Hinh hoc khong gian (DTDH)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳmg ABCD, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ACBD bằng 450.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuô

Hình Học Không Gian Trong Đề Thi Đại Học

(2010 – 2015)

Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông

góc với mặt phẳmg (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD)

bằng 450 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai

đường thẳng SB, AC

(2015)

Do góc SCA = 45o nên tam giác

SAC vuông cân tại A

Ta có AS = AC =

a

a  V a a 

Gọi M sao cho ABMC là hình bình hành

Vẽ AH vuông góc với BM tại H,

AK vuông góc SH tại K

Suy ra, AK vuông góc (SBM)

Ta có: 1 2 12 1 2 12 42 52

AK  SA  AH  a  a  a

Vì AC song song (SBM) suy ra

d(AC, SB) = d(A; (SBM)) = AK = 2

5

a

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SD = 3a/2, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm

của cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến

mặt phẳng (SBD)

(Khối A – 2014)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt

phẳng (ABCD) → H là trung điểm của cạnh

AB

HD² = AH² + AD² = 5a²/4 → HD = a 5

2

SH vuông góc với (ABCD) → SH vuông góc

với HD

SH² = SD² – HD² = 9a²/4 – 5a²/4 = a² →

SH = a

VS.ABCD = (1/3)SH.SABCD = (1/3).a.a² = a³/3

A

D

H

K

S

M

F

H

E

S

lên SE

BD vuông góc với SH và HE nên BD vuông góc với mặt phẳng (SHE)

→ BD vuông góc với HF Nên HF vuông góc với mặt phẳng (SBD)

→ d(A; (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HF

Mặt khác BHE là Δ vuông cân tại H → HE = BE = HB a 2

4

ta có SE² = SH² + HE² = a² + a²/8 = 9a²/8 → SE = 3a 2

4 = 3HE

HF = SH.HE / SE = a/3

Vậy d(A; (SBD)) = 2a/3

Câu 3 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy là 60° Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’)

(Khối B – 2014)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng đáy

→ H là trung điểm của AB

và góc A’CH = góc của A’C tạo với đáy = 60°

CH = a 3

2 → A’H = CH.tan 60° = 3a/2 và SABC

= a² 3

4

→ VS.ABC = A’H.SABC = 3a3 3

8 Gọi M là hình chiếu vuông góc của H trên AC

→ HM vuông góc với AC và A’H vuông góc với

AC

→ AC vuông góc với (A’MH)

Vẽ đường cao HK trong ΔA’MH

→ AC vuông góc với HK và HK vuông góc với A’M

→ HK vuông góc với (ACC’A’)

→ HK = d(H; (ACC’A’))

HM = AH sin BAC = (a/2)sin 60° = a 3

4 A’M = 2 2 9a2 3a2

A ' H HM

4 16

4 → HK = A’H.HM / A’M = 3a

2 13

H là trung điểm của AB

→ d(B; (ACC’A’)) = 2HK = 3a

13

B’

C

B

A

H

K

M

Câu 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; mặt

bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,

BC

(Khối D – 2014)

Từ S kẻ SH vuông góc với BC tại H → SH vuông góc

với mặt phẳng (ABC) và SH = a 3

2 Tam giác ABC vuông cân tại A có AH vừa là trung

tuyến vừa là đường cao

→ AH vuông góc với BC và AH = BC/2 = a/2

Ta có: BC vuông góc với SH; BC vuông góc với AH

Nên BC vuông góc với (SAH)

Từ H kẻ HK vuông góc với SA tại K

Khi đó HK là đường vuông góc chung của SA và BC Tam giác SHA vuông tại

H

HK  SH  HA  3a  a  3a

d(SA, BC) = HK = a 3

4

Câu 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ABC = 30°

SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

(Khối A – 2013)

