Luận văn thạc sĩ toán học Phương trình hàm đa thức

Các bƠi toán nƠy th ng lƠ khó, đôi khi r t khó... 20 nguyên, nguyên t cùng nhau... mơu thu n!... Bài toán trên có th t ng quát thành bài toán sau:.

Mẩ S : 60 46 01 13

NG I H NG D N KHOA H C: TS L U BÁ TH NG

Hà N i – N m 2016

2

M C L C

Trang

Trang ph bìa 01

M c l c 02

L i cam đoan 04

Tóm t t lu n v n 05

M U 06

Ch ng 1 KI N TH C C B N 1.1 VÀNH CÁC A TH C M T BI N 08

1.2 A TH C TRÊN M T TR NG S ầầầầầầầầầ.ầầầ 12 1.2.1 M t s tính ch tầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.ầầ 12 1.2.2 M t s ví d ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.ầ 16

1.3 A TH C TRÊN TR NG ầầầầầầầầầầầầầầầ 18 1.3.1 Nghi m h u t c a đa th c v i các h s nguyênầầầầầầầ.ầ 18 1.3.2 a th c b t kh quy trên tr ng các s h u t vƠ các tiêu chu n Eisenstein; Osada; Polyaầầầầầầầầầầầầầầầầ ầầ 19

1.4 A TH C TRÊN VÀ TRÊN ầầầầầầầầầầầ.ầầ 24

1.5 VÀNH A TH C NHI U BI Nầầầầầầầầầầầầ ầ 27

1.5.1 Xơy d ng vƠnh các đa th c nhi u bi nầầầầầầầầ.ầầầầ 27 1.5.2 B c c a đa th c nhi u bi nầầầầầầầ ầầầầầầ.ầầầ 28 K t lu n Ch ng 1 29

Ch ng 2 M T S D NG PH NG TRỊNH HĨM A TH C 2.1 PH NG TRÌNH HÀM A TH C M T BI N 31

2.1.1 Ph ng trình có d ng xP x a    x b P x    31

2.1.2 Ph ng trình có d ng P f x P g x       P h x   ầầầầầầầ 39 2.1.3 Ph ng trình có d ng P f x P g x       P h x   Q x ầầầầ 53

2.1.4 BƠi t p t luy n 61

2.2 PH NG TRÌNH HÀM A TH C NHI U BI N……… 62

2.2.1 M t s ví d 62

2.2.2 BƠi t p t ng t 65

2.3 M T S D NG PH NG TRÌNH HÀM A TH C KHÁC.ầầầ 65 2.3.1 M t s ví d 65

2.3.2 BƠi t p t ng t 71

2.3.3 BƠi t p t luy n 73

K t lu n Ch ng 2 74

K T LU N VĨ KHUY N NGH 1 K t lu n 75

2 Khuy n ngh 75

TĨI LI U TRệCH D N 76

4

L I CAM OAN

Tôi xin cam đoan d i s giúp đ , h ng d n, ch b o t n tình c a TS

L u Bá Th ng, lu n v n cao h c chuyên ngƠnh ph ng pháp Toán s c p v i

đ tƠi “Ph ng trình hàm đa th c” lƠ công trình nghiên c u c a riêng tôi

trong th i gian h c t p vƠ nghiên c u t i tr ng i h c Th ng Long

Trong quá trình nghiên c u vƠ th c hi n lu n v n, tác gi đư k th a vƠ phát huy nh ng k t qu c a các nhƠ khoa h c v i s trơn tr ng vƠ bi t n

Hà N i, tháng 06 n m 2016

Tác gi

D ng Th Ph ng

6

Ph ng trình hƠm nói chung vƠ ph ng trình hƠm đa th c nói riêng lƠ

m t trong nh ng l nh v c hay vƠ khó c a toán s c p Trong các kì thi Olympic Toán h c Qu c gia, Khu v c vƠ Qu c t th ng xuyên xu t hi n các bƠi toán ph ng trình hƠm vƠ ph ng trình hƠm đa th c Các bƠi toán nƠy

