Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 LÃ THỊ NGỌ CÁC PHƯƠNG PHÁP HÀM SPLINE VÀ MỘT SÓ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học:
Trang 1Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM
HÀ NỘI 2
LÃ THỊ NGỌ
CÁC PHƯƠNG PHÁP HÀM SPLINE VÀ MỘT
SÓ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN
Trang 2LỜI CẢM ƠN
VĂN TUẤN HÀ NỘI, 2015
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấn
Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã luôn tậntình hướng dẫn, chỉ bảo, động viên và khuyến khích tác giả trong học tập, nghiên cứu và hoàn thành luậnvăn Đồng thời, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán,trường Đại hoc sư phạm Hà Nội 2 cùng với các thầy cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toángiải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm
ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp trong trường THPT Đa Phúc - Sóc Sơn - Hà Nội ( nơitác giả đang công tác) đã luôn cổ vũ, động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập
và thực hiện luận văn này
Hà Nội, ngày 05 tháng
12 năm 201Ậ Tác giả
Lã Thị NgọTôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sựhướng dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấn Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng biết ơn
Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014 Tác giả
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Lã Thị Ngọ
Mục lục
1.1 Không gian tuyến tính 3
1.1.1 Định nghĩa 3
1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con 4
1.2 Không gian định chuẩn 6
1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 6
1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 7
1.2.3 Sai số 8
1.2.4 Xấp xỉ tốt nhất 9
1.2.5 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ 9
1.2.6 Ma trận đường chéo trội 10
1.3 Không gian Hilbert 10
1.3.1 Mở đầu 10
1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert 11
1.3.3 Định nghĩa hệ trực chuẩn 11
1.3.4 Một số kết quả cơ bản 13
2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SPLINE VÀ B-SPLINE 15 2.1 Mở đầu về hàm spline và B-spline 15
2.1.1 Tổ hợp lồi và bao lồi 15
2.1.2 Các khái niệm cơ bản 17
Trang 4LỜI CẢM ƠN
2.1.3 Nội suy các đường cong đa thức 18
2.1.4 Xây dựng đường cong spline 19
2.1.5 Giới thiệu đường congspline theo các hàm số cơ bản 23
2.2 Tính chất cơ bản của spline và B-spline 25
2.2.1 Một vài hệ quả đơn giản của hệ thức truy hồi 25
2.2.2 Các tổ hợp tuyến tính của B - spline 29
2.2.3 Ma trận biểu diễn của các B - spline 32
2.2.4 Thuật toán để ước lượng một spline 35
3 NỘI SUY HÀM SPLINE 36 3.1 Các phương pháp xấp xỉ địa phương 36
3.1.1 Nội suy tuyến tính 36
3.1.2 Nội suy bậc ba Hermite 37
3.1.3 Ước lượng các đạo hàm 39
3.2 Nội suy spline bậc ba 40
3.3 Phép tính xấp xỉ spline tổng quát 42
3.4 Áp dụng 43
3.4.1 Nội suy bằng hàm spline bậc 1 43
3.4.2 Nội suy bằng hàm spline bậc 2 53
Trang 5đã nghiên cứu nhiều phương pháp khác nhau Trong đó phương pháp hàm Spline đang được nhiều nhàtoán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Áp dụng hàm spline và phương pháp nội suy đểxấp xỉ hàm số người ta chia khoảng xác định thành nhiều đoạn, trên mỗi đoạn ta xấp xỉ bằng một hàmspline, từ đó ta xấp xỉ được hàm số đã cho.Tính xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm bằng phươngpháp hàm Spline rất thuận lợi vì nó là những hàm đa thức nên việc tính toán, lập trình với hàm đa thứcrất thuận tiện và dễ dàng.
Do vậy, với sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấn, tôi đã nghiên cứu luận văn: “ Các phương pháphàm Spline và một số ứng dụng”
Bố cục của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm cơ bản để sử dụng cho các chương sau
Chương 2 của luận văn trình bày về các khái niệm và tính chất của hàm spline và B-spline
Chương 3 của luận văn trình bày về nội suy hàm spline và ứng dụng phần mềm Maplevào xấp xỉ hàm số bằng hàm spline
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu để nắm được một số phương pháp hàm spline, ứng dụng hàm Spline để tính giá
khác
Trang 63 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm, các tính chất của hàm Spline và B- spline.Xấp xỉ hàm số bằng hàm spline
ứng dụng phần mềm Maple vào xấp xỉ hàm số bằng hàm spline
Trang 74 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các hàm spline, phương pháp spline Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính
chất, ứng dụng vào xấp xỉ hàm số
5 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, tham khảo ý kiến chuyên gia
6 Giả thuyết khoa học
Áp dụng phương pháp spline để xấp xỉ một lớp hàm có nhiều ứng dụng trong thực tế
Trang 85) 1 ■ X = X , Va: Ễ X ;
6) a ( / 3 x ) = ( a / 3 ) x , Va, /3 e K , V x e X ;
7) (a + ị ì ) x = a x + ị ì x , V x E X , a , /3 € K ;
8) a{x + y) — ax + oty, Vx, y £ x,a £ K;
thực
kiện trên gọi là các tiên đề về không gian tuyến tính.
là không gian tuyến tính.
