- Một số bài toán cơ bản hàm số: Giao điểm hai đồ thị, điểm cố định, các bài toán khác….. 2.Phương trình, hệ phương trình 2.1Phương trình bậc nhất:Giải và biện luận, phương tình quy phươ
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI MÔN TOÁN LỚP 10
NĂM HỌC 2013-2014 TRƯỜNG THPT BẮC THĂNG LONG
I.Nội dung chính
A ĐẠI SỐ
1.Hàm số:
- TXĐ , đơn điệu hàm số, chẵn lẻ hàm số
- Một số bài toán cơ bản hàm số: Giao điểm hai đồ thị, điểm cố định, các bài toán
khác…
- Dạng chuyển đổi đồ thị: y= f x y( ), = f x( )
- Hàm số bậc nhất: Tính đơn điệu, vẽ đồ thị hàm số , một số bài toán cơ bản về hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc hai: - Đơn điệu, vẽ đồ thị
- Các bài toán liên quan đế hàm số bậc hai:Lập Parabol, các bài toán đơn điệu, bài toán GTLN, GTNN…
2.Phương trình, hệ phương trình
2.1Phương trình bậc nhất:Giải và biện luận, phương tình quy phương trình bậc nhất 2.2:Phương trình bậc hai:- Giải và biện luận phương trình bậc hai, các bài toán liên quan định lý Viét.Phương trình quy bậc hai…
2.3.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, 3 ẩn, các hệ phương trình quy hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2.3.Hệ phương trình hai ẩn và quy về phương trình bậc hai
3.Bất đẳng thức: Các bất đẳng thức cơ bản: Trung bình cộng, nhân.Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức cơ bản…
B.HÌNH
1.Véc tơ: Các phép toán véctơ
2.Vận dụng chứng minh các đẳng thức véc tơ, biểu diễn véctơ
3.Hệ trục toạ độ và các bài toán liên quan
Trang 2NỘI DUNG THAM KHẢO HÀM SỐ
Bài 1.
Cho hàm số 32 3
1
y x
−
=
− (1) a.Tìm TXĐ hàm số (1) b.Tính chẵn lẻ hàm số (1)
2.Cho hàm số 2
y= x − x+ (2) a.Tìm TXĐ hàm số (2) b.Xét tính đơn điệu hàm số trên [1; +∞)
3.Cho hàm số 1
y x m
= − +
− − (3) Xác định m? sao cho hàm số xác định trên [− 2;1) .
4.Cho hàm số
1
2 1
ax 1
2
y
x
=
+ < −
a.Tính các giá trị hàm số tại x= − 2;1;2
b.Xác định a biết y( )− = 3 2
Bài 2.
Cho hàm số y=(2m+ 1)x m− + 3 (1)
1.Với m= 1.Xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị d của hàm số.Tính khoảng cách từ gốc toạ độ
O đến đường thẳng d
2.Xác định m sao cho
a Hàm số ( )1 đồng biến trên ¡ b Hàm số (1) nghịch biến trên ¡
c Đồ thị hàm số ( )1 đi qua điểm M(− 1;2) .
d.Tìm điểm cố định đồ thị hàm số (1) luôn đi qua
e.Xác định m sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng dlà lớn nhất
f.Xác định msao cho đồ thị hàm số (1)song song đồ thị hàm số d1 : 2x+ − =y 4 0
g Xác định msao cho đồ thị hàm số (1)vuông góc với đồ thị hàm số d2 :x+ − =y 4 0 h.Đồ thị hàm số ( )1 cắt y= 3x− 2 tại điểm nằm trên trục tung.
Trang 3g.Đồ thị hàm số ( )1 cắt y x= 2 − 3x+ 2 tại điểm nằm trên trục hoành.
i.Đồ thị hàm số ( )1 cắt trục Ox,Oy tại A B, sao cho
1 OA OB= 2.AB= 3OA
Bài 3
Cho Parabol ( )P , 2
y= x − x+ (1) 1.Xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị ( )P hàm số (1)
2.Dựa đồ thi ( )P , tìm m sao cho phương trình: 2
2x − 3x m+ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 2
x> −
3.Dựa đồ thị ( )P , xác định đồ thị hàm số y= 2x2 − 3x+ 1.Tìm msao cho phương trình
2
2x − 4x+ = 4 m có 4 nghiệm phân biệt.
4.Dựa đồ thị ( )P , xác định đồ thị hàm số y= 2x2 − 3x + 1.Tìm m sao cho phương trình
2 3
0 2
x − x m+ = có 3 nghiệm phân biệt.
5.Xác định m sao cho d y: = 2x m+ − 3 cắt đồ thị hàm số ( )1 tại hai điểm phân biệt
6.Xác định đường thẳng d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x= 1,x= 3
7.Xác định đường thẳng d đi qua (− 3;1) và tiếp xúc với ( P).
8.Xác định đường thẳng d song song với ∆ :y= 2x+ 1 và tiếp xúc với (P).
9.Tìm GTLN, GTNN hàm số trên [− 2;3]
10.Dựa đồ thị (P) xác định x? sao cho y> 0
Bài 4
Cho Parabol : 2 ( )
y= − +x m+ x+ m− a.Xác định m sao cho hàm số ( )1 nhận x= 3 là trục đối xứng.
b.Xác định m sao cho hàm số ( )1 đồng biến (−∞ ;1)
c.Xác định m sao cho hàm số ( )1 nghịch biến (− +∞ 2; )
d.Xác định m sao cho đồ thị hàm số ( )1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1 , 2
x x và thoả mãn x1(2x1 − + 1) x2(2x2 − = 1) 4
e.Xác định m sao cho GTLN hàm số ( )1 trên [− 2;2] bằng 6
f.Xác định m sao cho hàm số ( )1 GTLN hàm số trên TXĐ bằng 12
g.Tìm điểm cố định đồ thị hàm số (1) luôn đi qua
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình
Trang 4a 1+ 1 x− = x 2− b x 1 x 1+ = +
c x 1 1 x− = − d x2 − 1 x− = x 2 3− +
a x 3(x− 2−3x 2) 0+ = b x (x2− − =x 2) 0
x 2 = x 2 − −
2
x 1
x 1 x 1
Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
a (m² + 2)x – 2m = 2x + 3 b m(x – m) = x + m – 2
c m(x – m + 3) = m(x – 2) + 6 d m²(x – 1) + m = x(3m – 2)
e (m² – m)x = 2x + m² – 1 f (m + 1)²x = (2m + 5)x + 2 + m
g.mx m 1 3
x 2− + =
x m x 1
2
x 1 x m
− + − =
x m = x 1
+ + n (x+ 2m− 1 4) −x2 = 0
Bài 3 Cho phương trình (m² + 2m – 3)x = m – 1, tìm m để phương trình
a) Có nghiệm duy nhất b) Vô nghiệm c) Nghiệm đúng với mọi x
Bài 4 Giải và biện luận các phương trình sau:
a x² + 5x + 3m – 1 = 0 b 2x² + 12x – 15m = 0
c x² – 2(m – 1)x + m² = 0 d (m + 1)x² – 2(m – 1)x + m – 2 = 0
e (m – 1)x² + (2 – m)x – 1 = 0 f mx² – 2(m + 2)x + m = 0
Bài 5 Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
a x² + 5x + 3m – 1 = 0 b 2x² + 12x – 15m = 0
Bài 7 Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
a x² – 2(m – 1)x + m² = 0 b (m + 1)x² – 2(m – 1)x + m – 2 = 0
Bài 6 Xác định m để phương trình có nghiệm dương
a (m – 1)x² + (2 – m)x – 1 = 0 b x² – 4x + m + 1 = 0
Bài 7 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x² – x – 5 = 0 Không giải phương trình hãy tính A = x13+x32; B = x14+x42
Bài 8 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x² – 2x – 15 = 0 Không giải phương trình hãy tính A = x1−x2 ; B = (2x1+x )(2x2 2+x )1 .
Bài 9 Cho phương trình: x² – 2(2m + 1)x + 3 + 4m = 0 (*)
a Tìm m để (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập đối với m
c Tính theo m, biểu thức A = x13+x32
d Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia
e Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x , x12 22
Trang 5Bài 10 Cho phương trình: x² – 2(m – 1)x + m² – 3m = 0 (*).
a Tìm m để (*) có nghiệm x = 0 Tính nghiệm còn lại
b Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m
c Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12+x22 =8
Bài 11 Cho phương trình: x² – (m² – 3m)x + m³ = 0
a Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia
b Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1 Tính nghiệm còn lại
Bài 12 Cho phương trình: 2x² + 2x sin α = 2x + cos² α với α là tham số
a Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi số thực α
b Tìm α để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN Bài 13 Giải các phương trình sau:
a 2x 1 x 3− = + b 4x 7 2x 5 0+ − − = c x2 =3 x −2
d x2+6x 9+ − 2x 1 0− = e x2 −4x 5 4x 17 0− − + =
f x 1− − +x 2x 3 2x 4+ = + g x 1− + − =2 x 2x
h x2−2x 3 x− = 2+ 2x 3+ k x 3+ + − =7 x 10
m x2−2x+ − =x 1 1 n.x2 −2x 5 x 1 7 0− − + =
Bài 14 Tìm m sao cho phương trình mx 2− = +x 4 có nghiệm duy nhất
Bài 15 Giải các phương trình sau:
a 2x 3 x 3− = − b 5x 10 8 x+ = −
c x− 2x 5 4 0− − = d x2+ −x 12 8 x= −
e x2 +2x 4+ − 2 x 0− = f. 3x2−9x 1 x 2+ − − =0
g x2 −3x 10 x 2 0− − + = h (x 3) x− 2+ =4 x2−9
Bài 16 Giải các phương trình sau:
a x2 −6x 9 4 x+ = 2−6x 6+ b (x 3)(8 x) 26− − + = − +x2 11x
c (x 4)(x 1) 3 x+ + − 2 +5x 2 6+ = d (x 5)(2 x) 3 x+ − = 2+3x
e x2 + x2 +11 31= f x2−2x 8 4 (4 x)(x 2) 0+ − − + =
Bài 17 Giải các phương trình sau:
a x 1+ − x 1 1− = b 3x 7+ − x 1 2+ =
c x2 + −9 x2 − − =7 2 0 d 3x2 +5x 8+ − 3x2+5x 1 1+ =
e 31+ x +31− x − =2 0 f x2+ − +x 5 x2+8x 4 5− =
g 35x 7+ −35x 13 1 0− − = h 39− x 1+ + 37+ x 1 4+ =
Trang 6Bài 18 Giải các phương trình sau:
a x 3+ + 6 x 3− = + (x 3)(6 x)+ − b 2x 3+ + x 1 3x 2 (2x 3)(x 1) 16+ = + + + −
c x 1− + 3 x− − (x 1)(3 x) 1− − =
d 7 x− + 2 x+ − (7 x)(2 x) 3− + =
e x 1+ + 4 x− + (x 1)(4 x) 5+ − =
f 3x 2− + x 1 4x 9 2 3x− = − + 2 −5x 2+
g 3 2 x x+ − 2 =3 x 3 1 x+ −
h x + 9 x− = − +x2 9x 9+
Bài 19 Giải các phương trình sau:
a 2x 4 2 2x 5− + − + 2x 4 6 2x 5 14+ + − =
b x 5 4 x 1+ − + + x 2 2 x 1 1+ − + =
c 2x 2 2x 1 2 2x 3 4 2x 1 3 2x 8 6 2x 1 4− − − + − − + + − − =
Bài 20 Giải các phương trình sau:
a 1 2 10 50
x 2 x 3 (2 x)(x 3)
x 1 x 1 2x 1
0
x 2 x 2 x 1
+ + − − + =
c 2x 1 x 1
3x 2 x 2
+ = +
2 2
x 3x 5
1
x 4
− + = −
−
e 2x2 5x 2 2x2 x 15
x 3 4x 2 (x 1) (2x 1)
g x4 −5x2+ =4 0 h.x4+ −(x 1)4 =97
m.(x 2)(x 3)(x 1)(x 6)+ − + + = −36 n.x4+x3−4x2+ + =x 1 0
Bài 21 Tìm m để phương trình
a.x4 + −(1 2m)x2 +m2− =1 0 vô nghiệm
b.x4−(3m 4)x+ 2 +m2 =0 có 1 nghiệm duy nhất
c.x4 +8mx2 −16m 0= có đúng 3 nghiệm
Bài 22 Giải hệ phương trình sau
a 5x 4y 37x 9y 8− =
− =
2x y 11 5x 4y 8
+ =
− =
3x y 1 6x 2y 5
− =
− =
d ( )
2 1 x y 2 1
2x 2 1 y 2 2
3x y 1
x y 2 3
− =
+ = +
Trang 7Bài 23 Giải hệ phương trình sau
a
1 8
18
x y
5 4
51
x y
− =
+ =
b
1
x 1 y 2
2
x 1 y 2
c