th ng lƠ khó, đôi khi r t khó gi i các bƠi toán đó tr c tiên ta ph i n m

v ng các ki n th c v ph ng trình hƠm vƠ các tính ch t c a đa th c, đ ng

Nh m nơng cao hi u qu giáo d c trong nhƠ tr ng ph thông vƠ góp

ph n t ng b c nơng cao ch t l ng c a công tác b i d ng h c sinh gi i, tôi

ch n đ tƠi “Ph ng trình hàm đa th c” lƠm lu n v n cao h c c a mình

Lu n v n g m M đ u, hai Ch ng, K t lu n vƠ TƠi li u tham kh o

Ch ng 1: Trình bƠy v nh ng ki n th c c b n đ c dùng trong

ch ng 2 nh : vƠnh đa th c, đa th c trên m t tr ng s , đa th c trên tr ng

s h u t , tr ng s th c vƠ tr ng s ph c

Ch ng 2: Trình bƠy chi ti t các d ng ph ng trình hƠm đa th c thông

d ng m i d ng b t đ u b ng m t s tính ch t quan tr ng sau đó nêu ra các

ví d đi n hình minh h a, ti p đ n lƠ các bƠi t p t ng t vƠ cu i cùng lƠ các bƠi t p t luy n Qua đó, giúp ng i gi i toán d hình dung vƠ n m b t đ c

ph ng pháp gi i t ng lo i ph ng trình hƠm đa th c

Lu n v n đ c hoƠn thƠnh t i tr ng i h c Th ng Long d i s

h ng d n khoa h c vƠ ch b o t n tình c a TS L u Bá Th ng, i h c S

ph m HƠ N i LƠ ng i h c trò đư ti p thu đ c nhi u đi u b ích, quý báu t

Th y, tôi xin đ c bƠy t lòng bi t n sơu s c đ i v i s quan tơm, đ ng viên

đ tôi trong quá trình h c t p vƠ th c hi n lu n v n nƠy

Tôi xin c m n Ban Giám hi u, t chuyên môn Toán – tin, các đ ng

nghi p Tr ng THPT Yên D ng s 3, B c Giang đư t o đi u ki n giúp đ , góp ý cho tác gi trong th i gian h c t p vƠ th c hi n lu n v n nƠy

M c dù tác gi đư h t s c c g ng nh ng do th i gian có h n, kinh nghi m nghiên c u vƠ vi t lu n v n còn h n ch nên không tránh kh i nh ng thi u sót Tác gi r t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a quý th y cô

vƠ b n đ c đ lu n v n đ c hoƠn thi n h n

Hà N i, tháng 06 n m 2016

Tác gi

D ng Th Ph ng

8

CH NG 1

KI N TH C C B N 1.1 VĨNH CÁC A TH C M T BI N

Cho A lƠ m t vƠnh giao hoán có đ n v 1 Kí hi u

n

i i i n n s i

f a a x a x đ c g i lƠ có b c n vƠ vi t lƠ deg f n n u an 0,

trong tr ng h p nh v y ta g i an lƠ h t cao nh t c a f

Quy c: a th c 0 lƠ m t đa th c có b c 

Th c ch t c a vi c lƠm trên lƠ xơy d ng m t vƠnh A x   m r ng c a

,

A thông qua đ nh ngh a hình th c cho cái g i lƠ đa th c c a bi n x trên ,A

mƠ b n ch t th c s lƠ đ nh ngh a hình th c cho ph n t siêu vi t x Bơy gi

10

Do A đ ng c u v i vƠnh con T1 c a T nên khi đ ng nh t aA v i

a,0,0,  T1 chúng ta đư nhúng đ c A vƠo T vƠ ta có th coi A lƠ m t vƠnh con c a T

t  0,1,0,0,0,  D dƠng ki m tra các l y th a sau đơy: T

0,1,0,0,0, ;0,0,1,0,0, ;0,0,0,1,0, ;

0,0,0, ,0,1,0, ;

0 1 n 0

a   a a 

Xét t ng ng : A x  T A  cho b i f x  f   D ki m tra đ c

 lƠ m t đ ng c u vƠnh V y A    A x

nh lí 1.1.1 Cho A lƠ m t mi n nguyên Khi đó vƠnh các đa th c A x   lƠ

m t mi n nguyên NgoƠi ra, n u f g A x,    lƠ các đa th c khác đa th c 0, thì

Vì A lƠ m t mi n nguyên nên a b khác 0, do đó f g 0 V y A x   lƠ m t

mi n nguyên C ng t ch ng minh v a r i, ta suy ra:

g i lƠ m t c chung c a f vƠ g n u c f vƠ g đ u chia h t cho d d

đ c g i lƠ m t c chung l n nh t c a f vƠ g, n u d lƠ m t c chung

c a f vƠ g, đ ng th i d chia h t cho m i c chung c a f vƠ g c chung l n nh t c a hai đa th c, đ c xác đinh duy nh t sai khác m t nhơn t

kh ngh ch c a A N u m t c chung l n nh t d c a f vƠ g lƠ kh ngh ch (t t nhiên lúc đó dA), thì f vƠ g g i lƠ nguyên t cùng nhau a th c f

