Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ABC.Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hìn
Trang 1BÀI 1 THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
Bài 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Góc giữa mặt bên và mặt đáy
bằng (450 < < 900) Tính thể tích hình chóp
A 1 3tan 2
6
V a B V 1a3tan
6
6
V a D 1 sin3
6
Bài 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5 Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C và D Tính thể tích của khối đa diện ADD.BCC
A V 5a3 3
6
6
a
6
a
3
a V
Bài 3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1 Tính thể tích hình chóp
theo x và y
A V xy 4 x2 y2
12
B V xy 4 x2 y2
12
12
12
Bài 4 Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c.Tính thể tích tứ diện theo a, b, c
A 2 ( 2 2 2)( 2 2 2)( 2 2 2)
2
V a b c b c a c a b C 2 ( 2 2 2)( 2 2 2)( 2 2 2)
3
B 5 2 ( 2 2 2)( 2 2 2)( 2 2 2)
12
V a b c b c a c a b D V 2 (a2 b2 c b2)( 2 c2 a c2)( 2 a2 b2)
12
Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
A 3 3
50
a
25
a
50
a
50
Bài 6 Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a
3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’
a ;cos
a ;cos
a ;cos
a ;cos V
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và (SAB) vuông góc mặt đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN
a ;cos
a ;cos
a ;cos
a ;cos V
Bài 8 Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 Gọi
M là trung điềm của BC Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng
Trang 2AM, BC
a ; a
a ;cos
a ;cos
a ;cos V
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM BP và tính thể tích khối CMNP
A 3 3
96
a
3
216
64
V
Bài 10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC
4
a
5
a
4
a
4
a d
Bài 11 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm B sao cho AB = 2a Tính thể tích của khối tứ diện OOAB
A 3 3
2
4
12
a
12
V
Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, ADa 2, SA = a và SA (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng (SAC) (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
A 3 2
6
a
36
a
48
a
16
a V
Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA (ABC) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC Tính thể tích của hình chóp A.BCMN
A 3 3 3
50
a
50
36
36
V
Bài 14 Cho hình chĩp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuơng tại B cĩ AB = a, BC = a 3, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A trên các cạnh SB và SC Tính thể tích của khối chĩpA BCNM.
A VA BCNM a3
15 B A BCNM
a
5 C A BCNM
a
4 D A BCNM
a
4
Bài 15 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật; SA (ABCD); AB = SA = 1; AD 2 Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB
A VANIB 5 2
6 C VANIB 2
36
D VANIB 7 2
36
Bài 16 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là một hình vuơng tâm O Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuơng gĩc
Trang 3với đáy (ABCD) Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Tính thể tích khối chĩp O.AHK
A V a3 32
a
a
a
27
Bài 17 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 cĩ AB = a, AC = 2a, AA1 2 5a và BAC 120o Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)
A da 5.
a 5
4 C
a 5
7 D
a 5
6
Bài 18 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy gĩc Tìm để thể tích của khối chĩp đạt giá trị lớn nhất
A = 45o
B = 60o
C = 30o
D = 120o
.
Bài 19 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên của hình chĩp bằng nhau và
bằng a 2 Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho
3
a
AK Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a
A 21
3
a
49
a
7
a
7
a
Bài 20 Cho hình chĩp S.ABC cĩ gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) bằng 600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC)
A d(B; SAC) = 3
13
a
B d(B; SAC) = 3
7
a
C d(B; SAC) = 3
5
a
D d(B; SAC) = 3
23
a
Bài 21 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi với 0
120
A
, BD = a >0 Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy Gĩc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600 Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuơng gĩc với cạnh SC Tính
tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chĩp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chĩp
A 2
1
4
V
1
3
V
1
2
V
1
5
V
Bài 22 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ các cạnh AB=AD = a, AA’ = 3
2
a
và gĩc BAD = 600 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’ Tính thể tích khối chĩp A.BDMN
A
3
3
14
a
16
a
20
a
25
a
Bài 23 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 cĩ tất cả các cạnh bằng a, gĩc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng
300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a
4
a
14
a
4
a
40
a
Bài 24 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ ABC là tam giác vuơng tại B và AB = a, BC = b, AA’ = c (
2 2 2
c a b ) Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua A và vuơng gĩc với CA
A
2 2 2
3
2
td
S
c
2 2 2
3
td
S
c
2 2 2 2
2
td
S
c
2 2 2
2
td
S
c
Trang 4Bài 25 Cho khối chĩp S.ABC cĩ SA(ABC), ABC vuơng cân đỉnh C và SC = a Tính gĩc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chĩp lớn nhất
A 0;
3
B 0;
12
C 0;
4
D 0;
2
Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên cạnh AB sao cho AM = x, (0 < x < a) Mặt
phẳng (MA'C') cắt BC tại N Tính x theo a để thể tích khối đa diện MBNC'A'B' bằng 1
3thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D'
A 3 5
2
20
C 3 2 5
2
12
Bài 27 Trên cạnh AD của hình vuơng ABCD cĩ độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 m a) Trên nửa đường thẳng Ax vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0) Tính thể tích khối chĩp S.ABCM theo a, y và x
12
( ) 3
( ) 6
( ) 6
Bài 28 Cho hình nĩn đỉnh S, đường trịn đáy cĩ tâm O và đường kính là AB = 2R Gọi M là điểm thuộc đường trịn
đáy và ASB=2, ASM=2 Tính thể tích khối tứ diện SAOM theo R, và
A
3
2 cos sin
sin sin 3sin
S AOM
R
3
cos sin 2
sin sin 3sin
S AOM
R
B
3
cos sin
sin sin 3sin
S AOM
R
3
cos 2 sin
sin sin 3sin
S AOM
R
Bài 29 Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ độ dài cạnh bên bằng 1 Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy một gĩc
α Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chĩp S.ABC
A
3
2 3
4 tan
2
3 (2 tan )
V
B
3
2 3
4 tan
2 3(4 tan )
V
C
3
2 3
8 tan
2
3 (4 tan )
V
D
3
2 3
4 tan
2
3 (4 tan )
V
Bài 30 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a SA(ABCD) và SA = a Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC Tính khoảng cách từ D đến mp(BMN)
A ( , ( )) 6
6
a
6
a
6
a
16
a
Bài 31 Cho hình chĩp S.ABC cĩ AB = AC = a BC =
2
a
SAa 3, SAB SAC 30 0Tính thể tích khối chĩp S.ABC
A
3
3
S ABC
a
3
3 16
S ABC
a
3
16
S ABC
a
3
5 16
S ABC
a
Bài 32 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuơng gĩc của A’ lên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuơng gĩc với AA’, cắt lăng trụ theo một
thiết diện cĩ diện tích bằng 2 3
8
a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
A
3 ' ' '
5 12
ABC A B C
a
3 ' ' '
3 2
ABC A B C
a
3 ' ' '
3 18
ABC A B C
a
3 ' ' '
3 12
ABC A B C
a
Trang 5Bài 33 Tính thể tích của hình chĩp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuơng gĩc với
đáy, hai mặt bên cịn lại cùng tạo với đáy gĩc α
A
3 tan
18
S ABC
a
V B
3 tan 16
S ABC
a
V C
3
3 tan 16
S ABC
a
V D
3
5 tan 16
S ABC
a
Bài 34 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là ABC vuơng cân tại A, AB = AC = a Mặt bên qua cạnh huyền BC vuơng gĩc
với mặt đáy, hai mặt bên cịn lại đều hợp với mặt đáy các gĩc 600 Tính thể tích của khối chĩp S.ABC
A
3
3 12
S ABC
a
3
3 4
S ABC
a
3
3 4
S ABC
a
3
3 10
S ABC
a
V
Bài 35 Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tai A và D Biết AD = AB = a, CD = 2a,
cạnh bên SD vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SD = a Tính thể tứ diện ASBC theo a
.
1 12
S ABC
.
1 3
S ABC
.
3 6
S ABC
.
1 6
S ABC
V a
Bài 36 Cho hình chĩp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE
A
2 2
2 2
2
4
a b
d b
a b
2 2
2 2
4
a b
d b
a b
C
2 2
2 2
a b
d b
a b
D
2 2
2 2
2
a b
d b
a b
Bài 37 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0
60
BAD , SA vuơng gĩc mặt phẳng (ABCD),
SA = a Gọi C là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AC và song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chĩp lần lượt tại B, D Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD
A
3 ' ' '
3 8
S AB C D
a
3 ' ' '
3 3 16
S AB C D
a
3 ' ' '
3 18
S AB C D
a
3 ' ' '
5 18
S AB C D
a
Bài 38 Tính thể tích hình chĩp S.ABC biết SA = a, SB = b, SC = c, 0
60
ASB
12
S ABC
2
S ABC
32
S ABC
12
S ABC
Bài 39 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cĩ AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5 và BAC 1200 Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)
13
a
4
a
3
a
3
a
Bài 40 Cho hình hộp ABCD.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng, AB = AA = 2a Hình chiếu vuơng gĩc của A
lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy M là trung điểm của BC Tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng AM và
AC
A 1
3 15
Bài 41 Cho hình chĩp S.ABC cĩ mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy
Biết gĩc BAC = 1200, tính thể tích của khối chĩp S.ABC theo a
A
3
2 6
S ABC
a
3
2 36
S ABC
a
3
2 3
S ABC
a
3
2 16
S ABC
a
Bài 42 Tính thể tích của hình chĩp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuơng gĩc với
đáy, hai mặt bên cịn lại cùng tạo với đáy gĩc a
A
3 tan
16
S ABC
a
3 tan 6
S ABC
a
3 tan 14
S ABC
a
3 tan 26
S ABC
a
Trang 6Bài 43 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' cĩ A.ABC là hình chĩp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA = b Gọi
là gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) Tính thể tích của khối chĩp A.BBCC
A
2 2 2 ' ' '
6
A BB C C
B
2 2 2 ' ' '
3 3
A BB C C
C
2 2 2 ' ' '
3 2 6
A BB C C
D
2 2 2 ' ' '
3 6
A BB C C
Bài 44 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo với mặt đáy gĩc 60o Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N Tính thể tích khối chĩp S.ABMN theo a
A
3
3 16
S ABMN
a
3
3 6
S ABMN
a
3
2 3 15
S ABMN
a
3
7 3 16
S ABMN
a