Đề cương ôn tập môn toán lớp 10 (80)

• Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai:  Phương trình – hệ phương trình: • Giải phương trình chứa căn, chứa giá trị tuyệt đối dạng đơn giản.. • Giải hệ phương trình gồm một phư

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I NĂM 2014– 2015

TRƯỜNG THPT PHÚC THỌ MÔN: TOÁN LỚP 10

PHẦN I : ĐAI SỐ

I NỘI DUNG ÔN TẬP

1 Đại số

 Mệnh đề - tập hợp: Các phép toán giao, hợp, hiệu của 2 tập hợp.

 Hàm số bậc 2:

• Tìm hệ số a,b,c trong parabol y ax = 2 + bx c + (hay viết phương trình parabol) thỏa mãn điều kiện cho trước

• Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai:

 Phương trình – hệ phương trình:

• Giải phương trình chứa căn, chứa giá trị tuyệt đối dạng đơn giản

• Giải hệ phương trình gồm một phương bậc nhất hai ẩn và một phương trình bậc hai hai ẩn; hệ phương trình đối xứng

• Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn

• Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình đối xứng thỏa mãn điều kiện cho trước

 Bất đẳng thức:

• Chứng minh bất đẳng thức

• Tìm GTLN, GTNN

• So sánh giá trị các biểu thức

II BÀI TẬP

1 Mệnh đề - Tập hợp

Bài 1: Cho A= [4;9],B=(0; +∞),C= −∞ ( ;5] Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số:

a A∪B A C, ∩ c A B C\ ( ∪ );(A B\ )∪C

b A B B C\ , \ d ¡ \ ; \B ¡ (A B∪ )

Bài 2: Cho A = {x R∈ : 2 ≤ ≤x 8 ,} B= ∈{x R: 2 − ≤ <x 7}

Xác định các tập A∩B, A \ B; A∪B

Bài 3: Cho hai tập hợp: A=[1; 4);B= ∈{x R x/ ≤ 3} Hãy xác định các tập hợp:

A B A B A B∩ ∪

2 Hàm số bậc hai

Bài 1: Cho hàm số: f x( ) =ax2 + +bx c có đồ thị (P).

a) Xác định hàm số biết (P) là một parabol có đỉnh S(2; –1) và đi qua điểm M(1; 0)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được

Bài 2: Xác định hàm số bậc hai : y = ax2 + bx – 1, biết rằng đồ thị của nó là parabol có trục đối xứng là đường thẳng x=13và đi qua điểm A(–1; –6)

Bài 3: Xác định các hệ số a,c của parabol (P): y ax= 2 − 4x c+ , biết (P) đi qua điểm M (–

2;1) và có hoành độ đỉnh là –3 Vẽ parabol (P) với a, c vừa tìm được

Bài 4: Cho hàm số: y = ax2 + bx + 5

a) Xác định a, b biết đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh I(–3;–4)

b) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được

Bài 5: Tìm (P) : 2

1

y ax= + +bx , biết (P) đi qua A(− 1;6)và có tung độ đỉnh là –3

Bài 6: Cho hàm số y = ax2 + bx + 3

a) Xác định a, b của hàm số biết đồ thị hàm số đi qua A(1;0) và B(–2;15)

b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được ở câu a

Bài 7: Cho hàm số 2

3 2 ( )

y= − +x x− P a) Vẽ (P) b) Từ đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của pt 2

− + − = (*) c) tìm m để (*)có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 4

Bài 8: Xác định Parabol (P), biết (P): y ax= 2+bx c+ đi qua điểm A(2; –3) và có đỉnh I(1; –4)

3 Phương trình – Hệ phương trình

Bài 1: Giải các phương trình sau :

a. 5x+ = − 6 x 6 b 3x− = 2 2x− 1 c 3x+ − = − 1 x 1

d 2x2 + 5x+ = − 11 x 2 e 6 4 − x x+ 2 = +x 4 f 2x2 + 3x− = + 5 x 1

g. -x 2 + 6x+ 1 + x = 1 h x2 − + 3x x2 − + = 3x 2 10 i x2 + − 5 3 2x2 − 4x+ = 5 2x

k 3 − =x x+ + 2 1 l 1 − =x x2 − 2x− 5 n 2x− + 1 x+ = 3 3

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a x− = 2 x2 − 2x− 6 b 2x+ = − 6 2 x c |x + 3| = 2x + 1

d 2x+ = − 1 x 3 e x − 2 = |3x2 − x − 2| f |x2 − 2x| = |x2 − 5x + 6|

g 2

2x + 8x− 15 = 4x+ 1

Bài 3: Giải hệ phương trình:

a) 2 2

x y

+ =



 + − =

2

x y xy

x y xy

 + + =

5 8

xy x y

x y x y

+ + =



 + + + =

4 13

x y

x y xy

+ =



 + + =



Bài 4: Giải hệ phương trình:

a)

2

2

2

2

x y

y x

 = −





= −

3 3

5x+y

5 +x

x

 =





=

2 2

3x+2y

3 +2x

x

 =





=

2 2 2 2

2 3

2 3

y y x x x y



 =



Bài 5: Cho hệ phương trình 2 2

4

x y

m y x

− =



 a) Giải hệ khi m =10

b) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho

Bài 6: Cho hệ 2 2

4

x y

m y x

− =



 a)Giải hệ với m = 26; b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

Bài 7: Cho hệ 2 2

4

13

x y

mxy y

x

+ =



 a) Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

Bài 8: Giải và biện luận hệ phương trình:

a  + =mx y m x my+ = +2 1 b mx x my+−3my=1=2m+3

 c  −((3m−m x1))x++(3m y+=1)2y m=

4 Bất đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng: ∀a b c, ,

a) ( )2 ( 2 2)

a+b ≤2 a +b

b) ( )2 ( 2 2 2)

a+b+c ≤3 a + +b c

Bài 2: Chứng minh rằng: x3 +y3 ≥x y xy2 + 2 , ∀ >x 0,y> 0.

Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

a2 + + <b2 c2 2(ab bc ac+ + )

Bài 4: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: a b b c a c 6

+ + + + + ≥

Bài 5: So sánh A và B, biết A= 2015 − 2014,B= 2014 − 2013

Bài 6: Cho a3 + =b3 2 Chứng minh rằng: a b+ ≤ 2.

Bài 7: Tìm GTNN của hàm số:

a) f x( ) = −x 2006 + −x 2007 b) f x( ) 2 = x2 + 2x+ 6 c) f x( ) x2 2x2 2014

x

− +

=

Bài 8: Tìm GTLN của f x( ) = − 3x2 + 12x− 1

Bài 9: Cho a,b,c> 0 Chứng minh rằng :

+

+ +

+

c a c

b c

b

a

; b)

2

2 2

b a

c a c

b c b

+

+ +

+ +

PHẦN II: HÌNH HỌC

I NỘI DUNG ÔN TẬP

1 Các định nghĩa

• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối

B là uuur AB

• Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó

• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu uuur AB

• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0r

• Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

• Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

• Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài

Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b r, , r để biểu diễn vectơ.

+ Qui ước: Vectơ 0r cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

+ Điều kiện cần và đủ để 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là hai véctơ

AB

uuur

, uuur AC cùng phương.

2 Các phép tốn trên vectơ

a) Tổng của hai vectơ

• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta cĩ: uuur uuur uuur AB BC AC+ =

• Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta cĩ: uuur uuur uuur AB AD AC+ =

• Tính chất: a b b a r+ = +r r r; (a b r+ + = + +r) c a r r (b c r r); a r+ = 0r a r

b) Hiệu của hai vectơ

• Vectơ đối của ar là vectơ b r sao cho a b 0 r+ =r r Kí hiệu vectơ đối của ar là −a r

• Vectơ đối của 0r là 0r

• a b a r− = + −r r ( )b r

• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta cĩ: OB OA AB uuur uuur uuur− =

c) Tích của một vectơ với một số

• Cho vectơ ar và số k ∈ R kar là một vectơ được xác định như sau:

+ kar cùng hướng với ar nếu k ≥ 0, kar ngược hướng với ar nếu k < 0.

+ ka r = k a.r

• Tính chất: k a b(r+r) =ka kb r+ r; (k l a ka la+ )r= r+ r; k la( )r = ( )kl a r

ka 0 r =r ⇔ k = 0 hoặc a 0 r =r

• Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b a r r (r ≠ 0r)cùng phương⇔ ∃ ∈k R b ka: r= r

• Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0: uuur AB k AC= uuur

• Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: Cho hai vectơ khơng

cùng phương a b r,r và xr tuỳ ý Khi đĩ ∃! m, n ∈ R: x ma nb r= r+ r

Chú ý:

• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ MA MB 0 uuur uuur r+ =

⇔ OA OB uuur uuur+ = 2OM uuur (O tuỳ ý)

• Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm ∆ABC ⇔ GA GB GC 0 uuur uuur uuur r+ + =

⇔ OA OB OC uuur uuur uuur+ + = 3OG uuur (O tuỳ ý)

3 Trục toạ độ

• Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị er Kí hiệu (O e ; r)

• Toạ độ của vectơ trên trục: u r =( )a ⇔ =u a e r .r

• Toạ độ của điểm trên trục: M k( ) ⇔OM k e uuur= r

• Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a= ⇔uuur AB a e= r

Chú ý: + Nếu cùng hướng với thì AB AB= .

Nếu ngược hướng vơi thì AB= −AB + Nếu A(a), B(b) thì AB b a= − .

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta cĩ: AB BC AC+ = .

4 Hệ trục toạ độ

• Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuơng gĩc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i j r r, O là gốc toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung.

• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u r = ( ; )x y ⇔ =u x i y j r .r+ r

• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M x y( ; ) ⇔OM x i y j uuur= r+ r

• Tính chất: Cho a r= ( ; ),x y b r= ( ; ),x y k R′ ′ ∈ , A x y( ; ), ( ; ), ( ; )A A B x y B B C x y C C :

+) a b x x

y y

 =

= ⇔  = ′



r r

+)a b r± = ±r (x x y y′; ± ′) + ) ka r= ( ; )kx ky

+ )b r cùng phương với a 0 r ≠r ⇔ ∃k ∈ R: x′ =kx và y′=ky ⇔ x x′ = y y′ (nếu x ≠ 0, y ≠

0).

+) uuur AB= (x B −x y A; B−y A)

+) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: A B A B

I x x I y y

+ )Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: A B C A B C

+) Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: A B A B

M x kx M y ky

( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔ MA kMB uuur= uuur)

II BÀI TẬP

Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD Gọi E là trung

điểm I J

CMR: EA EB EC EDuuur uuur uuur uuur r+ + + = 0

Bài 2: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA CMR:

a)uuur uuur uuuur rAN BP CM+ + = 0; b)uuur uuuur uuurAN =AM +AP; c) uuuur uuur uuur rAM BN CP+ + = 0

Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.

2 2

AI = AD+ AB

uur uuur uuur

b, CMR OA OIuuur uur uur r+ + OJ 0 =

Bài 4: Cho tam giác MNP có MQ là trung tuyến của tam giác.Gọi R là trung điểm của

MQ Cmr :

a RMuuur uuur uur r+RN RP+ = b ON) uuur+ 2OM OPuuur uuur+ = 4ORuuur, ∀ O

c) Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành Chứng tỏ rằng

2

uuur uuur uuur uuur

d)Với điểm O tùy ý, hãy chứng minh rằng ON OS OM OPuuur uuur uuuur uuur+ = + ;

4

ON OM OP OSuuur uuuur uuur uuur+ + + = OIuur

Bài 5: Cho tam giác MNP có MQ, NS, PI lần lượt là trung tuyến của tam giác.

a) Chứng minh rằng: MQ NS PIuuur uuur uur r+ + = 0

b) Chứng minh rằng hai tam giác MNP và tam giác SQI có cùng trọng tâm

c) Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua N , N’là điểm đối xứng với N qua P , P’ là điểm đối xứng với P qua M Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có:

ON OM OP ONuuur uuur uuur+ + =uuuur uuuur uuur+OM +OP

Bài 6*: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên AC sao

cho NC=2NA, gọi K là trung điểm của MN

) CMR: AK= AB + AC

b) Gọi D là trung điểm của BC Cmr KD= AB + AC1 1

uuur uuuur uuur

Bài 7*: a) Cho MK và NQ là trung tuyến của tam giác MNP Hãy phân tích các véctơ

MN NP PM

uuur uuur uuur

theo hai véctơ u MKr uuuur= , v NQr uuur=

b) Trên đường thẳng NP của tam giác MNP lấy một điểm S sao choSNuuur= 3SPuur Hãy phân tích véctơ MSuuur

theo hai véctơ u MNr uuuur= , v MPr uuur=

Bài 8: Cho tam giác ABC.

a, Hãy dựng các điểm P, Q sao cho PAuuur= 2PBuuur, 3QAuuur+ 2QCuuur r= 0.

b, Biểu diễn uuur uuurAP AQ,

theo uuur uuuurAB AC,

c, Chứng minh PQ đi qua trọng tâm tam giác ABC

Bài 9: Cho : OA iuuur r= − 2 ,r uuurj OB= − 5i j OCr r uuur, = + 3ri 2 rj

a) Tìm tọa độ trọng tâm, trung điểm cạnh AC của tam giác ABC

b) Tìm toạ độ của các vectơ uuurAB

và ur = 2uuurAB− 3BCuuur

c) Xét ar = − ( 2; )y Tìm y để ar

cùng phương với uuurAB

Khi đó ar

và uuurAB

cùng hướng hay ngược hướng

Bài 10: Cho 3 điểm A(3; 1 , − ) ( ) ( )B 2; 4 ,C 5;3

a) Tìm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

b) Tìm M sao cho C là trọng tâm tam giác ABM

c) Tìm N sao cho tam giác ABN vuông cân tại N

d) Tính góc B

Bài 11: Cho 3 điểmA(− − 1; 1 ,) (B − − 1; 4 ,) (C 3; 4 − )

a) Cmr ba điểm A, B, C lập thành một tam giác

b) Tính độ dài 3 cạnh của tam giác ABC

c) CM ∆ABC vuông Tính chu vi và diện tích ∆ABC

d) Tính AB AC→ . → và cos A

e) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC

Bài 12: Cho A(–2:–3), B(1;1), C(3;–3)

a) CMR tam giác ABC cân.;

b) Tính diện tích tam giác ABC

c) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC

d) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên BC

e) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 13: Cho A(–3;2), B(4;3)

a) Tìm M ∈ Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M

b) Tính diện tích tam giácMAB

c) Tìm D sao cho tứ giác MABD là hình bình hành

d) Tìm E (1; x) sao cho A, B, E thẳng hàng.