÀM VĂN THƯỢNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV - SCHMIDT VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN CƠ TIN

ĐÀM VĂN THƯỢNG

PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV - SCHMIDT

VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG

TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH

TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS HOÀNG QUỐC TOÀN

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1.1 Một số định lý điểm bất động cơ bản 3

1.1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer 3

1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co Bannach 4

1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder 4

1.2 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn 5

1.2.1 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Ban-nach 5

1.2.2 Phổ của toán tử bị chặn trong không gian Hilbert 6

1.3 Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic 9

1.4 Không gian Sobolev 10

1.4.1 Định lý vết 11

1.4.2 Định lý nhúng 11

1.4.3 Bất đẳng thức Poincare 12

1.5 Định lý Lax Milgram 12

1.6 Định lý Lax Milgram đối với không gian Hilbert phức 14

1.7 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace 17

1.7.1 Không gian Sobolev H10(Ω) 17

1.7.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng 18

1.7.3 Toán tử của bài toán Dirichlet 19

1.7.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet 20

2 Phương pháp Lyapunov - Schmidt và bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn 27 2.1 Bài toán Dirichlet với phần chính là toán tử Schr¨odinger 28

2.1.1 Không gian Vq0(Ω) 28

2.1.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng 29

2.1.3 Toán tử của bài toán Dirichlet 31

2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet 36

2.2.1 Phương pháp Lyapunov - Schmidt 36

2.2.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet 36

2.2.3 Sự tồn tại điểm rẽ nhánh của bài toán Dirichlet 40

Danh mục các kí hiệu

Lời Mở Đầu

Lý thuyết tồn tại nghiệm đối với phương trình và hệ phương trình đạo hàmriêng Elliptic tuyến tính đã được nghiên cứu đầy đủ Vấn đề tương tự đối vớiphương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính cũng được nghiêncứu nhiều nhưng đó vẫn là bài toán mà chúng ta đang quan tâm

Trong luận văn này tác giả xét bài toán Dirichlet đối với một lớp phươngtrình Elliptic cấp 2 nửa tuyến tính với phần chính là toán tử Schr¨odinger trongmiền không bị chặn

P (λ) :

((−∆ + q(x)) u − λu = f (x, u) − h(x) trong Ω,u|∂Ω = 0, u(x) → 0 khi |x| → +∞

trong đó Ω là miền không bị chặn cùng với biên ∂Ω trơn trong Rn, λ > 0, q(x)

Các phương pháp thường được sử dụng khi nghiên cứu phương trình vi phânkhông tuyến tính đó là: Phương pháp biến phân, phương pháp đơn điệu, phương

pháp nghiệm trên, nghiệm dưới, các phương pháp dựa trên định lý về điểm bấtđộng Bannach và Schauder

Trong luận văn này tác giả sử dụng phương pháp Lyapunov - Schmidt màthực chất là phương pháp trực giao

Nội dung luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1 tác giả trình bày một số định lý cơ bản về điểm bất động; phổcủa toán tử tuyến tính bị chặn; các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàmriêng, phương trình elliptic; không gian Sobolev; định lý Lax Milgram; bài toánDirichlet đối với phương trình Laplace

Chương 2 tác giả tập trung tìm hiểu phương pháp Lyapunov - Schmidt, từ

đó trình bày điều kiện tồn tại nghiệm và điều kiện tồn tại điểm rẽ nhánh củabài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không

bị chặn

Chương 1

Cơ sở lý thuyết

Trong chương này tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về: Định lý điểmbất động; phổ của toán tử tuyến tính; định lý Lax Milgram; bài toán Dirichletđối với phương trình Laplace

Trong rất nhiều trường hợp quan trọng, việc giải một phương trình được quy

về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, nếu X là mộtkhông gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X, y là một phần tử cố định của

X thì nghiệm của phương trình Sx = y chính là điểm bất động của ánh xạ Txác định bởi T x = Sx + x − y, ∀x ∈ X Sau đây ta sẽ giới thiệu một số định lýđiểm bất động cơ bản nhất

1.1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer

Định lý 1.1 (Brouwer) Giả sử C là một tập con lồi, compact, khác rỗngtrong Rn và T : C → C là một ánh xạ liên tục Khi đó T có điểm bất động.Chứng minh Chứng minh định lý này có thể tìm thấy trong [3]

mà T x∗ = x∗ Ngoài ra, ∀x0 ∈ X ta có Tnx0 → x∗ khi n → ∞.

Chứng minh Chứng minh định lý có thể tìm thấy trong [2], [3]

1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder

Định lý 1.4 (Định lý xấp xỉ các toán tử compact) Giả sử X, Y là cáckhông gian Bannach, M là một tập con bị chặn của X, T : X → Y là ánh xạ đãcho Khi đó, T là compact khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn: Với mỗi

n ∈ N tồn tại một toán tử compact Pn : M → Y sao cho

sup

x∈M

||T (x) − Pn(x)|| ≤ 1/n và dim(spanPn(M )) < ∞

Chứng minh Phần chứng minh định lý xem [5]

Định lý 1.5 (Định lý điểm bất động Schauder) Giả sử M là tập con lồi,compact, khác rỗng của một không gian Bannach X Giả sử T : M → M là ánh

xạ liên tục Khi đó, T có điểm bất động

Hệ quả 1.6 Giả sử M là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của một khônggian Bannach X Giả sử T : M → M là toán tử compact Khi đó T có điểm bấtđộng

Phần chứng minh định lý và hệ quả trên được tìm thấy trong [5]

1.2 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn

1.2.1 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian

Bannach

Cho X là không gian định chuẩn trên trường P (P là trường số thực R hoặctrường số phức C), A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian X vàochính nó (hay còn nói toán tử A tác dụng trong không gian X) Ta xét phươngtrình dạng

(A − λI)x = y; x, y ∈ X, λ ∈ P, (1.1)trong đó I là toán tử đồng nhất Và phương trình thuần nhất tương ứng với(1.1) có dạng

(A − λI)x = 0, x ∈ X, λ ∈ P (1.2)Nếu phương trình (1.2) có nghiệm x0 6= 0 với giá trị λ0 nào đấy thì λ0 gọi

là giá trị riêng của toán tử A, x0 gọi là vectơ riêng của toán tử A ứng với giátrị riêng λ0 Trong trường hợp này, hiển nhiên không tồn tại toán tử ngược

Rλ = (A − λI)−1 của toán tử Aλ = A − λI, do đó phương trình (1.1) vô nghiệmvới mọi y 6= 0 Toán tử Rλ được gọi là toán tử giải hay giải thức của toán tử A.Định nghĩa 1.7 Số λ gọi là giá trị chính quy (hay điểm chính quy) của toán

tử A, nếu tồn tại toán tử giải Rλ xác định và bị chặn trên toàn không gian X

Số λ được gọi là phổ (hay điểm phổ) của toán tử A, nếu số λ không là giá trịchính quy của toán tử A

Định nghĩa 1.8 Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ củatoán tử A

Lập luận trên chứng tỏ, phổ của toán tử A chứa tất cả các giá trị riêng củatoán tử A Tập hợp tất cả các giá trị riêng của A gọi là phổ điểm của toán tử

A, tập hợp các giá trị còn lại của phổ của toán tử này gọi là phổ liên tục.Định lý 1.9 Nếu A là toán tử compact tác dụng trong không gian Bannach X,thì với mọi số α > 0 toán tử A chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tínhtương ứng với giá trị riêng λ mà |λ| ≥ α

Chứng minh Giả sử toán tử compact A có một dãy vô hạn (xn) các vectơ riêngđộc lập tuyến tính tương ứng với dãy các giá trị riêng (λn) mà |λn| ≥ α với mọi

n = 1, 2, 3,

Ta kí hiệu Xn là không gian con đóng sinh bởi các vectơ x1, x2, , xn (n =

1, 2, 3, ) Khi đó, đối với mỗi số tự nhiên n = 1, 2, 3, tồn tại phần tử yn ∈

Xn, ||yn|| = 1 sao cho

1.2.2 Phổ của toán tử bị chặn trong không gian Hilbert

1.2.2.1 Phổ của toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 1.10 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert Hvào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu

(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng

Định lý 1.11 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vàochính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, x) là số thực đối vớimọi x ∈ H

Cho A là toán tử tự liên hợp tác dụng trong không gian Hilbert H Ta cócác kết quả sau đây

Định lý 1.12 Các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp A đều là số thực

Chứng minh Giả sử x ∈ H, x 6= 0 là vectơ riêng của toán tử A tương ứng vớigiá trị riêng λ Ta có

(Ax, x) = λ(x, x),trong đó (x, x) > 0, còn (Ax, x) thực ( theo định lý 1.11), do đó λ là số thực.Định lý 1.13 Hai vectơ riêng của toán tử tự liên hợp A tương ứng với hai giátrị riêng khác nhau thì trực giao với nhau

Chứng minh Giả sử x1, x2 là hai vectơ riêng của toán tử A tương ứng với haigiá trị riêng khác nhau λ1, λ2 Ta có λ1, λ2 ∈ R và

Định lý 1.16 Phổ của toán tử tự liên hợp A tác dụng trong không gian Hilbert

H nằm trong đoạn [m, M ] của trục thực, trong đó

Định lý 1.17 Số λ là giá trị chính quy của toán tử tự liên hợp A khi và chỉkhi tồn tại hằng số dương α sao cho

1.2.2.2 Cấu trúc phổ của toán tử compact tự liên hợp

Định lý 1.18 Phổ của toán tử compact tự liên hợp tác dụng trong không gianHilbert H là phổ điểm

Chứng minh Ta chỉ cần chỉ ra mỗi giá trị phổ λ 6= 0 của toán tử compact tựliên hợp A tác dụng trong không gian Hilbert H là một giá trị riêng

Theo hệ quả 1 2 1, tồn tại dãy (xn ⊂ H, ||xn|| = 1) sao cho

lim

n→∞||Axn− λxn|| = 0

Đặt yn = Axn− λxn, thì xn = λ1 (Axn− yn) (n = 1, 2, ) Nhờ tính compactcủa toán tử A, dãy (Axn) chứa dãy con (Axnk) hội tụ trong không gian H Dodãy (yn) hội tụ tới θ, nên dãy

Vậy Ax = λx Do đó λ là giá trị riêng của toán tử A

Định lý 1.19 Nếu toán tử compact tự liên hợp A tác dụng trong không gianHilbert H có vô số giá trị riêng, thì tập các giá trị riêng là đếm được và số 0 làđiểm giới hạn duy nhất của các giá trị riêng đó

1.3 Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo

hàm riêng, phương trình elliptic

Định nghĩa 1.20 Cho k là một số nguyên dương, Ω là một tập mở trong Rn.Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x1, x2, , xn), các biến độc lập xi vàcác đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng (hayphương trình đạo hàm riêng cho gọn và sẽ viết tắt là phương trình ĐHR) Nó

có dạng:

F (x, u(x), Du(x), , Dku(x)) = 0, (x ∈ Ω), (1.3)trong đó F : Ω × R × Rn× Rnk → R là hàm cho trước và u : Ω → R là hàm cầntìm

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi

là cấp của phương trình Ở đây (1.3) là phương trình cấp k

Ta nói rằng phương trình (1.3) giải được nếu ta tìm được tất cả các hàm số

trong đó aα(x), f (x) là các hàm số đã cho Phương trình tuyến tính cấp

k (1.4) được gọi là thuần nhất nếu f ≡ 0

(ii) Phương trình (1.3) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dạng

aα(x, u, Du, , Dk−1u)Dαu + a0(x, u, Du, , Dk−1u) = 0

(iv) Phương trình (1.3) được gọi là phi tuyến hoàn toàn nếu nó phụ thuộckhông tuyến tính vào đạo hàm cấp cao nhất

Định nghĩa 1.22 Xét toán tử vi phân A(x, D) = X

|α|≤m

aα(x)Dα, ở đó aα(x)

là hàm có giá trị phức đo được, x ∈ Rn Nếu aα(x) 6= 0 với α nào đó mà |α| = m

nguyên dương thì m được gọi là bậc của A.

