Nguyên hàm tích phân

Phương pháp tích phân từng phần: Từ công thức đạo hàm của hàm tích suy ra: Zudv = uv ư Zvdu.. Lưu ý:Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta cần tuân thủ nguyên tắc sau: • Lựa chọn

Lưu ý:C¸c dÊu hiÖu dÉn tíi viÖc lùa chän biÕn phô:

1cos2t +

2sin t cos t)dt.

4 cos 2tsin22t =

4p1 − sin22tsin22t

sin 2t

r1sin22t − 1 = 4x√x2− 1

tg t = sin tcos t =

1 − cos 2tsin 2t =

1sin 2t−

r1sin22t − 1 = x −√x2− 1

Ví dụ 3.Tính tích phân bất định: I =

Z

dxp(1 + x2)3

• Bước 4:Khi đóI = g(t)dt.

Lưu ý:Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn biến phụ:

Z(1 ư1

Z(t7ư t4)dt = 3

t2ư 1 = ln

t ư 1

t + 1

+ C = ln

+ C

(1 − α)(x + a)α+1 + CZ

dx(ax + b)α = 1

(ax + b)α−1 + b

2

(ax + b)α



(iii) b2− 4ac > 0 : ax2+ bx + c = a(x − x1)(x − x2).

a(x − x1)(x − x2) Phân tích thành tổng

1(x − x1)(x − x2) =

1

x2− x1

1

x − x2

x − x1



(i) b2− 4ac > 0 :lúc đó ax2+ bx + c = a(x − x1)(x − x2) nên

f (x) = a1x

2+ b1x + c1(x − α)a(x − x1)(x − x2) =

vớiA, B, C là các hằng số, xác định đ−ợc nhờ phép đồng nhất

(ii) b2− 4ac = 0 : ax2+ bx + c = a(x − x0)2 nên

Ví dụ Tính I =

Z 1

0

(x2+ 2)dx(x + 1)(x2+ 4x + 4).

(a − b)2

1

(x + a)2 −

1

VÝ dô 1 TÝnh I =

Z 1

0

dx(x + 3)2(x + 1)2

lµ nguyªn hµm cñaf (x) = 2

√2(x2− 1)

2 + 1

= ln5 + 2

√5

√ 2

√ 3

Z π3

0

cos tdtcos4t =

Z π3

0

cos tdt(1 − sin2t)2

Tiếp tục đổi biếnu = sin t, ta đ−ợc

I =Z

√ 3

0

du(u + 1)2(u − 1)2 = 1

4

ln

u + 1

u − 1

u1− 1

 

√ 3 2

1 + x2 = t

2+ 12t .

www.vietmaths.com

1 + x2dx = t

2+ 12t · t

2+ 12t2 dt = 1

I = 14Z

√ 3+2



√ 3+2

1

C3 TÝch ph©n tõng phÇn, ta ®−îc

I = x2

§æi biÕnt = √3

3x + 1 =⇒ t3 = 3x + 1 =⇒ 3t2dt = 3dx

I = 13

§æi biÕnt =√

x + 1 +√

x + 8 =⇒ dt =

1

ViÕt l¹i I =

Z 3

2

dx(x − 1)(4 − x)
3.

Ta t×m nguyªn hµm x = a + (b − a) sin2t, 0 ≤ t ≤ π

2.

x = 1 + 3 sin2t =⇒ dx = 2 sin 2tdt

dxq

Suy ra nguyªn hµm lµ −1

9cotg 2t = −

5 − 2x2p(x − 1)(4 − x).

= ln(1 +√

2) − ln 1

2 +

√5

2
= ln2 + 2

√2

1 +√

5 .

www.vietmaths.com

dx = 4t

2− 2(t2− 1)

2+ 24t2 dt = t

2+ 12t2

VËy I = 1

2Z

√ 2+1

√ 2−1

√ 2+1

√ 2−1

√ 2−1

1 − x2

x2 dx

Z 4

√ 7

dx

x√

x2 + 9Z

√ 3

2ln |1 +

√2| − 1

2ln |1 +

√2| − 1

2

√ 3

C1 Ta cã

1 =

cosπ4cosπ4

=

cos x +π

4
− x

√22

√

2 ln 2

C2

I =√2

Z π4

0

dxcos x(sin x + cos x) =

√2

Z π4

0

dxcos2x(1 + tg x)

Z π4

0

1 + cos x − sin xsin x + cos x
dx = π

Ví dụ 3 Tính I =

Z π3

π 6

sin2xcos6xdx.

I =

Z π3

π 6

tg2x ã 1cos4xdx =

Z π3

π 6

= 12

= 2

Z 4π3

π

d tgx4

tgx4

= 2 ln

tgx4

= tg x2

2 + cos

x2

2 + cos

x2