12

đ c g i lƠ kh quy trên ,A n u có hai đa th c g h A x,    không kh ngh ch,

đ f g h a th c f đ c g i lƠ b t kh quy trên ,A n u không có hai đa

L c đ tính f c   vƠ c g x   theo cách nƠy, đ c g i lƠ L c đ Horner

nh lí 1.2.1.2 (Bézout) N u K lƠ nghi m c a đa th c b c d ng

f   ta rút ra f x   x  g x , vƠ degg x deg f x  1

H qu 1.2.1.3 Cho m t đa th c b c d ng f x K x  Khi đó ta có:

(i) N u 1, ,mK lƠ các nghi m c a f x  , thì

   1 2  m  

f x  x x x g x

v i g x K x  có degg x deg f x  m

(ii) S nghi m c a đa th c trong K không v t quá b c c a f x  

nh lí Bézout lƠ c s cho khái ni m nghi m b i c a m t đa th c,

đ c phát bi u r ng: K đ c g i lƠ m t nghi m b i k1 c a đa th c b c

d ng f x K x  n u    1  

k

f x  x g x v i k nguyên d ng vƠ

a

a

nh lí 1.2.1.5 (Lagrange) Cho f x   lƠ m t đa th c b c n trên m t tr ng

K vƠ x x0, , ,1 xn lƠ n1 ph n t phơn bi t trong K t

k i

k i

k i

Ta s ch ng minh đ nh lí nƠy b ng quy n p theo b c c a đa th c D ki m tra

đ c tr ng h p b c 0 Gi s phát bi u đư đúng cho t t c đa th c có b c

i i

i i

18

t  max p x 0 , , p x n  D th y r ng f x i i n i!  !, nên ta có các b t đ ng th c:

Khi đó n u s h u t p

q v i p q,  lƠ nghi m c a ph ng trình 1 f x  0

thì ta có các kh ng đ nh sau:

(i) p lƠ m t c c a an vƠ q lƠ m t c c a a0

(ii) pmq lƠ c c a f m   v i m i s nguyên m

Vì p q,  1 nên p lƠ m t c c a an vƠ q lƠ m t c c a a0

(ii) Khai tri n f x   theo các l y th a c a x m ta đ c:

20

nguyên, nguyên t cùng nhau a th c nƠy đ c g i lƠ m t đa th c nguyên

b n

B đ 1.3.2.1 (Gauss) N u g h,   x thì cont g h cont g cont h

Ch ng minh Ch c n ch ng minh cho tr ng h p cont g cont h  1 lƠ

đ , vì thay cho vi c xét g vƠ h ta xét các đa th c

a b  vƠ cont g cont h  1 Gi s cont( )gh   d 1 G i p lƠ m t

c nguyên t c a d Khi đó t t c các h s c a g h đ u chia h t cho p,trong khi g vƠ h có nh ng h s không cùng chia h t cho p G i ar vƠ bs lƠ

nh ng h s đ u tiên c a g vƠ h t ng ng mƠ không chia h t cho p Khi đó

T b đ trên ta suy ra h qu sau:

H qu 1.3.2.2 Tích c a hai đa th c nguyên b n c ng lƠ m t đa th c nguyên

nguyên b n Khi đó vì r s f   r g s h vƠ f lƠ m t đa th c nguyên b n, cùng v i m g vƠ sh thu c  x , nên r s nguyên d ng Theo B đ 1.3.2.1,