Đa thức đặc trưng của toán tử A là

1.4 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.26 (i) Giả sử không gian Wm,p(Ω) (trong đó m nguyên

dương, 1 ≤ p < +∞ ) là không gian bao gồm các hàm u(x) ∈ Lp(Ω)sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m, thuộc Lp(Ω)

và được trang bị chuẩn

Wm,p(Ω) là không gian Bannach phản xạ với 1 < p < +∞.

(ii) Khi p = 2, không gian Wm,p(Ω) = Wm,2(Ω) ký hiệu là Hm(Ω) Như vậy

(i) T u = u|∂Ω nếu u ∈ H1(Ω) ∩ C(Ω)

(ii) ||T u||L2 (Ω) ≤ c||u||H1 (Ω) với mọi u ∈ H1(Ω) và c là hằng số

Khi đó T u được gọi là vết của u trên ∂Ω

1.4.2 Định lý nhúng

Giả sử Ω ⊂ Rn là tập mở, bị chặn và có biên trơn Nếu s > n

2 + j (j ∈ N)thì Hs(Ω) ⊂ Cj(Ω) có nghĩa là nếu s > n

2 + j và u ∈ H

s(Ω) thì u khả vi liên tụcđến cấp j, u ∈ Cj(Ω)

(i) Tồn tại c > 0 sao cho |a(u, v)| ≤ c||u|| · ||v|| với mọi u, v ∈ X.

(ii) Tồn tại γ > 0 sao cho a(u, u) ≥ γ||u||2 với mọi u ∈ X

Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục F (u) trên X đều tồn tại f ∈ X saocho

F (u) = a(u, f ), u ∈ X

Chứng minh Lấy u ∈ X cố định Khi đó, u(v) = a(u, v) là phiếm hàm tuyếntính trên X Theo (i), ta có:

|a(u, v)| ≤ c||u|| · ||v|| với mọi v ∈ X

Điều này chứng tỏ u(v) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Theo định

lý Riesz-Frech´et, tồn tại một phần tử, ký hiệu Au ∈ X, sao cho

u(v) = (Au, v), ∀ v ∈ X,trong đó (.,.): là tích vô hướng trong X Như vậy a(u, v) = (Au, v), ∀v ∈ X,

Đẳng thức đúng với mỗi v ∈ X bởi vậy A tuyến tính Theo giả thiết (ii), tacó:

||Au||2 = (Au, Au) = a(u, Au) ≤ c||u|| · ||Au||, ∀u ∈ X

⇒ ||Au|| ≤ c||u||, ∀u ∈ X

Bất đẳng thức này chứng tỏ A : X → X là toán tử liên tục Hơn nữa với

ta chứng minh A(X) đóng trong X Thật vậy, giả sử {Auj} là dãy hội tụ đến

v ∈ X Vì {Auj} là dãy Cauchy trong X nên ta có

Ta chứng minh A(X) = X Giả sử A(X) ⊂ X, A(X) đóng Ta lấy u ∈ X mà

u /∈ A(X), trực giao với A(X), tức là

(u, Au) = a(u, u) = 0

Vì ||u||2 ≤ 1

γa(u, u) = 0 nên u = 0, tức là A(X) = X Vậy A : X → X làsong ánh

Giả sử F (u) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Theo định lý Frech´et tồn tại duy nhất g ∈ X sao cho

Riesz-F (u) = (g, u)

