Khái niệm và tính chất của định thức. Các cách tính định thức. Ứng dụng của định thức trong giải hệ phương trình và tìm ma trận nghịch đảo. Kiểm tra một tập hợp cùng với các phép toán cộng và nhân đã cho có phải là một không gian con hay không? Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận.
Trang 1Toán 3 Nguyễn Thị Vân
BÀI TẬP TOÁN III – BUỔI 2
( Tài liệu có sai sót sẽ được chỉnh lí trên lớp bài tập)
PHẦN 3:
+ Khái niệm & tính chất của định thức
+ Các cách tính định thức
+ Ứng dụng của định thức trong giải hệ phương trình và tìm ma trận nghịch đảo
1.( 1T287) Khi một ma trận cỡ 4×4 có detA =
2
1
, hãy tìm det(2A), det(−A), det(A2) và det(A−1)
Đs: det(2A) = 8 , det(- A) =1/2, det( A2) = 1
4, det(
1
A− ) = 2
2 ( 3T287) Các khẳng định sau đúng hay sai? Hãy giải thích nếu đúng và nêu phản ví dụ nếu sai:
(a) Định thức của I + A bằng 1 + detA
(b) Định thức của ABC bằng |A||B||C| với A, B, C là các ma trận vuông
(c) Định thức của 4A bằng 4|A|
(d) Định thức của AB−BA bằng không (Thử cho một ví dụ.)
Đs: sai, đúng, sai, sai
3 Cho
i h
g
f
e
d
c b
a
= 7 Tính các định thức sau dựa vào định thức đã biết
a)
i
4
h
g
f
4
e
d
c
4
b
a
; b)
g i h g
d f e d
a c b a
+ +
+
; c)
c b a
f e d
i h g
; d)
g i 2 h g
d f 2 e d
a c 2 b a
+ +
+
4 ( 1T301) Tính các định thức của A bằng cách tính tổng của sáu phần tử: A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1 2 3
2 1 3
3 2 1
Đs: 12
5 ( 14T288) Áp dụng các phép toán hàng hoặc cột để đưa các ma trận về dạng ma trận tam giác trên U,
Trang 2Toán 3 Nguyễn Thị Vân
rồi tính det
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
7 0 2 0
3 0 0 1
1 6 6 2
0 3 2 1
Đs: 36
6 ( 19T289) Tìm định thức của U, U và − 1 U : (a) 2
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3 0 0
5 2 0
6 4 1
U (b)U =⎢⎣⎡a0 d b⎥⎦⎤
Đs: (a): 6, 1/6, 36 (b): ad, 1/ad, (ad)2
7 Tính định thức của ma trận sử dụng công thức phần phụ đại số:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
4 0 4
6 2 0 3
5 0 3 0
1 2
1
b
a A
Đs: 24a + 26b -18ab – 16
8 Tính định thức của ma trận
1 1 3 5 3
2 1 3 5
2 7 0
A
y
=
Đs: xy + 21b – 35x + 9y
9 Tính các định thức
a)
3 5 2
3
5 8
9
4
5 7
4
3
3 4
5
2
−
−
−
−
−
; b)
6 5 4 4
7 8 5 5
6 4 5 2
5 2 3
3− − −
; c)
3 0 0 2
5 4 3 1
2 0 0 3
7 2 1 5
10 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng việc sử dụng công thức phần phụ đại số biết
0 1 2 A= 2 3 3
4 4 4
Trang 3
Toán 3 Nguyễn Thị Vân
Đs: _1
1
4
A
−
11 Giải các hệ sau bằng quy tắc Cramer
a) x + 2y + 4z = 31, b) 2x + 5y - 2z - 14 = 0
5x + y + 2z = 29, 9x - y + 4z - 3 = 0
3x - y + z = 10 x - 4 y + 2z +9 = 0
12 Dùng tiêu chuẩn về định thức để tìm điều kiện của tham số sao cho ma trận sau khả nghịch
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−1 0 a
2
1 1 1 1
0 0 2 3
0 0 1 2
Đs: a≠0
PHẦN 4:
+ Kiểm tra một tập hợp cùng với các phép toán cộng và nhân đã cho có phải là một không
gian con hay không?
+ Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận: C(A), N(A), C(A T ), N(A T )
13 ( 10T146) Tập hợp con nào sau đây của R3 cùng với các phép toán cộng và nhân thông thường trong !3 là không gian con của !3?
(a) Mặt phẳng chứa các vectơ ( , , ) : x y z x y =
(b) Mặt phẳng chứa các vectơ ( , , ) : x y z x = 0
(c) Mặt phẳng chứa các vectơ ( , , ) : x y z x y z = 0
(d) Tất cả các tổ hợp tuyến tính của v = (1, 4, 0) và w = (2, 2, 2)
(e) Tất cả các vectơ ( , , ) : x y z x y z + + = 0
(f) Tất cả các vectơ ( , , ) : x y z x y ≤ ≤ z
Đs: * Các tập hợp (a), (b), (d), (e) là không gian con;
* Các tập hợp (c) và (f) không phải là không gian con
Trang 4Toán 3 Nguyễn Thị Vân
14 Cho W là tập tất cả các vectơ thuộc !4 mà có dạng v! = (x + y, x - y + 2z, y, z) Chứng minh rằng
W là không gian con của !4
15 Cho W := { ( x1, x2, x3 ) ∈ !3 | x1 + x3 = m }, trong đó m là hằng số thực Tìm m để W là một
không gian con
Đs: m = 0
16 Tập hợp W := { ( x1, x2, x3, x4) ∈ !4 | x3 = x1 + x2 , x1 = x4 } có phải là một không gian con của không gian vectơ !4?
17 Cho
1 4 6
A
Mô tả không gian cột và không gian hàng của ma trận A? Từ đó chỉ ra véc
tơ (0,0,6)∈C A( ) và (-2,2,3)∈C A( T)
Đs: C(A) là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( 1, 2, 2) ,
v!
=
0
0
6
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
∈C( A)
( T)
C A là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( - 1, 4, 6)
v!
=
−2
2
7
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
∈C( A T)
18 Mô tả hình học bốn không gian của ma trận
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
8 8 0
4 4 0
2 4 2
B
Đs: +) Không gian cột
C B( )= !3
+) Không gian nghiệm
N B( )= x = c{ 1(1,−1,1); c1∈!}là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 1, -1, 1) trong không gian !3
+) Không gian hàng (C B là một mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương là ( 2, 4, 2) và T)
Trang 5Toán 3 Nguyễn Thị Vân
( 0, 1, 1)
+) Không gian nghiệm
N B
T
( )= x = c{ 1(0,−2,1); c1∈!} là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 0, -2, 1) trong không gian !3
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1 det 1
2
A= ⇒ det(2A) = 2 det A = 8 , det(- A) = 4 4 1
( 1) det
2
A
det(A2) = (det ) A 2 = 1
4 , det(A− 1) = (det ) A −1 = 2
2 (a) Sai
Ví dụ: A= 1 2
3 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠⇒ det A = 4 – 6 = - 2 và A + I =
2 2
3 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⇒ det (A + I) = 10 – 6 = 4 ≠ det A + 1 (b) Đúng vì det(ABC) = det((AB).C) = det(AB).detC = detA detB detC
(c) Sai
Ví dụ: A = 1 2
3 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⇒ det A = -2 và 4A =
4 8
12 16
⎝ ⎠ ⇒ det(4A) = 56 – 96 = - 40 ≠ 4det A
(d) Sai Ví dụ: A = 1 2
3 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠, B =
1 0
1 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⇒ A.B =
3 2
7 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠, B.A =
1 2
4 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ AB – BA = 2 0
3 2
⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⇒ det(AB - BA) = det
2 0
3 2
⎜ − ⎟
⎝ ⎠ = - 4
3 a)
4
4
+
+
Trang 6Toán 3 Nguyễn Thị Vân
c)
c
b
a
f
e
d
i
h
g
7
a b c
d e f
g h i
= − = −
d)
2
2
+
+
4 +) detA = 1.1.1 + 3.3.2 + 3.2.2 – 3.1.3 – 1.2.3 – 1.2.2 = 12 ≠ 0 Các hàng của A độc lập
+) detB = 1.4.7 + 3.4.6 + 5.4.2 – 5.4.3 – 7.4.2 – 1.6.4 = 0 Các hàng của B không độc lập
+) det C = 1.1.0 + 1.0.1 + 1.0.1 – 1.1.1 – 0.1.1 – 0.0.1 = -1 Các hàng của C không độc lập
5 +) det
1 2 3 0
2 6 6 1
1 0 0 3
0 2 0 7
= det
1 2 3 0
0 2 0 1
0 2 3 3
0 2 0 7
= det
1 2 3 0
0 2 0 1
0 0 3 2
0 0 0 6
= 1 2 3 6× × × = 36
+) det
−
2 1
1 2
2
h h+
−
3 2
1 3
6
h h−
−
4 3
1 4
24
h h+
−
6 (a) U =
1 4 6
0 2 5
0 0 3
⇒ detU = 1.2.3 = 6 ⇒ detU− 1 = 1
detU =
1
6 ⇒ detU = 2 (det ) U 2 = 36
(b) U =
0
a b
d
⎝ ⎠⇒ detU = ad ⇒ det
1
U− = 1
ad (a, d ≠ 0) ⇒ detU = 2 ( ) ad 2
Trang 7Toán 3 Nguyễn Thị Vân
7 Khai triển Laplace dòng thứ 2 ⇒ detA = 2 2 2 4
= 24a + 26b – 18ab – 31
8
A
=
1 3 5
det 3
7 0
x b
y
⎢− ⎥
⎢ ⎥
= xy + 21b – 35x + 9y
10 Công thức: 1 1 ( )
; ij 1 i j ij
T
A
+
11 12 13
21 22 23
31 32 33
=
−
detA = 2 C21+ 4 C31 = − 4
T
C
−
_1
1
4
A
−
11 Cho hệ phương trình tuyến tính n n × : Ax b =
Nếu det A ≠ 0thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất: det ( 1 )
det
i i
B
A
= ≤ ≤ B i nhận được từ
A khi thay véc tơ b vào cột thứ i
12 Nếu A có det A ≠ 0 thì tồn tại ma trận A khả nghịch hay A có ma trận nghịch đảo
Trang 8Toán 3 Nguyễn Thị Vân
1 2
1 2 2
1 1 det 3 2 0 1 det 3 2 0 2
h h
−
det A ≠ ⇔ ≠ 0 a 0
13 * Các tập hợp (a), (b), (d), (e) cùng với các phép toán thỏa mãn hai yêu cầu của một không gian con
* Các tập hợp (c) và (f) không phải là không gian con vì:
+ Nếu lấy hai vectơ (1, 2, 0) và (0, 1, 2) tập hợp (c) thì tổng của chúng là (1, 3, 2) không còn thuộc (c) + Nếu lấy vectơ (1, 2, 3) thuộc tập hợp (f) thì -1(1, 2, 3) = (-1, -2, -3) không còn thuộc vào (f)
15 W ⊂ !3 Để W là không gian con thì
∀ x
!
