Tìm nghiệm đặc biệt, từ đó suy ra nghiệm tổng quát của hệ Ax = b với , biết rằng hệ trên có một nghiệm riêng... Tìm m để hệ phụ thuộc tuyến tính... Tính số chiều của W.. Tìm cơ sở và số
Trang 1BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) – BUỔI 3
( Tài liệu có sai sót sẽ được chỉnh lí trên lớp bài tập)
PHẦN 5:
+ Hạng và dạng rút gọn theo hàng
+ Nghiệm đầy đủ (nghiệm tổng quát) của Ax = 0 và Ax = b
1 Tìm hạng của ma trận sau bằng phương pháp khử
2 11 5
1 2 10
A
1 0 1
1 1 2
1 1
B
q
ĐS: r (A) = 2; q = 2 thì r(B) = 2, q ≠ 2 thì r(B) = 3
2 Tìm hạng của ma trận A A A AA, T , T trong đó 1 1 5
1 0 1
A ⎡ ⎤
= ⎢⎣ ⎥⎦
3 (23T188) Chọn số q sao cho hạng của ma trận A là (a) 1 (b) 2 (c) 3
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
q
A
6 9
1 2 3
2 4 6
ĐS: +) Hạng của A bằng 1 khi và chỉ khi q = 3;
+) Hạng của A bằng 2 khi và chỉ khi q≠3;
+) Không tồn tại q để hạng của ma trận bằng 3
4 Tìm hạng của mỗi ma trận sau:
a)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
2 8 1 1
2
7 1 5 2
4
4 2 3 1
2
, b)
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
1 4 1 5 7
7 0 5 3 1
4 3 2 3 5
5 2 3 1 3
ĐS: (a) r = 2 (b) r = 3
5 Tìm 𝜆 sao cho ma trận sau có hạng nhỏ nhất:
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3 4 2 2
3 17 7 1
1 10 4
4 1 1 3 λ
Trang 26 ( 4T186) Tìm nghiệm tổng quát của hệ :
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1 3 1 4
2 0 0
8 4 6 2
2 1 3 1
t z y x
ĐS: Nghiệm riêng x p =(1/2,0,1/2,0); Các nghiệm đặc biệt của phương trình
1 (1/ 2,0, 3/ 2,1); 2 ( 5/ 2,1,1/ 2,0)
s = − s = − ; Nghiệm tổng quát của phương trình là
2 2 1
1s c s
c
x
x= p + +
7 Cho hệ phương trình
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
=
−
−
= +
−
b x x x
ax x x
ax x x
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2
2 3
3 2
(a) Xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất
(b) Xác định a và b để hệ có vô số nghiệm
ĐS: +) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2a + 3 ≠ ⇔ ≠ − 0 a 3/ 2
+) Hệ vô số nghiệm khi và chỉ khi 2a + 3 = 0 và b + 1 = 0 3/ 2
1
a b
= −
⎧
⇔ ⎨ = −
⎩
8 ( 21T188) Tìm nghiệm tổng quát dưới dạng x p +x n đối với những hệ sau
(a) x y z+ + =4 (b) 4
4
x y z
x y z
+ + =
⎧
⎨ − + =
⎩
ĐS: a) 1 2
⎢ ⎥+ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥
b)
x = c
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥+
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
9 Tìm nghiệm đặc biệt, từ đó suy ra nghiệm tổng quát của hệ Ax = b với
, biết rằng hệ trên có một nghiệm riêng
ĐS:
10 Giải hệ phương trình bằng cách viết nghiệm tổng quát dưới dạng x p+x n :
A
−
(0,1,1)
p
x =
Trang 31 2 3 4
2 3 5 7 1
4 6 2 3 2
2 3 11 15 1
x x x x
⎡ ⎤
−
⎣ ⎦
1 16
2
0
0 1
⎢ ⎥+ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥
−
PHẦN 6:
+ Hệ véc tơ độc lập tuyến tính
+ Hệ véc tơ cơ sở
+ Chiều của bốn không gian con cơ bản: C(A) , C(AT) , N(A) , N(AT)
11.( 1T203) Chứng minh rằng v 1 , v 2 , v 3 là hệ độc lập tuyến tính nhưng v 1 , v 2 , v 3 , v 4 lại
phụ thuộc tuyến tính:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
4 3
2
; 1 1
1
; 0 1
1
; 0 0
1
4 3
2
12 ( 41T208) Hệ véc tơ nào sau đây là cơ sở của R 3?
