GIÁO TRÌNH DẠY PHỤ ĐẠO HS 11

PHẦN I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC .a>Tập xác địnhD=R b>Tập giá trị : c>Là hàm số chẵn d>Hàm số tuần hoàn vớichu kỳ 2 Một số tính chất của hàm số y=tanx a >Tập xác định b>Tập giá trị hàm số Rc>Là

PHẦN I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

a>Tập xác địnhD=R

b>Tập giá trị :

c>Là hàm số chẵn

d>Hàm số tuần hoàn vớichu kỳ 2

Một số tính chất của hàm số y=tanx

a >Tập xác định

b>Tập giá trị hàm số Rc>Là hàm số lẻ

d>Hàm số tuần hoàn với chu kỳ

Một số tính chất của hàm số y=cotx

a>Tập xác định

b>Tập giá trị hàm số R c>Là hàm số lẻ

d>Hàm số tuần hoàn với chu kỳ

BÀI TẬP

Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :

I> PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1>Phương trình lượng giác cơ bản : sinx=a (1)

+Với |a|>1 thì phương trình (1) vô nghiệm

+Với

B

A sin=a=OK

sin

cos

i/Nếu a là giá trị của một góc đặc biệt nào đó thì

đặt : a= khi đó ta có :

2>Phương trình lượng giác cơ bản : cosx=a (2)

+Với |a|>1 thì phương trình (2) vô nghiệm

+Với

i/ Nếu a là giá trị của một góc đặc biệt thì

đặt a= khi đó ta có :

+Nếu a là gía trị của góc đặc biệt thì

Đặt a= khi đó ta có: tanx=

+Nếu a là giá trị của góc đặc biệt thì

+ Nếu a không là giá trị của góc đặc biệt thì :

BÀI TẬP : Giải các phương trình :

5>TÓM LẠI :

CHÚ Ý : CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN :

*

*

*

*

BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác :

II>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1)Phương trình bậc nhất

* asinx+b=0 , * acosx+b=0 , * atanx+b=0 , * acotx+b=0

BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác sau :

2>Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

A>Phương trình bậc hai đối với hàm số sin

* asin2x+bsinx+c=0

Đặt sinx=t đk khi đó ta có : at2+bt +c=0

BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :

1/ 2sin2x+3sinx+1=0 2/ sin2x+sinx-2=0 3/

4/ 6-4cos2x-9sinx=0 5/ 6/ sin23=0

7/ sin2x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin2x+cos2+sinx-1=0 9/

cos2x+sinx+1=0

10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos2x+cos2x+sinx+2=0 12>

B>Phương trình bậc hai đối với hàm số cos

* acos2x+bcosx+c=0

Đặt cosx=t đk khi đó ta có : at2+bt +c=0

BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :

1/ 3cos2x+2cosx-1=0 2/2sin2x+5cosx+1=0 3>cos2

12>(1+tan2x)(cosx+2)-sin2x=cos2x

C>Phương trình bậc hai đối hàm tan và cot

Đặt cotx=t khi đó ta có : at2+bt +c=0

BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :

1>tan2x-tanx-2=0

2>

3>

4>

3>Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos

Phương trình có dạng : Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x=D

(Nhắc lại công thức cộng : cosacosb+sinasinb=cos(a-b)

Sinacosb+sinbcosa=sin(a+b)

Phương trình có dạng : asinx +bcosx =c

Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là :

Khi đó ta chia hai vế của phương trình với khi đó ta được :

Khi đó ta được :

Bài tập : Giải các phương trình :

ẦN II PH : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

I>QUI TẮC ĐẾM

a>Qui tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi hành động một hoặc hành động hai Nếu hành động một có

m cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện không trùng với bất kỳ hành động nào của hành động một thì công việc đó có m+n cách thực hiện

b>Qui tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hoàn thành cộng việc

Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập

k của n phần tử của tập đã cho

Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là :

Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người hỏi :

a/ Có tất cả bao nhiêu cách

b/ Có bao nhiêu cách thành lập đoàn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ

III>NHỊ THỨC NIU TƠN

Công thức sau gọi là công thức nhị thức niu tơn

Số hạng thứ k+1 là :

BÀI TẬP : TỔ HỢP –XÁC SUẤT

Sử dụng qui tắc cộng , qui tắc nhân , hoán vị và chỉnh hợp

Bài 1 : CHo một hộp đựng 5 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 5 và 10 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 15 có bao nhiêu cách chọn một viên bi ?

