Luận văn thạc sĩ toán học về một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ N ỘI 2CHU VĂN ĐÔNG VE MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2015... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ N ỘI 2

CHU VĂN ĐÔNG

VE MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ N ỘI 2

CHU VĂN ĐÔNG

VỀ MỘT s ố PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã ữuyền thụ kiến thức, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này Đồng thời tác giả cũng chân thành cám ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, Tổ Toán Trường THPT Kim Anh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập

và hoàn thành tốt luận văn Và qua đây tác giả cũng cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2015

Tác giả

Chu Văn Đông

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân ữọng và biết ơn Một số kết quả đã đạt được ữong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2015

rTI-Í _ _*2

Tác giả

Chu Văn Đông

Mục lục

1.1 Không gian vec t ơ 4

1.2 Không gian meữic, nguyên lí ánh xạ co 6

1.2.1 Không gian m e ữ i c 6

1.2.2 Nguyên lí ánh xạ co 8

1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn, phép tính vi phân trong không gian định c h u ẩ n 9

1.3.1 Không gian tuyến tính định c h u ẩ n 9

1.3.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn 12

1.4 Phương pháp N e w to n 16

1.4.1 Điểm F o u rie r 16

1.4.2 Phương pháp N ew ton 16

1.5 Phương pháp dây c u n g 18

1.6 Phương pháp Newton trong Rn 20

1.7 Bậc hội tụ của hàm l ặ p 22

1.7.1 Hàm l ặ p 22

1.7.2 B ậ c h ộ it ụ 23

2 Một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phi tuyến với bậc hội tụ cao và hiệu quả tính toán 25 2.1 Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng b a 25

2.1.1 Đặt vấn đề 25

2.1.2 Bổ đ ề 26

2.2 Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng n ă m 31

2.3 Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng s á u 33

2.4 Hiệu quả tính to á n 34

2.4.1 So sánh giữa các chỉ số hiệu q u ả 36

2.4.2 So sánh (ƠM) với (G2,3) 36

2.4.3 So sánh (Ơ1IỖ) với (G2,5) 37

2.4.4 So sánh (ƠI 6) vói (G2 б ) 39

3 ứng dụng phần mềm Maple vào giải hệ phương trình phi tuyến trong M2 và M3 41 3.1 Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng b a 41

3.2 Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng n ă m 46

3.3 Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng s á u 52

iv

bằng ba, năm và sáu trong việc giải hệ phương tìn h phi tuyến 57

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải hệ phương trình phi tuyến F(x) = 0 là một vấn đề phổ biến và quan

trọng trong nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau, vấn đề này được mô

tả như sau: Đối với một hàm phi tuyến cho trước F{x) : D Ç Mn —> Mn

với F ( x ) = f 2 { x ) , f n { x ) y yằ X = ( x 1, x 2 , , x n ) t , ta cần tìm một

vectơ a = («!, a 2, а пУ sao cho F (a) = 0 Vectơ nghiệm a có thể tìm

được như một điểm cố định của hàm G( x ) : Mn —> Mn bằng phương pháp lặp điểm được xác định bởi dãy X = G ( x ^ ) , к = 0 ,1 , Một trong

những phương pháp cơ bản để giải hệ phương ữình phi tuyến là phương pháp Newton cổ điển có bậc hội tụ bằng hai Phương pháp Newton cổ điển được xác định bởi: = G = x W — F f [ x ^ ) 1F (xW) , k = о, 1,2,

ữong đó yêu cầu hàm F khả vi, liên tục và xấp xỉ ban đầu ж (°) là điểm Fourier

( F '( x ) - 1 là nghịch đảo của đạo hàm Fréchet F ' (x) đối với hàm F (X) ).

Để cải thiện bậc hội tụ của phương pháp Newton nhiều đề xuất đã được đưa ra ví dụ như: M.Frontini và E.Sormani đã phát ữiển một vài phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng ba M.T.Darvishi và A.Barati đã ữình bày một phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng bốn A.Cordero, E.Martinez và J.R.Torregrosa đã đưa ra một phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng năm A.Cordero, J.L.Hueso, E.Martinez và J.R.Torregrosa đã trình bày một phương pháp lặp có bậc hội

tụ bằng sáu

Với mong muốn tạo ra các phương pháp lặp có bậc hội tụ cao và có cấu trúc đơn giản nhưng với tính toán là tối thiểu, và nhằm bổ sung và nâng cao kiến thức đã học trong chương trình đại học và cao học, tôi chọn đề tài “về

một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phỉ tuyến” làm

luận văn cao học của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp lặp vào giải xấp xỉ một lớp bài toán

hệ phương trình phi tuyến trong Rn Nghiên cứu về bậc hội tụ, chỉ số hiệu quả tính toán của một số phép lặp Nêu một số ví dụ về giải số hệ phương ữình phi tuyến trong M2 và R3 trong đó có sử dụng phần mềm Maple

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng: ba, năm và sáu Nghiên cứu về chỉ số hiệu quả tính toán của một số phương pháp lặp

Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình phi tuyến cụ thể trong M2

và M3

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp

Phạm vi nghiên cứu:

+ Nghiên cứu một số phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng: ba, năm và sáu.+ Nghiên cứu về chỉ số hiệu quả tính toán của một số phương pháp lặp.4- Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình phi tuyến cụ thể trongM2 và R 3

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ Giải tích, Giải tích hàm và Giải tích số

để tiếp cận và giải quyết vấn đề

Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài

báo và các sách mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới.

6 Đóng góp của đề tài

Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phi tuyến

3

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian vec tơ

Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu : ấ, ß, 7, và trường к mà các phần tử được kí hiệu: x , y , z ,

Giả sử trên E có hai phép toán :

2) (đ + ß) + 7 = ã + (ß + 7), Vã, ß, 7 e E;

3) tồn tai 6 e E sao cho ể + ã = ấ + ể = ã , Vữ Ễ £ ;

4) Vói mỗi ã tồn tại a! € E sao cho a' + ã = ã + a' = 9;

5) (íc + y)ã = x ã 4- yã, Va G E \ k x , y & K\

6) x((ĩ + ß) = x ã + xß, Va, ß & E v ầ x & K ;

7) x ( y ấ ) = ( xy) ấ, v<ĩ G E Yầ x , y G K

8) l a = a ,V a G £■ và 1 là phần tử đơn yị của trường Â\ Khi đó E cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ ữên trường K, hay

K -không gian vectơ, hay không gian tuyến tính

Khi K = M thì E được gọi là không gian vectơ thực.

Khi K = c thì E được gọi là không gian vectơ phức.

Định nghĩa 1.2 Hệ véc tơ (ãị), Vi = 1 , 2 , , n gọi là độc lập tuyến tính nếu

không gian vectơ hữu hạn sinh

Đỉnh nghĩa 1.4 Một hệ vectơ ữong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ

sinh độc lập tuyến tính

5

Định nghĩa 1.5 Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử

thì số phần tử trong cơ sỏ đó được gọi là số chiều của không gian

Khi E là một -không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu: dim E = n

Định nghĩa 1.6 Tập con w Ỷ 0 của một K -không gian vec tơ E được gọi là không gian vec tơ con của E nếu nó ổn định với hai phép toán của E , nghĩa

là thỏa mãn các điều kiện sau :

1) VỔ, ĩ € w, ã + ặ € w ,

2) Va € w và G K thì x ã G w.

1.2 Không gian metric, nguyên lí ánh xạ co

1.2.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.7 Cho 1 ^ 0 Một metric trong X là một ánh xạ

điểm của không gian ấy, số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm X và y.

Ví dụ 1.2.1 c [a, 6] là một không gian metric với khoảng cách

d (X, y ) = max Ix(t) — y(t) I.

d ( x n, x m) < £.

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.10 Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu với mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ đến một phần tử trong X

Định nghĩa 1.11 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ A :

X Y được gọi là liên tục tại

3?0 ẽ X

nếu như vói mọi £ > 0, 3(5 > 0 sao cho với mọi X £ X thỏa mãn d ( x: X Q ) < ổ

thì

d (A ( x ) , A (a:0)) < £.

Định nghĩa 1.12 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ A :

X —> Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại a với 0 < a < 1 sao cho với

mọi x :y & X ta đều có

d ( A ( x ) , A ( y ) ) < a d ( x , y )

Đinh lý 1.1 (Nguyên lí ánh xạ co) Giả sử X là một không gian metric đầy

đủ, và A : X —> X là một ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồn tại một

và chỉ một điểm X* € X sao cho A (z*) = X*.

