Tìm số tự nhiên n biết rằng .... Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần..
Trang 1Sở GD & ĐT thanh hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 11
Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2010 - 2011
-*** -
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
-*** -Câu I (6 điểm)
1 Tính đạo hàm của hàm số cos (2 1)
2 2
+ +
+
x x
x y
2 Cho đồ thị (C) y= x3−3x2 +2 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) song song với đờng thẳng
y = 9x - 25.
3 Tính giới hạn:
x
x x
3 1 2 1 1
0
+ +
−
→
Câu II (4 điểm)
1 Giải phơng trình: (1−tanx)(1+sin2x)=1+tanx
2 Giải hệ phơng trình:
+
−
= +
+
−
= +
2 2
2 2
1 21
1 21
x x
y
y y x
Câu III (4 điểm)
1 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2 1 65536
1 2 1
2 1 2
3 1 2
1 1
+
+ + +
k n n
C
2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt
đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần
Câu IV (4 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) x2+y2−2x+4y−4=0 Viết phơng trình
ảnh của (C) qua phép đối xứng qua đờng thẳng ∆:x+y−1=0
2 Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a, chiều cao bằng 2a Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) chứa CD và vuông góc với mặt phẳng (SAB)
Câu V (2 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn
2
cot 2
cot 2
cot 2
sin 2
sin 2 sin
Chứng minh tam giác ABC đều
-Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh : .
Trang 2Trờng THPT Đông Sơn 1 kì thi chọn học sinh giỏi lớp 11
Năm học 2010 - 2011
Hớng dẫn chấm môn toán 11 Chú ý :
- Hớng dẫn chấm có 03 trang
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5
- Thí sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
I.1 Tính đạo hàm
) 1 x sin(
) 1 x cos(
4 2
x x
2 x 2 x 2
2 x 2 ) 1 x ( 2 x 2 x
'
2
+ +
+ +
+ +
− + +
) 2 x sin(
2 ) 2 x 2 x
(
1
3
+ +
I.2 Viết phơng trình tiếp tuyến
y’ = 3x2 – 6x Do tiếp tuyến d song song với đờng thẳng y = 9x + 1 nên nó có hệ
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phơng trình x2 −6x=9⇔x=−1;x=3 0,5 +) Với x = - 1 thì d có phơng trình y=9x+7
+) Với x = 3 thì d có phơng trình y=9x−25 (loại) 0,5
x sin
x 1 x 1 x 1 x 1 1 lim x
sin
x 1 x 2 1 1
0 x
3 0
x
+ +
− + + +
−
= + +
−
→
→
+ +
−
=
) x 2 1 1 ( x 1 x
sin
x 1 1 lim
3 3
0
x
0,5
+ +
−
− + + +
+ + +
−
−
=
) x 2 1 1 ( x 1 )
x 1 ( x 1 1 x sin
x 1 1
3 0
2 x 1 1
x 1 lim x sin
x lim 2 ) x 1 ( x 1 1
1 lim
x sin
x lim
0 x 0 x
3 0 x 0
+ +
+
− +
+ + +
−
=
→
→
→
II.1 Giải phơng trình lợng giác
Điều kiện cosx≠0
x sin x cos ) x sin x )(cos x sin x (cos x
tan 1 ) x sin 1 )(
x tan
1
π
=
π + π
−
=
⇔
=
= +
⇔
k x
k 4 / x 1
x 2 cos
0 x sin x cos
Vậy phơng trình có nghiệm x=−π/4+kπ,x=kπ (k∈Z) 0,5
Điều kiện: x,y≥1
Từ hệ ta suy ra x2 +21+ x−1+x2 = y2 +21+ y−1+y2 (*) 0,25 +) Nếu x > y thì (*) có VT > VP, nên (*) vô nghiệm 0,25 +) Nếu x < y thì (*) có VT < VP, nên (*) vô nghiệm 0,25
2