Ví dụ 1.1.2 Không gian C[a,b]
Không gian C[a,b] là không gian các hàm liên tục trên [a, 6].
Với mỗi số thực a và ) € C[a, b], phép cộng và nhân vô hướng được định
nghĩa:
(/ + 9Ì(t) = f(t) + g(t), a < t < b (■af)(t) = af(t)
là không gian tuyến tính.
Ví dụ 1.1.3 P n [a,b], không gian các đa thức bậc n trên đoạn [a,b] là không gian tuyến tính.
1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con
Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian tuyến tính.
Trang 9Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ Xi,z 2 , ■ ■ ■, x n e X là một tổng có dạng:
a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a„x n
Các vectơ Xi, x 2 , ■, x n được gọi là độc lập tuyến tính nếu
Oi\X\ Oí2%2 “t- • • • “t” = 0 ^ Oi\ = OÌ2 — • ■ • = Oi n —= 0
Các vectơ X i , x 2 , ■ ■ ■, x n được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độclập tuyến tính, tức là tồn tại những số «1 , a2 , ■ - ■, a n trong đó có ít nhất một số khác
0, sao cho:
ot\Xi + a 2 x 2 + + a n x n = 0
Trang 10Ví dụ, hai vectơ X và (—x) là phụ thuộc tuyến tính vì :
1 ■ X + 1 ■ (—x ) = 0
Nếu trong các vectơ x 1 } x 2 , ■ ■ ■, x n có một vectơ bằng 0 thì chúng là phụ thuộc tuyến tính
Một không gian tuyến tính X được gọi là không gian к chiều nếu trong X có к vectơ độc lập tuyến tính và không có к + 1 vectơ độc lập tuyến tính.
Trong trường hợp này một tập к vectơ độc lập tuyến tính của X gọi là một cơ sở của nó.
Các không gian к chiều, với к là một số nguyên không âm bất kì gọi là không gian hữu hạn
Nếu X là không gian к chiều và x 1 ,x 2 , ,x k là một cơ sở của nó thì mọi X thuộc X đều được
biểu diễn duy nhất dưới dạng
X = а г х 1 + «2 ^ 2 + + a k x k
Các số ai, а 2 , ,a k là tọa độ của vectơ X đối với cơ sở X -L, x 2 , , x k Nếu ta làm phép ánh
xạ 1 - 1 : Ï о («1 , a2 , ■ ■ ■, ak) thì đó là một phép đẳng cấu giữa X và ж к Như vậy không gian tuyến tính к chiều bao giờ cũng đẳng cấu với không gian Mfc
Định nghĩa 1.1.3 Một tập con không rỗng M của một không gian X gọi là một không gian con, nếu nó kín đối với phép cộng phần tử với phần tử và phép nhẵn phần tử với một số, nghĩa là:
Trang 11OL\X\ + a 2 x 2 + • ■ • + Oỉ k x k
của những phần tử của A.
1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1 Một không gianđịnh chuẩn là một không gian tuyến tính X,trong
x,y £ X, và mọi số a thỏa mãn 3 điều kiện sau:
1) ||x|| > 0 nế u X Ỷ 0; ll^ll = 0 nế u X = 0.
2) IICKÍC|[ = |a| • ||a;||.
3) lịa; + y\\ < ||x|| + ||g/|| (bất đẳngthứctam giác).
Ví dụ 1.2.1 Không gian R 2 là không gian định chuẩn với chuẩn thường chọn là chuẩn:
||x||2 = \ịx\ + xị Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như:
7тгIIiCiII < lịíCaII < A^ll^ill, Vx Ễ X
Trong ví dụ 1.3.1 thì cả 3 chuẩn đôi một tương đương Chẳng hạn:
11*211 < (2IMIL) 1 =
Mặt khác:
Trang 12||ж||оо = max{|ii|, |rr 2|} < (x Ị + x ị ) 2 = ||ге||2
Do đó chọn M = V2 , m = 1, ta có:
IMIoo < ll^lb < л/гЦгЦоо.
1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
Giả sử X là không gian định chuẩn và {^nlỉ^Li с X,x 0 € X.
1) x n —> X Q (dãy x n hội tụ tới x0) có nghĩa là II— IoII —> 0.
