DABTTL tinh don dieu p1 p2

Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu trong tài liệu này.. Tài liệu dùng chung cho P1+P2... Tìm a để hàm số luôn đồng biến... Tìm

Các bài được tô màu đỏ là các bài tập ở mức độ nâng cao

Lý thuyết bổ sung

Để xét dấu của y’ ta thường dùng 2 cách sau

+ Cách 1: Dựa vào định lý dấu tam thức bậc 2

+ Cách 2: Biến đổi bất phương trình f ' x 0 f ' x 0 , x  Dvề dạng

   

   

x D

x D







Trong đó g(m): là hàm chỉ chứa tham số m

Như vậy bài toán trở thành đi tìm min và max của hàm h(x) (= cách khảo sát hàm h(x))

Bài 1 Cho hàm số yx3 (1 2 )m x2 (2 m x)  m 2 (C)

Tìm m để hàm đồng biến trên 0;

Lời giải:

Hàm đồng biến trên 0; 2

  2

2

3x 2x

x



 với  x 0;

 

 0; 

minf

x

x m

 

2

2 2

6 2

2

x

x

x

Trong khoảng 0; ta có bảng biến thiên sau:

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (PHẦN 01)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Tính đơn điệu của hàm số (Phần 01) thuộc khóa học

Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, Bạn

cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu trong tài liệu này

(Tài liệu dùng chung cho P1+P2)

x 0 

f’

5

4

 

 0; 

minf

x

x f

 

 

    

 

=> 5

4

m  thì hàm đã cho đồng biến trên 0;

Bài 2 Cho họ đường cong bậc ba (Cm) có phương trình là y = x3

+ mx2  m Định m để:

a Hàm số đồng biến trong (1; 2)

b Hàm số nghịch biến trong (0; +)

Lời giải:

a) Hàm đồng biến trên (1,2)  – 3x2 + 2mx  0, x  (1,2)

Nếu m  0 ta có hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và 2

3

m

i) Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 2 , 0

3

m

  Vậy loại trường hợp m < 0 ii) Nếu m = 0  hàm luôn nghịch biến (loại)

iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 0,2

3

m

Do đó, ycbt  m > 0 và [1, 2] 0,2

3

m

3

m

m

b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0

Khi m  0 ta có hàm số nghịch biến trên ,2

3

m

 

  và hàm số cũng nghịch biến trên [0, +)

Vậy để hàm nghịch biến trên [0, +) thì m  0

Bài 3 Cho hàm số ( ) 1 3 1(sin os ) 2 3sin 2

a

f x  x  ac a x  x Tìm a để hàm số luôn đồng biến

Lời giải:

1 2

Ta có: ( ) 2 (sin os ) 3sin 2

4

a

f x x  ac a x

Hàm số luôn đồng biến  f x( )  0, x R

2

(sin os ) 3sin 2 0

1

1 2sin 2 0 sin 2

2 5

5

,

Bài 4 Cho hàm số

2

1

y

x



 Với nhứng giá trị nào của m thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng (3;)

Lời giải:

Hàm số đồng biến trong khoảng (3;)

2

2 2

2

( 1)

min ( ) | 3

x





Ta có: f x'( )4x   4 0, x mmin ( )f x  f(3)9

Bài 5. Chứng minh rằng với x > 0, ta có:

2

1

2

e   x

Lời giải:

Ta có:

2

2

f x e   x  f x e   x f x e    x

( )

f x

 đồng biến với x 0 f x( ) f(0)  0 x 0

( )

f x

 đồng biến với

2

2

x  f x  f   x e   x  x (đpcm)

Bài 6 CMR: f x( )x4 px    q 0, x R 256q3 27p4

Lời giải:

4

p

Ta có:

( ) 0,

f x   x R

3

4

4

0

x R

p





m

C y f x m  x  m x  m x Tìm m để hàm số đồng biến trên [2;+)

Lời giải:

Hàm số đồng biến trên [2;+) khi và chỉ khi

   2    

 

2

2

2

2

 



Ta có  

2

 

Suy ra g(x) đồng biến trên [2;+) và khi đó  

2

Vậy m  2

Bài 8 Cho hàm số y   x3 3x2 mx  4, trong đó m là tham số thực

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + )

Lời giải:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ):

2 2

y’ – 3x – 6x m<0, x 0

3x 6x m, x 0 (*)

Do đó (*) xảy ra khi và chỉ khi m0

Bài 9 Cho hàm số y mx 1





 (1) Với m nào hàm đồng biến, nghịch biến, không đổi?