Khi đó, tồn tại f ∈ X sao cho Af = g Do đó

F (u) = (g, u) = (Af, u) = a(f, u) ∀ u ∈ X

1.6 Định lý Lax Milgram đối với không gian

Hilbert phức

Xét V là không gian Hilbert phức với tích vô hướng (u, v), u, v ∈ V thỏa mãnđiều kiện (u, v) = (v, u) với mọi u, v ∈ V Kí hiệu V0 là đối ngẫu của V (khônggian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trong V )

Theo định lý Riesz, với mọi L ∈ V0 tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho

L(v) = (u, v)Vvới mọi u, v ∈ V

Ví dụ 1.29 Ω là tập mở trong Rn, H10(Ω) là bổ sung của C0∞(Ω) trong H10(Ω).Đặt V = H1(Ω), V0 = H−1(Ω) là đối ngẫu của H10(Ω)

Giả sử a(u, v), u, v ∈ V , là dạng song tuyến tính liên tục trong V Với mọi

u ∈ V ta có thể xác định một phiếm hàm tuyến tính L trên V theo công thức

L(v) = a(u, v), v ∈ V

Khi đó L là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên V và thỏa mãn

||L(v)|| = |a(u, v)| ≤ c · ||u|| · ||v||, với mọi v ∈ V

Theo định lý Riesz, khi đó tồn tại duy nhất Au ∈ V sao cho

L(v) = (Au, v)V = a(u, v), v ∈ V

Trong đó A : V → V là toán tử liên kết dạng song tuyến tính a(u, v)

Định nghĩa 1.30 Dạng song tuyến tính liên tục a(u, v) được gọi là thỏa mãnđiều kiện bức nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho

|a(u, u)| ≥ c · ||u||2, ∀ u ∈ V (1.10)Định lý 1.31 (Định lý Lax Milgram) Nếu a(·, ·) là dạng song tuyến tínhliên tục thỏa mãn điều kiện bức thì toán tử A liên kết với dạng song tuyến tínha(u, v) là một đẳng cấu từ V lên V0

Chứng minh Ta có A là toán tử liên tục Thật vậy

||Au||2 = (Au, Au) = a(u, Au) ≤ ||u|| · ||Au|| ⇒ ||Au|| ≤ ||u||

Toán tử A là đơn ánh Thật vậy, nếu

(u, Au) = 0 ⇒ a(u, u) = 0 ≥ c||u||2 ⇒ u = 0

Ảnh của A là trù mật vì nếu u ∈ V , u trực giao với ImA thì

(u, Au) = 0 ⇒ a(u, u) = 0 ⇒ u = 0

Ảnh của A là đóng Thật vậy, với mọi v ∈ V , ta có

j→+∞vj = v trong

V Do A là ánh xạ liên tục nên

Av = f

Suy ra ảnh của A là đóng trong V0 Vậy A là song ánh từ V lên V0.

Từ (1.7) và định lý Banach về ánh xạ ngược suy ra A−1 liên tục Vậy A làđẳng cấu từ V lên V0

Giả sử V là không gian Hilbert, H là không gian Hilbert sao cho V ⊂ H,phép nhúng liên tục và trù mật Nếu f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Hthì f ∈ V0 Nếu h ∈ H, ta xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H theocông thức

v 7−→ (h, v)H = f (v), v ∈ H

Do V nhúng liên tục trong H nên f (v) = (h, v)H cũng liên tục trong V nên

f ∈ V0 Ánh xạ H → V0 tương ứng mỗi h ∈ H với f ∈ V0 cho phép đồng nhất Hvới không gian con của V0 Ta có

V ⊂ H ⊂ V0

Đặt h ∈ H, Ah = f ∈ V0 Ta chứng minh A là ánh xạ liên tục Thật vậy vì

A là phiếm hàm liên tục trên V nên với mọi v ∈ V :

|(Ah)(v)| ≤ ||Ah||V0 · ||v||V.Mặt khác

|(Ah)(v)| = |(h, v)H| ≤ ||h||H· ||v||H ≤ ||h||H· ||v||V ⇒ ||Ah||V0 ≤ ||h||H

Ta có toán tử A liên tục

Do V nhúng liên tục, trù mật trong H và H ⊂ V0 nên nếu một ánh xạ tuyếntính liên tục H → H thì cũng là ánh xạ tuyến tính liên tục V → V0

Từ đó ta có hệ quả sau của định lý Lax Milgram

Hệ quả 1.32 Giả sử tồn tại λ0 ∈ R và C > 0 sao cho

Rea(u, u) + λ0||u||2H ≥ C · ||u||2V, u ∈ V

Khi đó với mọi λ ≥ λ0, toán tử A + λI là đẳng cấu từ V lên V0

Chứng minh Ta có A + λI là toán tử liên kết dạng song tuyến tính

a1(u, v) = a(u, v) + λ(u, v), u, v ∈ V

a1(u, u) = a(u, u) + λ||u||2, u ∈ V

1.7 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace

1.7.1 Không gian Sobolev H10(Ω)

Giả sử Ω là tập mở bị chặn trong không gian Rn với biên ∂Ω trơn C0∞(Ω)

là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω

(DuDv + uv)dx, ∀u ∈ C0∞(Ω)

Ký hiệu H10(Ω) là không gian nhận được bằng cách bổ sung không gian

C0∞(Ω) theo chuẩn || · ||1 H10(Ω) gồm các hàm suy rộng u ∈ H1(Ω) triệt tiêu

trên biên cùng với các đạo hàm suy rộng theo nghĩa vết (u = 0, ∂u

∂xi = 0 trên

∂Ω theo nghĩa vết)

Khi đó H10(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (1.13) và phép nhúng

H01(Ω) vào L2(Ω) liên tục và compact

1.7.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng

Ta xét bài toán Dirichlet:

ϕ(x)dx

= −Z

ϕ(x)dx

= −Z

=Z

(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞(Ω)

Nếu f (x) là hàm không liên tục trong Ω thì bài toán (1.14) nói chung không

có nghiệm trong C2(Ω) Vì vậy khi đó nghiệm bài toán (1.14) cần hiểu theonghĩa suy rộng Ta có định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán như sau

Định nghĩa 1.33 Giả sử f (x) ∈ L2(Ω) Khi đó hàm u ∈ H10(Ω) được gọi lànghiệm suy rộng của bài toán (1.14) nếu

(Du, Dϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞(Ω),hay

(u, ϕ)1 = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞(Ω),trong đó (u, ϕ)1 là tích vô hướng trong H10(Ω)

Chú ý 1.34 Giả sử nghiệm suy rộng u ∈ H10(Ω) ∩ C2(Ω) ta có:

Từ đó suy ra −∆u = f trong Ω Vậy u là nghiệm cổ điển của bài toán (1.14)

1.7.3 Toán tử của bài toán Dirichlet

Định nghĩa 1.35 Không gian đối ngẫu của H10(Ω) được ký hiệu là H−1(Ω):

f ∈ H−1(Ω) nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H10(Ω)

và các phép nhúng là trù mật, liên tục, hơn nữa phép nhúng H10(Ω) vào L2(Ω)

là compact

Ta xác định toán tử −∆:

−∆ : H10(Ω) → H−1(Ω)sao cho:

(−∆u, v) = (Du, Dv), ∀u, v ∈ H10(Ω),miền xác định:

= −Z

Từ định nghĩa của toán tử −∆ ta suy ra các tính chất sau

(1) (−∆u, v) = (Du, Dv) = (u, −∆v), ∀u, v ∈ D(−∆), suy ra −∆u là toán

tử tự liên hợp

(2) (−∆u, u) = (Du, Du) = ||u||21 ≥ 0, ∀u ∈ D(−∆), suy ra −∆ là toán tửxác định dương (−∆u, u) = 0 khi và chỉ khi u = 0

Vậy −∆ là toán tử tự liên hợp xác định dương

1.7.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet

Định lý 1.36 Toán tử −∆ : H10(Ω) → H−1(Ω) là ánh xạ 1-1 lên