Lời nói đầu Bài toán viết phương trình mặt phẳng là dạng toán hay và không quá khó trong chương trình lớp 12 , để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học không gi
Trang 1A.Đặt vấnđề 2
I.Lời nói đầu 2
II.thực trạng của vấn đề 2
B.Giải quyết vấn đề 3
Phần I: Nhắc lại kiến thức cơ bản 3
Phần II:.Nêu phương pháp chung để giải toán 4
Phần III: Các dạng bài tập thường gặp 6
C.Kêt luận 13
Trang 2A ĐẶT VẤN ĐỀ
I Lời nói đầu
Bài toán viết phương trình mặt phẳng là dạng toán hay và không quá khó trong chương trình lớp 12 , để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Mức độ tư duy lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc Những phát hiện lời giải hay và hấp dẫn người học
Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phương pháp toạ độ không gian trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng
II Thực trạng của vấn đề
Là giáo viên giảng dạy ở trương THPT tôi thấy nhìn chung đối tượng học sinh ở mức trung bình yếu, mức độ tư duy vừa phải , các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này
Cụ thế tôi đã khảo sát ở ba lớp 12A,12B,12C như sau:
Tôi yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:
Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau:
a/ ( ) đi qua điểm M( 1;2;3 ) và có pháp tuyến là n = ( 2;-4;1)
b/ ( ) đi qua điểm N(2;-1;3) và vuông góc với d x 21y321z
c/ ( ) đi qua M(2;-1;3) và // (P): x+2y-3z + 1 = 0
d/ ( ) đi qua 3 điểm A(2;-1;3), B (4;0;1), C(-10;5;3)
*/Số liệu cụ thể trước khi thực hiện đề tài
Kết quả của lớp 12A ( sĩ số 50) Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời Lời
giải
Kết quả của lớp 12B ( sĩ số 54)
Số h/s làm đúng Số h/s làm sai Số h/s không có lời Lời giải
Kết quả của lớp 12C ( sĩ số 54)
Trang 3Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời Lời giải
Như vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả như trên là rất thấp,
để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặp dạng toán này tôi đưa ra phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản
dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn đề
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
PHẦN I: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN
1 Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
* n 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) thì n là pháp tuyến của (
)
* n là pháp tuyến của ( ) thì k n cũng là pháp tuyến của ( )
2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
* Phương trình tổng quát của ( ) có dạng Ax + By + Cz + D = 0
( A2 + B2 + C20)
* Nếu ( ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì pháp tuyến của ( ) là
n( A;B;C)
* Nếu ( ) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận n(A;B;C) làm pháp tuyến thì phương trình của ( ) là : A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
* Nếu ( ) chứa hay song song với giá của hai véc tơ khác phương a
=(a1;a2;a3), b(b1;b2;b3) thì pháp tuyến của ( ) là :
n = [a, b] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)
* Nếu ( ) cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c) thì ( ) có phương trình là : 1
c
z b
y a
x
; (a.b.c 0 ) ( phương trình trên gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn )
* (P) (Q) thì nP nQ = 0 ( nP, nQ lần lượt là pháp tuyến của (P) và (Q))
* (P) // (Q) thì nP = k nQ ( nP, nQ lần lượt là pháp tuyến của (P) và (Q) )
* Nếu ( ): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(x0;y0;z0) thì khoảng cách từ M đến ( ) là d (M, ( )) = | 0 2 0 2 0 2 |
C B A
D Cz By Ax
* Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(xB; y B ; zB)
- véc tơ AB= (xB-xA ; yB-yA ; zB-zA )
- Toạ độ trung điểm I của AB là I= )
2
; 2
; 2 (x A x B y Ay B z A z B
Trang 4Quy ước: Pháp tuyến của mặt phẳng ký hiệu là n
Chỉ phương của đường thẳng ký hiệu là a
PHẦN II : NÊU PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong bài toán Viết phương trình mặt phẳng ( ) thì phương pháp chung
nhất là đi xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( gọi chung là pháp
tuyến) và toạ độ một điểm mà mặt phẳng đi qua sau đó dựa vào công thức
nhận xét của định nghĩa( trang 72 sgk hh12) để viết phương trình mặt phẳng.
PHẦN III: CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng ( ) khi biết pháp tuyến n
(A;B;C) và toạ độ điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) thuộc mặt phẳng
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng ( ) là: A(x- x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0
Ax + By + Cz -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = 0
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau:
a/ ( ) đi qua điểm M (1;2;3) và có pháp tuyến là n(3;2;4)
b/ ( ) đi qua gốc toạ độ và có pháp tuyến là n(3;-2;0)
Lời giải
a/ Phương trình mặt phẳng ( ) là: 3(x-1) + 2(y-2) + 4(z-3) = 0
3x + 2y +4z -19 = 0 b/ Phương trình mặt phẳng ( ) là : 3(x- 0) -2(y-0) + 0(z-0) = 0
3x -2y = 0
Dạng 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm A,B,C cho trước không thẳng hàng.
Hướng dẫn:
n = [ AB AC ] là pháp tuyến của mặt phẳng (
) Lấy A ( ) phương trình ( )
Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau:
a/ ( ) đi qua 3 điểm A(2;-1;3), B (4;0;1), C(-10;5;3)
b/ ( ) đi qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-3)
Lời giải
a/ Ta có: AB=(2 ;1 ;-2)
AC=(-12 ;6 ;0)
n = [AB.AC ] = ( 12 ;24 ;24) hay lấy n =(1 ;2 ;2) là pháp tuyến A(2;-1;3) ( ) Phương trình mặt phẳng ( ) là:
1(x- 2) +2(y+1) +2(z-3) = 0
x+ 2y + 2z - 6 = 0
Trang 5b/ áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng ( ) là: 1
3 2
1
z y x
6x- 3y - 2z - 6 = 0 ( cách giải khác giống như câu a)
Dạng 3: Mặt phẳng ( ) đi qua một điểm và vài yếu tố khác
Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Hướng dẫn: n = a d bài toán trở về dạng 1
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau:
a/ ( ) đi qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với d
t z
t y
t x
2 3 2
( t là tham số )
b/ ( ) đi qua điểm N(2;-1;3) và vuông góc với d
1 3
2 2
1 y z x
c/ ( ) đi qua điểm P(0;1;2) và vuông góc với trục Ox
Lời giải
a/ Do ( ) vuông góc với d n =ad = (2;1;-1)
M(1;2;3) ( ) phương trình của ( ) là: 2(x-1) + 1(y-2) -1(z-3) = 0
2x + y -z -1 = 0 b/ Do ( ) vuông góc với d n = ad = (-2;3;1)
N(2;-1;3) ( ) phương trình của ( ) là : -2(x-2) +3(y+1) +1(z-3) = 0
-2x +3y +z +4 = 0 c/ do ( ) vuông góc với Ox n = i = (1;0;0)
P(0;1;2) ( ) phương trình của ( ) là: 1(x- 0) + 0(y-1) + 0(z-2) =0
x = 0
Loại 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P).
Hướng dẫn : n = n P bài toán trở về dạng 1
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau:
a/ ( ) đi qua M(2;-1;3) và // (P): x+2y-3z + 1 = 0
b/ ( ) đi qua N(2;0;-3) và // (Oxy)
Lời giải
a/ do ( ) // (P) n =nP = (1;2;-3)
M(2;-1;3) ( ) phương trình của ( ) là:
1(x-2) +2(y+1) -3(z-3) = 0
x +2y -3z + 9 = 0 b/ do ( ) // (Oxy) n = k =( 0;0;1)
N(2;0;-3) ( ) phương trình của ( ) là: 0(x-2) + 0(y-0) +1(z+3) = 0
z + 3 = 0
Loại 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Hướng dẫn: n = [ a d n P ] đưa bài toán về dạng 1.
Trang 6Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(2;3;-1) song song với d
t z
t y
t x
3
3 1
( t là tham số ) và vuông góc với (P): x + y - z +
1 = 0
Lời giải
Ta có : ad = (-3 ;2 ;-1)
nP = (1 ;1 ;-1)
Do ( ) //d và vuông góc với (P) n = [ad nP] = (-1 ;-4 ;-5)
M(2;3;-1) ( ) phương trình của ( ) là: -1(x-2) - 4(y-3) - 5(z+1) = 0
x +4y + 5z - 9 = 0
Loại 4 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) ®i qua ®iÓm M vµ vu«ng gãc
víi 2 mÆt ph¼ng (P) vµ (Q).
Híng dÉn: n = [ n P n Q ] bài toán đưa về dạng 1
Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(3;-1;-5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (P): 3x - 2y +2 z + 7 = 0,
(Q): 5x- 4y + 3z +1 = 0
Lời giải
Ta có: nP = (3;-2;2)
nQ= (5;-4;3)
Do ( ) vuông góc với (P) và (Q) n = [nP nQ] = (2;1;-2)
M(3;-1;-5) ( ) phương trình của ( ) là:
2(x-3) +1(y+1) -2(z+5) = 0
2x + y - 2z -15 = 0
Loại 5 Viết phương trình mặt phẳng ( ) đia qua điểm M và song song với d và d’
Hướng dẫn : n = [ a d a d’ ] đưa bài toán về dạng 1
Ví dụ : Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
d
t z
t y
t x
4 3 2 1
; ( t là tham số ) và d’:
1
3 2
1 1
2
y z x
Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M(1 ;2 ;3) đồng thời song song với
d và d’
Lời giải
Ta có : ad = (2 ;-3 ;1)
ad’= (1 ;2 ;-1)
Do ( ) // d và d’ n = [ad ad’] = (1;3;7)
Và M(1;2;3) ( ) phương trình của ( ) là :
1(x-1) +3( y - 2) +7(z-3) = 0
x + 3y + 7z - 28 = 0
Loại 6 Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và chứa d ( d không đi qua M )
Hướng dẫn: - Lấy N d
- n = [ a d , MN ] đưa bài toán về dạng 1
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1;2;3) và chứa đường thẳng d : 12 21 13
y z x
Trang 7Lời giải:
Ta có: N(2;-1;3) d
MN = (1;3;0)
a d = (1;2;-1) do ( ) chứa M và d n = [ a d , MN ] =(-3;1;-1)
phương trình của ( ) là : -3(x-1) + 1(y-2) - 1(z - 3) = 0
-3x + y - z + 4 = 0
Dạng 4 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm và các yếu tố khác.
Loại 1 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M,N và song song với đường thẳng d.
Hướng dẫn: n = [ MN a d ]
Chọn M ( ) đưa bài toán về dạng 1
Ví dụ :Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M(2;1;3), N(1,-2,1) và song song với d
t z
t y
t x
2 3
2 1
( t là tham số )
Lời giải
Ta có: MN = (-1;-3;-2)
ad = (1;2;-2)
Do ( ) đi qua M,N và song song với d n = [MN ad]= (10;-4;1)
M(2;1;3) ( ) phương trình của ( ) là: 10(x-2) -4(y-1) +1(z-3) = 0
10x - 4y +z -19 = 0
Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M,N và vuông góc với
(P) (MN không vuông góc với (P))
Hướng dẫn: n = [ MN n P ]
Chọn M ( ) đưa bài toán về dạng 1
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M(0;1;2), N(2;0;1) và vuông góc với (P): 2x + 3y - z + 1 = 0
Lời giải
Ta có: MN = (2;-1;-1)
nP= (2;3;-1)
Do ( ) đi qua M,N và vuông góc với (P) n = [MN nP] = (4;0;8) M(0;1;2) ( ) phương trình của ( ) là: 4(x-0) + 0 (y-1) + 8(z-2) = 0
4x + 8z - 16 = 0
x + 2z - 4 = 0
Dạng 5 : Mặt phẳng chứa 1 đường thẳng và một yếu tố khác.
Loại 1 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và song song với d’.
Hướng dẫn: n = [ a d a d’ ]
Lấy M d M ( ) đưa bài toán về dạng 1
Ví dụ : Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
d
t z
t y
t x
4 3 2 1
; ( t là tham số ) và d’: 12 21 13
y z x
Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau :
Trang 8a/ ( ) chứa d và // d’
b/ ( ) chứa d và // d
Lời giải
a/ Ta có : ad = (2 ;-3 ;1)
ad’= (1 ;2 ;-1)
Do ( ) chứa d và // d’ n = [ad ad’] = (1;3;7)
Và M(1;0;4) d M ( ) phương trình của ( ) là :
1(x-1) +3( y - 0) +7(z-4) = 0
x + 3y + 7z - 29 = 0 b/ Ta có : ad = (2 ;-3 ;1)
ad’= (1 ;2 ;-1)
Do ( ) chứa d’ và // d n = [ad ad’] = (1;3;7)
Và N(2;-1;3) d’ N ( ) phương trình của ( ) là :
1(x - 2) + 3(y+1) + 7(z-3) = 0 x + 3y + 7z - 20 = 0
Loại 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và vuông góc với (P) ( d không vuông góc với (P))
Hướng dẫn: n = [ a d n P ]
Lấy M d M ( ) đưa bài toán về dạng 1
Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau:
a/ ( ) chứa d:x21y31z11
và vuông góc với (P): -x + y + 2z - 1 = 0 b/ ( ) chứa d
t z
t y
t x
2 2
1 3
và vuông góc với (Oyz) c/ ( ) chứa trục Oy và vuông góc với (P) : 2x + 3y - 4z + 1= 0
Lời giải
a/ Ta có ad= ( 2 ;3 ;1)
nP = (-1 ;1 ;2)
Do ( ) chứa d và vuông góc với (P) n = [ad nP] = (5; -5;5)
M(-1;1;-1) d M ( ) phương trình của ( ) là :
5(x+1) - 5(y-1) + 5 (z+1) = 0
x - y + z + 3 = 0
b/ Ta có ad= ( 3 ;1 ;-2)
i = (1 ; 0 ; 0) là pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz)
Do ( ) chứa d và vuông góc với (Oyz) n = [ad i ] = (0 ; -2 ; -1)
M(0 ;-1 ;2) d M ( ) phương trình của ( ) là :
0(x - 0) -2(y+1) -1(z-2) = 0
-2y - z = 0
c/ Ta có j= (0 ;1 ;0 ) là chỉ phương của đường thẳng chứa trục Oy
nP= (2 ;3 ;-4)
Do ( ) chứa trục Oy và vuông góc với (P) n = [ j nP] = (-4 ;0 ;-2) O(0 ;0 ;0) Oy O ( ) phương trình của ( ) là : -4x - 2z =0
2x + z = 0
Trang 9Dạng 6 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) là trung trực của đoạn thắng MN.
Hướng dẫn : n = MN
( ) đi qua trung điểm I của MN
Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng ( ) là trung trực của MN biết M(1;3;2), N(-1;1;0)
Lời giải
( ) là trung trực của MN ( ) MN I ( I là trung điểm của MN)
Ta có toạ độ của I=(0;2;1) ( )
n = MN = (-2 ;-2 ;-2) là pháp tuyến của ( )
phương trình của ( ) là: -2 (x-0) - 2(y-2) -2(z-1) = 0
x + y + z - 3 = 0
Dạng 7 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R)
Hướng dẫn : - ( ) // (P) dạng tổng quát của ( ) ( Chưa biết D)
-( ) tiếp xúc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? phương trình (
)
Ví Dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) //(P):x - 2y + 2z +1 =0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: (x+2)2 + (y-1)2 + (z- 2)2 = 4
Lời giải
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;2) , bán kính R = 2
Do ( ) // (P) phương trình của ( ) có dạng: x - 2y +2z + D = 0
Do ( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I,( )) = R
2 ) 2 ( 1
4 2 2
= 2 |D|=6 D = 6 hoặc D = -6 Vậy tìm được hai mặt phẳng ( ) là : x - 2y + 2z + 6 = 0
Và x - 2y + 2z - 6 = 0
Dạng 8 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) vuông góc với đường thẳng d
và tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R).
Hướng dẫn : + n = a d dạng tổng quát của ( ) ( Chưa biết D)
+ ( ) tiếp xúc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? phương trình ( )
Ví Dụ : Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - 3 = 0 và vuông góc với đường thẳng d: 11 22 2
y z
x
Lời giải
Ta có (S): x2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - 3 = 0
(x - 1)2 + (y +1)2 + (z + 2)2 = 9
tâm I(1 ;-1 ;-2), bán kính R = 3
Do ( ) vuông góc với d n = ad = (1;2;-2)
phương trình của ( ) có dạng: x + 2y - 2z +D = 0
Do ( ) tiếp xúc với mặt cầu S d(I,( )) = R
Trang 10
2 2
2 2 ( 2 )
1
4
2
3 | D +3 | = 9 D = 6 hoặc D = -12 Vậy tìm được hai mặt phẳng là: x + 2y - 2z + 6 = 0 và x + 2y - 2z - 12 = 0
Dạng 9 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với d, vuông góc
(P) và tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R) (d không vuông góc với (P))
Hướng dẫn : +/ n = [ a d n P ] dạng tổng quát của ( ) ( Chưa biết D) +/ ( ) tiếp xúc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? phương trình (
)
Ví Dụ : Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với d: 12 31 1
y z x
, vuông góc với (P): 2x +y + z - 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x - 2)2 + (y+1)2 + z2 = 9
Lời giải
Mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 0), bán kính R = 3
nP = (2 ; 1 ; 1 ) , ad = (1 ; 3 ; -1)
Do ( ) //d và vuông góc (P) n = [ad nP] = (- 4 ; 3 ; 5 )
phương trình của ( ) có dạng: - 4x + 3y + 5z + D = 0
Do ( ) tiếp xúc S(I ;R) d(I,( ) ) = R 2 2 2
5 3 ) 4 (
3 8
= 3
| D - 11 | = 15 2 D = 11 + 15 2 hày D = 11 - 15 2
Vậy tìm được hai mặt phẳng ( ) là : - 4x + 3y + 5z +11 + 15 2 = 0
Và - 4x + 3y + 5z + 11 - 15 2 = 0
Dạng 10 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với hai đường thẳng d và d’ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R)
Hướng dẫn : + n = [ a d a d’ ] dạng tổng quát của ( ) ( Chưa biết D) + ( ) tiếp xúc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? phương trình (
)
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S)
x2+ y2+z2 - 2x + 2y + 4z -3 = 0 và hai đường thẳng d:
0 2
0 2 2
z x y x
và d’ : 11 1 1
y z
x
Viết phương trình mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S) đồng thời song song với d và d’
Lời giải
Ta có (S) (x -1)2 + (y +1)2 + (z +2)2 = 9
tâm I(1;-1;-2), bán kính R = 3
Ta thấy đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng (P): x + 2y -2 =0 và
(Q):x - 2z= 0
chỉ phương của d là ad = [nP nQ] = (-4; 2; -2)
Và chỉ phương của d’ là ad’ = (-1;1;-1)
Do ( ) // d và d’ n = [ad ad’ ] = (0; -2 ; -2)
Phương trình của ( ) có dạng - 2y - 2z + D = 0