= x ( 1, x2, x3) ∈W : x1+ x3 = m, y "! = y ( 1, y2, y3) ∈W: y1+ y3= m thỏa mãn:
x
!
+ y "! ∈W 1 ( ) ; c x !
Từ (1)
x
!
+ y "! = x ( 1+ y1, x2+ y2, x3+ y3) : x1+ y1+ x3+ y3= m → 2 m m = → = m 0
Thay m = 0 thì
c x
!
= cx ( 1, cx2,cx3) : cx1+ cx3= c.0 = 0 → c x ! ∈W
Ngoài ra, khi m = 0 thì 0
!
∈W nên W ≠ ∅
Vậy m = 0 thì W là không gian con của !3
17 +) Không gian cột C(A) là tổ hợp tuyến tính của các cột:
v
!
=
a
b
c
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
∈C( A) ⇔ v = x1
1 2
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ x2
2 4 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ x3
3 6 6
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= x1
1 2
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ (2x2+ 3x3)
1 2 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Trang 9Toán 3 Nguyễn Thị Vân
C(A) là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( 1, 2, 2)
v!
=
0
0
6
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
∈C( A) vì v!= (−2)
1 2
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥ + 2
1 2 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥ +) Không gian (C A là tổ hợp tuyến tính của các hàng: T)
v!
=
a
b
c
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
∈C( A T)⇔ v!= x1
1 2 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ x2
2 4 6
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ x3
−1 4 6
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= (x1+ 2x2)
1 2
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ x3
−1 4 6
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥ ( T)
C A là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( - 1, 4, 6)
v!
=
−2
2
7
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
∈C( A T ) vì v!
= (−1)
1 2
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥ +
−1 4 6
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
18 +) Không gian cột C(B) là tổ hợp tuyến tính của các cột:
a
c
=⎢ ⎥∈ ⇔ = ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥
Bên cạnh đó,
2 0 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥ ,
4 4 8
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥ ,
2 4 8
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪ độc lập tuyến tính
→ C B( )= !3
+) Không gian nghiệm N(B) là tập nghiệm của Bx = 0:
1 2 3
0 4 4 0
x x x
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 4 2 0 2 4 2 0
0 4 4 0 0 4 4 0
0 8 8 0 0 0 0 0
Nên x1+ 2 x2+ = x3 0; x2+ = x3 0 Vậy
3
3
1 1 1
x
x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= −⎢ ⎥= ⎢ ⎥−
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
→ N B( )= x = c{ 1(1,−1,1); c1∈!}là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 1, -1, 1) trong không gian !3 +) Không gian hàng (C A là tổ hợp tuyến tính của các hàng: T)
Trang 10Toán 3 Nguyễn Thị Vân
T
a
c
=⎢ ⎥∈ ⇔ = ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥+ + ⎢ ⎥
( T)
C A là một mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương là ( 2, 4, 2) và ( 0, 1, 1)
+) Không gian nghiệm N(B T ) là tập nghiệm của BTy = 0:
1 2 3
0
4 4 8 0 4 4 8 0 0 4 8 0 0 4 8 0
2 4 8 0 2 4 8 0 0 4 8 0 0 0 0 0
y y y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Nên x1 = 0; x2+ 2 x3 = 0 Vậy 3 3
3
1
x
= −⎢ ⎥= ⎢ ⎥−
⎣ ⎦
→ N B( )T = x = c{ 1(0,−2,1); c1∈!}là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 0, -2, 1) trong không gian !3