Gọi H, I lần lượt là trung điểm BC, AB

→ SH vuông góc với BC; mà (SBC) vuông góc với

đáy

→ SH vuông góc với đáy

Ta có BC = a, suy ra SH = a 3

2 ; AC = BC.sin 30° = a/2

AB = BCcos 30° = a 3

2

→ VS.ABC = (1/3)SH.SΔABC = (1/6).SH.AB.AC =

a³/16

ΔABC vuông tại A nên AH = HB → SA = SB = a → SI vuông góc với AB SI =

2

2 2 2 3a a 13

S = 1 a2 39 → d(C; (SAB)) = 3V  3a

S

B

C

A

I

H

A

C

B

S

H

K

Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

(Khối B – 2013)

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD Vẽ HI vuông góc với SK tại I ΔSAB đều nên SH vuông góc với AB Mà mặt phẳng (SAB) vuông góc với

(ABCD) Suy ra SH vuông góc với (ABCD)

SH = a 3

2 ; VS.ABCD = (1/3)SH.SABCD = a3 3

6

CD vuông góc với SH, HK → CD vuông góc với

(SHK)

→ CD vuông góc với HI Mà HI vuông góc với

SK

Suy ra HI vuông góc với (SCD)

Mặt khác AB // (SCD) nên d(A, (SCD)) = d(H,

(SCD)) = HI

1/HI² = 1/SH² + 1/HK² = 4/(3a²) + 1/a² = 7/(3a²)

Vậy khoảng cách từ A đến (SCD) là d(A, (SCD)) = HI = a 21

7

Câu 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông

góc với đáy, góc BAD = 120°, M là trung điểm của cạnh BC và góc SMA = 45° Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

(Khối D – 2013)

Ta có: góc ABC = 180° – góc BAD = 60° Suy ra ΔABC đều

→ AM = a 3

2 ; SABCD = AM.BC = a2 3

2 ΔSAM vuông cân tại A nên SA = AM = a 3

2

VS.ABCD = (1/3).SA.SABCD = a³/12

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM

BC vuông góc với AM, SA → BC vuông góc với

(SAM)

→ BC vuông góc với SM → AH vuông góc với

(SBC)

Do AD // (SBC)

nên d(D,(SBC))=d(A, (SBC)) = AH

Mặt khác ΔSAM vuông cân tại A → AH =

4

A

S

D

K

H

I

S

A

D

H

M

Vậy d(D, (SBC)) = a 6

4

Câu 8 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho

HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60° Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

(Khối A – 2012)

Góc SCH là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC)

→ góc SCH = 60°

Gọi D là trung điểm của cạnh AB Suy ra DA = DB = a/2

Mặt khác HA = 2HB → HA = 2a/3 và

HB = a/3

Do đó HD = a/2 – a/3 = a/6

CD vuông góc với AB (do ΔABC đều)

CD = a 3

2 ; CH = 2 2 a 7

CD HD

3

SH = CH.tan 60° = a 21

3

VS.ABC = 1SH.SABC 1 a 21 a2 3 a3 7

Qua A kẻ đường thẳng d // BC; kẻ HN

vuông góc với d tại N; kẻ HK vuông góc

với SN tại K

Khi đó AN vuông góc với HN, SA → AN vuông góc với (SHN) → AN vuông

góc với HK

Suy ra HK vuông góc với (SAN)

do BC // (SAN) → d(BC, SA) = d(B, (SAN)) = AB

AHd(H, (SAN)) = (3/2).HK

Ta có HN = AH sin HAN = (2a/3).sin 60° = a 3

3 → HK =

SH.HN a 42

12

SH HN





Vậy d(BC, SA) = a 42

8

Câu 9 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = 2a, AB = a Gọi H là hình

chiếu vuông góc của A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a

(Khối B – 2012)

Gọi O là trọng tâm ΔABC; D là trung điểm của cạnh AB

Ta có SO vuông góc với (ABC) suy ra SO vuông góc với AB

D

H

B

S

N

K

mà AH vuông góc với SC

Vậy SC vuông góc với (ABH)

