Luận văn thạc sĩ toán học chỉ số véc tơ và ứng dụng trong nghiên cứu ổn định phương trình vi phân

MỞ ĐẦUNăm 1892, Lyapunov đã đưa ra và sử dụng khái niệm số mũ đặc trưng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyếntính.. Khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov đã đư

Mục lục

1 Vectơ đặc trưng của nghiệm của hệ phương trình vi phân

1.1.Vectơ đặc trưng 6

1.1.1 Số mũ Lyapunov 6

1.1.2 Vectơ đặc trưng của hàm số 9

1.1.3 Vectơ đặc trưng của ma trận hàm 19

1.2 Phương trình vi phân đại số 21

1.2.1 Chỉ số của cặp ma trận 21

1.2.2 Phương trình vi phân đại số tuyến tính 24

2 Vectơ đặc trưng của nghiệm của hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 29 2.1 Vectơ đặc trưng của nghiệm của hệ phương trình vi phân đại số 29

2.2 Hệ cơ bản chuẩn tắc của phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 32

2.3 Hệ chính qui cấp m 38

3 Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân và phương

3.1 Sự ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân

thường nhờ khái niệm vectơ trên 433.2 Tính ổn định tiệm cận mũ của nghiệm tầm thường của phương

trình vi phân đại số 583.3 Định nghĩa vectơ đặc trưng ổn định (cấp m) của hệ vi phân

đại số tuyến tính chỉ số 1 77

MỞ ĐẦU

Năm 1892, Lyapunov đã đưa ra và sử dụng khái niệm số mũ đặc trưng

để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyếntính Khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov đã được Hoàng Hữu Đường

mở rộng thành khái niệm số mũ vectơ đặc trưng (chỉ số vectơ đặc trưng)

để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong trườnghợp tới hạn vào những năm 1965 - 1982

Bắt đầu từ những năm 1980, do nhu cầu thực tiễn và phát triển lýthuyết, phương trình vi phân đại số đã được chú ý và nghiên cứu sâu rộng.Nhiều tác giả Việt Nam: GS Phạm Kỳ Anh, GS Nguyễn Đình Công, GS.Nguyễn Hữu Dư, PGS Vũ Hoàng Linh, TS Lê Công Lợi, GS Vũ NgọcPhát, GS Vũ Tuấn đã tham gia nghiên cứu và giải quyết các vấn đềkhác nhau của phương trình vi phân đại số

Một câu hỏi được đặt ra một cách khá tự nhiên là: Có thể sử dụng lýthuyết số mũ đặc trưng của Lyapunov để nghiên cứu các tính chất địnhtính của phương trình vi phân đại số? Vấn đề này đã được Nguyễn ĐìnhCông và Hoàng Nam nghiên cứu, giải quyết trong [3] và [5], [6]

Trong luận văn, chúng tôi đặt vấn đề sử dụng khái niệm vectơ đặc trưngcủa Hoàng Hữu Đường để nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số Cácvấn đề luận văn quan tâm là:

1) Đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình viphân đại số tuyến tính chính qui chỉ số 1; trình bày mối quan hệ giữa vectơđặc trưng của nghiệm của phương trình vi phân đại số và vectơ đặc trưngcủa nghiệm của phương trình vi phân thường tương ứng.

2) Hệ cơ bản chuẩn tắc của phương trình vi phân đại số tuyến tínhchính qui chỉ số 1

3) Hệ chính qui cấp m

4) Định nghĩa sự ổn định (cấp m) của các vectơ đặc trưng của phươngtrình vi phân đại số thuần nhất đối với các nhiễu động tuyến tính và phituyến Các kết quả nhận được trong luận văn tương tự các kết quả tươngứng trong [3]

Chúng tôi cũng ý thức được rằng các kết quả trong luận văn còn ở giaiđoạn sơ khai Tuy nhiên theo cảm nhận của chúng tôi đây là đề tài đángđược quan tâm

Luận văn gồm phần Mở đầu, 3 chương, phần Kết luận và các tài liệutham khảo

Trong chương 1, chúng tôi nhắc lại khái niệm số mũ đặc trưng; trìnhbày lại khái niệm vectơ đặc trưng của hàm số và ma trận hàm cùng cácchứng minh một cách chi tiết một số tính chất của vectơ đặc trưng Đồngthời, chúng tôi cũng trình bày lại một số kiến thức cơ bản về phương trình

vi phân đại số tuyến tính nhằm phục vụ cho chương sau

Chương 2 chúng tôi đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng của nghiệm vàphổ của hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Đồng thời cũng đưa rakhái niệm hệ cơ bản chuẩn tắc của phương trình vi phân đại số tuyến tínhchỉ số 1, hệ chính qui cấp m dựa trên sự mở rộng các khái niệm tương ứng

của hệ phương trình vi phân tuyến tính trong [2].