Bài 2 : Có 7 cuốn sách toán khác nhau , 10 cốn sách văn khác nhau và 3 cuốn sách lý khác nhau Hỏi

có bao nhiêu cách chọn một cuốn cách để học ?

Bài 3 : Có 5 cửa hàng bán sách , cửa hàng 1 chỉ bán 100 cuốn sách toán , cửa hàng 2 bán 200 cuốn sách văn , của hàng 3 chỉ bán 50 cuốn cách lý và 50 cuốn sách địa , cửa hàng 4 chỉ bán 150 sách hoá , của hàng 5 chỉ bán 150 sách sinh và 50 sách kỹ thuật

Hỏi có bao nhiêu cách chọn cửa hàng để mua sách

CÁC BÀI TẬP VỀ SỐ

Bài 3 : CHo tập hợp số : {1,2,3,4} Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên :

a> Có hai chữ số đôi một khác nhau ?

b> Có 3 chữ số đôi một khác nhau ?

c> Có 4 chữ số đôi một khác nhau ?

Bài 4: Từ tập hợp số {1,2,3,4,5} Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên :

a> Có hai chữ số đôi một khác nhau

b> 3 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 ?

c> Có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2 ?

Bài 5 : Từ tập hợp số : {0,1,2,3,4,5) ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :

a> Có hai chữ số đôi một khác nhau ?

b> Có 3 chữ số đôi một khác nhau ?

c> Là số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau ?

d> Là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau ?

Bài 6 : Từ tập số tự nhiên {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên

a> Có 4 chữ số đôi một khác nhau ?

b> Có 8 chữ số đôi một khác nhau ?

Bài 7 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 Có biêu cách lập một số tự nhiên

a> Là số lẻ có 3 chữ số đôi một khác nhau ?

b> Là số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau ?

Bài 8 : Từ các số : 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên :

a> Có 2 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 2

b> Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3

c> Có 5 chữ số khác nhau và luôn nhỏ hơn 550

Bài 9: Từ các số : 0,1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên :

a> Có 3 chữ số khác nhau

b> Có 4 chữ

c> Là số lẻ và có 4 chữ số và đôi một khác nhau

d> Là số chẵn và có 5 chữ số đôi một khác nhau ?

Bài 10 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu các lập một số tự nhiên :

a> Số có 4 chữ số đôi một khác nhau

a> Có 4 chữ số đôi một khác nhau

Bài 13 : Từ các số : 0,2,4,5,6,8,9 Ta có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên :

a> Có 3 chữ số và đôi một khác nhau

b> Có 4 chữ số đôi một khác nhau là luôn có mặt số 5

CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT

Bài 14 : Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau

a> Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau

b> Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt

Bài 15 : Trong một phong học có hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu :

a> Các học sinh ngồi tuỳ ý

b> Các học sinh nam ngồi một bàn và các học nữ ngồi một bàn

Bài 16 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho :

a> Bạn C ngồi chính giữa

b>Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mút

Bài 17 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc

a> Có bao nhiêu cách sếp khác nhau

b> Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng gới đứng cạnh nhau

Bài 18 : Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách xếp các thể này theo một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau

Bài 19 : Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinhthành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau

Bài 20 : Có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ Có bao nhiêu cách chọn 4 người để lập được một ban đại diện trong đó có ít nhất là 2 nam và 1 nữ

Bài 21 : Một đội ngũ cán bộ gồm có 5 nhà toán học 6 nhà vậ lý , 7 nhà hóc học Chọn từ đó ra 4 người

để dự hội thảo khoa học Có bao nhiêu cách chọn nếu:

a> Phải có đủ 3 môn

b> Có nhiều nhất 1 nhà toán học và có đủ 3 môn

Bài 22 : Từ 12 học sinh ửu tú của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1 trường đoàn ,1 thư ký và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban đại biểu như thế

Bài 23 : Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn ra khỏi hộp , có bao nhiêu cách lầy để có một bóng bị hỏng

Bài 24 : Một hộp đựng 4 viên bị đỏ , 5 viên bi trắng , 6 viên bi vàng , người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp

đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra có đủ 3 màu

Bài 25 : Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 tem thư và 3 bì thư để 3 tem thư dán vào 3 bì thư chọn ra

Bài 26A : Có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoavào ba lọ hoa ( mỗi lọ cắm một bông )

Bài 26B : Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi

dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất 2 cán bộ lớp

Bài 27 : Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam

và 2 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu :

a> Mọi người đều vui vẽ tham gia

b> Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia

Bài 28 : một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a> Nếu ít nhất hai nữ

Sử DụNG KHAI TRIểN NHị THứC NIU TƠN

Bài 31 : Hãy khai triển các nhị thức sau thành đa thức :

Bài 31 : Tìm hệ số của x3 trong nhị thức sau : , ,

Bài 32 : Tìm hệ số của x5 trong nhị thức sau : , ,

Bài 33 : Tìm hệ số của x3 trong nhị thức sau : ,

Bài 34: Biết hệ số của x2 trong khai triển (1-3x)n là 90 Tìm n ?

Bài 35 : Tìm hệ số không chứa x trong khai triển

Bài 36 : Tìm hệ số khồng chứa x trong khai triển :

Bài 37 : Tìm số hạng không chưa x trong khai triển sau :

Bài 38 : Tìm hệ số của x31 trong khai triển nhị thức

IV>PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

1 / PHÉP THỬ

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử

Ví dụ : Gieo một đồng tiến , gieo một con súc sắc , rút một con bài từ bộ bài ,…

2/KHÔNG GIAN MẪU

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và ký hiệu là đọc là ô mê ga

Ví dụ : tìm không gian mẫu của các phép thử sau :

1/Gieo một đồng tiến hai lần

2/Gieo một con súc sắc hai lần

3/Từ các số 1,2,3 tìm các số có 3 chữ số

3/BIẾN CỐ

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Tập gọi là biến cố không thể , tập gọi là biến cố chắc chắn

Chú ý : biến cố có thể cho dưới dạng là một mệnh đề mô tả tập hợp , hoặc cho dưới dạng là một tập con của không gian mẫu

Ví dụ :

1/gieo một đồng tiền hai lần , Hãy xác định biến cố :

A”Mặt sấp xuất hiện lần đầu tiên “

B”có ít nhất là một mặt sấp “

2/Giéo một con súc sắc hai lần , Hãy xác định biến cố :

A”Hai lần gieo có số chấm bằng nhau “

Bài 1 : Gieo một con súc sắc cân đối , đồng chất và quan sát sự cố xuất hiện

a>Mô tả không gian mẫu

b>xác định các biến cố sau

A:”Xuất hiện mặt chẵn chấm “

B:”Xuất hiện mặt lẻ chấm “

C:”Xuất hiện mặt có chấm không nhỏ hơn 3 “

c>Trong các biến cố trên hãy tìm các biến cố xung khắc

Bài 2 : Một hộp đựng 3 bi trắng được đánh số tử 1 đến 3 , 2 bi đỏ được đánh số từ 4 đến 5 , lấy ngẫunhiên đồng thời 2 bi :

a>Xây dựng không gian mãu

c>Trong các biến cố trên hãy tìm các biến cố xung khắc

Bài 3 : Gieo một đồng tiền 3 lần và quan sát hiện tượng mặt sấp và mặt ngữa

a> Xây dựng không gian mẫu

b> Xác định các biến cố :

A:”Lần gieo đầu tiên mặt sấp “

B:”Ba lần xuất hiện các mặt như nhau “

C:”đúng hai lần xuất hiện mặt sấp “

Bài 4 : Gieo một đồng tiền và một con súc sắc quan sát mặt sấp ,mặt ngữa , số chấm suất hiện của con súc sắc

a> xây dựng không gian mẫu

b> Xác định các biến cố sau :

A:”đồng tiền suất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm “

B:”Đồng tiền suất hiện mặt ngữa và con súc sắc suất hiện mặt lẻ chấm “

C:”Mặt 6 chấm xuất hiện “

Bài 5 : Gieo một đồng tiền 3 lần :

a> Xây dựng không gian mẫu

b> Xác định các biến cố sau :

A:”lần đầu xuất hiện mặt sấp “

B:”Mặt sấp xẫy ra đúng một lần “

C:”Mặt ngữa xẫy ra đúng một lần “

Bài 6 : Gieo một con súc sắc 2 lần :

a> Mô tả không gian mẫu

b> Phát biều biến cố sau dưới dạng mệnh đề :

a> Xác định các biến cố sau :

A:”Tổng các số trên hai thẻ là chẵn “

A:”Chữ số đầu lớn hơn chữ số sau “

B:”Chữ số trước gấp đôi chữ số sau “

n(A) là số phần tử của tập A ( Hay số kết quả thuận lợi cho biến cố A )

số kết quả có thể xảy ra của phép thử

BÀI TẬP :

1>Gieo một con súc sắc hài lần , tính xác suất các biến cố sau :

a/ Tổng của hai lần gieo bằng 6 chấm

b/ Lần gieo đầu bằng 6

c/ Tích của hai lần gieo là một số chẳn

d/ Hai lần gieo có số chấm bằng nhau

2> Một tổ có 7 nam và 3 nữ , chọn ngẫu nhiêu hai học sinh Tính xác suất sao cho :

4> Có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên quanh một cái bàn tròn , tìm xác suất

để nam nữ ngồi xen kẻ nhau

5> Có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào một cái bàn dài , tìm xác suất

để nam nữ ngồi xen kẻ nhau

6>Một hộp đựng 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu được đánh số tử 1 đến 20 lấy ngẫu nhiên một quả cầu Tính xác suất sao cho quả cầu được chọn :

a/Ghi số chẵn

b/Mầu đỏ

c/Mầu đỏ và ghi số chẵn

d/Mầu xanh hoặc ghi số lẻ

7>có 7 học sinh học môn anh văn và 8 học sinh học pháp văn và 9 học sinh học tiếng nhất chọn ngẫu nhiên 3 học sinh Tính xác suất để :

a/ chọn đúng có hai thứ tiếng trong đó có hai học sinh học tiếng anh

b/ Chọn có đúng ba thứ tiếng

8>Một lớp có 60 học sinh trong đó 40 học sinh học tiếng ành , 30 học sinh học tiếng pháp , 20 học sinhhọc cả tiếng ành và tiếng pháp Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh Tính xác suất của các biến cố sau : a/Sinh viên được chọn học tiếng ành

b/sinh viên được chọn chỉ học tiếng pháp

c/Sinh viên được chọn không học tiến anh và tiếng pháp

PHẦN III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

I>PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

Khi chứng minh một mệnh đề phù thuộc vào số tự nhiên n thì ta dùng phương pháp qui nạp toán học Thực hiện phương pháp qui nạp toán học theo các bước sau : \

B1 : Kiểm tra mệnh đề với n=1 (2,3,…) (Nếu mệnh đề đúng thì vào bước 2 )

B2 : Giả sử mệnh đề đúng với n=1 ( gọi là giả thiết qui nạp )

B3 : Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1

BÀI TẬP VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

Bài 1 : Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc vào N*

1/ 2+5+8+…+(3n-1)= 2/ 3+9+27+…+3n =

3/ 12+22+32+…+(2n-1)2= 4/ 13+23+33+…+m3=

5/ 1+2+3+…+n= 6/ 22+42+…+(2n)2=

7/ 12+22+32+…+n2= 8/

Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi ta có :

1/ n3-n chia hết cho 3 2/ n3+3n2+5n chia hết cho 3

3/ 11n+1+122n -1 chia hết cho 133 4/ 2n3 -3n2+n chia hết cho 6

5/ 4n+15n-1 chia hết cho 9 6/ 13n -1 chia hết cho 6

7/ 32n+1+2n+2 chia hết cho 7 8/ 32n+2+26n+1chia hết cho 11

Bài 3 : Chứng minh rằng với mọi ta có :

1/ 2n>2n+1 2/ 3n>3n+1 3/ 2n+1>2n+3 4/ 2n+2>2n+5

II> DÃY SỐ

1>Định nghĩa dãy số :

* Hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N* gọi là dãy số vô hạn ký hiệu (un) , ta viết

Viết dãy số dạng khai triển u1,u2,…,un,…

Trong đó u1 gọi là số hạng đầu , un gọi là số hạng tổng quát

* Hàm số u xác định trên tập số M={1,2,3,4,…,m) với m thuộc tập số tự nhiên N* gọi là dãy số hữu hạn ký hiệu (un) ,ta viết

Viết dãy số dạng khai triển u1,u2,…,um

Trong đó u1 gọi là số hạng đầu , um gọi là số hạng cuối

2>cách cho một dãy số

a/Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát un

Ví dụ :Cho dãy số (un) : un=2n+1

b/Cho dãy số bởi biểu thức truy hồi

+Cho số hạng đầu hoăc một vài số hạng đầu