(a) (1, 2, 0); (0, 1, −1)
(b) (1, 1, −1) ; (2, 3, 4 ); (4, 1, −1); (0, 1, −1)
(c) (1, 2, 2); (−1, 2, 1); (0, 8, 0)
(d) (1, 2, 2); (−1, 2, 1); (0, 8, 6)
Đs: Hệ (c)
13 Trong !4 cho các vecto α1 = ( 1, -3, 2, -4 ); α2 = ( 3, 4, -1, 3 ); α3 = ( 2, 7, -2, 5 );
α4 = ( 2, -6, 4, m ) Tìm m để hệ phụ thuộc tuyến tính
Đs: m = - 8
14 Trong !3 cho hệ các vecto α1 = ( 2, -1, 4 ); α2 = ( 4, 2, 3 ); α3 = ( 2, 7, -6 )
Trang 4b) Tìm cơ sở, số chiều của không gian span( α1 , α2, α3 )
Đs : a) Không
b) số chiều của span( α1 , α2, α3 ) là 2 và cơ sở là {α1 , α2 }
15 Cho các vectơ v1 = (2, 1, 3), v2 = (3, -1, 4), v3 = (2, 6, 4) Ký hiệu W là không gian
con của R3 gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của v1, v2, v3 Tính số chiều của W
16 Cho không gian véc tơ con W := { ( x1, x2, x3 ) ∈ !3
| x1 + x3 = 0 } Tìm dimW
Đs: dim W =2
17 Hãy tìm cơ sở và số chiều của các không gian con sau :
V1 := { ( x1, x2, u, v ) ∈ R4 ⎪ u = x1 + x2, v = x1 - x2}
V2 := { (0, x2, x3, 0) ∈ R4 }
V3 := { (x1, x2, x3, x4 ) ∈ R4 ⎪ x1 = x2 = x3 }
Đs: Cơ sở của V1 là { ( 1,0,1,1 ; 0, 1,1, 1 ) ( − ) } và dim V1 = 2
Cơ sở của V2 là { ( 0,1,0,0 ; 0, 0,1, 0 ) ( ) } và dim V2 = 2
Cơ sở của V3 là { ( 1,1,1,0 ; 0, 0,0, 1 ) ( ) } và dim V3 = 2
18 ( 3 T217) Tìm một cơ sở cho mỗi không gian trong bốn không gian con liên kết với
A
0 1 2 3 4
0 1 2 4 6
0 0 0 1 2
A
Đs: r(A) = 2 Không gian hàng và không gian cột có số chiều bằng 2; không gian nghiệm
có số chiều bằng 5-2=3; Không gian nghiệm bên trái có số chiều bằng: 3-2 = 1
Cơ sở không gian cột: (1, 1, 0) và (3, 4, 1); Cơ sở không gian hàng: (0, 1, 2, ,3, 4) và (0,
1, 2, 4, 6); cơ sở không gian nghiệm: (1, 0, 0, 0, 0) ; (0, -2, 1, 0, 0) ; (0, 2, 0, -2, 1); cơ sở không gian nghiệm bên trái: (1, -1, 1)
19 Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con cơ bản liên quan đến ma trận
Trang 5A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
25 0 15 5
16 1 6 2
5 0 3 1
Đs: A có các cột trụ là cột 1 và cột 3, A có các hàng trụ là hàng 1 và hàng 2, còn r(A) = 2 C(A) có: Cơ sở là (1, 2, 5) và (0, 1, 0) (hai cột trụ) Số chiều là 2
C(AT) có: Cơ sở là (1, 3, 0, 5) và (2, 6, 1, 16) (hai hàng trụ) Số chiều là 2
N(A) có: Cơ sở là (-3, 1, 0, 0) và (-5, 0, -6, 1) (hai nghiệm đặc biệt của Ax = 0) Số chiều
là 2
N(AT) có: Cơ sở là (-5, 0, 1) (nghiệm đặc biệt của ATy = 0) Số chiều là 1
HƯỚNG DẪN GIẢI:
3
Kết luận:
+) Hạng của A bằng 1 khi và chỉ khi q = 3
+) Hạng của A bằng 2 khi và chỉ khi q≠3
+) Không tồn tại q để hạng của ma trận bằng 3
6 Dùng phương pháp khử đối với ma trận [A b] ta có
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0 1/2 1/2 0 0 0 0
2 1 0 0
0 0 3 1 0
1/2 1 0 0 0 0
2 1 0 0
2 1 3 1 1 1 1 4 2 0 0
4 2 0 0
2 1 3 1 1 3 1 4
2
0
0
8
4
6
2
2
1
3
1
Các cột 1 và 3 chứa các số trụ, các biến x2, x4là các biến tự do Cho chúng nhận các giá trị bằng 0 thì ta được nghiệm riêng x p =(1/2,0,1/2,0)
Các nghiệm đặc biệt của phương trình s =(0,0,−2,1);s =(−3,1,0,0)
Trang 67 [ ]
Kết luận
+) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2a + 3 ≠ ⇔ ≠ − 0 a 3/ 2
+) Hệ vô số nghiệm khi và chỉ khi 2a + 3 = 0 và b + 1 = 0 3/ 2
1
a b
= −
⎧
⇔ ⎨ = −
⎩
11
c1v !"1
+ c2v !"!2
+ c3v !"3
= 0 " ⇔
1 1 1
0 1 1
0 0 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
c1
c2
c3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
0 0 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
→ c3 = c2 = c1 = 0
Vậy hệ v1
!"