ta có: r scontr s fcont r g cont s h  V y 1 r s  1

Do đó f   r g s h lƠ m t phơn tích c a f trong  x

Do k t qu nƠy, nên ta có th chuy n vi c xét tính b t kh quy c a các

đa th c thu c  x v vi c xét tính b t kh quy trong  x Sau đơy lƠ m t

s tiêu chu n đ có th ki m tra m t đa th c thu c  x lƠ b t kh quy

nh lí 1.3.2.4 (Tiêu chu n Eisenstein) Cho m t đa th c

v i r deg , g sdegh0, r   Vì s n b c0 0 a0 chia h t cho p, nên ít nh t

m t trong hai s b0 ho c c0 ph i chia h t cho p Xét ch ng h n b0 chia h t

cho p Vì a0 không chia h t cho 2

p nên c0 không chia h t cho p Khi đó

n u t t c các bi đ u chia h t cho p thì an c ng ph i chia h t cho p (mơu thu n v i gi thi t) Do đó ph i t n t i m t b j không chia h t cho p G i i lƠ

ch s nh nh t đ bi không chia h t cho p Khi đó vì

0 1 1 0

a b c b c  b c vƠ ai cùng v i t t c các s h ng b ci1 1, ,b c0 i đ u

22

chia h t cho p nên b ci 0 c ng ph i chia h t cho p (mơu thu n!) i u nƠy

ch ng t f lƠ m t đa th c b t kh quy trên

Ví d 1.3.2.5 V i m i s nguyên t p, ch ng minh r ng đa th c

m i i p Theo tiêu chu n Eisenstein đa th c !p f lƠ b t kh quy trên

Ví d 1.3.2.6 Ch ng minh r ng n u p lƠ m t s nguyên t , thì đa th c

Theo tiêu chu n Eisenstein, thì v ph i lƠ m t đa th c b t kh quy trên Do

đó f x  1 b t kh quy trên Vì f x   lƠ m t đa th c nguyên b n nên

Gi s f x   lƠ kh quy Khi đó f x g x h x   , v i g vƠ h lƠ nh ng đa

th c b c d ng v i các h s nguyên Vì p lƠ m t s nguyên t nên m t trong các s h ng t do c a g hay h ph i b ng 1, ch ng h n h s t do c a

g b ng 1 Do đó tr tuy t đ i c a tích các nghi m c a g trong tr ng ph c

Mơu thu n nƠy ch ng t r ng f x   lƠ m t đa th c b t kh quy trên

Ví d 1.3.2.8 Ch ng minh r ng n u p lƠ m t s nguyên t l , thì đa th c

24

v y m s n, ta th y ngay g d i  vƠ 0 g d  i chia h t cho f d i Do đó

.2

m

g d  f d  Theo Ví d 1.3.2.8, t n t i i đ   !

.2

f i   v i m i 1,2, ,100.i Do đó theo tiêu chu n Polya, thì

f  f chia h t cho 26 3  t c lƠ chia h t cho 23

Nh ng f 26  f 3 1931 1995   64 không chia h t cho 23 Do v y không t n t i đa th c v i h s nguyên th a mưn đ bƠi

1.4 A TH C TRÊN VĨ TRÊN

Vì lƠ tr ng đóng đ i s nên đa th c b t kh quy m t n trên ch

lƠ nh ng đa th c b c m t Chính vì lí do nƠy mƠ ta ch c n xét đa th c b t kh quy trên

nh lí 1.4.1 Cho m t đa th c b c d ng f x   x Khi đó f x   lƠ m t

đa th c b t kh quy khi vƠ ch khi ho c f x ax b a ,  0 ho c

    thì f x   lƠ b t kh quy trên Ta ch ng minh

đi u ng c l i Gi s f x   x lƠ m t đa th c b t kh quy v i

0 f   f  , nên f x   còn nghi m  Khi đó f x   ch a nhơn t

x x  x hay f x   lƠ kh quy (mơu thu n !) Tóm l i,

1 n ns 1 1 d dr ,

f x a x x x b x c x b x ctrong đó  1  2 s vƠ 2

i i

b  c  v i m i 1,2, , ;i r cùng v i

b c1, 1  b c2, 2  b cr, r

(theo th t t đi n) V y ta th y ngay s phơn tích nƠy lƠ duy nh t

Ví d 1.4.3 Cho f x   , g x lƠ 2 đa th c v i h s nguyên th a mưn đi u

1

x   x MƠ f 1 xg 1 có b c nh h n ho c b ng 1 nên

f g  M t cách t nhiên ta thêm b t f 1 vƠ g 1 vƠ áp d ng tính

ch t f a  f b  chia h t cho ab v i f x   lƠ m t đa th c v i h s nguyên, a b đ đi đ n k t qu

