ôn tập hình học không gian giải tích

Ôn tập hình học không gian giải tíchI.. Diện tích tứ giác: Cho tứ giác ABCD... Chú ý: +2 đường thẳng hoặc đường thẳng và mặt phẳng; hoặc 2 mặt phẳng “ song song” thì có cùng vectơ , “vuô

Ôn tập hình học không gian giải tích

I Một số công thức quan trọng :

1 Độ dài đoạn thẳng và độ dài của 1 vectơ (môđun của vectơ):

Cho A(x1,y1,z1) và B(x2,y2,z2) ta có: uuurAB= (x2 −x y1 , 2 −y z1 , 2 −z1 )

|uuurAB| =AB= (x −x ) + (y −y) + (z −z)

2 Tích vô hướng của hai vectơ:

Choar= ( , , ); x y z1 1 1 br= ( , , )x y z2 2 2 Ta có: a b x xr r = 1 2 +y y1 2 +z z1 2

Hai vectơ ar và br

vuông góc với nhau⇔a br r = 0

3 Côsin của góc giữa hai vectơ:

Choar= ( , , ); x y z1 1 1 br= ( , , )x y z2 2 2 Ta có: 2 1 22 21 2 2 1 22 2

cos( ,b)=a x x y y z z

r r

4 Côsin của góc giữa hai đường thẳng:

Cho 2 đường thẳng (∆ 1) và (∆2):

(∆ 1) đi qua M và có vectơ chỉ phương uur1= ( , , )x y z1 1 1

(∆ 2) đi qua N và có vectơ chỉ phương uuur2 = ( , , )x y z2 2 2

Ta có: 1 2 1 2 2 1 22 21 2 2 1 22 2

cos( , )=|cos(u ,u )|= x x y y z z

∆ ∆

uur uur

5 Côsin của góc giữa hai mặt phẳng:

Cho mặt phẳng (α ) và mặt phẳng (β)

(α ) có vectơ pháp tuyến nur1= ( , , )x y z1 1 1

(β) có vectơ pháp tuyến nuur2 = ( , , )x y z2 2 2

Ta có: 1 2 1 2 1 2

cos( , )=|cos( , )|=n n x x y y z z

ur uur

6 Sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng (∆) và mặt phẳng (α )

(∆) đi qua M và có vectơ chỉ phương ur = ( , , )x y z1 1 1

(α ) có vectơ pháp tuyến nr = ( , , )x y z2 2 2

sin( , )=|cos( ,n)|=u x x y y z z

∆

r r

7 Tích có hướng của hai vectơ:

Choar= ( , , ); x y z1 1 1 br= ( , , )x y z2 2 2 Ta có [ , ] (a br r = y z1 2 −y z z x2 1 ; 1 2 −z x x y2 1 ; 1 2 −x y2 1 )

8 Diện tích của tam giác:

2 uuur uuurAB AC = 2 uuur uuurAB AC − uuur uuurAB AC

9 Diện tích tứ giác:

Cho tứ giác ABCD Ta có : S=1|[ , ] |

uuur uuur

10.Thể tích tứ diện

Cho tứ diện ABCD Ta có : V=1|[ , ] |

uuur uuur uuur

11.Thể tích hình hộp

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Ta có : V=|[ uuur uuur uuurAB AD AA, ] ' |

12.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Cho điểm M(x0,y0,z0) và mặt phẳng ( ) α : ax+by+cz+d=0 Ta có:

0 0 0

( , ( )) ax by cz d

d M

α = + + +

+ +

13 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Cho điểm M(x0,y0,z0) và đường thẳng (∆) đi qua điểm A(x1,y1,z1) và (∆) có vectơ chỉ phương ur = ( , , )x y z1 1 1 Ta có ( , ( )) |[ , ] |

| |

AM u

d M

u

∆ =

uuuur r r

14.Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

Cho 2 đường thẳng (∆ 1) và (∆ 2) chéo nhau :

(∆ 1) đi qua M và có vectơ chỉ phương uur1

(∆ 2) đi qua N và có vectơ chỉ phương uuur2

Ta có: d(∆ 1,∆2)= 1 2

|[ , ] |

| [ , ] |

u u MN

u u

ur uur uuuur

ur uur

II.Phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

1 Phương trình đường thẳng trong không gian:

Cho đường thẳng (d): qua M(x , y , ) 0 0 0

ó vtcp u ( , , )

z





=

 r

a) Phương trình tham số của (d):

0 0 0

(d): , (t R)

x x at

z z ct

= +



 = + ∈



 = +



b) Phương trình chính tắc của (d): x x0 y y0 z z0

− = − = −

2 Phương trình mặt phẳng trong không gian:

Cho mặt phẳng (P): qua M(x , y , )0 0 0

ó vtpt ( , , )

z





=

 r ⇒ (P): (a x x− 0)+b y y( − 0)+c z z( − 0) 0=

Chú ý: +2 đường thẳng (hoặc đường thẳng và mặt phẳng; hoặc 2 mặt phẳng) “ song song” thì có cùng vectơ , “vuông góc” thì có vectơ khác loại

