Một số trọng điểm về nhóm hữu hạn

PHẦN I: MỞ ĐẦU1 Lý do chọn đề tài Nhóm là khái niệm cơ bản của đại số hiện đại nói chung, của đại số giao hoán nói riêng và có vai trò quan trọng trong việc xây dựng lênnghành đại số, đặ

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành trước sự cổ vũ, động viên và

giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo - Ths Nguyễn Đình Yên - người đã

trực tiếp hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em có thể hoànthành sớm đề tài

Em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn đến Ban giám hiệu nhà trường, phòngQuản lí khoa học, các thầy cô trong khoa Toán - Lí - Tin, các phòng banchức năng trường Đại Học Tây Bắc, cùng các bạn sinh viên lớp K52 ĐHSPToán đã tạo điều kiện giúp đỡ cho em trong suốt quá trình nghiên cứu

Hy vọng rằng đề tài này có thể làm tài liệu tham khảo cho những bạnsinh viên yêu thích bộ môn Đại Số hoặc muốn tìm hiểu thêm về nhóm

Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi sự thiếu sót, em rất mong

sự đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn độc giả để đề tài được hoànthiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2015

Hà Thị Tình

MỤC LỤC

PHẦN II NỘI DUNG

1.1 Khái niệm 61.2 Tính chất .6

2.1 Quan hệ thứ tự 72.2 Bổ đề Zorn 8

3.1 Khái niệm 83.2 Tính chất 10

4.1 Khái niệm 114.2 Tính chất 114.3 Tập sinh 12

5.1 Lớp ghép 125.2 Nhóm con chuẩn tắc 13

6.1 Khái niệm 156.2 Tính chất 166.3 Ảnh và hạt nhân 16

8.1 Khái niệm 208.2 Tính chất 20

9.1 Khái niệm 219.2 Cơ sở của nhóm Abel 21

Chương II: MỘT SỐ TRỌNG ĐIỂM VỀ NHÓM HỮU HẠN 24

1.1 Khái niệm 241.2 Tính chất 24

1.3 Nhúng các nhóm vào nhóm đối xứng .27

2.1 Phép thế chẵn, phép thế lẻ 282.2 Nhóm thay phiên 29

3.1 Quan hệ liên hợp 313.2 p-nhóm 32

4.1 Khái niệm 334.2 Các định lí Sylow 33

5.1 Khái niệm 385.2 Tính chất 38

6.1 Khái niệm 396.2 Định lý 40

7.1 Khái niệm 407.2 Tính chất 41

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhóm là khái niệm cơ bản của đại số hiện đại nói chung, của đại

số giao hoán nói riêng và có vai trò quan trọng trong việc xây dựng lênnghành đại số, đặc biệt là trong lý thuyết số và lý thuyết phương trình đại

số như định lý thặng dư Trung Hoa là một ví dụ về ứng dụng của nhómtrong lý thuyết số

Một số trọng điểm về nhóm hữu hạn đã được trình bày trong một

số sách và giáo trình nhưng chủ yếu các tác giả đều viết dưới dạng tổngquát, thậm chí có một số khái niệm và tính chất chưa được giới thiệu Trongchương trình Đại số, sinh viên đã được tiếp cận tìm hiểu về lý thuyết nhómsong thời lượng không nhiều trong khi khối lượng kiến thức khá lớn nênnhiều tính chất, định lý, mệnh đề không được chứng minh chi tiết mà phảicông nhận Bên cạnh đó tài liệu tham khảo về các lĩnh vực của nghành Đại

số lại không nhiều Điều đó gây khó khăn cho sinh viên tự học tự nghiêncứu

Là sinh viên nghành Toán với mong muốn tìm hiểu thêm về đại sốhiện đại và phát triển những cấu trúc cơ bản đã được học được cũng như

nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc đó, em đã chọn đề tài "Một số trọng

điểm về nhóm hữu hạn" Em hi vọng với sự cố gắng của mình đề tài

này có thể làm tài liệu tham khảo cho những sinh viên yêu thích môn Toán

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một số trọng điểm về nhóm hữu hạn

Trình bày một cách hệ thống và đầy đủ các tính chất, định lí và chứngminh chi tiết

Nâng cao kiến thức của bản thân, chuẩn bị tốt nhất cho vấn đề họcnâng cao tiếp theo nếu có thể

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Sưu tầm tài liệu, nghiên cứu tài liệu và hệ thống lại những khái niệm,tính chất

Trình bày thành tập tài liệu về một số trọng điểm về nhóm hữu hạn

4 Đối tượng nghiên cứu

Một số trọng điểm về nhóm hữu hạn, các khái niệm, định lí, tính chấtcủa nhóm hữu hạn

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu.

Trao đổi với giáo viên hướng dẫn

6 Giới hạn, phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu là những vấn đề trọng điểm về nhóm hữu hạn,định nghĩa, tính chất, định lí của nhóm hữu hạn

7 Cấu trúc của đề tài

Phần I: Mở đầu

Phần II: Nội dung

Chương I: Một số kiến thức cơ sở

1 Quan hệ tương đương

Khóa luận trình bày một cách có hệ thống các kiến thức có liên quan

và một số trọng điểm về nhóm hữu hạn Khóa luận là tài liệu tham khảo

có giá trị cho các bạn quan tâm đến vấn đề trên

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1 Quan hệ tương đương

1.1 Khái niệm.

Giả sử X là một tập hợp Mỗi tập con R của tập hợp tích X × X được gọi là một quan hệ hai ngôi trên X Nếu (x, y) ∈ R trong đó x, y ∈ X, thì

ta nói x có quan hệ R với y và viết xRy

Chẳng hạn, nếu R = {(x, y) ∈ Z × Z : x − y chia hết cho 2 }, thì xRy nếu và chỉ nếu x và y cùng lẻ hoặc cùng chẵn Trong một ví dụ khác, nếu R’ = {(x, y) ∈ R × R : x - y ≤ 0} thì xR’y nếu và chỉ nếu x ≤ y.