Trang 3+) Nếu x = y thì (*) thỏa mãn, do đó (*) ⇔x=y
Đặt y= x2 +21 thì (3) trở thành x−1=−y2+y+21
4
85 2
1 y 1 x
2 +
−
−
=
−
- Nếu x > 2 thì y > 5, khi đó (4) có VT > 1, 1
4
85 2
1 5 VP
2
= +
−
−
<
Do đó (4) vô nghiệm
0,25
- Nếu x < 2 thì y < 5, khi đó (4) có VT < 1, 1
4
85 2
1 5 VP
2
= +
−
−
>
Do đó (4) vô nghiệm
0,25
- Nếu x = 2 thì x là nghiệm của (4), do đó (4) có nghiệm duy nhất x = 2
III.1 Tìm số tự nhiên n
1 n
n 1 n
2 1 n
1 1 n
0 1 n 1
) 1 1
1 n 1 n
n 1 n
2 1 n
1 1 n
0 1 n 1
)
1
1
+ +
+ +
+
1 n 1 n
3 1 n
1 1 n n 1
n 1 n
3 1 n
1 1 n 1
III.2 Tìm số các số tự nhiên
+) Nếu số cần tìm chứa 0, thì có 8 cách chọn vị trí cho 0, có 2
8
C cách chọn vị trí cho hai chữ số 2, có 3
6
C cách chọn vị trí cho ba chữ số 3, và có 3
7
A cách chọn ba chữ số cho ba vị trí còn lại Do đó trờng hợp này có 3 =
7
3 6
2
8.C A C
0,75
+) Nếu số cần tìm không chứa 0, thì có 2
9
C cách chọn vị trí cho hai chữ số 2, có 3
7
C cách chọn vị trí cho ba chữ số 3, và có 4
7
A cách chọn bốn chữ số cho bốn vị trí còn lại Do đó trờng hợp này có 4
7
3 7
2
9.C A
C = 1058400 số
0,75
Vậy có 940800 + 1058400 = 1.999.200 số thỏa mãn yêu cầu 0,5
IV.1 Tìm ảnh của đờng tròn
(C) có tâm I(1; - 2), bán kính R = 3 Gọi (C’) là ảnh của (C) qua Đ∆, (C’) cso bán
Do II'⊥∆nên II’ có phơng trình (x−1)−(y+2)=0⇔x−y−3=0 0,5 Gọi H=II'∩∆, H là trung điểm của II’, tọa độ của H là nghiệm của hệ
) 0
; 3 ( 'I ) 1
; 2 ( H 1 y
2 x 0 1 y
x
0 3 y
x
⇒
−
⇒
−
=
=
⇔
=
− +
=
−
IV.2 Tính diện tích thiết diện
3
S
O M
N
E
F I
Trang 4Gọi O là tâm của hình vuông M, N là trung điểm của CD và AB Khi đó O là
trung điểm của MN và AB⊥(SMN) Kẻ NI⊥SM⇒NI⊥(SAB)⇒(α)≡(CDI) 0,5
Từ I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt SB, SA tại E, F suy ra EF//AB//CD
+)
2
17 a OM SO
17
a 4 SM
MN SO
+)
17 2
a 15 IN
SN
17
a 15 SM
AB SI EF SM
SI AB
Diện tích thiết diện :
17 17
a 64 IN ) EF CD ( 2
1 S
2
2
cot 2
cot 2
cot 2
sin 2
sin 2 sin
(1)
2
B sin
1 2
B sin
1 2
A sin
1 2
C sin 2
B sin 2
A sin 2
2 2
2
= +
+ +
(2)
0,25
* áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
12 2
A sin
1 2
A sin 8 2
A sin 8 3 2
A sin
1 2
A sin 8 2
A
sin
8
+
2
A sin
1 2
A sin 16
2
≥
1 2
A sin 2
A sin
1 2
A sin 16
2
π
=
⇔
=
⇔
=
0,5
2
B sin
1 2
B sin 16
2
≥ +
2
C sin
1 2
C sin 16
2
≥ +
2
B sin
1 2
B sin
1 2
A sin
1 2
C sin 2
B sin 2
A sin
16
2 2
2
≥ +
+ +
(3)
0,25
* Mặt khác ta có
2
B A cos 4
B A cos 4
B A sin 2 2
C sin 2
B sin 2
A
2
3 2
1 4
B A sin 2 2
3 4
B A sin 2 1 4
B A
sin
2
2
−
=
+
− +
+
≤
Do đó:
2
3 2
C sin 2
B sin 2
A sin + + ≤ (4) Dấu “=” của (4) xảy ra khi
3
π
=
=B A
0,5
Từ (3) và (4) ta có:
2
14 3 36 2
C sin 2
B sin 2
A sin 14 2
B sin
1 2
B sin
1 2
A sin
1 2
C sin 2
B sin 2
A
sin
16
2 2
− +
+ +
2
B sin
1 2
B sin
1 2
A sin
1 2
C sin 2
B sin 2
A sin
2
2 2
+
(5)
0,25
4
Trang 5Dấu “=” của (5) xảy ra khi và chỉ khi A=B=C =π/3
Nh vậy (2) ⇔ tam giác ABC đều, do đó (1) ⇔ tam giác ABC đều 0,25
5