7 0 2x y x 3y
1 0 2x y x 3y
d 2 x y x y 9
3 x y 2 x y 17
+ − − =
Bài 24 Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a mx (m 1)y m 1
2x my 2
mx (m 2)y 5 (m 2)x (m 1)y 2
c (m 1)x 2y 3m 1
(m 2)x y 1 m
(m 4)x (m 2)y 4 (2m 1)x (m 4)y m
e (m 1)x 2y m 12 2
m x y m 2m
− = +
mx 2y m 1 2x my 2m 5
+ = +
+ = +
Bài 25 Trong các hệ phương trình sau hãy tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
a (m 1)x 2y m 12 2
m x y m 2m
− = +
mx y 1
x 4(m 1)y 4m
− =
c mx y 3 3x my 2m 1 0+ − =
+ − + =
Bài 26 Trong các hệ phương trình sau hãy tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m
a mx 2y m 12x my 2m 5+ = +
+ = +
6mx (2 m)y 3 (m 1)x my 2
Bài 27 Giải hệ phương trình sau:
a
3x y z 1
2x y 2z 5
x 2y 3z 0
+ − =
− + =
− + + =
b
x 3y 2z 7 2x 4y 3z 8 3x y z 5
− + = −
− + + =
+ − =
Bài 28 Giải các hệ phương trình sau:
Trang 8a
x 4y 8
x 2y 4
+ =
2
x xy 24 2x 3y 1
− =
− =
c
2
(x y) 49
3x 4y 84
+ =
x 3xy y 2x 3y 6 0 2x y 3
− =
e 3x 4y 1 0
xy 3(x y) 9
− + =
= + −
2x 3y 2
xy x y 6 0
+ =
+ + + =
g
2
y x 4x
2x y 5 0
+ =
+ − =
2x 3y 5 3x y 2y 4
+ =
Bài 29 Giải và biện luận hệ phương trình sau:
a x y 62 2
+ =
+ =
x y m
x y 2x 2
+ =
3x 2y 1
− =
+ =
Bài 30 Giải các hệ phương trình sau:
a x xy y 112 2
x y xy 2(x y) 31
+ + =
+ − − + = −
xy x y 5
+ + =
+ + + =
c
x y 13
y x 6
x y 6
+ =
+ =
d
x x y y 17
x y xy 5
+ + =
e ( ) ( )
2 2
2
x y
+ =
2 1
x y
x y xy
Bài 31 Giải và biện luận hệ phương trình sau:
a x y xy m2 2
x y 3 2m
+ + =
+ = −
x y m 1
x y xy 2m m 3
+ = +
Bài 32 Giải hệ phương trình sau:
a
2
2
x 3x 2y
y 3y 2x
= +
= +
x 2y 2x y
y 2x 2y x
3 3
x 2x y
y 2y x
= +
= +
d
y
x 3y 4
x x
y 3x 4
y
− =
− =
e
2 2 2 2
y 2 3y
x
x 2 3x
y
=
+
=
f
2
2
1 2x y
y 1 2y x
x
= +
= +
Bài 33 Giải và biện luận hệ phương trình sau:
Trang 9a
2
2
x 3x my
y 3y mx
= +
= +
x(3 4y ) m(3 4m ) y(3 4x ) m(3 4m )
2 2
xy x m(y 1)
xy y m(x 1)
Bài 34 Giải hệ phương trình sau:
a
3x xy 3y 13
− + = −
2
y 3xy 4
x 4xy y 1
c
x 2xy 3y 9
x 4xy 5y 5
3x 8xy 4y 0 5x 7xy 6y 0
Bài 35 Giải và biện luận hệ phương trình sau:
a
x (m 1)xy my m
2 2
xy y 12
x xy m 26
− =
− = +
2
x 4xy y m
y 3xy 4
BẤT ĐẲNG THỨC
1.Tìm GTNN hàm số 2 1
1
x
= + >
+ 3.Tìm GTLN, GTNN hàm số 2
4
y x= − −x
4.Tìm GTLN, GTNN hàm số ( 2 ) ( ) ( ) [ ]
y= x − x+ x+ x∈ − 5.Cho các số thực x y z, , > 0.CMR
a x4 +y4 +z4 ≥xyz x y z( + + )
b
2
y z z x x y
+ +
c
yz
x y z
zx xy
+ + ≥ + +
6.Cho a > 1; b > 1 Chứng minh: a b− + 1 b a− ≤ 1 ab.
7 Cho a, b, c là các số dương Chứng minh:
a b c m n N
2a b c a 2b c a b 2c 4 a b c
8.Cho x y z, , thoả mãn : x+ 2y+ 3z= 5.Tìm GTNN của 2 2 2
P x= + y + z
9.Cho x y z, , > 0 , xy yz+ + 2zx= 1.Tìm GTLN, GTNN của 2 2 2
2
P x= + y +z
Trang 1010 Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
3.
x +y +z ≤ Tìm GTNN của biểu thức:
.