Mặt khác SA = SB = SC = 2a

CD = a 3

2 ; OC = a 3

3 → SO = 2 2 a 33

SC OC

3

DH = SO.CD / SC = a 11

4 ; suy ra SABH =

2

AB.HD

CD  HD = a/4; SH = SC – CH = 7a/4

VS.ABH = 1SH.SABN 7a3 11

Câu 10 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác

A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách

từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a

(Khối D – 2012)

A’C = a và ΔA’AC vuông cân → A’A = AC = a 2

2

→ BB’ = a 2

2 Mà ΔABC vuông cân

→ AB = BC = a/2 Suy ra B’C’ = a/2

SΔBB’C’ = (1/2)BB’.B’C’ = a2 2

8 Vậy VABB’C’ = (1/3).AB.SΔBB’C’ = a3 2

48 Dựng AH vuông góc với A’B tại H Ta có BC vuông góc với AB, A’A → BC

vuông góc với mặt phẳng (ABA’)

→ BC vuông góc với AH

Nên AH vuông góc với (BCD’)

→ d(A, (BCD’)) = AH

1/AH² = 1/A’A² + 1/AB² = 6/a²

Vậy d(A, (BCD’)) = AH = a

6

B

H

S

D O

D

C

D’

C’

H

Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,

AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng

(ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC,

cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60° Tính thể

tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

(Khối A – 2011)

Ta có (SMN) // BC → MN // BC → N là trung

điểm của AC

(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) nên SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC) → SA vuông góc

với BC

mà BC vuông góc với AB → BC vuông góc với

(SAB)

Hay BC cũng vuông góc với SB

→ góc SBA là góc tạo bởi (SBC) và (ABC)

→ góc SBA = 60°

→ SA = AB tan SBA = 2a 3

MN = BC / 2 = a; MB = AB/2 = a

→ SBCNM = (1/2)MB.(MN + BC) = 3a²/2

VS.BCNM = (1/3)SA.SBCNM = a³ 3

Dựng hình chữ nhật AMND → ND vuông góc với AD

mà ND vuông góc với SA nên ND vuông góc với mặt phẳng (SAD)

Kẻ AH vuông góc với SD tại H Khi đó ND vuông góc với AH → AH vuông góc

với (SDN)

Suy ra AH vuông góc với SN Mặt khác AB // ND hay AB // (SND)

Nên d(AB, SN) = d(A, (SND)) = AH

Ta có: AD = MN = a; SD² = SA² + AD² = 13a² → SD = a 13

d(AB, SN) = AH = SA.AD 2a 3.a 2a 39

Câu 12 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,

AD = a 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 60° Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a

(Khối B – 2011)

Gọi O là giao điểm của AC và BD; E là trung điểm của AD Dựng CH vuông góc

với BD tại H

→ A1O vuông góc với (ABCD)

→ A1O vuông góc với AD và OE vuông góc với AD

H

D

N

M

B

A

S

C

Nên góc A1EO là góc tạo bởi (ADD1A1) và

(ABCD)

→ góc A1EO = 60° Mặt khác OE = AB/2

= a/2

Nên A1O = OE.tan 60° = a 3

2

SABCD = AB.AD = a² 3

Thể tích khối lăng trụ đã cho là V =

A1O.SABCD = 3a³/2

Ta lại có CH vuông góc với BD, A1O nên

CH vuông góc với (A1BD)

Vì CB1 // A1D nên CB1 // (A1BD) suy ra d(B, (A1BD)) = d(C, (A1BD)) = CH

AB  AD = 2a Từ CH.BD = CB.CD = AB.AD suy ra CH = a 3

2 Vậy d(B, (A1BD)) = a 3

2

Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC

= 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a 3 và góc SBC = 30° Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt

phẳng (SAC) theo a

(Khối D – 2011)