Trong chương 3, chúng tôi trình bày lại khái niệm vectơ trên được dùng

để nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến trongtrường hợp tới hạn của hệ tuyến tính tương ứng Đồng thời cũng trìnhbày lại khái niệm số mũ trung tâm của phương trình vi phân đại số tuyếntính được dùng để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận mũ của nghiệm củaphương trình vi phân tuyến tính tương ứng Và phần cuối cùng chúng tôiđưa ra các khái niệm: vectơ đặc trưng của phương trình vi phân đại sốtuyến tính thuần nhất chính qui chỉ số 1 ổn định (cấp m) đối với các nhiễuđộng tuyến tính và nhiễu động phi tuyến

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Tạ Duy Phượng,người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiếnthức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban lãnh đạo Viện Toánhọc, Viện Khoa học và công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện thuận lợitrong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành tốt luận văn

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến những người bạn và nhữngngười thân trong gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên, giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, ngày 20 tháng 8 năm 2011

Người thực hiệnNguyễn Thị Khuyên

1.1 Vectơ đặc trưng

Năm 1982 trong luận án Tiến sĩ khoa học của mình, Hoàng Hữu Đường

đã đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng là mở rộng khái niệm số mũ đặc trưngLyapunov và áp dụng vectơ đặc trưng nghiên cứu tính ổn định nghiệm của

hệ phương trình vi phân trong trường hợp tới hạn Trước tiên chúng tanhắc lại khái niệm số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số, matrận hàm và một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov

1.1.1 Số mũ Lyapunov

Xét hàm số thực f (t) = eαt, trong đó α là số thực Số α đặc trưng chotốc độ tăng trưởng của hàm eαt: Nếu α > 0 thì eαt → +∞ khi t → +∞;

nếu α = 0 thì eαt = 1 là hằng số với mọi t; nếu α < 0 thì eαt → 0 khi

t → +∞ Số α được gọi là số mũ đặc trưng của hàm eαt

Từ nay về sau, vì ta chỉ xét t → +∞ nên để cho gọn, khi t → +∞ tachỉ viết t → ∞

Ta có thể viết |f (t)| = eα(t).t, trong đó α(t) = 1

t ln |f (t)| Như vậy, để

so sánh sự tăng trưởng của hàm |f (t)| với hàm mũ, điều cần thiết là phảixem xét giá trị của hàm α(t), trên cơ sở đó chúng ta đưa vào khái niệm

số mũ đặc trưng của hàm số như sau

Định nghĩa 1.1.1 [3] Giả sử f (.) là hàm nhận giá trị thực xác định trênkhoảng J = [t0, +∞) Số (hoặc giá trị +∞, −∞) xác định bởi công thức

χ(f ) := lim

t→∞

1

t ln |f (t)|

được gọi là số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số f (.)

Nói chung số mũ Lyapunov có thể hữu hạn hoặc vô hạn, nhưng sau nàychúng ta chủ yếu xét trường hợp số mũ Lyapunov là hữu hạn Chúng taqui ước ln 0 = −∞, do đó nếu f (t) ≡ 0 thì χ(f ) = −∞

Ngược lại, nếu có một số α nào đó mà với mỗi  > 0 bất kỳ ta đều có(1.1) thì χ(f ) ≤ α; nếu có (1.2) thì χ(f ) ≥ α Cuối cùng, nếu có cả haicông thức (1.1) và (1.2) thì χ(f ) = α.

Như vậy, nếu χ(f ) = α thì khi t → ∞ hàm số y = |f (t)| tăng chậmhơn bất kỳ một hàm mũ y1 = e(α+)t với  > 0 bất kỳ Hơn nữa, hàm

|f (t)|e−(α+)t → 0 và theo một dãy tk → ∞ nó tăng nhanh hơn hàm

Giả sử F (.) = [fjk(.)] là n × q ma trận hàm xác định trên J.

Định nghĩa 1.1.3 [3] Số (hoặc giá trị ±∞) χ(F ) := max

j,k χ(fjk(t)) đượcgọi là số mũ Lyapunov của ma trận hàm F (.)

Số mũ Lyapunov của ma trận hàm cũng có một số tính chất tương tự

số mũ Lyapunov của vectơ hàm

i) Nếu F (.) là ma trận vuông thì χ(FT) = χ(F ) với FT(t) là ma trậnchuyển vị của ma trận F (t) với t ∈ J

1.1.2 Vectơ đặc trưng của hàm số

Định nghĩa 1.1.4 ([2], trang 5) Xét một không gian tuyến tính A (trênR) và một ánh xạ tùy ý χ : A → ∆ trong đó ∆ là một tập có thứ tự ().Đặt

Tập các Aδ, δ ∈ ∆ lập nên một cái lọc của không gian A

ii) Với mọi x1, x2 ∈ Aα, χ(x1 + x2)  max(χ(x1), χ(x2))

Chứng minh Giả sử χ là ánh xạ mũ và χ(x) = δ, χ(cx) = β với mọi

x ∈ Aα, mọi số thực c 6= 0, mọi δ, β ∈ ∆ Ta chứng minh δ = β Vì

χ(x) = δ nên x ∈ Aδ Do đó cx ∈ Aδ hay χ(cx)  δ Suy ra β  δ Vì

χ(cx) = β nên cx ∈ Aβ Suy ra x = 1

c(cx) ∈ Aβ Do đó χ(x)  β hay

δ  β Vậy ta có (i)