P
HÌNH Bài 1.Cho tam giác MNP có MQ, NS, PI lần lượt là trung tuyến của tam giác Chứng minh
rằng:
a.MQ+NS+PI =0
b.Chứng minh rằng hai tam giác MNP và tam giác SQI có cùng trọng tâm
c.Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua N; N’ là điểm đối xứng với N qua P; P’ là điểm đối xứng với P qua M Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có:
OP' OM' ON'
OP OM
Bài 2.Cho tam giác ABC Gọi I là điểm thoã mãn BIuur= 23BCuuur, E là trung điểm của AI
1.Chứng minh: 1 1
2.Chứng minh: 3EA EBuuur uuur+ + 2uuur rEC= 0 3.Gọi O là điểm thoã mãn: 3OAuuur+ 2OBuuur+ 4OCuuur r= 0, G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh: a.OG//BC b.A; O; I thẳng hàng
c Cho điểm J thoã mãn: 6uurJA− 2JB JCuur uuur r− = 0 Tìm điểm M trên BC để J; A; M thẳng hàng 4.Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau
a MAuuur+ 2MBuuur = 3 b (MA MB MC MAuuur uuur uuuur uuur+ )( + ) = 0
Bài 3 Cho tam giác ABC có trọng tâm G và 2 điểm M, N thỏa mãn
MA = 2MB và 3NA + 2NB = 0.
Trang 11a.Tính MN theo AB và AC.uuuur uuur uuur b.Tính MG theo AB, AC.uuuur uuur uuuur Từ đó suy ra 3 điểm M, N, G thẳng hàng
c.Chứng minh rằng với điểm I tùy ý ta có 2 2 2 2 2
Bài 5.Cho hình thang cân ABCD có đáy AB, CD · 0
AB a CD= = a BDA= a.Tính độ dài đường cao hình thang
b.Tính tích vô hướng : uuur uuurAB AD. , uuur uuurAD BC. , uuur uuurAC BD. , uuur uuurAB CD.
c.Gọi M là trung điểm AD.Tính BM ADuuuur uuur. , BC BMuuuruuuur.
d.Tính uuur uuurAC AD. Hỏi AC⊥ AD không
Bài 6: Trên mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A( ) ( ) (5 ; 0 , B 2 ; 6 ,C − 3 ; − 4)
1.Chứng tỏ: 3 đỉnh A, B, C là 3 đỉnh của tam giác.Tính cos B
2.Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
3 Chứng minh tam giác ABC vuông tại A Tính diện tích tam giác đó
4.Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
5.Tìm toạ độ điểm M Oy∈ sao cho MAuuur+ 2MBuuur = 4
6.Tìm toạ độ điểm E∈ Oy sao cho tứ giác ABCE là hình thang có đáy AB, CE
7.Tính uuur uuur uuurAB(2AC BC+ )
Bài 7.Cho tam giác ABC , (1; 1 ,) (2; 3 ,) 1; 2
3
A − B − G −
( G là trọng tâm tam giác ABC). a.Xác định toạ độ đỉnh C b.Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC
c.Tìm tạo độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trang 12d.Tìm hình chiếu A trên BC
e Tìm toạ độ điểm M biết MAuuur+ 3MB MCuuur uuuur r− = 0
f.Tìm M Oy∈ sao cho A M C, , thẳng hàng
Bài 8.Cho tam giác ABC có A( ) (1;2 ,B 1; 1 , − ) (C − 2;3)
a.Tìm M ∈BC biết AM = 2
b.Gọi E là trung điểm AB.I là điểm nằm trên AC.Xác định I biết BI ⊥CE
c.Tìm toạ độ điểm F biết 2 2
FA +FB bé nhất
d.Tìm D biết ABCD là hình thang cân có đáy AB, CD
Bài 9.Cho 4 điểm A(− 1;1 ,) ( ) (B 0;2 ,C 2; 3 , − ) (D − − 3; 2)
a.Tính 1 (uuurAC+ 2uuur uuur uuurBD AB BD)( − ) 2 uuurAC+ 2uuurAD
b.Tìm toạ độ điểm M biết MA MC MDuuur uuuur uuuur r+ + = 0
c.Biểu diễn uuurAD theo hai véctơ uuur uuurAB AC,
d Tìm giao điểm AC BD,
Bài 10.Cho tam giác ABC, các điểm M(− 1;1 ,) (N 0; 2 , − ) ( )K 1;0 là các trung điểm các cạnh , ,
AB AC BC
a.Xác định toạ độ các đỉnh tam giác ABC
b.Xác định toạ độ trọng tâm tam giác ABC, tam giác MNK
c.Tính uuur uuurAK BC.