Giải và biện luận hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp khử GaussJordan. Các phép toán ma trận. Bài tập về ma trận nghịch đảo. Giải các phương trình ma trận. + Hệ phương trình suy biến (hệ phương trình vô nghiệm). + Hệ phương trình có nghiệm duy nhất. + Hệ phương trình có vô số nghiệm. + Hệ phương trình có các nghiệm tương ứng phụ thuộc vào các biến.
Trang 1Nguyễn Thị Vân
BÀI TẬP TOÁN III – BUỔI 1
( Tài liệu có sai sót sẽ được chỉnh lí trên lớp bài tập)
PHẦN 1:
+ Giải và biện luậnh hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp khử
Gauss-Jordan
1 Viết các phương trình sau dưới dạng ma trận và dạng vecto
(a) ( 11T59)
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 8 4𝑥 + 7𝑦 + 5𝑧 = 20
−2𝑦 + 2𝑧 = 0
(b) – 𝑥1 + 2𝑥2− 𝑥3 = 2
−2𝑥1+ 2𝑥2+ 𝑥3 = 4
3𝑥1+ 2𝑥2+ 2𝑥3 = 5
−3𝑥1+ 8𝑥2+ 5𝑥3 = 17
(c)
𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4 = 0
3𝑥1+ 3𝑥3− 4𝑥4 = 7
𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ 2𝑥4 = 6
2𝑥1+ 3𝑥2+ 𝑥3+ 3𝑥4 = 6
2 Giải các phương trình trong Bài tập 10 bằng phương pháp khử Gauss
Đs: (a) (2, 1, 1) (b) (0, 3/2, 1) (c) (4, -3, 1, 2)
3 Giải hai hệ sau đây bằng phương pháp khử Gauss
(a)
x1+ 3x2 + x3+ x4 = 3
ì
í
ï
î
ï (b)
2x + y - z - 2 = 0
3x + 3y - z - 4 = 0
ì í
ï ï î
ï ï
Đs: a) Hệ có nghiệm:
3
8 x3, - 1
8 x3, x3, 3
æ èç
ö ø÷ , x3 λ ;
b) Hệ có nghiệm: ( 2,0,2 ) ;
4 ( 18T60) Số q nào làm cho hệ sau suy biến (tức là số trụ ít hơn số biến)? Với số q đó, tìm
giá trị t để hệ có vô số nghiệm và tìm nghiệm có z = 1
Trang 2Nguyễn Thị Vân
3
Đs: Hệ suy biến khi q = - 4;
Hệ vô số nghiệm khi t = 5, nghiệm tổng quát của hệ 17 10 5 4
với z = 1 nghiệm hệ là (-9,3,1)
5 ( 27T74) Cho hệ phương trình với ma trận mở rộng như sau
a
Chọn các số a, b, c, d trong ma trận mở rộng để hệ
(a) không có nghiệm (b) có vô số nghiệm
Đs: a) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi c 0, d = 0, a, b ;
b) Hệ đã cho có vô số nghiệm khi c = 0, d = 0, a, b
6 Giải và biện luận phương trình sau
2
, trong đó a, m là các tham số
Đs: m 1: Hệ có nghiệm duy nhất: (4 )( 2)
1
m a x
m
1
y
m
2 1
a z m
;
m = 1và a = - 2 : Hệ có vô số nghiệm;
m = 1 , a - 2 : Hệ vô nghiệm
7 Tìm điều kiện của tham số thực a,b,c để hệ sau có nghiệm:
2 2 2
Đs: Nếu a + b + c ¹ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm
Trang 3Nguyễn Thị Vân
1
2
4a + 2b
é
ë
û
æ
èç
ö ø÷ , z λ
8 Giải và biện luận hệ sau theo tham số a:
2
1
Đs: Nếu 2 - a - a2 ¹ 0 ® a ¹ 1, a ¹ -2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
a + 2 ,
1
a + 2 ,
1+ a
a + 2
æ
è
ç
ç
ö ø
÷
÷
Nếu a = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm
PHẦN 2:
+ Các phép toán ma trận
+ Ma trận nghịch đảo
+ Giải phương trình ma trận
9 Cho hai ma trận 𝐴 = [
3 1 4
−2 0 1
1 2 2
] 𝐵 = [
1 0 2
−3 1 1
2 4 1
]
Hãy tìm:
(a) 2𝐴 (b) 𝐴 + 𝐵 (c) 2𝐴 − 3𝐵 (d) (2𝐴)𝑇 − (3𝐵)𝑇
(e) 𝐴𝐵 (f) 𝐵𝐴 (g) 𝐴𝑇𝐵𝑇 (h) (𝐵𝐴)𝑇
Đs: (𝑎) [−46 20 82
2 2 4
] (𝑏) [
3 −2 3
] (𝑐) [
5 −3 −1
−4 16 1
]
Trang 4Nguyễn Thị Vân
(𝑑) [
2 −3 16
2 −1 1
] (𝑓) [
−10 −1 −9
] (ℎ) [
5 −10 15
]
10 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau
(a)
A =
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú ú ú ú
(b)
3 2 0 0
4 3 0 0
0 0 6 5
0 0 7 6
B
(c)
C =
é ë
ê ê ê
ù û
ú ú ú
Đs: (a)
A-1=
5
1
æ
è
ç ç ç ç ç ç ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
(b)
B-1=
æ
è
ç ç ç ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
(c)
C-1=
æ è
ç ç ç
ö ø
÷
÷
÷
12 (a) ( 27T101) Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng cách thực hiện biến đổi Gauss – Jordan
trên ma trận [A I]:
A
(b) Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình:
AX
Đs: (a)
(b) [
−4 −2 −6]
Trang 5Nguyễn Thị Vân
13 Tìm a để ma trận sau có nghịch đảo A =
2 1 0 0
3 2 0 0
1 1 1 1
Đs: 𝑎 ≠ 0
14 Cho 2 ma trân A, B:
Tính (AB)1
15 Giải các phương trình ma trận sau :
(a) X. 3 2
,
(b) 3 1
(c)
X =
,
(d) X.