Định nghĩa 1 Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là một quan hệ tương

đương nếu nó có 3 tính chất sau đây:

(a) Phản xạ: xRx, ∀x ∈ X.

(b) Đối xứng: Nếu xRy, thì yRx, ∀x, y ∈ X.

(c) Bắc cầu: Nếu xRy, yRz, thì xRz, ∀x, y, z ∈ X.

Các quan hệ tương đương thường được kí hiệu bởi dấu ∼ Trong hai ví

dụ ở trên, quan hệ cùng lẻ hoặc cùng chẵn là một quan hệ tương đương,còn quan hệ ≤ thì không tương đương.

Nếu ∼ là một quan hệ tương đương trên X, thì lớp tương đương ( theo

quan hệ ∼ ) của một phần tử x ∈ X được định nghĩa như sau:

[x] = {y ∈ X : x ∼ y} ⊂ X

1.2 Tính chất.

Bổ đề 1 Giả sử ∼ là một quan hệ tương đương trên X Khi đó, với mọi

x, y ∈ X , các lớp [x] và [y] hoặc rời nhau, hoặc trùng nhau.

Chứng minh Giả sử [x] ∩ [y] ̸= ∅ Ta phải chứng minh [x] = [y].

Lấy một phần tử z ∈ [x] ∩ [y] ta có x ∼ z và y ∼ z.

Do tính đối xứng của quan hệ tương đương, x ∼ z kéo theo z ∼ x Giả

sử t ∈ [x], tức là x ∼ t Do tính bắc cầu, z ∼ x và x ∼ t kéo theo z ∼ t Tiếp theo, y ∼ z và z ∼ t kéo theo y ∼ t Nghĩa là t ∈ [y] Như thế ta đã chứng tỏ rằng [x] ⊂ [y] Do vai trò như nhau của [x] và [y], ta cũng có bao hàm thức ngược lại, [y] ⊂ [x] Vậy [x] = [y].

Do bổ đề này, ta có thể dùng từ " lớp tương đương " để chỉ lớp tươngđương của bất kì phần tử nào trong lớp đó

Định nghĩa 2 Mỗi phần tử của một lớp tương đương được gọi là một đại

biểu của một lớp tương đương đó.

Định nghĩa 3 Một phân hoạch của tập X là một họ các tập con của nó

{ X i : i ∈ I } sao cho

X =∪

i ∈I

X i , X i ̸= ∅, X i ∩ X j = ∅ (∀i ̸= j)

Mệnh đề sau đây mô tả ứng dụng cơ bản của quan hệ tương đương

Mệnh đề 1 Mỗi quan hệ tương đương trên tập X xác định một phân hoạch

của X bởi các lớp tương đương.

Chứng minh Mọi phần tử x ∈ X đều nằm trong lớp tương đương của chính nó: x ∈ [x] (do tính phản xạ của quan hệ tương đương) Từ đó, X là

hợp của các lớp tương đương Bổ đề 1 chứng tỏ rằng các lớp tương đươngkhác nhau thì rời nhau

Mệnh đề được chứng minh

Nhận xét: Mệnh đề đảo của mệnh đề 1 cũng đúng Cụ thể là mỗi phân

hoạch { X i : i ∈ I} của X xác định một quan hệ tương đương ∼ trên X, sao cho mỗi X i là một lớp tương đương Thật vậy, ∼ được định nghĩa như sau: x ∼ y nếu có i ∈ I để cho x ∈ Xi , y ∈ Xi

Tập X được trang bị một quan hệ thứ tự được gọi là một tập được sắp Nếu

x ≤ y ta nói x đứng trước y (thay cho x có quan hệ ≤ với y)

Chẳng hạn, nếu X là tập tất cả các tập con của tập hợp A, thì X được

sắp theo quan hệ bao hàm

Tập con S ⊂ X được gọi là được sắp toàn phần (hay được sắp tuyến tính) nếu với mọi cặp phần tử x, y ∈ S ta có hoặc là x ≤ y hoặc là y ≤ x.

Phần tử a ∈ X được gọi là một chặn trên của tập con S nếu x ≤ a, với mọi x ∈ S.

Tập X được gọi là được sắp quy nạp nếu mọi tập con được sắp toàn phần của nó đều có một chặn trên trong X.

Phần tử m ∈ X được gọi là một phần tử cực đại của X nếu từ chỗ

x ∈ X và m ≤ x suy ra m = x Như thế, tập X có thể có nhiều phần tử cực đại, và các phần tử khác nhau của X thì không so sánh được với nhau

(theo quan hệ ≤)

Ta thừa nhận tiên đề sau đây, thường được gọi là bổ đề Zorn, về sự tồn

tại của phần tử cực đại trong một tập hợp được sắp

3 Nhóm

3.1 Khái niệm

Định nghĩa 5 Cho tập hợp G Mỗi ánh xạ:

◦ : G × G −→ G (x, y) 7−→ ◦(x, y) = x ◦ y gọi là luật hợp thành (hay phép toán hai ngôi) trên G.

Tập G cùng phép toán xác định như trên lập thành một nhóm nếu ◦ thỏa mãn:

i) Tính chất kết hợp:

∀x, y, z ∈ G, (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) ii) Có một phần tử e ∈ G sao cho:

∀x ∈ G, x ◦ e = e ◦ x = x gọi là phần tử trung lập.

iii) Với ∀x ∈ G, ∃x ′ ∈ G sao cho:

x ◦ x ′ = x ′ ◦ x = e

gọi là phần tử nghịch đảo của x.

Kí hiệu: (G, ◦) là nhóm với phép toán ◦.

I Lưu ý:

• Nếu phép toán ◦ đã rõ và không sợ nhầm lẫn, người ta gọi tắt G là

một nhóm

• Phép toán trong một nhóm tùy ý thường được kí hiệu theo lối nhân:

◦(x, y) = x.y ( tích của các phần tử x, y) Khi đó:

- Phần tử trung lập e gọi là phần tử đơn vị, thường được kí hiệu là 1.

- Phần tử nghịch đảo của x kí hiệu là x −1

- Tích của n phần tử x gọi là lũy thừa bậc n của x, kí hiệu là x n

Đặc biệt x0 = 1, x1 = x.

Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm, ta hiểu G là một nhóm được

viết theo lối nhân

• Nếu phép toán trong một nhóm được viết theo lối cộng: ◦(x, y) = x+y ( tổng của các phần tử x, y ) Khi đó:

- Phần tử trung lập e gọi là phần tử không, thường được kí hiệu là 0.

- Phần tử nghịch đảo của x gọi là phần tử đối của x, kí hiệu là −x.

- Tổng của n phần tử x với n ∈ N gọi là bội của x, kí hiệu là nx.

• Nhóm cộng các số hữu tỉ (Q, +) với phần tử không là 0, phần tử đối của x là −x.

• Nhóm nhân các số thực khác không (R, ) có phần tử đơn vị là 1, phần

tử nghịch đảo của x là 1

x.

3.2 Tính chất

Mệnh đề 2 Giả sử (G, ◦) là một nhóm Khi đó:

• Phần tử trung lập của G là duy nhất.

• Với ∀x ∈ G, phần tử nghịch đảo của x là duy nhất.

Chứng minh * Nếu e, e ′ ∈ G đều là phần tử trung lập thì ta có: e ◦ e ′ = e ′

và e ′ ◦ e = e.

Vậy e = e ′ Hay phần tử trung lập của G là duy nhất.

* Nếu x ′ , x ′′ ∈ G đều là phần tử nghịch đảo của x Ta có:

Chứng minh i) Giả sử ax = ay, nhân hai vế bên trái với a −1 ta được:

a −1 (ax) = a −1 (ay) ⇔ (a −1 a)x = (a −1 a)y ⇒ ex = ey ⇔ x = y

Tương tự nhân hai vế phải của xa = ya với a −1 ta cũng được

xa = ya ⇒ x = y ii) Ta đã biết x = a −1 b và y = b −1 a là nghiệm của các phương trình đã

cho

Nếu phương trình ax = b chẳng hạn có hai nghiệm x1, x2 thì ta có

ax1 = ax2

Áp dụng luật giản ước ta được x1 = x2

Tương tự, nghiệm của ya = b cũng là duy nhất.

Khi đó theo điều kiện ii), A ̸= ∅.

Hơn nữa, nếu a, b ∈ A thì theo iii) ta có a, b −1 ∈ A, và theo i) ab −1 ∈ A.

(⇐) Ngược lại, giả sử A thỏa mãn các điều kiện trên, vì A ̸= ∅ nên nó chứa ít nhất một phần tử a.

• Vì a, a −1 ∈ A nên aa −1 = e ∈ A ( điều kiện ii) được thỏa mãn)

• Nếu a ∈ A, thì e ∈ A và a ∈ A nên ea −1 = a −1 ∈ A.

(điều kiện iii) được thỏa mãn)

• Nếu a, b ∈ A thì a, b −1 ∈ A, do đó a(b −1)−1 = ab ∈ A.

(điều kiện i) được thỏa mãn)

Vậy theo định nghĩa, A là nhóm con của G.

Mệnh đề 4 Giao của một họ khác rỗng bất kỳ các nhóm con của một

ab −1 ∈ A i suy ra ab −1 ∈ A.

Vậy, A là nhóm con của G.

I Lưu ý: Hợp của các nhóm con của G nói chung không phải là một

nhóm con của G.

4.3 Tập sinh

Định nghĩa 7 Giả sử A là một tập con của một nhóm G.

Ta thấy tồn tại những nhóm con của G chứa A Giao của tất cả các nhóm con đó lại là một nhóm con của G Nó chứa A và bị chứa trong mọi nhóm con của G chứa A Vậy nó là nhóm con bé nhất của G chứa A Ta gọi nó là nhóm con của G sinh ra bởi A.

Kí hiệu: ⟨A⟩

G = ⟨A⟩ thì A được gọi là một tập sinh của G Nếu G = ⟨A⟩ và A hữu hạn thì ta nói G là hữu hạn sinh.

Nếu G không được sinh bởi một tập con thật sự nào của A thì ta nói A

là tập sinh cực tiểu của G.

Ví dụ

• ⟨∅⟩ = {e} là nhóm con sinh bởi tập ∅.

• ⟨A⟩ = A nếu A là nhóm con của G.

• (Z, +) là nhóm con sinh bởi {1}.

5 Nhóm con chuẩn tắc

5.1 Lớp ghép

Định nghĩa 8 Giả sử H là một nhóm con của một nhóm G Khi đó tập

aH = {ah|h ∈ H} được gọi là một lớp ghép trái của H trong G Tương tự tập Ha = {ha|h ∈ H} được gọi là một lớp ghép phải của H trong G.

Bổ đề 2 Giả sử H là một nhóm con của nhóm G Khi đó hai lớp ghép

trái của H trong G hoặc giao nhau bằng rỗng hoặc bằng nhau.

Chứng minh Giả sử aH và bH là hai lớp ghép trái của H trong G và giao của chúng khác rỗng Khi đó tồn tại một c ∈ aH và c ∈ bH Do đó c = ah

và c = bh ′ với h, h ′ ∈ H Bởi vậy ah = bh ′ , dẫn đến a = bh ′ h −1, suy ra

aH ⊂ bH, tương tự ta được bH ⊂ aH Vậy aH = bH

Định lý 1 Giả sử H là một nhóm con của nhóm G Khi đó:

(i) G = ∪

a ∈G

aH.

(ii) Với mỗi a ∈ G , thì ánh xạ f : H −→ aH cho bởi x 7−→ ax là một song ánh.

(iii) Nếu H hữu hạn thì các lớp ghép của H trong G có cùng số phần tử Chứng minh Vì a ∈ aH, nên (i) là hiển hiên Với mỗi y ∈ aH, tồn tại

x ∈ H để y = ax, do đó f(x) = ax = y, vậy f là toàn ánh Từ f(u) = f(v),

ta rút ra au = av Bởi luật giản ước trong nhóm, ta nhận được u = v vậy

f là đơn ánh f vừa là toàn ánh, vừa là đơn ánh, nên nó là một song ánh,

ta có (ii) Từ (ii) ta lập tức nhận được (iii)

Định nghĩa 9 Giả sử H là một nhóm con của một nhóm G Số các lớp

ghép trái khác nhau của H trong G được gọi là chỉ số của H trong G và kí hiệu là [G:H]

5.2 Nhóm con chuẩn tắc

Định nghĩa 10 Một nhóm con H của một nhóm G sao cho

∀a ∈ G, Ha = aH gọi là một nhóm con chuẩn tắc (ước chuẩn tắc) của G.

Kí hiệu: H ▹ G.

Ví dụ

• Mỗi nhóm G có hai nhóm con chuẩn tắc tầm thường là {e} và {G}.

• Mọi nhóm con của một nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc (ước

Vậy S2A ̸= AS2, nghĩa là A không phải là nhóm con chuẩn tắc của S3

• Cho G là một nhóm Khi đó tập C(G) = {a ∈ G|ag = ga, ∀g ∈ G} lập thành một nhóm con chuẩn tắc của G và nó được gọi là tâm của nhóm G.

Mệnh đề 5 (Tiêu chuẩn nhận biết) Một nhóm con H của một nhóm

G là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu và chỉ nếu

∀a ∈ G, ∀x ∈ H, a −1 xa ∈ H.

Chứng minh [ ⇒] Giả sử H ◃ G Khi đó ∀a ∈ G, aH = Ha

⇒ ∀x ∈ H, ∃x ′ ∈ H sao cho xa = ax ′.

⇒ ∀a ∈ G, ∀x ∈ H, axa −1 ∈ H Khi đó: ∀x ∈ H, xa ∈ aH.

[⇐] Giả sử ∀a ∈ G, ∀x ∈ H, a −1 xa ∈ H Khi đó ∀x ∈ H, ax ∈ Ha.

Do đó Ha ⊆ aH.

Theo giả thiết ta lại có (a −1)−1 xa −1 ∈ H, hay axa −1 ∈ H

⇒ ∀ ∈ H, xa ∈ Ha, tức aH ⊆ Ha.

Vậy Ha = aH, tức H ▹ G.

Định lý 2 Giả sử H là một nhóm con của nhóm G Khi đó các khẳng

định sau là tương đương:

(i) H là một nhóm con chuẩn tắc của G.

(ii) a −1 Ha ⊂ H với mọi a ∈ G

(iii) aHa −1 ⊂ H với mọi a ∈ G

(iv) a −1 Ha = H với mọi a ∈ G

(v) aHa −1 = H với mọi a ∈ G

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Vì H là một nhóm con chuẩn tắc nên với mỗi

x ∈ H và với mỗi a ∈ G, tồn tại y ∈ H để xa = ay Điều này suy ra

a −1 Ha = y ⊂ H Vậy a −1 Ha ⊂ H với mọi x ∈ H và với mọi a ∈ G, và ta nhận được a −1 Ha ⊂ H với mọi a ∈ G

(ii) ⇒ (iii) Từ (ii) ta có, (a −1)−1 Ha −1 ⊂ H Mặt khác (a −1)−1 Ha −1 =aHa −1 nên ta nhận được (iii)

(iii) ⇒ (iv) Từ (iii) ta có, với mỗi x ∈ H và với mỗi a ∈ G, tồn tại

y ∈ H để axa −1 = y Do đó x = a −1 ya ∈ a −1 Ha Vậy H ⊂ a −1 Ha Mặt khác, bởi (iii) thì aHa −1 ⊂ H, nên a −1 Ha = a −1 H(a −1)−1 Vậy a −1 Ha = H với mọi a ∈ G.

(iv) ⇒ (v) Bởi (iv), thì H = (a −1)−1 Ha −1 mặt khác (a −1)−1 Ha −1 =aHa −1 vậy ta có (v)

(v) ⇒ (i) Với mỗi x ∈ Ha, tồn tại y ∈ H để x = ya, mặt khác bởi (v)

nên tồn tại z ∈ H để y = aza −1 , do đó x = aza −1 a = az ∈ aH, ta nhận được Ha ⊂ aH Tương tự cũng chỉ ra được aH ⊂ Ha Từ đó ta có (i).

Mệnh đề 6 Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Khi đó ta

có:

(i) Quy tắc * : (G/H) × (G/H) −→ G/H cho bởi (aH, bH) = abH là một phép toán trong G/H.

(ii) ⇒ (i) Vì (xH ∗ yH)zH = xyH ∗ zH = x(yz)H = xH ∗ (yH ∗ zH)

nên * có tính chất kết hợp Dễ thấy eH = H là phần tử trung hòa (G/H, ∗), còn mỗi aH của (G/H, ∗) đều có phần tử khả ngịch là a −1 H Vậy (G/H, ∗)

lập thành một nhóm

Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Khi đó bởi mệnh đề 6 thì tập G/H = {aH|a ∈ G} lập thành một nhóm với phép toán cho bởi (aH)(bH) = abH với a, b ∈ G Nhóm G/H được gọi là nhóm thương của

G trên H.

6 Đồng cấu nhóm

6.1 Khái niệm

Định nghĩa 11 Cho hai nhóm (G, ∗), (G ′ , ◦) Một ánh xạ f từ G tới

G ′ gọi là một đồng cấu nhóm nếu ∀x, y ∈ G, ta có

f (x ∗ y) = f(x) ◦ f(y)

• Đồng cấu f gọi là đơn cấu nhóm nếu như f là đơn ánh.

• Đồng cấu f gọi là toàn cấu nhóm nếu f là toàn ánh.

• Đồng cấu f gọi là đẳng cấu nhóm nếu f là song ánh.

• Một đồng cấu f từ G lên chính nó gọi là tự đồng cấu nhóm.

• Một đẳng cấu f từ G lên chính nó gọi là một tự đẳng cấu.

Mệnh đề 7 Mọi đồng cấu f của nhóm G vào nhóm G ′ đều có :

i) f (e) = e ′ với e, e ′ lần lượt là các phần tử đơn vị của nhóm G và G ′ ii) f (x −1 ) = [f (x)] −1

Chứng minh i) Giả sử x là một phần tử tùy ý của G Ta có:

Mệnh đề 8 Tích của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm.

Chứng minh Giả sử f : G → H và g : H → Y là những đồng cấu nhóm.

∀x, y ∈ G ta có :

gf (xy) = g(f (xy)) = g(f (x)f (y)) = gf (x)gf (y) Vậy gf : G → Y là một đồng cấu nhóm.

6.3 Ảnh và hạt nhân

Định nghĩa 12 Cho đồng cấu nhóm f : G −→ G ′ Khi đó:

• Imf = {f(x)|x ∈ G} ⊆ G ′ gọi là ảnh của đồng cấu f

• Kerf = {x ∈ G|f(x) = e ′ } ⊆ G gọi là hạt nhân của f.

Định lý 3 Cho đồng cấu nhóm f : G −→ G ′ Khi đó:

i f là một đơn cấu ⇔ Kerf = {e G }.

ii f là một toàn cấu ⇔ Imf = G ′ .

Vậy f là một đẳng cấu khi và chỉ khi

{

Imf = G ′ Kerf = {e}

Chứng minh i f là một đơn cấu ⇔ Kerf = {e}.

[⇒] Giả sử x là phần tử bất kì ∈ Kerf , ta có f(x) = e G ′

Vì f (e G ) = e G ′ nên f (x) = f (e G)

Do f là đơn ánh nên x = e G

Vậy Kerf = {eG}.

[⇐] Giả sử Kerf = e G) , và giả sử f (x) = f (y)

Khi đó ta có f (x).f (y) −1 = eG tức là xy −1 ∈ Kerf

Vì Kerf = {e G } nên ta có xy −1 = e

G , tức là x = y Vậy f là đơn ánh.

ii f là toàn cấu ⇔ Imf = G ′ (hiển nhiên theo định nghĩa toàn cấu vàđịnh nghĩa Imf )

Định lý 4 Giả sử đồng cấu nhóm f : G −→ G ′ là một đơn cấu Khi đó ánh xạ

Hệ quả: Nếu f : G −→ H là toàn cấu thì

H ∼ = G/Kerf

7.Định lí Lagrange

Định lý 6 Giả sử G là một nhóm hữu hạn và S là một nhóm con của nó.

Khi đó |G| là một bội của |S|.

Chứng minh Khi đó, theo bổ đề 2 hai lớp kề trái của S trong G hoặc trùng nhau, hoặc không có phần tử nào chung Do đó, G được phân tích thành hợp rời của các lớp kề trái của S Hơn nữa, ta sẽ chứng minh rằng số phần

tử của mỗi lớp kề trái là không đổi, cụ thể số phần tử của aS bằng |S| với mọi a ∈ G Thật vậy, phép tương ứng S −→ aS, s 7−→ as, là một song

(ii) Số nguyên dương m được gọi là số mũ của nhóm G nếu nó là số mũ

của mọi phần tử của G.

Hiển nhiên là mọi số mũ của a ∈ G là một bội dương của cấp của a và ngược lại Một nhóm tùy ý có thể không có số mũ Nếu G là một nhóm hữu hạn, thì một số mũ của G có thể chọn bội số chung nhỏ nhất của cấp của mọi phần tử thuộc G.

Hệ quả: Cấp của một nhóm hữu hạn G là một số mũ của nó.

Hệ quả: Trên một tập hợp hữu hạn với số phần tử là một số nguyên tố,

có duy nhất (sai khác đẳng cấu) một cấu trúc nhóm, là nhóm xyclic ta sẽtìm hiểu ở phần 8

Trên một tập hợp số với phần tử là một hợp số, nói chung tồn tại nhiềuhơn một cấu trúc nhóm Hệ quả sau đây xét một trường hợp đơn giảntrong số đó

Hệ quả: Mọi nhóm với 4 phần tử đều đẳng cấu với một trong hai nhóm

Z/4 và Z/2 × Z/2 Hai nhóm này không đẳng cấu với nhau.