, v !"!2
, v !"3
độc lập tuyến tính
c1v!"1
+ c2v!"!2
+ c3v!"3
+ c4v!"!4
= 0" ⇔
1 1 1
0 1 1
0 0 1
2 3 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
c1
c2
c3
c4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
=
0 0 0 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
Ma trận này cấp 3 × 4, có ba cột trụ là các cột 1, 2, 3 nên nó có một nghiệm đặc biệt:
c1 = 1, c2 = 1, c3= − 4, c4 = 1 ⇔ v !"1 + v !"!2 − 4v !"3+ v !"!4 = 0 " Tức là bốn vectơ
v1
!"
, v !"!2
, v !"3
, v !"!4
phụ thuộc tuyến tính
12 (a) Hai vectơ không thể tạo thành một cơ sở trong !3 vì chiều của !3 bằng 3 =
số vectơ trong hệ cơ sở, trong khi ta có hai véc tơ
(b) Bốn vectơ không thể tạo thành một cơ sở trong !3 vì chiều của !3 bằng 3 = số
vectơ trong hệ cơ sở, trong khi ta có bốn véc tơ
Trang 7(c) Xét ma trận A có các cột chính là các vectơ trên, ,det( ) 24 0
0 1 2
8 2 2
0 1 1
≠
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
A
nên ba vectơ trên là một cơ sở của !3
(d) Xét ma trận A có các cột chính là các vectơ trên, ,det( ) 0
6 1 2
8 2 2
0 1 1
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
vectơ trên không là cơ sở của !3
13 Xét ma trận vuông A cấp 4 thiết lập từ các véc tơ α1 ; α 2 ; α 3 ; α4 Dùng phép biến đổi Gauss trên A thấy rằng { α 1 ; α 2 ; α 3 ; α4 } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi m = - 8
14 Xét ma trận
A
Biến đổi được r A ( ) 2; = nhưng dim!3= 3 nên
α1 ; α 2 ; α 3 không là cơ sở của !3 Vì α1 ; α 2 độc lập tuyến tính nên α1 ; α 2 là cơ sở của span{ α1 ; α 2 ; α 3}
16
∀ x ! =
x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
∈W : x1+ x3 = 0 → x ! =
x1
x2
−x1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= x1
1 0
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ x2
0 1 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Ngoài ra
0 ; 1
1 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
độc lập tuyến tính Do đó dimW =2
17
∀ x ! =
x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
∈W : x1+ x3 = 0 → x ! =
x1
x2
−x1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= x1
1 0
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ x2
0 1 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
{ 1,0,1,1 ; 0, 1,1, 1 − } là hệ sinh của V1
0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = → = =
⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ {( 1,0,1,1 ; 0, 1,1, 1 ) ( − )} độc lập tuyến
Trang 8tính
Cơ sở của V1 là { ( 1,0,1,1 ; 0, 1,1, 1 ) ( − ) } và dim V1 = 2
Tương tự, cơ sở của V2 là { ( 0,1,0,0 ; 0, 0,1, 0 ) ( ) } và dim V2 = 2
Tương tự, cơ sở của V3 là { ( 1,1,1,0 ; 0, 0,0, 1 ) ( ) } và dim V3 = 2
18
A
Ma trận này có số trụ nằm trong cột 2 và cột 4 Hạng của A là 2
Không gian hàng của A cũng chính là không gian hàng của U, cơ sở của nó chính là hai
hàng có chứa các số trụ: (0, 1, 2, ,3, 4) và (0, 1, 2, 4, 6) Số chiều là 2
Không gian cột: Có chiều bằng 2, cơ sở của nó là : (1, 1, 0) và (3, 4, 1) – là hai cột có chứa các số trụ
Không gian nghiệm: Cơ sở của không gian nghiệm chính là các nghiệm đặc biệt, nó bao gồm: (1, 0, 0, 0, 0) ; (0, -2, 1, 0, 0) ; (0, 2, 0, -2, 1)
Không gian nghiệm trái: Có chiều bằng 1 và cơ sở của nó là (1, -1, 1)
19 A =
1 3 0 5
2 6 1 16
5 15 0 25
→ U =
1 3 0 5
0 0 1 6
0 0 0 0
A có các cột trụ là cột 1 và cột 3, A có các hàng trụ là hàng 1 và hàng 2, còn r(A) = 2
C(A) có: Cơ sở là (1, 2, 5) và (0, 1, 0) (hai cột trụ) Số chiều là 2
C(AT) có: Cơ sở là (1, 3, 0, 5) và (2, 6, 1, 16) (hai hàng trụ) Số chiều là 2
N(A) có: Cơ sở là (-3, 1, 0, 0) và (-5, 0, -6, 1) (hai nghiệm đặc biệt của Ax = 0) Số chiều
là 2
N(AT) có: Cơ sở là (-5, 0, 1) (nghiệm đặc biệt của ATy = 0) Số chiều là 1