Lời giải:

Ta có:

2 2

1

x m





 Nếu 2

1m     0 1 m 1 thì hàm luôn đồng biến trên mỗi khoảng (; )m và (m; )

1

m m

m





     

 thì hàm luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

 Nếu 2

1m    0 m 1 thì y không đổi trên TXĐ

BÀI TẬP BỔ SUNG

x

y  m x  m x

1 Khảo sát vẽ đồ thị khi m2

2 Tìm m để hàm số đồng biến trên 1,

Giải

y x  m x m

'

y có  2

   

 ' có nghiệm x 1,x 3 2m

Để hàm số đồng biến trên 1, thì ta phải cóy'0 với x 1,

yx  x  m x m Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1, 1)

Giải

2

y  x  x m

Để hàm số nghịch biến trên (-1, 1), ta phải có: ' 0y  với x 1,1

'

y có '  6 3m

- Nếu '   0 6 3m  0 m 2 thì 'y 0với x

2

m

  không thoả mãn

- Nếu    ' 0 6 3m  0 m 2 thì 'y có hai nghiệm phân biệt 3 6 3

3

m

x   

Để ý: ' 0y  trên (-1, 1), ta phải có:

1

3

1 3

10

m

m

m

m

m

m

    



  

  

Cách khác

y  x  x m

Vì f x liên tục với x   R nên f x liên tục tại   x 1 và x1

 Hàm số nghịch biến trên 1,1

 

    

 

2

2

2 1,1

x

 

g x   x  x x 

Ta có: g x'   6x 6

 

10

m

  

3

x

y  m x  m x

Tìm m để hàm số đồng biến trên (0, 3)

Giải

2

y   x m x m 

'

            

 y có hai nghiệm phân biệt ' x  m 1 m2 m 4

Để hàm số đồng biến trên (0, 3) ta phải có ' 0y  trên (0,3)

7

m

mx

y  m x  m x Tìm m để hàm số đồng biến trên 2,

Giải:

2

y mx  m x m

Để hàm số đồng biến trên đoạn 2,, ta phải có 'y 0 với  x 2

* Xét trường hợp: m = 0

Ta có: 'y 2x6, 'y  0 2x 6 0  x 3  m 0 không thoả mãn

* Xét trường hợp: m < 0

'

y có   ' 2m24m1

      thì 'y 0 với x => không thoản mãn

   thì 'y 0 có hai nghiệm x x1, 2, trường hợp này ta không thể có ' 0

y  với  x 3

* Xét trường hợp: m0

y có   ' 2m24m1

2

    thì 'y 0 với x

=> 'y 0 với 3 2 6

2

2

     thì 'y có 2 nghiệm phân biệt

2

x

m

Để ' 0y   x 2 ta phải có:

2

2 2

2

2

1

2 2

0, 3

m

m

m

     

      



       



 







Từ (*)và (**) => 2

3m

3

m

a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m = 4

b Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Giải

y  m x  mx m

Để hàm số luôn đồng biến thì ' 0y  với x

+ Với m – 1 = 0  m 1 thì 'y 2x1 đổi dấu khi x vượt qua 1

2



 Hàm số không thể luôn đồng biến

+ Với m   1 0 m 1 thì 'y 0 với x 2

1

1 0

2 1

2

m m

m





 

Vậy: để hàm số luôn đồng biến thì m2

y m x mx  m

a Khảo sát vẽ đồ thị khi m = 2

b Tìm m để hàm số đồng biến trên 1,

Giải

y  m x  mx x m x m

Hàm số đồng biến trên 1, y'0 với x  1, , tức 'y 0 với  x 1

+ m = 1 thì 'y  2x

Khi đó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên 1,

 m = 1 không thoả mãn

+ m – 1 > 0  m 1, 'y 0 có 3 nghiệm

m

m

 + m – 1 < 0 m 1

f x  m x m  f 8m m 1

- Nếu   0 8m  0 m 0 kết hợp với m   1 0 m 1 thì f x 0 với mọi x

y  x m x m

 0 m 1 không thoả mãn

- Nếu    0 m 0 thì y’ có 3 nghiệm Xét dấu của y’

 Không thể có ' 0y  trên 1,

Vậy: m2

Bài 7 Cho hàm số: yx33x2mxm

a Khảo sát vẽ đồ thị khi m = 0

b Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1

Giải

b y'3x26xm

y' có ' 9 3m  

- Nếu '   0 9 3m  0 m 3 thì 'y 0 với x => hàm số đồng biến

=> m3 không thoả mãn

- Nếu    ' 0 m 3 thì để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 1 ta phải có:

1 2 1

1 2 1 1 2 4 1 2 1

 2

3 9

4

m

m

 

4

m thoả mãn điều kiện

yx  m x  m  x Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định

Giải

 

y  x  m x m 

Để hàm số đồng biến trên tập xác định ta phải có ' 0y  trên tập xác định, tức phải có 'y 0 với mọi x

2

2

2

2

m

m













Bài 9 Cho hàm số: y x 3m 1

x m





a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b Tìm m để hàm số nghịch biến trên 3,

Giải

b

1 4

y

x m





 , TXĐ: R\ m

Để hàm số nghịch biến trên3,, ta phải có:

3

1 1

3 4

4 3

m

m

m m



 



 



(m<3 để đảm bảo hàm số nghịch biến tại mọi điểm trên 3,, ví dụ: khi m=4 => điều kiện xác định x khác 4=> h/s không thể nghịch biến tại 4)

Mặt khác, ta thấy với 1

4

m thì y'0 trên toàn bộ tập xác định

4

m không thoả mãn điều kiện

4 m

HDG bài tập tham khảo thêm (Khoá KIT-1 thầy Phan Huy Khải)

y mx   m x  m x nghịch biến trên [1;5]

Giải:

TXĐ: D=R

Hàm số nghịch biến trên [1;5]

2 2

2

[1;5]

2(1 3 ) (2 1) 0 [1;5]

1 2

: ( ) [1;5]

max ( )

x





 

Ta có

2

 

Do đó

[1;5]

max ( )f x  f(5)3

Vậy giá trị cần tìm là m3

Bài 2: Tìm m để hàm số yx3mx2(m2 m 2)x2 nghịch biến trên đoạn [ 1;1]

Giải:

TXĐ: D=R

Hàm số đồng biến trên [-1;1] y f x( )3x22mx(m2 m 2)   0 x [ 1;1]

( ) 'f x 4m 3m 6

TH 1 :   ' 0 f x( )   0 x [ 1;1] y   0 x R=> hàm số luôn đồng biến => không tồn tại m

TH 2 : '  0 f x( )0có hai nghiệm phân biệt x1x2

Khi đó f x( ) 0 x1 x x2 f x( )  0 x [-1;1]

2

2 2

1 1





3 105 3 105

m

m





 





























2 7 7 2 1 2 3

yx mx  m  m x m m đồng biến trên 2, 

Giải:

+TXĐ: D=R

+ Hàm số đồng biến trên 2,  2  2 

7 m 3m 3

3 3

2 4

m

  nên y 0 luôn có 2 nghiệm x1x2

Ta có y’  0 có sơ đồ miền nghiệm G là:

(phần gạch là phần bỏ)

Ta có y x   0 đúng  x 2  2,   G

1

   2 

1 2

0

2 3 2 3 2 3 5 0

2

2 3 5

1

5

2 1

2 6

m

m m



 



 

  



  



 



Bài 4 Tìm m để hàm số yx33mx23x3m4nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2

Giải

TXĐ: D=R

2

y  x  mx

có  'y' 9m29

TH 1 :   ' 0 f x( )   0 x R y   0 x R=> hàm số luôn đồng biến trên R=> không tồn tại m

TH 2 : '  0 f x( )0có hai nghiệm phân biệt x1x2

=> để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2 thì y’ = 0 phải có đúng 2 nghiệm x1x2

thoả mãn x2 x1 2

 

2 2

m m

m





Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn