luận văn thạc sĩ toán học phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặcbiệt nó tìm những giá trị của tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi.Thời gian gần đây, lý thuyết này đư

Lời nói đầu 1

1.1 Không gian Banach 9

1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véc tơ riêng 10

1.3 Toán tử Fredholm 11

1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử thế năng 12

1.5 Định lý hàm ẩn 12

2 Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh 13 2.1 Lý thuyết rẽ nhánh 13

2.2 Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh 17

2.2.1 Một vài kí hiệu và bổ đề 17

2.2.2 Các kết quả chính 33

3 Ứng dụng 50 3.1 Kiến thức bổ trợ 50

3.2 Ứng dụng 52

Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặcbiệt nó tìm những giá trị của tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi.Thời gian gần đây, lý thuyết này được sử dụng nhiều để giải quyết những vấn

đề nảy sinh trong vật lý học, sinh học và những môn khoa học tự nhiên khác.Nhiều kết quả của lý thuyết rẽ nhánh đã và đang giải quyết có hiệu quả nhữngvấn đề nảy sinh trong khoa học cũng như trong thực tế cuộc sống và vai trò của

nó ngày càng trở nên quan trọng hơn Việc nghiên cứu những nghiệm rẽ nhánhđối với phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số đã được nhiều người quantâm và nghiên cứu trong nhiều đề tài khoa học Với một tham số của phươngtrình đã cho có nghiệm, với sự thay đổi của tham số, tính duy nhất của nghiệm

có khi không được bảo đảm, nó có thể có hai hoặc nhiều nghiệm khác nhau Vềmặt toán học ta có thể mô tả như sau:

Cho F là một hàm số trên tích của không gian Metric (Λ, d) với D là lâncận của điểm 0 của không gian định chuẩn (X, k.k) vào không gian định chuẩn

(Y, k.k) Giả thiết rằng với λ có v(λ) để F (λ, v(λ)) = 0 Bằng cách tịnh tiến, ta

có thể giả thiết v(λ) = 0 Mỗi nghiệm (λ, 0) được gọi là nghiệm tầm thường của

phương trình

Ta sẽ tìm những nghiệm tầm thường (λ, 0)mà tại những lân cận của nó có tínhchất với δ>0, >0 cho trước, tồn tại nghiệm không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D

của phương trình trên với d(λ, λ) < δ và 0 < kuk <  Nghiệm tầm thường (λ, 0)

này sẽ được gọi là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1), λ được gọi là điểm rẽnhánh Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) đượcgọi là bài toán rẽ nhánh Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta thường để cập tớinhững bài toán sau:

(i) Sự tồn tại nghiệm rẽ nhánh;

(ii) Tồn tại những nhánh nghiệm;

(iii) Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ;

(iv) Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm rẽ nhánh;

(v) Nghiên cứu số nhánh nghiệm;

(vi) Nghiên cứu cấu trúc của các tập nghiệm rẽ nhánh;

(vii) Nghiên cứu sự rẽ nhánh tại vô cùng;

(viii) Nghiên cứu sự rẽ nhánh toàn cục;

Sau đây là một số ví dụ về lý thuyết rẽ nhánh trong hoạt đông thực tiễn:

1 Thời tiết;

2 Quá trình sinh trưởng của sinh vật;

3 Dòng chảy của các con sông;

4 Quá trình sống, yêu đương và trưởng thành của con người;

5 Sự phát triển của một xã hội;

6 Sự phát triển của nền kinh tế trong một thời kỳ;

7 Sự phát triển gen của các tế bào sinh vật;

+Phương pháp giải tích cho những toán tử khả vi dựa trên các định lý hàm ẩn

đã được trình bày trong [4], [10]

Mỗi phương pháp được ứng dụng cho một phương trình khác nhau Dựa vàođịnh lý hàm ẩn, ta dễ dàng thấy rằng mọi điểm rẽ nhánh đều là giá trị riêngcủa phần tuyến tính của phương trình Tuy nhiên không phải giá trị riêng nàocủa phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh Ví dụ:

Xét hệ phương trình vi phân:

u00+ λ(u + v(u2+ v2)) = 0, trong (0, 1) (2)

v00+ λ(v − u(u2+ v2)) = 0, trong (0, 1) (3)

Dễ thấy phần tuyến tính của hệ này có giá trị riêng bội haiλn với n = 1, 2,

Ta nhân phương trình(2) với v và phương trình (3) với usau đó ta lấy tích phâncủa từng phương trình và sử dụng điều kiện(4) rồi trừ hai phương trình đó cho

Rất nhiều những công trình của các tác giả khác nhau cho bài toán (i) − (iii)

với các phương pháp biến phân, Tôpô, giải tích cho những trường hợp đặc biệt,tham số là số thực dạng

T (v) − λC(v) = 0 (λ, v) ∈R× D.