2) Nếu x n —> x 0 thì ||гс„|| —> ll^oll, tức là chuẩn ||ж„|| là một hàm liên tục của X
3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu x n hội tụ thì 3M e M, M > 0,Vn, ||a:„|| < M.
4) Nếu x n —> X Q , y n —> y 0 thì x n + y„ —> x ữ + y 0
5) Nếu x n —> Xo,a n —> a ữ thì x n a n —> x0a0, V{a„}~=1 с M,a0 e M
6) Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy {x n } с X sao cho:
lim ||xn — x m II = 0
m , n - ¥ 00Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là: ||Æ„ — 2Jm|| —»
0 kéo theo sự tồn tại X Q g X sao cho x n —> Xo, thì không gian đó được gọi là không gian đủ
thường gọi là không gian Banach
Trong thực tế khi giải quyết các bài toán về kĩ thuật và vật lý ta thường không biết chính xác giátrị của một đại lượng nào đó số liệu ban đầu mà ta có trong các bài toán trên được gọi là số gần đúng.Nếu đánh giá được độ lệch của số gần đúng với số đúng thì ta đánh giá được chất lượng của việc giảiquyết bài toán Do đó đi nghiên cứu và đánh giá sự sai khác giữa số gần đúng và số đúng là yêu cầu bắtbuộc trong việc giải bài toán
Định nghĩa 1.2.3 số a được gọi là số gằn đúng của số a 1 nếu a sai khác với a* không nhiều.
Kí hiệu а « а*.
Định nghĩa 1.2.4 Đại lượng А = \a — a*| được gọi là sai số thực sự của a.
Nói chung ta không biết a* nên ta không biết A Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự
1 Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của số đúng a* là không duy
nhất
• Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối
Trang 13của a bằng số dương Да > 0 sao cho:
Trang 141.2.4 Xấp xỉ tốt nhất
Định nghĩa 1.2.7 Cho X ỉà không gian định chuẩn với chuẩn II II, M с X và p Ễ X Điểm
y 0 £ M được gọi là xấp xỉ tốt nhất tới p từ M nếu:
Đặt g(z) — ||x — z\\, z Ễ К Khi đó, g là hàm liên tục của
Do К compact nên g đạt giá trị nhỏ nhất tại một số điểm X N £ к.
1.2.5 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ
Cho đoạn [a, 0], chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia X i , i = 0, n thỏa
Trang 151 0
IIX — £*11 = 0
(h k ) thì X * được gọi là hội tụ bậc k về nghiệm X.
1.2.6 Ma trận đường chéo trội
Định nghĩa 1.2.8 Cho ma trận vuông A =
(ữịj)?j=i-Ta nói ma trận A có tính chất đường chéo trội nếu nó thỏa mãn một trong hai tính chất sau:
Định nghĩa 1.3.1 Cho X là một không gian tuyến tính.
Ánh xạ 'ệ ■ X X X — >■ M thỏa mãn các điều kiện:
1. ĩỊ}(x,x) > 0,Vx € X;
Trang 161 1
Nhận xét Nếu X là một không gian tuyến tính trên đó có xác định một tích vô hướng (-),khi
đó ánh xạ II • II : X —> M xác định bởi ||z|| = -ự(x,x) là một chuẩn trên X và X cùng với chuẩn đó là
một không gian tuyến tính định chuẩn
Chuẩn xác định như trên được gọi là c huẩn c ảm si nh bởi tích vô hướng
Từ đó có ánh xạ d : X X X —> R xác định bởi:
là một hàm khoảng cách trên X và (X, d) là một không gian metric Khoảng cách d vừa xác định
được gọi là khoảng cách cảm sinh bởi tích vô hướng
1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.2 Cho không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng (•) Nếu cùng với khoảng cách d cảm sinh bởi tích vô hướng mà (X, d) trở thành một không gian metric
đủ thì lúc đó X cùng với tích vô hướng (•) được gọi là một không gian Hilbert.
1.3.3 Định nghĩa hệ trực chuẩn
Định nghĩa 1.3.3 Hệ vô hạn các phần tử {Xj}jgj thuộc không gian tuyến tính X được gọi
là độc lập tuyến tính nếu như mọi hệ con hữu hạn các phần tử của nó là độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.4 Cho X là một không gian Hilbert Hệ các phần tử {eỂ}iej của X được gọi
là trực chuẩn nếu:
Định lý 1.3.1 Giả sử {Xj}jgj là một hệ độc lập tuyến tính trong không gian Hilbert X Khi đó có thể xây dựng được một hệ {ej}jgj trực chuẩn.