Chứng minh Z/4 có một phần tử cấp 4, trong khi đó mọi phần tử khác

không trong Z/2 × Z/2 đều có cấp 2 Vì thế hai nhóm này không đẳng cấu

với nhau

Giả sử G là một nhóm (nhân) có 4 phần tử Nếu G chứa một phần tử cấp 4 thì nó là nhóm xyclic cấp 4, do đó G ∼= Z/4 Trái lại, thì mọi phần

tử của G trừ đơn vị e đều có cấp 2 Kí hiệu các phần tử của G là e, a, b, c.

Ta có a2 = b2 = c2 = e Hơn nữa, theo luật giản ước, ab không thể là

a = ac, b = eb, e = aa, cho nên ab = c Tương tự, ba = ab = c Do tính đối xứng, ac = ca = b, bc = cba Bây giờ, tương ứng G −→ Z/2 × Z/2, e 7−→ (0, 0), a 7−→ (1, 0), b 7−→ (0, 1), c 7−→ (1, 1) là một đẳng cấu nhóm.

Giả sử S là một nhóm con của nhóm hữu hạn G Khi đó chỉ số của S trong G, tức là số phần tử của tập các lớp kề trái G/S được tính bằng

công thức

[G : S] = |G|/|S|

Định lí Lagrange có thể được tổng quát hóa như sau:

Định lý 7 Giả sử T là một nhóm con của S, và S là một nhóm con của

G, trong đó G là một nhóm hữu hạn Khi đó :

[G : T ] = [G : S][S : T ] Chứng minh Gọi {x1, x2, , x m } (tương ứng {y1, y2, , y n }) là tập đại biểu của các lớp kề trái của S trong G (tương ứng của T trong S) Khi đó,

m = [G : S], n = [S : T ] và G, S được phân tích thành các hợp rời rạc:

8 Nhóm xyclic

8.1 Khái niệm

Định nghĩa 14 Một nhóm G được gọi là nhóm xyclic nếu và chỉ nếu mọi

phần tử của nó đều là lũy thừa của một phần tử a của nó.

Khi đó ta viết G = ⟨a⟩ và gọi a là phần tử sinh của nhóm G.

Ta có: G = ⟨a⟩ = {a n | n ∈ Z} (kí hiệu theo lối nhân)

G = ⟨a⟩ = {na | n ∈ Z} (kí hiệu theo lối cộng)

1 Nếu cấp của a là vô hạn thì G đẳng cấu với Z

2 Nếu cấp của a là số n hữu hạn thì G đẳng cấu với Zn

Do a có cấp vô hạn (theo giả thiết) nên suy ra m − n = 0 ⇔ m = n.

⇒ φ là một đơn cấu Vậy G ∼= Z

2 Theo giả thiết ta có ord(a) = n Do đó:

Ánh xạ:

φ : Zn −→ G

¯

r 7−→ φ(¯r) = a r

không phụ thuộc vào việc chọn đại biểu của lớp ¯r.

Tương tự như phần 1 G là nhóm xyclic sinh bởi phần tử a nên φ là một

toàn cấu

* Hai phần tử sinh bất kì của một nhóm xyclic đều có cùng cấp.

* Cấp của một nhóm xyclic bằng cấp của mọi phần tử sinh của nó

* Hai nhóm xyclic đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp

Nhận xét

* Mọi nhóm con của nhóm xyclic đều là nhóm xyclic.

Thật vậy:

Giả sử G = ⟨x⟩ là nhóm xyclic sinh bởi a.

Giả sử A là nhóm con của G.

-Nếu A = {e}, e là đơn vị của G thì A = ⟨e⟩, nghĩa là A là cyclic sinh

bởi e

-Nếu A ̸= e khi đó tồn tại phần tử a ∈ A, a ̸= e, a = x n , n ̸= 0.

Vì A là nhóm con của G nên x n ∈ A.

Do vậy có x n hoặc x −n là lũy thừa nguyên dương của x trong A.

Gọi x m là lũy thừa nguyên dương nhỏ nhất của x trong A Ta sẽ chứng minh rằng A = ⟨x m ⟩.

* Phần tử trung lập là phần tử không, kí hiệu là 0;

* Phần tử nghịch đảo của x gọi là phần tử đối, kí hiệu là ( −x);

* Tổng x + ( −y) gọi là hiệu của x và y, kí hiệu là x − y.

Ví dụ

* (Z, +), (Q, +), (R, +) là các nhóm Abel.

* Tâm của nhóm G, kí hiệu Z(G) với:

Z(G) = {a ∈ G | ax = xa, ∀x ∈ G}

là một nhóm con Abel của nhóm G.

* Nhóm cộng các số nguyên đồng dư mod n : (Zn , +) là một nhóm Abel.

9.2 Cơ sở của nhóm Abel

9.2.1 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

Cho (G, +) là một nhóm Abel.

Tập S ⊂ G có hữu hạn phần tử x1, x2, , x n

* Tập S gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số nguyên k1, k2, , k n

không đồng thời bằng không sao cho:

n

∑

i=1

k i x i = 0

* Ngược lại, tập S gọi là độc lập tuyến tính.

*Một tập S ′ ⊂ G gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi tập con hữu hạn của S ′ đều độc lập tuyến tính Ngược lại thì S ′ gọi là phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ: Tập {(1, 0); (0, 1) } là độc lập tuyến tính trong nhóm (Z × Z, +).

Thật vậy: ∀k1, k2 ta có:

k1(1, 0) + k2(0, 1) = 0 ⇔ (k1, 0) + (0, k2) = 0

⇔ k1 = k2 = 0

9.2.2 Cơ sở của nhóm Abel

Tập con S của nhóm Abel G được gọi là một cơ sở của G nếu S là một

c) Mọi nhóm con có cấp bé hơn hoặc bằng 5 đều là nhóm Abel.

Chứng minh a) Dễ dàng chứng minh được biểu diễn đó là duy nhất b) Giả sử A là nhóm xyclic sinh bởi phần tử a.

Giả sử G là nhóm cấp 4 Nếu G có phần tử cấp 4 thì nó là một nhóm xyclic nên G là nhóm Abel Nếu G không có phần tử cấp 4 nào thì G có

CHƯƠNG II: MỘT SỐ TRỌNG ĐIỂM VỀ NHÓM HỮU HẠN

1 Nhóm đối xứng

1.1 Khái niệm

Giả sử T là một tập hợp nào đó Khi ấy, dễ dàng kiểm tra lại rằng tập hợp S(T ) tất cả các song ánh trên T cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập nên một nhóm Phần tử đơn vị của S(T ) là ánh xạ đồng nhất idT trên

T Phần tử nghịch đảo của α ∈ S(T ) chính là ánh xạ ngược α-1

Định nghĩa 1 Nhóm S(T) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp T.

Mỗi nhóm con của S(T) được goi là một nhóm các phép thế trên T.

Đặc biệt, nếu T = {1, 2, , n} thì nhóm S(T) được kí hiệu đơn gản là S n và được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử Cách gọi này không gây nhầm lẫn Bởi vì, nếu T n là một tập hợp với n phần tử bất kì thì mỗi khi cố định một song ánh T n ←→ {1, 2, , n}, ta thu được một đẳng cấu nhóm S(T n ) ∼ = Sn

Ta xét một vài cách khác nhau để thể hiện một phép thế trong Sn

Mỗi α ∈ Sn có thể biểu thị một cách tự nhiên như sau:

là phép thế trong S5 cho bởi α(1) =

2, α(2) = 3, α(3) = 5, α(4) = 1, α(5) = 4 cách biểu thị này rất tự nhiên,

tuy hơi dài

Để có một cách biểu thị tốt hơn ta khảo sát sâu hơn một chút cấu trúccủa các phép thế

Định nghĩa 2 (a) Giả sử x1, , x k là các phần tử đôi một khác nhau trong {1, 2, , n} Ta kí hiệu bởi (x1, x2, , x k ) phép thế giữ nguyên các phần tử khác x1, x2, , x k , và tác động lên x1, x2, , x k như sau:

x1 7−→ x2, x2 7−→ x3, , xk −1 7−→ x k , xk 7−→ x1

Nó được gọi là xích với độ dài k trên tập nền {x1, x2, , x k }.

(b) (x1, x2, , x k ) được gọi là một xích của phép thế α ∈ Sn nếu α tác động giống như (x1, x2, , x k ) trên các phần tử x1, x2, , x k ( α có thể tác động không tầm thường trên các phần tử khác x1, x2, , x k ).

1.2 Tính chất

Định lý 1 S n là một nhóm hữu hạn Hay |S n | = n! = 1.2 n.

Chứng minh Ta cần tính xem có bao nhiêu phép thế khác nhau α ∈ Sn

Có n khả năng cho việc chọn α(1) từ n phần tử {1, 2, , n} Khi đã cố định α(1) có n-1 khả năng chọn α(2) từ tập hợp {1, 2, , n} \ {α(1)}.Tiếp theo,

có n-2 khả năng chọn α(3) từ tập hợp {1, 2, , n} \ {α(1), α(2)} v.v Như

thế số phần tử của Sn bằng n(n-1) 2.1

Định lý 2 Mọi phép thế α ∈ S n đều là tích tất cả các xích khác nhau của

nó Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhau của tập {1.2 n} Chứng minh Với mọi x1 ∈ {1.2 n}, nếu α(x1) = x1 thì (x1) là một xích

của α Trái lại, nếu α(x1) ̸= x1, ta đặt x2 = α(x1) Giả sử x1, x2 =

α(x1), , x k = α(x k −1 ) là những phần tử đôi một khác nhau Còn α(x k)

thì trùng với một trong các phần tử x1, x2, , x k Ta khẳng định rằng

α(x k ) = x1 Thật vậy, nếu α(x k ) = x i với i > 1, thì α(x k ) = α(x i −1) Do

đó xi −1 = xk Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng x1, x2, , xk đôi mộtkhác nhau

Như thế (x1, x2, , x k ) là một xích của α.

Mỗi phần tử của tập {1, 2, , n} đều thuộc một tập con, tập nền của một xích của α Hai tập con như thế nếu có một phần tử chung thì phải trùng nhau Thật vậy, phương trình α(x) = y hoàn toàn xác định y theo

x và x theo y ( do α là một song ánh )

Nhận xét rằng khi viết một phép thế của Sn như là tích của các xích rờirạc, tức là các xích với tập nền rời nhau, thì thứ tự của các xích ở trongtích không quan trọng

Định lý 3 Cấp của mọi phép thế α bằng bội số chung nhỏ nhất của độ

dài của các xích rời rạc của α

Chứng minh Giả sử (x1, , xk) là một xích của α Khi đó

α j (xi) = xi+j

ở đây i+j được lấy theo modulo k, tức là không phân biệt i+j với phần dư

của nó trong phép chia cho k Do đó α t (xi) = xi( ∀i) nếu và chỉ nếu t là một bội của k Vì thế α t (x) = x( ∀x ∈ {1, , n}) nếu và chỉ nếu t là một bội của độ dài của mọi xích của α Số dương nhỏ nhất có tính chất đó chính là cấp của α

Giả sử i và j là hai phần tử khác nhau trong tập {1, 2, , n}

Khi đó xích (i, j) là phép thế đổi chỗ i với j và cố định mọi phần tử khác i

và j trong tập {1, 2, , n}.

Định nghĩa 3 Phép thế (i,j) được gọi là một phép thế sơ cấp.

Mệnh đề 1 Mỗi phép thế đều là tích của một số phép thế sơ cấp.

Chứng minh Theo định lí 2 ta chỉ cần chứng minh mệnh đề trên cho các

Bổ đề 1 Cho hai phép thế α và β như sau:

α = (a11, , a 1r )(a21, , a 2s ) (am1, , amt),

Mệnh đề 2 Hai phép thế liên hợp với nhau trong nhóm đối xứng khi và

chỉ khi chúng có cùng số xích rời rạc với mỗi độ dài đã cho.

Chứng minh Điều kiện cần được suy ra từ bổ đề trên Để chứng minh điều

kiện đủ, ta giả sử rằng

α = (a11, , a 1r )(a21, , a 2s ) (a m1 , , a mt),

γ = (b11, , b 1r )(b21, , b 2s ) (b m1 , , b mt),

là hai phép thế có cùng số xích với mỗi độ dài đã cho Khi đó, ta định nghĩa

phép thế β bởi công thức β(a ij ) = b ij Theo bổ đề trên γ = βαβ −1

1.3 Nhúng các nhóm vào nhóm đối xứng

Trong một nhóm G bất kì, phép tịnh tiến trái bởi phần tử a ∈ G ( tức là ánh xạ x 7−→ ax ) là một song ánh từ G vào G Từ nhận xét đơn giản này

ta có định lí sau đây:

Định lý 4 Mọi nhóm G(hữu hạn hay vô hạn) đều đẳng cấu với một nhóm

các phép thế nào đó trên các phần tử của G Nói cách khác, có một đơn cấu nhóm G −→ S(G) từ G vào nhóm đối xứng trên tập G.

Chứng minh Với mỗi a ∈ G , ta xét phép tịnh tiến trái bởi a

L(a) : G −→ G

x 7−→ ax

Ta chứng tỏ rằng L(a) là một song ánh Thật vậy, L(a) là một đơn ánh,

vì theo luật giản ước, ax = ay kéo theo x = y L(a) là một toàn ánh, vì với mọi z ∈ G, ta có L(a)(a −1 z) = z Như thế L(a) ∈ S(G).

Tiếp teo ta chứng minh rằng ánh xạ

L : G −→ S(G)

a 7−→ L(a)

là một đồng cấu nhóm Thật vậy, với mọi a, b, x ∈ G ta có

L(a)L(b)x = a(bx) = (ab)x = L(ab)x Như thế L(a)L(b) = L(ab) Nghĩa là, L là một đồng cấu nhóm.

L là một đơn ánh vì nếu L(a) = L(b) thì

Chứng minh Sử dụng định lí trên, ta chỉ cần chứng minh rằng S(G) ∼ = Sn với n = |G|.

Thật vậy, hãy cố định một song ánh h : G −→ {1, 2, , n} tức là đánh số

các phần tử của G Khi đó dễ dàng kiểm nghiệm rằng ánh xạ

này đưa α ∈ S n vào α ∈ S m , trong đó α tác động như α trên tập {1, 2, , n}

và giữ cố định các phần tử trong tập {n + 1, , m} Kết hợp điều này với

hệ quả trên thì ta có phép nhúng G −→ Sm đối với mỗi nhóm hữu hạn G

có cấp |G| ≤ m.

(b) Có nhiều phép nhúng G −→ Sm khác nhau Tổng quát hơn có nhiều

đồng cấu G −→ S m.

Bây giờ không giả thiết |G| ≤ m nữa Khi đó, mỗi đồng cấu nhóm

G −→ S m được gọi là một biểu diễn hoán vị của G (trên m phần tử) Việc

tìm và khảo sát tất cả các hoán vị của một nhóm là nội dung của lí thuyếthoán vị

Vì mỗi α ∈ S n là một song ánh trên tập{1, 2, , n}, nên mỗi nhân tử của

△ n xuất hiện trong α( △ n) đúng một lần với dấu ±1 Do đó, α(△ n) =±△ n

Định nghĩa 4 Kí hiệu số( hoặc dấu) của phép thế α, kí hiệu bởi sgn(α)

β(j) − β(i)

j − i

= sgn(α)sgn(β) Gọi An là tập hợp tất cả các phép thế chẵn của Sn Khi đó An =

Ker(sgn) là một nhóm con của S n

2.2 Nhóm thay phiên

2.2.1 Khái niệm

Định nghĩa 5 Nhóm A n tất cả các phép thế chẵn trên tập {1, 2, , n} được gọi là nhóm thay phiên trên n phần tử, với n ≥ 2.

2.2.2 Tính chất

Mệnh đề 4 Với mỗi n ≥ 2, A n là một nhóm con chuẩn tắc của S n với chỉ số [S n : A n ] = 2 Nhóm A n có n!2 phần tử Nhóm thương S n /A n là một nhóm xyclic cấp 2.

Chứng minh Vì A n = Ker(sgn) là hạt nhân của đồng cấu nhóm sgn, nên

A n là một nhóm con chuẩn tắc của S n

Cố định một phép thế lẻ, chẳng hạn α = (1, 2) ∈ Sn Khi đó mỗi phép

thế trong αA n đều lẻ, bởi vì sgn là một đồng cấu nhóm Hơn nữa, mọi phép thế lẻ β đều thuộc αAn , bởi vì β = α(α −1 β) và α −1 β là một phép thế chẵn Như thế, Sn được phân tích thành hợp rời của hai lớp kề An và

αA n của A n Điều này chứng tỏ rằng [S n : A n] = 2

Nhóm thương S /A có hai phần tử, nên phải là nhóm xyclic cấp 2, bởi