Phương pháp giải tích đối với lý thuyết rẽ nhánh dựa trên tư tưởng củaLiapunov - Schmidt trong [4] sử dụng phép chiếu và đưa phương trình nghiêncứu thành hai phần: một phần nằm trong không gian hữu hạn chiều với số chiều

làp; phần còn lại nằm trong không gian vô hạn chiều trực giao Tức là, ta chuyểnbài toán về p + 1 phương trình pẩn Phần nằm trong không gian hữu hạn chiềuthường được gọi là phương trình rẽ nhánh Phương trình ở trong không gian vôhạn chiều thì giải được duy nhất nghiệm Nếu phương trình rẽ nhánh giải đượcthì bài toán cũng giải được

Trong luận văn này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp giải tích

để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh vàtìm hiểu một vài ứng dụng của nó

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số kiến thức cơ bản trướckhi tiếp cận với lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm một số định nghĩa và định lý được

sử dụng trong việc chứng minh các bổ đề và các định lý trong lý thuyết rẽ nhánh

Chương 2 "Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh" trình bày cáckhái niệm cơ bản về phép chiếu trong không gian Banach và lược đồ Liapunov

- Schmidt (xem [4]) để chuyển phương trình toán tử về hệ phương trình gồmhai phần: phần dễ giải thường nằm trong không gian vô hạn chiều và phần khógiải nằm trong không gian hữu hạn chiều Nhờ lược đồ này, ta nghiên cứu sự rẽnhánh của phương trình phụ thuộc tham số

Cho X là không gian Banach với chuẩn k.k D là tập mở chứa 0 trong X và

Λ là một tập mở của không gian định chuẩn, F : Λ × D −→ X là toán tử phituyến Ta xét sự rẽ nhánh của phương trình (1) với F (λ, v) có dạng

F (λ, v) = T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v),

trong đó, T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục, L(λ, ) là toán tử tuyếntính liên tục với λ ∈ Λ cố định, H : Λ × D −→ Y và K : Λ × D −→ Y là cáctoán tử phi tuyến liên tục sao cho ∀λ ∈ Λ ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0, với (λ, 0)

là nghiệm tầm thường của phương trình (1)

Cho λ ∈ Λ, theo định lý hàm ẩn ta chỉ ra được điều kiện cần để (λ, 0) lànghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) là ker(T − L(λ, )) 6= 0

Giả thiết ker(T − L(λ, )) =Span{v 1 , v2, , vp} là không gian con sinh bởi cácvéc tơ v1, v2, , vp ∈ X. Gọi (T − L(λ, ))∗ là toán tử liên hợp của T − L(λ) và

ker(T − L(λ, ))∗ 6= ∅ Giả sử ker(T − L(λ, ))∗ =Span{ψ1, ψ2, , ψp} là không giancon sinh bởi các véc tơ ψ1, ψ2, , ψp ∈ Y∗ Trong đó Y∗ là không gian liên hợpcủa Y

Tiếp theo để chỉ ra sự tồn tại nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) ta đưa

ra ba giả thiết:

Giả sử Giả thiết 1, 2 là thỏa mãn, ánh xạ A được định nghĩa như trên là toán

tử liên tục khả vi, x ∈Rp, x 6= 0 sao cho

A(x) = 0

Ta sẽ chỉ ra rằng với  > 0 cho trước và Giả thiết 1 − 3 được thỏa mãn thì

(λ, 0) là một nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) Hơn vậy, nếu δ > 0 thì tồntại một lân cận I3 của 0 trong R sao cho với mỗi α ∈ I3, α 6= 0, có thể tìm được

x(α) = (x1(α), x2(α), , xp(α)) ∈ U∗ trong đó U∗ là một lân cận của x 6= 0 trong

Rn Ngoài ra ta có thể tìm được một nghiệm không tầm thường (λ(α), v(α))củaphương trình (1) với

Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy hướng dẫn

GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người đã trực tiếp giúp đỡ và chỉ đạo tận tình

tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này Xinchân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và có những nhận xét quýbáu cho bản luận văn này và tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnhđạo Viện Toán học, trung tâm đào tạo sau đại học, các thầy cô và cán bộ côngnhân viên của Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợicho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại Viện Toán học.Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Tự nhiên, Bangiám hiệu trường Cao đẳng Sư phạm Tỉnh Điện Biên; xin cảm ơn gia đình vàcác bạn lớp cao học Toán K19 - Viện Toán học đã quan tâm, giúp đỡ và độngviên tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này.