= 6 2 7
Trang 6Nguyễn Thị Vân
Đs: a) X = 1 2
1
(b) X =
1
1
(c) X =
1
=
(d) X = 6 2 7
1
= 6 2 7
16 Tìm số m sao cho tồn tại X thỏa mãn
X =
6 6
2
m
Với số m tìm được hãy tìm
X
Đs : m = -6 X = ( 1, -1, 1 )
HƯỚNG DẪN GIẢI:
4 +) Hệ suy biến A =
suy biến detA = 0 q = - 4
Ma trận bổ sung của hệ [ A b] =
+) Hệ có vô số nghiệm khi t = 5 và q = -4
Trang 7Nguyễn Thị Vân
+) Hệ có nghiệm ( 10 17
3
z
; 5 4 3
z
; z)
Khi z =1 thì nghiệm của hệ là: (- 27; 3; 1)
5 Ax = b , x =
x y z
Hay
Suy ra
Biện luận theo c:
(*) Nếu c = 0 d.z = 0
+ Nếu d = 0 0z = 0 thỏa mãn với mọi z Khi đó 2 2
5 4
y
Hệ pt có vô số nghiệm
+) Nếu d 0 z = 0 2
4
b
b y
Hệ phương trình có một nghiệm (
2
b
a ;
4
b
; 0)
(*) Nếu c 0: d.z = c:
+) Nếu d = 0 Hệ phương trình vô nghiệm
+) Nếu d 0 z c
d
7 2 5 4
d
y
d
Hệ có một nghiệm ( 7
2
a
d
4
d
c
Vậy:
- Để hệ phương trình đã cho vô nghiệm thì c 0, d = 0, a, b
Trang 8Nguyễn Thị Vân
- Để hệ đã cho có vô số nghiệm thì c = 0, d = 0, a, b
Hai số a, b không ảnh hưởng đến khả năng giải được của hệ
7
-1 2 -1
-1 -1 2
a b c
æ
è
ç
ç
ç
ö ø
÷
÷
÷
®
-2 4 -2 -2 -2 4
a
2b 2c
æ è
ç ç ç
ö ø
÷
÷
÷
®
a
a + 2b
a + 2c
æ è
ç ç ç
ö ø
÷
÷
÷
®
a
a + 2b 2a + 2b + 2c
æ
è
ç
ç
ç
ö ø
÷
÷
÷
Nếu a + b + c ¹ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm
1
2
4a + 2b
é
ë
û
æ
èç
ö ø÷ , z λ
8
a 1 1
1
a
a2
æ
è
ç
ç
ç
ö ø
÷
÷
÷
®
a 1 1
a2
a
1
æ è
ç ç ç
ö ø
÷
÷
÷
®
a2
a - a2
æ è
ç ç ç
ö ø
÷
÷
÷
®
a2
a - a2
æ
è
ç
ç
ç
ö ø
÷
÷
÷
a + 2 ,
1
a + 2 ,
1+ a
a + 2
æ
è
ç
ç
ö ø
÷
÷
Trang 9Nguyễn Thị Vân
TH 1: a = -2 Ma trận mở rộng:
4 -6 3
æ è
ç ç ç
ö ø
÷
÷
÷
Hệ phương trình vô nghiệm
TH 2: a = 1 Ma trận mở rộng:
1 0 0
æ è
ç ç ç
ö ø
÷
÷
÷
Hệ phương trình vô số nghiệm
10 (a) Vì A khả nghịch nên tồn tại A1: A A -1 = I
Do đó AB = AC A A -1 B = A A -1 C I.B = I.C B = C
(b) Chọn B = 1 2
, C =
12.a) [A I] =