Ví dụ 1.2.2 Trong không gian M1 cho ánh xạ A được xác định bởi công thức

A x = 7Ĩ — asiĩix, |aỊ < 1.

Khi đó A là ánh xạ không gian gian đủ R 1 vào chính nó Hơn nữa,

IA x — Ax'\ = Ịasinx — a sin x 'l = 2 Ịa| |sin |cos

< 2 |a| 1 ^ 1 = \a\ \ x - x ' \

Suy ra A là ánh xạ co , vì |a| < 1

Theo nguyên lý về ánh xạ co, ánh xạ Ả có điểm bất động duy nhất X Ta dễ

dàng kiểm tra được điểm bất động duy nhất đó là X = 7T.

Ví dụ 1.2.3 Cho ánh xạ A ánh xạ nửa khoảng [1, +oo) vào chính nó được xác định bởi công thức

_ 1

A x = X H—

X

Ta có [1, +oo) là một tập hợp con đóng của R 1 với metric d ( x , y ) = \x — y\

Do đó [1, +oo) cùng với metric của R 1 lập thành một không gian meữic đủ

Giả sử ánh xạ A : [1, +00) —> [1, +00) ,(x —»■ A x ) là ánh xạ co, suy ra tồn tại duy nhất X q € [1, +00) sao cho A x ữ = x ữ <=} x ữ + — = x ữ <=} — = 0 ( YÔ

lý ) Vậy A không có điểm bất động, do đó A không là ánh xạ co.

1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn, phép tính vỉ phân

trong không gian định chuẩn

1.3.1 Không gian tuyến tính định chuẩn

Cho X là một không gian tuyến tính trên trường p (P = R hoặc c ).

Định nghĩa 1.13 Một chuẩn, kí hiệu II ỊỊ, trong X là một ánh xạ đi từ X vào

R thỏa mãn các điều kiện sau:

1) ||z|| > 0,Vz G X ;

2) Ị|z|| = 0 khi và chỉ khi X = 6 (6 là kí hiệu phần tử không);3) ||Ax|| = |A| ||z|| ,VA G P,Vz G X ;

4) ||z + y\\ < ||z|| + IMI , Va:,ĩ/ G X .

Số ||a;|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X e X Một không gian tuyến tính X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn (thực hoạc phức, tùy theo p thực hay

phức)

Ví dụ 1.3.1 Không gian M2 là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn

thường chọn là chuẩn : II X ||2= y/ xỊ + xị , X = ( x i , x 2) Ễ K2.

Định lý 1.2 Giả sử không gian X là một không gian tuyến tính định chuẩn

Với mọi x , y €E X , đặt

Công thức (1.1) cho một chuẩn ữên R n Dễ thấy Rn là không gian Banach

Ví dụ 1.3.3 Cho không gian C [a 6] Đối với mỗi X (t ) G C ị a 6] ta đặt

Công thức (1.2) cho một chuẩn trên C ị a 6] Dễ thấy C ị a 6] là không gian Ba- nach

Định nghĩa 1.15 Cho không gian tuyến tính định chuẩn X với hai chuẩn IIII1

và IIII2 Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0 và

m > 0 sao cho :

raỊMIi < ||a:||2 < Mll^ll^Va; e X.

Định nghĩa 1.16 Dãy (xn) , n = 1,2 ữong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x 0 E X nếu lim IIx n — a:0|| = 0.

Khi đó, ta kí hiệu limxn = x 0 hoặc x n —»■ x ữ, khi n —»■ 00

n— >00

Định nghĩa 1.17 Dãy (zn) ,77, = 1,2 trong không gian định chuẩn X được

gọi là một dãy cơ bản nếu

lim \\xm - x n\\ = 0.

m, n— > 00

Định nghĩa 1.18 Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y trên trường p Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:

1) A ( x + y) = A x + A y , Vx, y G X;

2) A (ax) = aAx , \fx Ẽ l , V a Ẽ p.

Nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính.

Nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất.

Khi Y = p thì toán tử A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.

Định nghĩa 1.19 Cho X , Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó chuẩn ||i4|| của toán tử tuyến tính liên tục A : X Y là đại lượng:

\\A\\ = sup IIÁcII = sup-^Y^-.

||a;||<l x ^ d l l ^ l l

Định nghĩa 1.20 Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X v ằ Y Toán

tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại

hằng số c > 0 sao cho

IIAx\\ < c ||a;|| ,Vx G X.

Định nghĩa 1.21 Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y Kí hiệu

A e L (X , Y), L (X , Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ không

gian X vào không gian Y Ta đưa vào L (X, Y ) hai phép toán:

1) Tổng của hai toán tử А, в e L (X , Y ) là toán tử, kí hiệu А + в xác định

bởi biểu thức

(А + В ) (æ) = А х + B x , Væ g X,

2) Tích vô hướng của a e p (P = R hoặc p = C) với toán tử A G L (X, Y)

là toán tử, kí hiệu là a Ả, được xác định bởi biểu thức

1.3.2 Phép tính vỉ phân trong không gian định chuẩn

Giả sử X , Y là các không gian Banach, и с X là một tập mở, F : и —»• Y

là một ánh xạ

Định nghĩa 1.22 Cho и € и F được gọi là khả vi Fréchet tại и nếu tồn tại

A g L { X , Y ) sao cho

||F ( M + f t ) - F ( u ) - A ( f t ) | | r 114,-0 INI*

Ta có thể thấy A nếu tồn tại thì duy nhất và ta gọi Ả là đạo hàm Fréchet của ánh xạ F tại điểm и và ký hiệu A = dF (и ), còn A(h) được gọi là vi

phân Fréchet của ánh xạ F tại điểm и và ký hiệu là df (x,h) Nếu F khả vi Fréchet tại mọi điểm и € и thì ta bảo F là khả vi Fréchet trong и

Định nghĩa 1.23 Giả sử F : и —> Y khả vi Fréchet trong и Khi đó ánh xạ

được gọi là đạo hàm Fréchet của F trong и Nếu F' liên tục tại и thì ta nói F khả vi liên tục tại u Nếu F' liên tục ữong и thì ta nói F thuộc lớp c l ữong t/v à viết F <E С 1 {U,Y).

Định nghĩa 1.24 Cho и G ư, F được gọi là khả vi Gâteaux tại и nếu tồn tại

Ả G L (X , Y ) sao cho với mọi h G X và Ve G R ta đều có

Ta có thể thấy A(h) nếu tồn tại thì duy nhất và ta gọi A(h) là vi phân Gâteaux của ánh xạ F tại điểm и và ký hiệu A ( h ) = dGF (и ), còn A gọi là đạo hàm Gâteaux của ánh xạ F tại điểm и và ta ký hiệu là F g (u ) Nếu F khả

vi Gâteaux tại mọi điểm и G и thì ta bảo F là khả vi Gâteaux trong и.

Định lý 1.4 (quan hệ giữa đạo hàm Gâteaux và Fréchet) Giả sử F : и —> Y

khả vi Gâteaux trong и và đạo hàm Gâteaux

liên tục tại u* Khi đó F khả vi Fréchet tại u* và dF (и*) = de F (и*).

Định lý 1.5 Nếu ánh xạ f khả vi Fréchet tại x ữ thì f cũng khả vi Gâteaux tại

F ' : U -> LỤC, Y )

и —> dF (и)

X q Nhưng điều ngược lại không đúng.

Chứng minh Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn trên trường R và ánh

xạ / : X —> Y khả vi Frechet tại điểm x ữ e X Khi đó tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X Y sao cho vói mọi h e X mà II h\\ 0 ta có biểu diễn

Ngược lại, ánh xạ / khả vi Gâteaux tại x 0 nhưng chưa chắc nó đã khả vi

Fréchet tại điểm đó Ta lấy ví dụ sau đây để minh hoạ

Xét ánh xạ / : R 2 —>• R cho bởi công thức

{0 khi (x, у) = 0

khi (x, y) Ỷ 0

Lấy tuỳ ý h = (/li, h2) e R 2, t G R \ {0} và xét ánh xạ tuyến tính liên tục

tại điểm này chính là g.

Giả s ử f ( x , y) khả vi Frechet tại X Q = (0,0) e M2, tức là tồn tại ánh xạ tuyến

tính liên tục A : R2 —»■ M sao cho với mọi h = (hi, h2) e R 2, \\h\\ —> 0 ta có

biểu diễn

f ( h i , h 2) — f ( 0, 0) = A(h) + a ( x Q,h), với lim llQ(Xo’ ^)ll _ Q

II II —> 0 \\h\\

Suy ra

\\ỉ(h)\\ = \ \f (hu h2)\\ = \\A(h) + a ( x 0ì /ì)|| < P l l IỊ/iỊI + M s o , h) II < c \\h\\

khi Ị Ị h \ \ -> 0 (c là hằng số nào đó không âm, lưu ý lim = 0 nên

»-0

khi \\h\\ —> 0 ứiì bị chặn) Từ đó dẫn tới "Ỹ^11 bị chặn với mọi h €

R 2, ||/ỉ|| —>• 0(*) Bây giờ ta chọn h = (2~n, 2~2n) e R 2\ {(0,0)} , n e N,

ứiì hiển nhiên \\h\\ —»• 0 khi 77, —>• oo Lúc này = íirrTĩ 2 \\h\\ +oo khi

n —»• + 0 0 (II/ỉ II —»• 0) Điều này mâu thuẫn với (*) Chứng tỏ / không khả vi Frechet tại điểm (0,0)

□

1.4 Phương pháp Newton

1.4.1 Điểm Fourier

Xét phương trình một biến số

1) Giả sử phương trình (1.3) có nghiệm £ duy nhất trên đoạn [a, 6]

2) / G c2 [a, 6] và f "( x) không đổi dấu trên đoạn [a, 6].

Điểm X G [a, 6] được gọi là điểm Fourier, nếu > 0.

Không giảm tổng quát hàm f ( x ) trong phương trình (1.3) có thể coi có

f " { x ) > 0, nếu không ta xét phương ữình g(x) = 0 với g(x) =

Vì ta đã coi f"{x) > 0 nên sau đây ta chỉ xét trường hợp f ' {x) < 0 Trường hợp f ' ( x ) > 0 hoàn toàn tương tự Khai triển f ( x n) tại điểm x n_i theo công

M |xn+i — x n\, trong đó m = sup {\f' (x)\ : X E [a, &]}.

Cho n —> oo ta được /(C) = 0 Từ giả thiết (1) trong (1.3) suy ra c = £•

Để đánh giá sai số phương pháp Newton, ta giả thiết rằng: |/"(a;)| < M ị và

\f'{x)\ > M 2 > 0 với mọi X e [a, b] Một mặt ta có:

17

f { x n + 1 ) = f ( x n + 1 ) - / ( £ ) = f { x n + 1 ) ( x n+1 - £)

Cho y = 0 ta tìm được hoành độ X k + 1 của giao điểm của M N k với trục hoành:

0 < m < \f'(x)\ < M Khi đó ta có:

\ Xn+1 - Ç < — —— ịXn+1 - Xr,

m

1.6 Phương pháp Newton trong Mn

Giả sử phương trình (1.9) có nghiệm duy nhất £ = ( £ i , £ n ) £ s (x0,R)

Ta viết phương trình (1.9) dưới dạng:

-Tương tự như vậy ta được dãy

Khi đó tp được gọi là hàm lặp một điểm

Hầu hết các hàm lặp được sử dụng để tìm nghiệm là các hàm lặp một điểm,

ví dụ quen thuộc đã biết là hàm lặp Newton

Định nghĩa 1.27 Giả sử X ỉ + 1 chỉ xác định theo thông tin mới của Xi,

Wị (Xi), w 2 (Xi), w k (Xi) , k > l

Thông tin cũ không được sử dụng Từ đó ta có

x i+1 = ip (Xị, Wị (Xi) , w 2 (Xi ), w k (Xị))

Khi đó (p được gọi là hàm lặp nhiều điểm

Chúng ta sẽ làm rõ định nghĩa trên Để thiết lập mối quan hệ giữa khái niệm

bậc với hàm lặp sinh ra Xi Ta có thể viết (1.13) dưới dạng

\ \ Xi — a:||

Định nghĩa 1.29 Nếu tồn tại một số thực p > 0 và một hằng số c khác không thỏa mãn (1.14) thì ta nói hàm lặp ip có bậc p.

Ta nhận thấy bậc p không phụ thuộc vào dãy {Xj} sinh bởi hàm ip và hàm if

có liên tục hay không

Chú ý rằng nếu bậc tồn tại thì nó là duy nhất Thật vậy, giả sử một dãy hội tụ

CÓ hai bậc là Pi và p2 Giả sử p2 = Pi + ô, ô > 0 Khi đó

Chương 2

Một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phỉ tuyến với bậc hội tụ cao và hiệu quả tính toán

Chương này tác giả tìn h bày một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phi tuyến với bậc hội tụ cao và trình bày hiệu quả tính toán Trong chương này tác giả sử dụng phần lớn các kết quả trong tài liệu tham khảo [10]

2.1 Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng ba

2.1.1 Đặt vấn đề

Xét F(x) : D c Mn -»■ Mn với F( x) = ự i { x ) , f 2{ x ) ì , f n ( x ) ) t và X = ( x i , x 2, ,x n)í,tacầntìm m ộtvectơa; = (o!i,Q!2j ■•■I&nỷ sao cho F (a) = 0 Vectơ nghiệm a có thể tìm được như một điểm cố định của hàm G(x) : Mn

Mn bằng phương pháp lặp điểm được xác định bởi dãy

x (k+v = G ,k = 0,1 , (2.1)

trong đó cho trước.

Một trong những phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình phi tuyến là phương pháp Newton trong R n có bậc hội tụ bằng hai Phương pháp Newton trong Mn được xác định bởi:

x {k+1) = G ( x {k)^ = x {k) - F ' ( x {k)^ l F , k = 0 ,1 ,2 , (2.2)

trong đó yêu cầu hàm F khả vi, liên tục và xấp xỉ ban đầu là điểm Fourier

(F' {x)~l là nghịch đảo của đạo hàm Fréchet F' (x) đối với hàm F (x) ).

Bây giò ta trình bày một phương pháp làm tăng bậc hội tụ của phương pháp Newton với số lượng tối thiểu bước lặp bằng cách xét hai bước lặp sau:

x {k+1) = x [k) - ( а г1 + a2F ' ( x {k^ V • (2.3)

Trong đó ữ i, a2 là các ứiam số; I là ma trận đơn vị cấp n X n Để xét sự hội

tụ của dãy (xn) trong công thức (2.3) ta xét kết quả của khai triển Taylor trên hàm F(x).

F '( a ) - ‘ (2.9)

Trong đó:

D (e (fc)) = 1 + 2A 2e{k) + 3A3 ( e (fc)) 2 + 4A4 (e (fe)ý

Nghịch đảo

L>(e(fe)) 1 = I + x ie{k) + X 2( e{k)Ỵ + X 3( e{k)Ỵ : (2.10)

Với Xi (i = 1,2,3) thỏa mãn hệ phương trình

D (e (fe)) L>(e(fc)) 1 = L>(e(fe)) ' d (e (fe)) = I (2.11)

Giải hệ phương trình (2.11) ta được:

X ị — — 2 A 2 , X 2 — 4^2 3^43,

^ 3 = — (8-A2 — 6.A2-A3 — 6 A 3 A 2 + 4.A4)

Từ các biểu thức trên ta có:

(2.12)

1 = I - 2J42e<‘ > + (4^2 - 3,43) (e(i)) 2l F '(a) _1

+ ị(6A 2A 3 + 6A3A 2 - i A t ) (e<‘>)3 - S Ạ ^ e 1*»)3] F '( a ) _1 (2.13)

(i5АгА 2 - 4Ai) (e<‘ >)3 + о ( ( e w ) 4)

Từ (2.3), (2.14) và (2.17) ta có phương ữình sai số như sau:

g(fc+i) _ (1 _ ữi _ a2) g(fc) _|_ (ữi _|_ 3a2) ^42 - 2a2A 2e ^ ^ eK

(2.18)

— (2 (ữi + 4CỈ2) — (2ữị + 602) -^3) ^ )

Mục đích của chúng ta là tìm các giá trị của các tham số ữ i, a 2 theo bước lặp

(2.3) sao cho bậc hội tụ càng cao càng tốt Điều này xảy ra khi ữi = I và