X1Thật vậy: Đặt ei = -—~rr,y 2 = %2 — (X 2 ,ei)e 1 và e2 Giả sử đã có ei, e2, • • • , efc_i
nếu i = j nếu i Ỷ j
Trang 171 2
Vậy có (e2,e!) = 0 Dễ thấy (e2,e2) : Bằng quy
nạp toán học ta thấy với ì
Ta đặt y k = x k - ^£*=11(xfc,eỂ)^eỂ và e k = jj^jp Khi đó hê {ejiei là hoàn
toàn xác định (vì nếu tồn tại một tỉ số k sao cho ||yfc|| = 0 yk = 6 thì dẫn đến hệ {x\, x 2 , • • ■ , £fc-i} là
phụ thuộc tuyến tính, trái với giả thiết) Dễ thấy: (ei, ei) = 1
Xét (e2, ei) = ( -p—, ei ) = 7^—r(y 2 , ei) = 7 7 ^1 7 ( ^ 2 - (x2, ei).ei, ei) = ■7 7 ^y[(x2, ei)
-VII2/2II / II2/2II II3/2II II2/2II
a
(có thể thấy tích phân này tồn tại hữu hạn Vx(t),y(t) € L 2 [a,b] do bất đẳng thức Bunhiacopski dạng tích phân).
Không gian L 2 [a, b] với tích vô hướng vừa xác định là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.3 Xét trường hợp cụ thể của L 2 [a,b] ở trên với a = —1,6 = 1,pit) = 1, và x é t hệ
quá trình trực chuẩn hóa Hilbert - Schmidt (chính xác đến một hằng số nhân).
Trang 181 3
Nhăn thấy: ||a:i II — 2, 6i — 77
—77,11*1 II
chuẩnịeị} Tuy nhiên do ta chỉ
quan tâm đến tính trực giao
của hệ nên có thể nhăn mỗi ej
với một hằng số thích hợp để
được một vecto mới, vẫn kí
hiệu là eỂ nhưng với dạng đơn
giản hơn, như sau:
Hệ đa thức {ej(í)}ieN trực giao thu được như trên gọi là hệ đa thức trực giao Legendre.
1.3.4 Một số kết quả cơ bản
Định nghĩa 1.3.5 Giả sử X là không gian Hilbert,
còn {ei}“,! là hệ trực chuẩn trong X Với mỗi X €
X, ta xét S n = c i e iì với C ị = (x,Ẽi), thì S n được gọi
là tổng Fourier của X và các Cị là các hệ số Fourier của X đối với hệ {eị}^! Nếu lim II Sn — a: II =
n— y < x
0 thì người ta nói tổng Fourier S n hội tụ đến X và viết: X = Y^°Li(x, e i ) e i
Định lý 1.3.2 Cho không gian Hilbert X và là
đó các phát biểu sau tương đương:
.v.v
.
13
Trang 191 4
.C1 + A.C2
gọi là tổ hợp lồi của hai số Ci và c 2 Trường hợp đặc biệt, có thể chọn trung bình cộng của Ci và
c 2 , tức X — 1/2.
Trong R 2 J cho Ci = (zi,ỉ/i),C 2
= (x 2 ,y 2 ) với Xi,yi Ẽ R|i = 1,2 Tổ hợp lồi của hai
điểm c 1 ,c 2 làcác điểm c{x\y) được xác định như sau:
thay cho giải thích (2.2)
b) Bao lồi của một tập hdp các điểm
Định nghĩa 2.1.2 • Bao lồi của hai điểm: Trong không gian M 2 , cho Ci = {xi,yi),c 2 — (x 2 ,y 2 ),xi,ĩji ẼR|i= 1,2 Tập hợp
Hình 2.1: Tỏ hợp lồi của Cl và c2
các điểm с thỏa mãn: с = (1 — A).).Cl + A .c 2 , (với
о < A) < 1) gọi là bao lồi của hai điểm Cl và c 2
Trang 201 5
Hình 2.2: Bao lồi của 3 điểm Cl, C 2, С з
Bao lồi của n điểm:
Giả sử (Cj)" = 1 là n điểm trong M 2
Bao lồi của n điểm là tập hợp
các điểm с
n thỏa mãn: с = Ai-Ci + Л 2.c2 + +
An c n , với n số Aj, thỏa mãn ^2
Aj = 1 và
i=
О < Aj < 1, i = 1, 2 , n.
Trang 21b, ba điểm
a, hai điểm
Hình 2.3: Bao lồi (phần được bôi đen) của cắc điểm (cấc chấm đen)
2.1.2 Các kháỉ niệm cơ bản
Cho hai điểm Co = (xosỉ/o) và Ci = (xi, yi), Xi, Ui eM,i = 0,l Gọi AB là đoạn thẳng đi qua
Co và Ci thì đoạn thẳng AB là bao lồi của hai điểm trên Phương trình của đoạn thẳng AB là:
