Đại số lớp 9 biến đổi phân thức

CHUYN Ề I: BIẾN ỔI PHN THỨC ẠI SỐ BI 1: TNH CHẤT C BẢN CỦA PHN THỨC

1 Luỹ thừa của một số hữu tỷ:

a) Tnh chất:

n

a a a aa (n N) a0 = 1, a1 = a (a 0)

(n thừa số a)

.

a a a (m, n N ) am:an = am-n (m, n N,m n)

n

y

b) V dụ:

3x5 5x2 = 15x5+2=15x7

15m9 : 3m7 = 5m2

2 Nhn n thức với a thức:

a) Cng thức:

b) V dụ:

1 5x(3x2 - 4x + 1) = 5x ( 4x) + 5x.1 = 15x3 – 20x2 + 5x

2 (2 3 5) 3 - 6 5 3 4 15 = 6 + 15 2 15 = 6 15

3 Nhn a thức

a) Quy tắc một a thức với một a thức ta nhn lần lợt từng số hạng của

a thức ny với a thức kia rồi cộng tổng cc tch vừa tm ợc

b) Cng thức

c) V dụ:

1 (x - 2)(6x2 - 5x + 1) = x.6x2 + x(-5x) + x.1 + (-2)6x2 + (-2)(-5x) + (-2).1

= 6x3 - 5x2 + x - 12x2 + 10x - 2 = 6x3 - 17x2 + 11x - 2

2 (1 - x )(1 + x x ) = 1 + x x x x x x x = 1 x x

4 Chia a thức cho n thức:

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD A(B + C) = AB + B - C) = AB – AC

* Quy tắc: Muốn chia a thức A cho n thức B (trờng hợp cc hạng tử của a thức

A ều chia hết cho n thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng cc kết quả với nhau

V dụ:

(15x2y3 + 12x3y2 - 10 xy3) : 3xy2

= (15x2y3 : 3xy2) + (12x3y2 : 3xy2) + (-10xy3 : 3xy2)

= 5xy + 4x2 -

3

10

y

5 Chia a thức một biến  sắp xếp

V dụ: Thực hiện php chia:

1 2

(6x 13x 5) :(2x 5)

Giải:

2

6x 13x 5 2x 5

- ( 2

6x 15x)

2x 5

- ( 2x 5)

0

3x 1

2 Sắp xếp a thức sau theo lu dần của biến rồi thực hiện php chia:

(12x 14x 3 6x x )

và 2

x x x x 2

4 1

x x

- ( 4 3 2

4

x x x )

3 2

2x 11x 14x 3

- ( 3 2

2x 8x 2x) 2

3x 12x 3 2

(3x 12x 3)

0

2

2 3

x x

6 Tnh chất c bản của phn thức:

a) ịnh ngha phn thức ại số:

Phn thức ại số (hay phn thức) c dạng A

B , trong  A, B l cc a thức v B khc a thức 0

V dụ: 5

2

2

8

6

y

x

y

x

; 1

x + 2

b) Phn thức bằng nhau:

V dụ: x +12 1

x 1 x -1 vì (x +1)(x - 1) = x2 - 1

c) Tnh chất c bản của phn thức:

d) Quy tắc ổi dấu:

1 ịnh ngha:

Phn tch a thức thn ( ay thừa số) l biến ổi a thức  thnh một tch của những a thức

V dụ:

a) 2x2 + 5x - 3 = ( )

b) x - 2 x y +5 x - 10y = [( x )2

– 2 y x ] + (5 x - 10y)

= x ( x - 2y) + 5( x - 2y)

= ( x - 2y)( x + 5)

2 Cc phng php phn tch a thức thnh nhn tử

a) Phng php ặt nhn tử chung :

Nếu tất cả cc hạng tử của a thức c một nhn tử chung th a thức  ợc biểu diễn thnh một tch của nhn tử chung với một a thức khc

Cng thức:

V dụ:

B D nếu AD = BC

A A.M

=

B B.M;

A A:N

=

B B:N (M 0; N 0; B

;

AB + AC = A(B + C)

1 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)

2 3x + 12 x y = 3 x ( x + 4y)

b) Phng php dng hằng ẳng thức:

Nếu a thức l một vế của hằng ẳng thức ng nhớ no  th c thể dng hằng ẳng thức  ể biểu diễn a thức ny thnh tch cc a thức

* Những hằng ẳng thức ng nhớ:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2

A2 - B2 = (A + B)(A - B)

(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3

A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2)

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

V dụ: Phn tch cc a thức sau thnh nhn tử:

1 x2 – 4x + 4 = x 2 2

2 2

9 ( 3)( 3)

x x x

(x y) (x y) (x y) (x y) ( (x y) 2 2x y 4xy

(x y) (x y) y (x 2xy y ) 4xy

c) Phng php nhm

Nhm mộ g a một a thức một cch thch hợp ể c thể ặt ợc nhn tử chung h hằng ẳng thức ng nhớ

V dụ:

1 x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2 – 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)

= (x – 2y)(x + 5)

2 x - 3 x + x y – 3y = (x - 3 x ) + ( x y – 3y)

= x ( x - 3) + y( x - 3)= ( x - 3)( x + y)

d Phng php tch một hạng tử:(trờng hợp ặc biệt của tam thức bậc 2 có

nghiệm)

Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c (a 0) nếu

1 2

1 2

b b ac

V dụ:

a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1

= 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1)

b)

e Phng php thm, bớt cùng một hạng tử:

Ví dụ:

a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2

= (y2 + 8)2 - (4y)2

= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)

b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x

= (x + 2)2 - 2 x 2= x 2 x 2 x 2

g Phng php phối hợp n ng php:

V dụ:

a) a3 - a2b - ab2 + b (a - b)

=(a - b) (a2 - b2)

= (a - b) (a - b) (a + b)

= (a - b)2(a + b)

3 3

(3 )

x y

BÀI 3: QUY ỒNG MẪU NHIỀU PHN THỨC

1 Quy tắc quy ồng mẫu nhiều phn số:

Bớc 1: Tm một bội chung của cc mẫu (thờng l BCNN) ể lm mẫu chung

Bớc 2: Tm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cch chia mẫu chung cho từng mẫu) Bớc 3: Nhn tử v mẫu của mỗi phn số với thừa số phụ tng ứng

V dụ: Quy ồng mẫu cc phn số sau: 5 à 7

12v 30

* Bớc 1: Tm BCNN (12;30) = 60

* Bớc 2: Tm thừa số phụ của mỗi mẫu: 60:12=5

60:30=2

* Bớc 3: Nhn tử v mẫu của phn số với thừa số phụ t

5 5.5 25

12 12.5 60

7 7.2 14

30 30.2 60

2 Quy ồng mẫu nhiều phn thức:

Muốn quy ồng mẫu nhiều phn thức ta ể lm nh sau:

- Phn tch cc mẫu thức thnh nhn i tm mẫu thức chung

- Tm nhn tử phụ của mỗi

- Nhn cả tử v mẫu của ỗ thức với nhn tử phụ tng ứng

V dụ: Quy ồn ức của 3

x

4

x x

* Bớc 1: Tm MTC

- Phn tch cc mẫu thnh nhn tử

2x +4 = 2(x + 2)

x2 - 4 = (x - 2) (x + 2)

- MTC là: 2(x - 2) (x + 2)

* Bớc 2: Tm nhn tử phụ của mỗi mẫu

+) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2)

+) 2(x - 2)(x + 2): (x2 - 4) = 2

* Bớc 3 : Nhn cả tử v mẫu của phn thức với nhn tử phụ tng ứng

3 2

x x

2

2 3

4 ( 2)( 2) 2 2 2

x

BÀI 4: PHP CỘNG, PHP TRỪ CC PHN THỨC ẠI SỐ

1 Cộng hai phn thức cng mẫu:

* Quy tắc: Muốn cộng hai phn thức c cng mẫu thức, ta cộng cc tử thức với nhau v giữ nguyn mẫu thức

V dụ: Tnh:

a)

3

2 6

3

4 4 6

3

4 4

6

3

2 2

x x

x x x

x x

x

b)

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

.

2

2 2

x

x x

x

x x

x

2

2 2

x

2 Cộng hai phn thức khn mẫu:

* Quy tắc: Muốn cộng hai c mẫu thức khc nhau, ta quy ồng mẫu thức rồi cộng cc ph thứ ẫu thức vừa tm ợc

V dụ:

36

6

12

y

y

+

MTC: 6y(y - 6)

36

6

12

y

y

+

y

y 6

6

) 6 ( 6

12

y

y

+

) 6 (

6

y

y = (y -12)y

6y(y-6) + 6.6

6 (y y 6)

=

) 6 ( 6

36 12

2

y y

y y

=

) 6 ( 6

) 6

y y

y

=

y

y

6 6

*Ch : Php cộng phn thức c cc tnh chất sau:

- Tnh chất giao hon: A C C A

- Tnh chất kết hợp: A C E A C E

B

C A B

C B A

3 Php trừ cc phn thức ại số:

*Quy tắc: Muốn trừ phn thức

B

A

cho phn thức

D

C

, ta cộng

B

A

với phn thức ối của

D

C

V dụ:

a)

1

3

2

x

x

- x2 1

x x ( 1 )

) 3 (

2

x

x

( 1)

x

x x

3

( 1)( 1)

x

( 1) ( 1)

x

x x

( 3) ( 1)( 1)

( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x

2

( 1)( 1)

x

b)

2

3

x

x

-

) 3 (

2

x

2

x

x

3

2

( 3 )( 3 )

( 2)( 3 )

x

( 2)( 3 )

x

2

7 2 ( 2)( 3 )

x

V dụ:

a)

4

1 )

2 )(

2 (

) 1 )(

1 ( 2

1

.

2

1

2 2

x

x x

x

x x x

x

x

x

b)

1

3 )

1 )(

1 (

) 3 )(

3 ( 1

3

1

3

2 2

x

x x

x x x

x

x

x

2 Phép chia các phn thức ại số:

V dụ:

B

A

-

D

C

=

B

A

+

D C

D B

C A D

C B

A

.

. (B; D ≠ 0)

: ( , , 0)

a)

1

7 1

2 2

7 2

1 :

2

7

x

x x

x x x

x

x

x

(x -2, x -1)

2 2

2

2

) 2 ( ) 2 (

) 1 ( ) 1 (

2 1

2 :

2

x

x x

x

x x

x

x x

x x

x

x

x

(x 1, x - 2)

3 Biến ổi biểu thức hữu tỉ:

- Biểu thức hữu tỉ l biểu thức c chứa cc php ton cộng, trừ, nhn, chia cc phn thức ại số

- Biến ổi một biểu thức hữu tỉ thnh một phn thức l sử dụng cc quy tắc cộng, trừ nhn, chia cc phn thức ại số ể biến ổi một biểu thức hữu tỉ thnh một phn thức

BÀI 6: BIẾN ỔI N GIẢN BIỂU THỨC

CHỨA CN THỨC BẬC HA

CC CNG THỨC C BẢN

A A 0 b, A.B 0,B 0

c, A A A 0,B 0

B B d A B B 0

A B A B A 0, B 0 ; A B A B A 0, B 0 ;

b) A 1 AB AB 0, B

c) A A B

B

d) C C A B A 0, B 0, A B

A B

C

A 0, B 0, A B

A B