1.5 VĨNH CÁC A TH C NHI U BI N

1.5.1 Xơy d ng vƠnh các đa th c nhi u bi n

nh ngh a 1.5.1.1 Gi s A lƠ m t vƠnh giao hoán có đ n v t

th c c a n bi n x x1, 2, ,xn l y h t trong vƠnh A M i ph n t c a An đ c

g i lƠ m t đa th c c a n bi n l y h t trong vƠnh A a th c có d ng

1

1 a a n, ,n

cx x c A đ c g i lƠ m t đ n th c Hai đ n th c 1

1 a a n,n

ax x a vƠ A

1

1 b b n, n

(iii) f x x 1, 2, ,xng x x 1, 2, ,xn khi vƠ ch khi ci di v i  i 1,2, , m

(iv) T ng, hi u, tích c a f x x 1, 2, ,x n vƠ g x x 1, 2, ,x n lƠ

cx x vƠ 1

1 b b n.n

c x x (ii) N u c d  thì h ng t cao nh t c a đa th c tích 0

cách xơy d ng vƠnh các đa th c m t bi n, vƠnh các đa th c nhi u bi n Bên

c nh đó còn trình bƠy các tính ch t quan tr ng c a đa th c trên m t tr ng s trong đó có đ nh lí Bézout vƠ h qu c a nó lƠ m t công c m nh đ gi i

30

quy t các bƠi toán v đa th c vƠ ph ng trình hƠm đa th c NgoƠi ra trong

ch ng 1 còn gi i thi u m t s tính ch t c a đa th c trên tr ng s h u t , s

th c vƠ s ph c, các tiêu chu n đ ch ng minh m t đa th c lƠ b t kh quy Qua đó tác gi c ng đ a ra m t s ví d minh h a giúp ng i đ c d dƠng

th y đ c s v n d ng hi u qu c a các tính ch t trong các bƠi toán đa th c

CH NG 2

2.1 PH NG TRỊNH HĨM A TH C M T BI N

2.1.1 Ph ng trình có d ng xP x a    x b P x   

Trong ph n nƠy ta s d ng m t s tính ch t sau:

1) N u P x   x lƠ đa th c tu n hoƠn, t c lƠ t n t i a 0 sao cho

P x a P x v i m i x thì P x c,   (x c lƠ m t h ng s )

2) Trong  x m i đa th c đ u phơn tích đ c d i d ng tích các nhơn t

b c nh t vƠ các nhơn t b c hai v i bi t th c ơm

3) N u đa th c P x   v i deg P x  vƠ n P x   có nhi u h n n nghi m (k

c nghi m b i) thì nó lƠ đa th c 0

tr đ tìm nghi m c a đa th c Sau đó áp d ng đ nh lí Bézout lƠ m t k t qu

m nh trong gi i toán đa th c (đ nh lí Bézout không đúng v i hƠm s tùy ý)

BƠi gi i

L n l t thay x0,x 1ta đ c P 0 P 1  0 Do đó x 0;1 lƠ nghi m

c a đa th c P x Suy ra   P x   x x1  Q x Thay vƠo gi thi t ta đ c:

x x x Q x x x x Q x   x

nghi m v i m i n Do đó P x   có vô s nghi m, mơu thu n V y đi u

gi s lƠ sai, ta đư ch ng minh đ c a ph i lƠ m t c nguyên d ng c a

2016, a1;2;1008;2016 

,n

Th l i ta th y c b n đa th c đ u th a mưn đ bƠi

BƠi toán t ng quát Cho hai s th c ,a b (a 0) vƠ đa th c ( )P x th a mưn

xP x a  x b P x   (2.1.1) x

a) Ch ng minh r ng n u b *

a thì P x  0

34

b) Hưy tìm đa th c P x n  u *

bn

Th l i P x cx x a  x2a xn1a ta th y th a mưn yêu c u bƠi toán V y P x cx x a  x2a xn1a (clƠ m t h ng s )

Do đó H x 2H x ,   x

Hay H x  v i c, c lƠ h ng s T đó ta thu đ c:

trong đó Q x   c ng lƠ m t đa th c

Thay P x   vƠo ph ng trình đư cho ta đ c Q x Q x 2  Suy ra

Khi đó P x   x2x4x8  Q x Thay vƠo (B2.1.1.4) ta đ c:

Q x Q x Q x  cSuy ra P x  c x2x4x8 

V y P x  c x2x4x8  (c lƠ h ng s )

Bài toán trên có th t ng quát thành bài toán sau: