Bài 22.5điểmCho đa giác lồi A1A2…An nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và O nằm bên trong đa giác.. So sánh diện tích 2 đa giác, khi nào thì chúng bằng nhau.. Gọi M là trung điểm của
Trang 1Trường THPT Thuận Thành số1
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 11
(thời gian làm bài: 120 phút)
Ngày thi: 16/10/2008
Bài 1: (2.5 điểm) Cho phương trình:
sin2x + cos2x + 4sin3x – 4sinx + 2mcosx + 1 = 0
Tìm giá trị của m để cho phương trình có tập nghiệm là:
T = { x / x k , k Z
2
π
= + π ∈ }.
Bài 2(2.5điểm)Cho đa giác lồi A1A2…An nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và O nằm bên trong đa giác Gọi B1,B2,…Bn lần lượt là các điểm chính giữa các cung A1A2, A2A3,…AnA1
So sánh diện tích 2 đa giác, khi nào thì chúng bằng nhau
Bài 3 (2.5điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1) và (C2) có phương trình lần lượt là:
(C1): x2 + y2 = 4; (C2): x2 + y2 = 1 Các điểm A,B lần lượt di động trên (C1) và (C2) sao cho Ox là tia phân giác của góc AOB Gọi M là trung điểm của AB.Tìm quỹ tích điểm M
Bài 4: (2.5 điểm) Tìm tham số a để cho hệ sau có nghiệm:
2
a(x a) (x 2 2) 1 0
x a 0
> >
………Hết………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên học sinh:………
Lớp:………
Trang 2Đáp án chấm
Bài 1: (2.5 điểm)
• sin2x + cos2x + 4sin3x – 4sinx + 2mcosx + 1 = 0 (1)
⇔ 2sinxcosx + 2cos2x + 4sinx(sin2x - 1) + 2mcosx = 0 ⇔ cosx(sinx + cosx
-2sinxcosx +m) = 0
sin x cos x 2sin x cos x m 0
sin x cos x 2sinxcosx + m = 0 (2)
π
• Do đó (1) có tập nghiệm T = { x / x k , k Z
2
π
= + π ∈ }khi chỉ khi (2) chỉ có nghiệm
thuộc T hoặc (2) vô nghiệm
• Xét phương trình (2): sinx + cosx – 2sinxcosx + m = 0
2
4 f(t) = t t m (3) (I)
| t | 2 (4)
π
⇔ − −
≤
• Phương trình (2) có nghiệm thuộc T ⇒sin xcos x 0= ±= 1⇔m 1m== −1
Thử lại: m = 1: Khi đó (3) ⇔ t2 – t – 2 = 0 ⇔ t = -1 hoặc t = 2
Hệ (I) trở thành:
1
2
= π + π
= − + π
Vậy T không phải là tập nghiệm của phương trình đã cho
Thử lại: m = -1: Khi đó (3) ⇔ t2 – t = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 1
Hệ (I) trở thành:
1
2
π
= − + π π
Vậy T không phải là tập nghiệm của phương trình đã cho
• Phương trình (2) vô nghiệm:
f(t) là tam thức bậc hai có ∆ = 5 + 4m, S 1
2 = 2, kí hiệu t1, t2 là hai nghiệm của
f(t) = 0
2
− < < nên hệ (1) vô nghiệm khi chỉ khi:
Trang 3 ∆ < 0 hoặc
∆ >
< − < <
Vậy các giá trị m thỏa đề bài là: m 5 hay m > 1+ 2
4
(chú ý có thể sử dụng phương pháp hàm số để tìm đk m cho hệ (I) vô nghiệm)
Bài 2 Trước hết ta có:
Kí hiệu góc A1OA2 = a1; góc A2OA3 = a2;….;góc AnOA1 = an ta có:
S(A1A…An) = 1/2 R2 (sina1 + sina2 + …+ sinan)
= 1/2 R2 ( 1/2(sina1 + sina2) + 1/2( sina2 + sina3) +…+ 1/2(sinan + sina1))
Vậy S(A1A2…An) nhỏ hơn hoặc bằng S(B1B2…Bn)
Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = …=an hay đa giác A1A2…An là đa giác đều
Bài 3
Đường tròn (C1) có tâm O bán kính R1 = 2, đường tròn (C2) có tâm O bán kính R2 = 1 Với B(xB;yB) trên (C2) ta có xB2 + y2 B = 1 (1)
Gọi B1 là điểm đối xứng với B qua Ox, ta có B1(xB; -yB) và B1 nằm giữa O và A
Do OB1 = 1; OA = 2 nên ta có:
Khi đó tọa độ trung điểm M của AB là:
Thay vào (1) ta được:
Vậy quỹ tích điểm M là elip có phương trình (*)
Bài 4: (2.5 điểm)
•
> > > >
( )
2 sin 2 sin sin
; 0
) 2 sin
2
sin 2
(sin 2
1 2 a1 a2 a2 a3 a a1
≤
) 2
; 2 (
−=
=
⇒
+
=
+
=
y
y
x
x
yy
y
xx
x
B
B
B
A
B
A
2
3
2
2
2
(*) 1 4
1 4 9
2 2
=
x
Trang 4• 2 2
x a 0 x a 0 (2)
> > > >
• Do (2) nên x – a và a là hai số dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương ta được:
2
2 − + 2 − + + (x a) a ≥ 4
−
• Do đó (1) chỉ đúng khi dấu đẳng thức xảy ra tại (3) tức là:
2
3 2 x
(x a) a
a 2
=
− = = − ⇔
=
• Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi a = 2
2 và nghiệm của hệ là: x = 3 2
2
_
Các cách làm khác đúng cho điểm tối đa