Hà Nội, ngày 15 tháng 08 năm 2013

Phạm Thị Thu Phương

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản trước khi tiếp cận với lý thuyết

rẽ nhánh, bao gồm một số định nghĩa và định lý được sử dụng trong việc chứngminh các bổ đề và các định lý trong lý thuyết rẽ nhánh

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian định chuẩn X là một không gian vectơ,trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X, ta có một số ||x|| gọi là chuẩn của nó, saocho các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) ||x|| ≥ 0, ∀ x ∈ X; ||x|| = 0 ⇔ x = 0,

(ii) ||λx|| = |λ|||x||, với mọi x ∈ X, mọi λ ∈R,

(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀ x, y ∈ X

Định nghĩa 1.1.2 Một dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong không gian định chuẩn

X là một dãy xn ∈ X sao cho lim

m,n→∞ ||xn− xm|| = 0.

Định nghĩa 1.1.3 Nếu trong không gian định chuẩn X mọi dãy cơ bản đềuhội tụ, tức:

||xn− xm|| → 0 −→ ∃x0 ∈ X sao cho xn −→ x0,

thì không gian ấy được gọi là không gian định chuẩn đủ hay không gian Banach.ChoX là không gian tuyến tính Nếu trên X có một hàm song tuyến tính, đốixứng h·, ·i : X × X → R thỏa mãn hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ X, hx, xi = 0 thì x = 0.

Ta gọi X là không gian tiền Hilbert Hơn vậy, nếu ta định nghĩa

kxk =phx, xi,

thì (X, k.k) là không gian định chuẩn Nếu không gian này đủ thì (X, h·, ·i) đượcgọi là không gian Hilbert

Cho hai không gian vectơ bất kỳ X và Y Một ánh xạ A : X −→ Y gọi là mộtánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu

(i) A(x1+ x2) = A(x1) + A(x2),

(ii) A(αx) = αA(x) với ∀x ∈ X, ∀α ∈R.

Để cho gọn ta viếtAx thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với xtrong ánh xạA.Toán tử A được gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéo theo Axn → A(x0) vớimọi dãy {x n } ∈ X, x 0 ∈ X

Toán tử A được gọi là bị chặn nếu có một hằng số K > 0 để cho

(∀x ∈ X) kAxkY ≤ KkxkX

Định lý Một toán tử tuyến tính A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn

Cho X và Y là hai không gian Banach với X∗ = {f |f : X −→ R} và

Y∗ = { g|g : Y −→ R } tương ứng là các không gian đối ngẫu của X và

Y Cho A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục

Toán tử liên hợp A∗ : Y∗ −→ X∗ của A là toán tử tuyến tính, được xác địnhbởi công thức:

Ta nói một số λ là giá trị riêng của toán tử A : X −→ X nếu phương trình

Ax = λx có nghiệm không tầm thường (nghĩa là x 6= 0) Khi ấy nghiệm x nàygọi là một véc tơ riêng của A, ứng với trị riêng λ

Cho X, Y là hai không gian Banach, cho A : X −→ Y là một toán tử tuyến tínhvới A∗: Y∗ −→ X∗ là toán tử liên hợp Xét các không gian con

ker A = {x ∈ X|Ax = 0}và ker A∗= {y ∈ Y∗|A∗y = 0}.

Các không gian này được gọi là không gian riêng của A và A∗

Nếu dim ker A = p (p < +∞) và dim ker A∗ = q (q ≤ p, q < +∞) thì Ađược gọi

là toán tử Fredholm với chỉ số s = p − q

1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử thế năng

Cho X và Y là các không gian định chuẩn, ta nói rằng

(i) Toán tử f : X −→ Y là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho

||f (x) − f (y)||Y ≤ L||x − y||X với mọi x, y ∈ X,

(ii) f là Lipschitz địa phương tại x nếu tồn tại lân cận U 3 x để f là Lipschitztrên U