+ Tích có hướng của 2 vtpt cho ta 1 vtcp (“2 chỉ được 1 pháp”)

Ngược lại, tích có hướng của 2 vtcp cho ta 1 vtpt (“2 pháp được 1 chỉ”)

III Mối quan hệ giữa đường thẳng và đường thẳng; đường thẳng và mặt phẳng;

mặt phẳng và mặt phẳng trong không gian:

1) Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng (4 điểm lập thành 1 tứ diện):

Cho 4 điểm A, B, C, D Khi chứng minh 4 điểm này lập thành 1 tứ diện ta có 2 cách sau:

Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng (BCD) và thay tọa độ điểm A vào ta thấy không thỏa mãn

Cách 2: Chứng minh: [uuur uuur uuurAB AC AD, ] ≠ 0

2) Mối quan hệ giữa đường thẳng và đường thẳng:

Cho 2 đường thẳng (∆ 1) và (∆2):

(∆ 1) đi qua M và có vectơ chỉ phương uur1= ( , , )a b c1 1 1

(∆ 2) đi qua N và có vectơ chỉ phương uuur2 = ( , , )a b c2 2 2

( ) ( ) ( )

và

( ) ( )//( )

M

M

∈ ∆ ⇔ ∆ ≡ ∆



= =  ∉ ∆ ⇔ ∆ ∆

[ , ] =0 ( ) cát ( )

và [ , ] 0 ( ) chéo ( )

u u MN



≠ ≠ ÷ 





ur uur uuuur

ur uur uuuur

(∆ 1)⊥ (∆2)⇔u uur uur1. 2 = ⇔ 0 a a1. 2+b b1. 2+c c1. 2 = 0

Chú ý: Nếu 1 1 1

 

≠ ≠ ÷



 ta có thể lập hệ phương trình của (∆1) và (∆2)

+ Hệ có nghiệm thì (∆ 1) và (∆ 2) cắt nhau.

+ Hệ vô nghiệm thì (∆ 1) và (∆2) chéo nhau.

3) Mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng (∆) và mặt phẳng (α )

(∆) đi qua M và có vectơ chỉ phương ur = ( , , )a b c1 1 1

(α ) có vectơ pháp tuyến nr = ( , , )a b c2 2 2

* 0 và M ( ) ( ) ( )

* 0 và M ( ) ( )//( )

* 0 ( ) cat ( )

u n

u n

u n

α

≠ ⇔ ∆

r r

r r

r r

( ) ( )

a =b =c ⇔ ∆ ⊥ α

4) Mối quan hệ giữa mặt phẳng và mặt phẳng:

Cho mặt phẳng (α ) và mặt phẳng (β)

(α ):a x b y c z d1 + 1 + 1 + =1 0

(β):a x b y c z d2 + 2 + 2 + 2 = 0

( ) cat ( )

a ≠ b ≠ c ÷ ⇔ α β

 

( )// ( )

a =b =c ≠ d ⇔ α β

* a a1 2 +b b1 2 +c c1 2 = ⇔ 0 ( ) ( ) α ⊥ β

IV Phương trình mặt cầu trong không gian:

1 Phương trình mặt cầu dạng chính tắc:

có tâ I(x , y , )

ó bán kính R

c





2 Phương trình mặt cầu dạng khai triển (dạng tổng quát):

Cho phương trìnhx2 +y2 + +z2 2ax+ 2by+ 2cz d+ = 0

Nếu a2 + + − >b2 c2 d 0thì phương trình trên là phương trình mặt cầu (S) có

â I( , , )

án kính R=

− − −





+ + −



BÀI TẬP Bài 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết:

a) (d) đi qua A(3,2,6) và có vtcp: ur

=(2,-1,4)

b) (d) đi qua B(-2,-4,3) và song song với đường thẳng ( ) : 7 2 3

c) (d) đi qua C(1,3,-2) và D(0,-2,3)

d) (d) đi qua E(1,7,2) và vuông góc với mặt phẳng: ( ) : 2α x−3y+5z=0

e) (d) đi qua F(-2,1,5) và vuông góc với 2 đường thẳng sau:

1 2

( ) : 6 4 ( ) :

3

= +



 = −



f) (d) đi qua G(4,9,-6) và song song với 2 mặt phẳng sau:

( ) : α x y− + 2z+ = 2 0; ( ) : 3 α − + − − =x y z 1 0

g) (d) đi qua H(-1,-2,5) ; vuông góc và cắt đường thẳng 3

8 7 ( ) : 1 3

2

= −



 = +



 = − +



h) (d) vuông góc và cắt 2 đường thẳng: 1 2

1 2 ( ) : 6 4 ( ) : 2 3

∆  = − + ∆  = +

 = −  = +

i) (d) đi qua I(-2,5,0), vuông góc với đường thẳng ( ) ∆ và song song với mặt

phẳng( ) β : ( ) : 7 5 1 ( ): 9 5 6 7 0

β

−

j) (d) vuông góc với đường thẳng 3

( ) :

− , đồng thời (d) nằm

trong mặt phẳng ( ) β 1 : x+y-z-4=0 và đi qua J(1,1,-2)

k) (d) đi qua K(2,3,1) và cắt cả 2 đường thẳng:

1 3 ( ) : ( ) :

∆  = − ∆  =

 = − −  = −

l) (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng 6

1

= +





∆  = − +

 = −



trên mặt phẳng

2

( ) β : 2x+5y+7z-7=0

m) (d) đi qua giao điểm của 3 mặt phẳng: (P1): 2x-y+z-6=0; (P2): x+4y-2z-8=0; (P3): y=0 đồng thời vuông góc với giao tuyến của (P1) và (P2)

n) (d) cách đều 3 điểm L(1,2,3); M(-3,5,-8); N(-9,0,2)

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α biết:

a) ( ) α đi qua A(1,2,3); B(-1,2,5); C(-2,7,1)

b) ( ) α đi qua D(-4,6,2) và vuông góc với đường thẳng ( ) : 11 2

−

c) ( ) α đi qua E(7,6,1) và song song với 2 đường thẳng

d) ( ) α đi qua F(-4,5,2) và vuông góc với 2 mặt phẳng ( ) α 1 :x-8y+z-1=0 và ( ') α

: x+y+z=0

e) ( ) α đi qua G(0,1,1) và song song với mặt phẳng ( ) α2 : 3x-y-z-2=0

f) ( ) α đi qua 2 điểm H(4,1,7) và I(-5,2,2) đồng thời song song với đường thẳng

5 4 ( ) : 11 5

9 2

= − +



 = −



 = −



g) ( ) α đi qua 2 điểm J(-1,1,1); K(2,0,0) và vuông góc với mặt phẳng ( ) α 3 :x-y=0

h) ( ) α chứa đường thẳng ( ) : 2 1

3 2

x t

=



 = +



 = +



và song song với 3

2

1

= −



 = − +



 = −



i) ( ) α đi qua L(10,2,-5) và song song với đường thẳng ( ) :4 8 1 2

và vuông góc với mặt phẳng ( ) α 4 :4x-7y+z+9=0

j) Cho mặt phẳng (P) đi qua M(2,-2,1) và chứa đường thẳng

6

( ) :

d + = − = + Viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua N(1,4,2) và song song với (P)

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) thỏa:

a) (S) có tâm I(1,2,4) và có bán kính R=3

b) (S) có tâm J(-2,1,-5) và đi qua M(2,5,3)

c) (S) có đường kính AB với A(3,5,7); B(-1,-1,3)

d) (S) đi qua 4 điểm C(3,-2,-6); D(8,10,7); E(-9,1,3); F(6,2,-5)

e) (S) có tâm G(-5,3,2) và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) α :x+y+z+9=0

f) (S) tiếp xúc với 2 mặt phẳng ( ) : α 1 x y z+ − + = 7 0; ( ) : α 2 x y z+ − − = 9 0và có

tâm nằm trên đường thẳng

2 ( ) :

3 2

= −



 =



 = +



g) (S) tiếp xúc với 2 mặt phẳng ( ) : 2 α 3 x+ 3y z+ + = 7 0; ( ) : α 4 x+ 2y z− + = 8 0và có

tâm nằm trên đường thẳng 1

5 3 ( ) : 7 2

1

= −



 = − +



 = +



h) (S) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với 2đường thẳng:

( ) : 2 ( ) 2

 = − +  = +

 = +  = − +

Một số bài toán tổng hợp và bài thi:

Bài 1: Cho hai điểm A(3,2,-2); B(5,3,-5) và mặt phẳng (P): 2x+2y-z-3=0

a) Tìm hình chiếu của A trên (P)

b) Tính độ dài hình chiếu của AB trên (P)

c) Tìm M trên (P) sao cho AM+MB nhỏ nhất

d) Tìm M trên (P) sao cho |AM-MB| lớn nhất

e) Tìm M trên (P) sao cho vectơv AM BMr uuuur uuuur= + có độ dài nhỏ nhất

f) Tìm M trên (P) sao cho biểu thức T=3AM2-2BM2 có giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Cho ∆ABC với A(1,2,3); B(2,0,4); C(3,1,2)

a) Viết phương trình đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và vuông góc với (ABC)

b) Tính tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

c) Viết phương trình đường cao qua A của ∆ABC

d) Viết phương trình đường phân giác trong góc A của ∆ABC

e) Tính tọa độ trực tâm của ∆ABC

f) Tìm D thuộc đường thẳng (d): x=y=z sao cho thể tích tứ diện ABCD bằng 6