Vẽ SH vuông góc với BC tại H Vì (SBC) vuông

góc với mặt phẳng (ABC) nên SH vuông góc với

mặt phẳng (ABC)

SH = SB.sin SBC = a 3

SΔABC = AB.BC/2 = 6a²

VS.ABC = (1/3).SH.SΔABC = 2a³ 3

Hạ HD vuông góc với AC tại D Hạ HK vuông

góc với SD tại K

→ AC vuông góc với (SHD) → AC vuông góc

với HK

Nên HK vuông góc với (SCA)

AC² = AB² + BC² = 25a² → AC = 5a

BH² = SB² – SH² = 9a² → BH = 3a → CH = 4a – 3a = a

→ CH = BC / 4 Suy ra d(B, (SAC)) = 4d(H, (SAC)) = 4HK

Mặt khác HD = (AB / AC).CH = 3a / 5

1/HK² = 1/SH² + 1/HD² = 28/(9a²) → d(B, (SAC)) = 4HK = 6a 7

7

B 1

A 1

H O

E

D

K

H

C

B

A

S

Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N

lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

(Khối A – 2010)

Ta có SCDNM = SABCD – SAMN–SBCM

= AB² – 1AM.AN 1BC.BM

= a² – a²/8 – a²/4 = 5a²/8

VS.CDNM =

2 3 CDNM

ΔADM = ΔDCN (c–g–c)

→ góc ADM = góc DCN

mà góc ADM + góc CDH = 90°

→ góc DCN + góc CDH = 90°

→ CN vuông góc với MD

mà MD vuông góc với SH

→ MD vuông góc với mặt phẳng (SCN)

Kẻ HK vuông góc với SC tại K

→ MD vuông góc với HK; HK vuông góc với SC

→ HK là đoạn vuông góc chung của MD và SC

Do đó HK = d(MD, SC)

Mắt khác CN = 2 2 a 5

CD DN

2

HC = CD² / CN = 2a 5

5 ;

HK =

SH.HC a 3.2a 5 2a 3

19

SH HC 25.3a 20a

Vậy d(MD, SC) = 2a 3

Câu 15 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a Góc giữa hai

mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60° Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

(Khối B – 2010)

Gọi M là trung điểm BC, có G thuộc A’M và GM/A’M = 1/3

Khi đó AM vuông góc với BC vì tam giác ABC đều

A’A vuông góc với (ABC) → A’A vuông góc với BC

Suy ra BC vuông góc với (A’AM) nên BC vuông góc với A’M

Do đó góc A’MA là góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC)

A

D

N

H

M

S

K

AM = a 3

2 ; A’A = AM tan 60° = 3a/2

VABC.A’B’C’ = (1/3).A’A.SABC = a3 3

8 Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC → HG // A’A

Suy ra GH vuông góc với (ABC)

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC

→ I thuộc đường thẳng GH và IA = IG

HA = a 3

3 ; HG = A’A/3 = a/2 < HA < IA = IG

Nên H nằm giữa I và G Đặt IA = IG = R IH = R –

a/2

IA² = IH² + AH² <=> R² = a² / 3 + (R – a / 2)² <=>

R = 7a/12

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC là R = 7a/12

Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho AH = AC/4 Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của cạnh SA và tính thể tích của khối tứ diện

SMBC theo a

(Khối D – 2010)

AC = a 2; AH = a 2

4

→ SH = 2 2 a 14

SA AH

4

→ CM = SH.AC / SA = a 7

2 AM² = AC² – CM² = 2a² – 7a² / 4 =

a²/4

Suy ra AM = a/2 = SA/2 Vậy M là trung

điểm của SA

Ta có VS.ABC = (1/3)SH.SABC = a3 14

24

→ VS.BCM = (SM / SA).VS.ABC = (1/2).VS.ABC = a3 14

48

H

M A’

B

C

A

C’ B’

G

I

C

D

S

M

H