Giả sử χ(x1) = α1, χ(x2) = α2 và α1 ≺ α2 với mọi x1, x2 ∈ Aα Vì

α1 ≺ α2 nên Aα1 ⊆ Aα2 Suy ra x1 ∈ Aα2 Do đó x1 + x2 ∈ Aα2 Suy ra

χ(x1 + x2)  α1 Vậy ta có (ii)

Ngược lại, giả sử χ thỏa mãn (i) và (ii), ta chứng minh χ là ánh xạ

mũ, tức là chứng minh Aα là không gian con tuyến tính với mọi α ∈ ∆.Thật vậy, lấy x ∈ Aα, c ∈ R, c 6= 0 Khi đó χ(cx) = χ(x)  α Suy

ra cx ∈ Aα Do đó, nếu x ∈ Aα thì −x ∈ Aα Ta có 0 = x − x và

χ(0)  max(χ(x), χ(−x))  α Do đó 0 ∈ Aα Với mọi x1, x2 ∈ Aα ta có

χ(x1)  α, χ(x2)  α Theo (ii), χ(x1 + x2)  max(χ(x1), χ(x2))  α.Suy ra x1 + x2 ∈ Aα

Định nghĩa 1.1.5 [2] Xét một cơ sở đại số Γ của A sao cho bao tuyếntính L thỏa mãn L(Γ ∩ Aα) = Aα Khi đó Γ được gọi là cơ sở chuẩn tắc.

Xét ánh xạ α(m) : En1 → Rm+1 biến mỗi x(t) thành α(m)(x(t)), trong

đó En1 là không gian nghiệm của (2.2), Rm+1 được sắp thứ tự theo hìnhnón K (được định nghĩa như trong chương 1) Do các tính chất (1.1.2) và(1.1.3) của các vectơ đặc trưng ta thấy rằng α(m) là ánh xạ mũ Dưới đây

Định nghĩa 1.1.6 [2] Vectơ α(m)(x) = (α0, α1, , αm) được gọi là vectơđặc trưng cấp m (chỉ số vectơ cấp m) của x(t).

Nhận xét 1.1.1 Khi m = 0 thì α(0)(x) = α0 chính là số mũ đặc trưngLyapunov của x

Rm+1 trở thành một không gian được sắp thứ tự (toàn phần) theo nón K.Xét tập {α(m)} được sắp thứ tự như sau: Cho

α(m)1 = (α01, α11, , αm1), α(m)2 = (α02, α12, , αm2),

α1(m) ≺ α(m)2 nếu và chỉ nếu tồn tại j ≤ m sao cho αi1 − αi2 = 0, với

i = 0, 1, , j − 1 và αj2 − αj1 > 0

Ký hiệu α(m)1  α2(m) có nghĩa là α(m)1 ≺ α(m)2 hoặc α(m)1 = α(m)2

Ký hiệu θ là phần tử không của Rm Dưới đây ta xét một số tính chấtcủa vectơ đặc trưng đối với hàm số (xem [2], trang 8 - 17)

Tính chất 1.1.1 α(m)(|x(t)|) = α(m)(x(t))

Chứng minh Giả sử max

i α(m)(xi) = (α0, α1, , αm) = α(m).Nếu α0(xi) ≤ α0 với i ∈ {1, , p} nào đó thì với mọi 0 > 0 ta có

|xi(t)| < ae(α0 + 0 )t

Suy ra

Nếu α0(xi) = α0 với mọii = 1, , pthì ta xétα1(xi) Nếuα1(xi) ≤ α1

ta làm như trên Nếu α1(xi) = α1 với mọi i = 1, , p thì ta xét α2(xi).Một cách tổng quát, nếu αj(xi) = αj, j = 1, , l − 1 thì ta xét αl(xi)

với l ≤ m và làm tương tự như trên ta có điều phải chứng minh



e(−α0 +)tk ≥ |xl(tk)|e(−α0 +)tk −



e(−α0 +)t k → ∞

Do đó

 ... lạimột số kiến thức phương trình vi phân đại số tuyến tính

1.2.1 Chỉ số cặp ma trận

Khái niệm số cặp ma trận sử dụng nhiều vi? ??c nghiêncứu phân lớp phương trình vi phân đại số, từ... vectơ đặc trưng nghiệm phương trình vi phân đại số bằngvectơ đặc trưng nghiệm phương trình vi phân thường tương ứngnên ta có số tính chất sở chuẩn tắc vectơđặc trưng phương trình vi phân đại số. .. Vectơ đặc trưng nghiệm hệ phương trình< /h3>

vi phân đại số< /h3>

Dưới xét vectơ đặc trưng nghiệm hệ phương trình

vi phân đại số tuyến tính số Trong trường hợp hệ phương trình