Xét toán tử A : X → X∗, A được gọi là toán tử thế năng nếu tồn tại hàm khả

vi f : X → R sao cho A(x) = ∂f (x), với ∂f (x) là vi phân của f tại x

Cho X,Y và Z là các không gian Banach,U ⊂ X ×Y là một tập mở, f : U −→ Z

là một ánh xạ liên tục tại điểm (a, b) ∈ U thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) f (a, b) = 0,

(ii) Đạo hàm riêng fy0 tồn tại trong U và liên tục tại (a, b),

(iii) fy0(a, b) ∈ Isom(Y, Z), (hay fy0(a, b) là ánh xạ 1 − 1 và lên)

Khi ấy, tồn tại một lân cận mở V1 củaa trong X, một lân cận mở V2 của b trong

Y sao cho V1× V2 ⊂ U, và một ánh xạ g : V1 −→ V2 liên tục tại a sao cho với

∀(x, y) ∈ V1× V2 ta có

f (x, y) = 0 ↔ y = g(x)

Phương pháp giải tích trong lý

với D là bao đóng của D trong X

Nếu với mỗi λ ∈ Λ tồn tại v(λ) ∈ D sao cho F (λ, v(λ)) = 0 thì (λ, v(λ)) đượcgọi là nghiệm tầm thường của phương trình

Bằng cách tịnh tiến, ta luôn có thể giả thiết v(λ) = 0, ∀λ ∈ Λ, thật vậy

Đặt F (λ, v(λ)) := F (λ, v(λ) + v(λ)),∼

⇒ F (λ, v(λ)) = 0 ⇔ F (λ, 0) = 0.∼

⇒ (λ, 0) là nghiệm tầm thường của phương trình (2.1)

Một nghiệm tầm thường (λ, 0) được gọi là nghiệm rẽ nhánh của phươngtrình (2.1) nếu ∀δ > 0, ∀ > 0, ∃(λ, v) ∈ Λ × D là nghiệm không tầm thườngvới |λ − λ|Λ< δ và 0 < ||v|| < 

Hay nói cách khác, (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (2.1) nếu

(λ, 0) ∈ cl{(λ, v) ∈ Λ × D|F (λ, v) = 0, v 6= 0},

với cl(A) là bao đóng của tập A Khi đó, λ được gọi là điểm rẽ nhánh

Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của phương trình (2.1) được gọi

T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục;

L(λ, ) : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục với λ ∈ Λ cố định;

Ta sẽ xét sự rẽ nhánh của phương trình (2.1) với F : Λ × D −→ Y là toán tửphi tuyến trong không gian C1(Λ × D, Y ) với F (λ, 0) = 0 cho mọi λ ∈ Λ Ta xétphương trình

Nếu λ 1 ∈ Λ sao cho tồn tại v 6= 0 để

T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục;

L(λ, ) : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục với λ ∈ Λ cố định;

2.2 Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

2.2.1 Một vài kí hiệu và bổ đề

Định nghĩa 2.2.1 Cho T và Lnhư ở trên, ta gọi λ ∈ Λ là giá trị riêng của cặp

(T, L) nếu tồn tại v ∈ X, v 6= 0 sao cho T (v) = L(λ, v).

Đặt s = p − q là chỉ số của toán tử Fredholm (T − L(λ, ))

Để đơn giản ta chỉ xét trường hợp s = 0 (trường hợp s > 0 ta nghiên cứu tươngtự)

Ta có F (λ, 0) = 0 Nếu λ không là giá trị riêng của cặp (T, L) tức

ker ( T − L (λ, )) = { 0 } và (T − L(λ, )) là ánh xạ 1 − 1 và lên, khi đótheo định lý hàm ẩn từ F (λ, 0) = 0 suy ra (λ, 0) là nghiệm nên tồn tại lân cận

V 3 λ, lân cận U 3 0 thỏa mãn (λ, 0) ∈ V × U và tồn tại duy nhất ánh xạ

v : V −→ U sao cho

F (λ, v(λ)) = 0 ⇒ v(λ) = 0, ∀λ ∈ V.

Điều này chứng tỏ với mọi lân cận của (λ, 0) thì (2.1) chỉ có nghiệm dạng (λ, 0)

hay (λ, 0) không là nghiệm rẽ nhánh của (2.1) Do đó (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánhcủa (2.1) chỉ khiλ là giá trị riêng của cặp (T, L) hay ker (T − L(λ, )) 6= { 0 } Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện cần để (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của (2.1) vìkhông phải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh Vì vậy,

để nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình (2.1) ta đi tìm điều kiện đủ để(λ, 0)

là nghiệm rẽ nhánh của nó, với λ là giá trị riêng của cặp (T, L)

Giả sử {v 1 , v2, vp} là cơ sở của không gian ker(T − L(λ, )) và giả sử

{ψ1, ψ2, , ψp} là cơ sở của không gian ker(T − L(λ, ))∗ Theo định lí Haln Banach có thể tìm được p phiếm hàm tuyến tính liên tục γ1, γ2, γp trên X và

-p phần tử z1, z2, zp của Y sao cho:

toán tử T − L(λ, ) hạn chế trên X1 là tuyến tính liên tục từ X1 lên Y1.

Tiếp theo ta xét các phép chiếu:

Để đơn giản, ta kí hiệu M (λ, v) = H(λ, v) + K(λ, v) Theo định nghĩa của PY, ta

có hệ (2.2) tương đương với hệ

Mặt khác, do toán tử T − L(λ, ) hạn chế trên X 1 là tuyến tính liên tục từ X 1

lên Y1 và ω ∈ X1 nên T (ω) − L(λ, ω) ∈ Y1, mà QY : Y −→ Y1 do đó phương trình(2.7) trở thành

Bổ đề 2.2.1 Với Giả thiết 1, 2 tồn tại các lân cận V ⊂ V0 và một hằng số C2

≤ k1|z − ˜ z| + k2(t)||ω − ˜ ω||, (2.12)trong đó,

≤ γρ(|λ|Λ|α| + || + kωk)(|λ|Λ|α| + || + kωk)|α − ˜ α|

+ (1 + ˜ α)ρ(|λ|Λ|α − ˜ α| + | − ˜ | + kω − ˜ ωk)(|λ|Λ|α − ˜ α| + | − ˜ | + kω − ˜ ωk)



≤ k5(z, ˜ z, ω, ˜ ω)|z − ˜ z| + k6(z, ˜ z, ω, ˜ ω)kω − ˜ ωk, (2.14)trong đó,

k5(z, ˜ z, ω, ˜ ω) = γ2 max

n

ρ(|λ|Λ|α| + || + kωk)(|λ|Λ|α| + || + kωk) + (1 + | ˜ α|)ρ(|λ|Λ|α − ˜ α| + | − ˜ | + kω − ˜ ωk)|λ|Λ

Do k 2 (0) = k 4 (0) và ρ(δ) → 0 khi δ → 0 nên tồn tại t 0 ∈ (0, 1) và hằng số C 2 > 0

Bổ đề 2.2.2 Với Giả thiết 1, 2 tồn tại các lân cận I2, U2, D2 của gốc trong R,

Rp,X 1 sao choI 2 ×U 2 ×D 2 ⊂ V = I 1 ×U 1 ×D 1 (V của Bổ đề 2.2.1 ) và ánh xạ liêntục Lipschitz ω : I2× U2 −→ D2, ω(0) = 0 sao cho với mọi (α, 1, , p) ∈ I2× U2

khi α → 0 với mọi x = (x 1 , x 2 , , x p ) ∈ U 2

Chứng minh Giả sử tồn tại V trong Bổ đề 2.2.1, ta định nghĩa ánh xạ

S : V −→ X1

xác định bởi

S(z, ω) = ω + G1(z, ω), với (z, ω) ∈ V

Dễ thấy V, id, G1 và S thỏa mãn mọi giả thiết của Hệ quả 2.1 trong [4] với

z0 = ω0 = 0 và S(0, 0) = 0, do đó áp dụng hệ quả ta kết luận tồn tại lân cận

I2× U2 của0trong Rp+1, D2 của0trong X1 và ánh xạ liên tục Lipschitzω = ω(z)

với miền xác định trong I 2 × U 2, miền giá trị trong D 2 sao cho S(z, ω(z)) = 0 vớimọi z ∈ I2× U2 Ngoài ra, nghịch ảnh S−1(0) trong I2× U2× D2 là đồ thị của ω.

Sử dụng định nghĩa của S ta có được (2.16)

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh (2.17) bằng quy nạp Đầu tiên, ta chứng minh

có một hằng số C 3 > 0 sao cho

ω(|α|a−1, |α|x 1 , , |α|x p )

a−2 + |x1| + · · · + |xp|), (2.18)

với mỗi x = (x1, x2, , xp) ∈ U2 Thật vậy, do ánh xạ ω là liên tục Lipschitz,

ω(0) = 0 nên tồn tại hằng số C3 > 0 sao cho