VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 3.. BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn... Vậy có hai đường thẳng thỏ
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3 MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ GÓC – KHOẢNG CÁCH
Phương pháp giải:
Giả sử mặt phẳng cần lập có một véc tơ véc tơ pháp tuyến là 2 2 2
P
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên (P) đi qua M x y z( ;0 0; 0)∈d và vuông góc với véc tơ chỉ phương của d
Khi đó ta có ( ) : ( 0) ( 0) ( 0) 0
= ⇔ =
Từ các dữ kiện về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c
Thay a = f(b; c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c
Chọn cho c = 1, từ đó tim được các giá trị tương ứng của a và b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập
Chú ý:
Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng
2
Ví dụ 1: [ĐVH].Cho hai mặt phẳng ( )α :x+2y− + =z 5 0; ( )β : 4x−2y+ =3 0
Lập (P) vuông góc với cả hai mặt phẳng đã cho đồng thời khoảng cách từ điểm A(3; 1; 1) đến (P) bằng 8
30
Ví dụ 2: [ĐVH]. Lập phương trình (P) đi qua A(1; 1;0), (2; 1; 1)− B − − sao cho khoảng cách từ M(–2; 1; 3) đến (P)
bằng 2
3
Đ/s: ( ) : 2P x+ +y 2z− =1 0;( ) : 2P x− +y 2z− =3 0
Ví dụ 3: [ĐVH]. Lập phương trình (P) chứa : 1 2
+ = = +
−
d sao cho khoảng cách từ A(–3; 1; 1) đến (P) bằng
2
3
Đ/s: ( ) :P x+ + + =y z 3 0
Ví dụ 4: [ĐVH].Cho : 2 1 ;( ) : 2 3 0
−
Lập (Q) // ∆; (Q) ⊥ (P) đồng thời khoảng cách từ A(1; 2; 0) đến (P) bằng 7
30 Đ/s: ( ) : 2Q x+ +y 5z+ =3 0
Ví dụ 5: [ĐVH].Lập phương trình (P) đi qua ( 1; 2;1), A − vuông góc với mặt phẳng (xOy) đồng thời khoảng cách từ
điểm (1;1; 3)B − đến (P) bằng 3
5 Đ/s: ( ) : 2P x+ =y 0
Ví dụ 6: [ĐVH].Cho
2
= +
= −
= −
và các điểm (1;1; 2), (3;1; 1)A B −
Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (P) bằng hai lần khoảng cách từ B tới (P)
Đ/s: ( ) :P y−2z=0;( ) : 8P x+ +y 6z− =17 0
08 BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Ví dụ 7: [ĐVH].Cho : 1 1
− = + =
d và các điểm (1; 2; 2), (4;3;0)A B
Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (P) bằng khoảng cách từ B tới (P)
Đ/s: ( ) : 4P x−2y+5z− =10 0;( ) :12P x−10y+17z−22=0
Ví dụ 8: [ĐVH].Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; −3), B(2; −1; −6) và (P): x + 2y + z −3=
0 Viết phương trình (Q) chứa AB và tạo với (P) một góc α thỏa mãn cos α 3
6
=
Hướng dẫn giải:
Giả sử (Q) có một véc tơ pháp tuyến là nQ =( ; ; ),a b c a2+ + ≠b2 c2 0
Mặt phẳng (Q) chứa A; B nên ( ) : ( 1) ( 2) ( 3) 0
= ⇒ − − = ⇔ = +
Q
2 2 2
6
+ +
Q
Q
P
P
1
3 8
= −
= −
b c
b c
+) Với b= −c, chọn c=1;b= −1;a=0⇒( ) : (Q − − + + = ⇔ − − =y 2) (z 3) 0 y z 5 0
+) Với 3,
8
= −
b
c chọn c=8;b= −3;a=5⇒( ) : 5(Q x+ −1) 3(y− +2) 8(z+ = ⇔3) 0 5x−3y+8z+35=0
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 9: [ĐVH].Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1; −2) và đường thẳng
:
−
d Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (OAB),
nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng (d) một góc α sao cho cos α 5
6
=
Hướng dẫn giải:
Ta có OA=(2; 1;1 ,− ) OB=(0;1; 2− )⇒OA OB , =(1; 4; 2)=nOAB
Do đó (OAB): x + 4y + 2z = 0 (1)
3
1 2
=
= −
= − +
x t
Vì ∆ ∈(OAB)⇒ n OAB.u∆= ⇔ +0 a 4b+2c=0⇒a= − −4b 2 ,c với u∆=(a b c ; ; )
Do đó :
α ( ; ) cos α
6
d d
d
∆
∆
5
= −
= −
11
= −
b c , chọn
10 31
21 11
= − −
= = − = − ⇒∆ = −
= − +
+) Với b= −c, chọn
10 2
21
= − +
= = − = ⇒∆ = −
= − +
Trang 3Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 10: [ĐVH].Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;1;−2), vuông góc với đường thẳng : 3 2
− và tạo với mặt phẳng (P): 2x + y − z +5 = 0 một góc 300
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u= −(1; 1;1), đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương u∆=(a b c ; ; )
1
P P
P
∆
∆
∆
+ −
2 2 2
2 6
+ −
+ +
a b c
Mặt khác, d⊥ ∆⇒ u u d ∆= ⇔ − + = ⇔ = +0 a b c 0 b a c
2
=
= −
a c
a
+) Với a=c⇒b=2 ,a chọn 1; 2 : 1 2
2
=
= = = ⇒∆ = +
= − +
x t
+) Với c= −2a⇒b= −a chọn , 1; 1; 2 : 1
2 2
=
= = − = − ⇒∆ = −
= − −
x t
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 11: [ĐVH].Trong không gian cho hai đường thẳng 1:
−
−
a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆2 và tạo với đường thẳng ∆1 một góc 300
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau:
Đường thẳng ∆1 có véc tơ chỉ phương u1= −(1; 2;1) và qua O(0;0;0),
Đường thẳng ∆2 qua B(1; −1; 1) và có véc tơ chỉ phương u2= −(1; 1;3) Ta thấy hai véc tơ chỉ phương của hai đường
khác phương nên d1 và d2 hoặc chéo nhau, hoặc cắt nhau
Mặt khác, u u 1; 2= − − −( 5; 2; 1)⇒u u 1, 2.OB= ≠6 0
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau
b) Viết phương trình (P)
Giả sử (P) có một véc tơ pháp tuyến là nP =( ; ; ),a b c a2+ + ≠b2 c2 0
Mặt phẳng (Q) chứa ∆2 nên
2
Q
1
P P
P
∆
∆
∆
− +
2 2 2
1
1
b
b c c
b
c
= ⇔ =
+) Với b = c, chọn c=1;b=1;a= −2⇒( ) : 2(P − x− +1) (y+ + − = ⇔1) (z 1) 0 2x− − − =y z 2 0
Trang 4+) Với 11,
2
b
c = chọn c=2;b=11;a=5⇒( ) : 5(P x− +1) 11(y+ +1) 2(z− = ⇔1) 0 5x+11y+2z+ =4 0
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 12: [ĐVH].Cho hai điểm A(1; 1; 1), B(2; 0; 2) và đường thẳng : 2 1 3
+ = − = +
d Lập phương
trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và tạo với d một góc 600
Lời giải:
Ta có: AB= −(1; 1;1)=uAB
Giả sử (P) có một véc tơ pháp tuyến là 2 2 2
P
n = a b c a + + ≠b c
Mặt phẳng (P) qua A,B nên (1;1;1) ( 1) ( 1) ( 1) 0
= ⇒ − + = ⇔ = −
Theo bài, ( ) 0 ( )
2 2 2
2
− − +
2 2 2
3
+) Với b = 0, chọn c= −1;a=1⇒( ) :P x− =z 0
+) Với c=0 chọn b=1;a=1⇒( ) :P x+ − =y 2 0
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 13: [ĐVH].Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với đường thẳng ∆ một góc
bằng 600 biết : 2 , : 2 3 5
=
−
=
z t
Lời giải:
Giả sử (P) có một véc tơ pháp tuyến là 2 2 2
P
n = a b c a + + ≠b c
Mặt phẳng (P) chứa d nên (0; 2;0) ( 2) 0
= ⇒ − + = ⇔ = −
Theo bài, ( ) 0 ( )
2 2 2
2
P P
p
∆
∆
∆
+ −
2 2 2
3
− + −
+) Với b =0, chọn c= −1;a=1⇒( ) :P x− =z 0
+) Với c=0 chọn b=1;a=1⇒( ) :P x+ − =y 2 0
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 14: [ĐVH].Cho hai điểm A(1; -2; -2), B(0; -1; -2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,
B và tạo với mặt phẳng (yOz) một góc φ với cos φ 1
3
=
Lời giải:
Giả sử mặt phăng (P) có một vecto pháp tuyến là ( ) 2 2 2
P
n= a b c a + + ≠b c
Trang 5Mặt phẳng (P) chứa hai điểm A;B nên ( ) (: 1) ( 2) ( 2) 0
P
= ⇔ − =
2 2 2
3
yOz
yOz
P P
a c
= −
⇒ =
• Với a = c chọn a = 1; b = 1; c = 1 ⇒ ( ) P : x + + + = y z 3 0
• Với a = -c chọn a = 1; b = 1; c = − 1 ⇒ ( ) P : x + − − = y z 1 0
Ví dụ 15: [ĐVH].Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình : 1 , ( ) : 1 0
1 2
=
= −
x t
Lập phương trình (Q) chứa d và và tạo với (P) một góc φ, biết rằng cos φ 1
15
=
Lời giải:
Giả sử mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là ( ) 2 2 2
Q
Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng: ( ) : b ( 1 ) ( 1 ) 0
cos ,
Q P
Q P
n n
b
=
= −
+) Với b= → =0 a 2c,chọn a = → = 2 c 1 ⇒ ( ) Q : 2 x + − = z 1 0
+) Với 2b= −5c, chọn b = − → = → = 5 c 2 a 4 ⇒ ( ) Q : 4 x − 5 y + 2 z − = 3 0
Ví dụ 16: [ĐVH].Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;1), ( 2;3; 2)B − − và tạo với đường thẳng
:
−
một góc φ với cos φ 35
6
=
Lời giải:
Ta có: AB= −( 1;1; 1− )
Giả sử ( ) P có một véc tơ pháp tuyến là ( ) ( 2 2 2 )
P
Do măt phẳng ( ) P qua A và B nên ta có: (1; 0;1) ( 1) ( 1) 0
0
P AB
n u
∈ ∆
⇔
− + − = ↔ = −
=
Theo bài, do (( ) ) 35 (( ) ) 1
Mặt khác ta lại có: (( ) ) ( )
sin ; cos ;
P
∆
− +
Trang 6
( ) ( )( )
2
=
= −
+) Với b = → = c a 0 ⇒ ( ) P : y + − = z 1 0
+) Với b= −2c, chọn b = 2 ⇒ c = − 1 ⇒ a = 3 ⇒ ( ) P : 3 x + 2 y − − = z 2 0
Vậy có 2 mặt phẳng trên thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 17: [ĐVH].Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng : 1 1
+ = = −
−
d và tạo với mặt
phẳng (yOz) góc nhỏ nhất?
Lời giải:
Giả sử mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến n=(a b c a, , ); 2+b2+c2≠0
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d có: ( ) (: 1) ( 1) 0
Ta có: (( ),( )) α cosα 2 2 2 2 2
P yOz
Nếu a=0thì cos α=0
Nếu a≠0, xét hàm ( ) ( )
( )
3
b
a
Vậy ( )max 1
3 ⇔ = − ⇔ = − =t a b c
Mặt phẳng cần tìm là ( )P :x− + =y z 0
Ví dụ 18: [ĐVH].Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng : 2 1
+ = + =
−
d và tạo với mặt
phẳng (xOy) góc nhỏ nhất?
Lời giải:
Giả sử mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến ( ) 2 2 2
n= a b c a +b +c ≠
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d có: ( ) (: 1) ( 1) ( 2) 0
Ta có: (( ),( )) α cosα 2 2 2 2 2
P yOz
Nếu c=0thì cos α=0
Nếu c≠0thì ( ) ( )
( )
3
b
c
Vậy ( )max 1
3 ⇔ = ⇔ = =t a b c