khóa luận tốt nghiệp một số quan điểm về dạy học xác suất và thống kê trong nhà trường trung học phổ thông

Nhìn chung, vận dụng toán học vào trong thực tiễn trong dạy học Xác suất- Thống kê chưa thực sự chú trọng, đúng đắn với mục đích dạy học.Thực trạng dạy học cho thấy nhiều giáo viên chưa

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, lấy thực tiễn làm thước đo chân lý

và là nơi để bộc lộ sức mạnh vốn có của nó Chủ tịch Hồ Chí Minh đã viết:

“Thống nhất giữa lí luận và thực tiễn là một nguyên tắc căn bản của chủ nghĩa Mác- Lênin Thực tiễn không có lí luận hướng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng

Lí luận mà không liên hệ với thực tiễn là lí luận suông” Trong lĩnh vực Giáo dục và Đào tạo, Bác là người có quan điểm và hành động chiến lược vượt tầm thời đại Về mục đích việc học Bác xác định rõ: Học để làm việc Còn về phương pháp học tập Người xác định: Học phải gắn liền với hành; học tập suốt đời; học ở mọi nơi, mọi lúc, mọi người Quan điểm này được Người nhấn mạnh:

“Học để hành: Học với hành phải đi đôi Học mà không hành thì vô ích Hành

mà không học thì không trôi chảy” Vấn đề này được cụ thể hóa và quy định trong Luật giáo dục nước ta (năm 2005) Tại chương 1, điều 3, khoản 2: “Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” Bởi vậy, đối với giáo dục

Toán học, một trong những mục tiêu cơ bản cần đạt là: “giải toán và vận dụng kiến thức Toán học trong học tập và đời sống” (theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2006) Theo đó, “tăng cường và làm rõ mạch Toán ứng dụng và ứng dụng Toán học” là một trong những tư tưởng cơ bản và cần được

lưu tâm trong Toán phổ thông nước ta trong giai đoạn hiện nay

Trong bộ môn Toán ở trường Trung học phổ thông, đặc biệt là nội dung phần Xác suất- Thống kê thể hiện rất rõ nét về việc vận dụng toán học vào trong thực tiễn đời sống Cho nên khi dạy học phần này, giáo viên cần tổ chức, khai thác sâu để học sinh thấy rõ sự liên hệ giữa Xác suất- Thống kê với đời sống thực tiễn là rất quan trọng và cần thiết

1.2 Trong thời đại ngày nay Xác suất và Thống kê đã và đang được ứng dụng rất nhiều trong đời sống cũng như trong hầu hết các ngành khoa học: Vật

lý, Hóa học, Y học, Kinh tế học, Xã hội học,…Tuy nhiên, trong thực tế dạy học,

giáo viên chưa thực sự chú trọng thích đáng với vai trò của nó, một số đơn vị kiến thức đã bị cắt giảm một cách tùy tiện chỉ vì một lí do: “không thuộc vào phần phải thi cử” Mạch toán ứng dụng trong sách giáo khoa toán ngày càng có chiều hướng tăng cường sự vận dụng vào đời sống thực tiễn nhưng hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn chưa nhiều Nhìn chung, vận dụng toán học vào trong thực tiễn trong dạy học Xác suất- Thống kê chưa thực sự chú trọng, đúng đắn với mục đích dạy học.Thực trạng dạy học cho thấy nhiều giáo viên chưa có

kế hoạch, chưa chú ý đến kỹ năng vận dụng Xác suất- Thống kê vào các bộ môn khác và thực tiễn đời sống mà chỉ chú trọng đến rèn luyện cho học sinh những

kỹ năng nhận dạng, cách tính toán thông thường Hơn nữa, vì là phần không thi nên nhiều học sinh chưa có hứng thú học tập, trình độ các em còn hạn chế, những tình huống đưa vào trong dạy học chưa hấp dẫn, chưa sát với thực tiễn đời sống

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho khóa luận là:

“Một số quan điểm về dạy học Xác suất và Thống kê trong nhà trường Trung

học phổ thông” nhằm tìm ra định hướng vận dụng vào trong dạy học, khắc phục

tình trạng nói trên

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khóa luận là nghiên cứu để hình thành các quan điểm khoa học về dạy học Xác suất- Thống kê Trên cơ sở đó, vận dụng vào thiết kế một số bài giảng về các nội dung này nhằm nâng cao chất lượng dạy học Toán

3 Giả thuyết khoa học

Nếu đưa ra được một số quan điểm dạy học phù hợp với nội dung Xác suất- Thống kê ở trường Trung học phổ thông Trên cơ sở đó, vận dụng vào thiết kế

và điều hành quá trình dạy học các nội dung này một cách hợp lí thì có thể nâng cao chất lượng dạy học Toán

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến dạy học Toán, đặc biệt là các tài

liệu có liên quan đến dạy học Xác suất và Thống kê

- Khảo sát thực trạng dạy học về việc vận dụng Toán học vào trong đời sống thực tiễn nói chung và dạy học Xác suất- Thống kê vào thực tiễn nói riêng

- Đưa ra được các quan điểm dạy học phù hợp với nội dung dạy học Xác suất và Thống kê đồng thời thể hiện các quan điểm này trong một số bài soạn về các nội dung dạy học này

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận

- Điều tra, quan sát

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm

có 2 chương:

- Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

- Chương 2: Một số quan điểm về dạy học Xác suất và Thống kê trong nhà trường Trung học phổ thông

Em xin chân thành cảm ơn TS Phan Anh- người thầy đã tận tâm, nhiệt tình chỉ bảo, động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán và các thầy cô giáo trong Khoa

Sư phạm tự nhiên Trường Đại học Hà Tĩnh đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ

em hoàn thành công trình nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận, không thể tránh khỏi những khó khăn, thiếu sót mà bản thân vấp phải Để khóa luận tốt hơn, chúng tôi rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo, các bạn sinh viên cũng như bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Tĩnh, tháng 5 năm 2014

Tác giả

Võ Thị Linh

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Vận dụng toán học vào thực tiễn đời sống đang là một xu hướng được quan tâm trong dạy học toán

1.1.1 Thực trạng vận dụng toán học vào thực tiễn đời sống của giáo dục toán học phổ thông trên thế giới và trong khu vực

Để thích ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ và nền sản xuất hiện đại, phong trào cải cách giáo dục toán học ở trường phổ thông đã được thực hiện rộng khắp và sâu sắc ở nhiều nước trên thế giới Có thể nhận thấy rằng, tăng cường hoạt động liên hệ toán học với thực tiễn là một trong những vấn đề từ lâu đã rất được quan tâm và đang là một trào lưu giáo dục toán học hiện nay trên thế giới

Giáo dục Phần Lan vận hành theo một triết lý giáo dục độc đáo, thể hiện quan điểm với học sinh và giáo viên: hai chủ thể quan trọng nhất này của nhà trường phải được quan tâm và tôn trọng hết mức Nhiệm vụ của giáo viên là làm cho học sinh hào hứng học tập, say mê hiểu biết, quan tâm tập thể và xã hội Ưu điểm của chế độ học tập ở Phần Lan là ươm trồng tinh thần hợp tác chứ không phải là tinh thần cạnh tranh Người Phần Lan không vội vàng bắt lũ trẻ học quá căng thẳng mà dần dần từng bước gợi mở ở chúng lòng ham học, ham khám phá, ham sáng tạo chứ không ham thành tích, ham điểm số cao, ham thứ hạng cao

Phần Lan đã xây dựng được một nền tảng giáo dục vững chắc và đạt nhiều kết quả ngoài mong đợi Đáng chú ý là thành tích của sinh viên Phần Lan khi tham gia với các nước Công nghiệp phát triển OECD vào Chương trình đánh giá sinh viên quốc tế (PISA), sinh viên Phần Lan luôn đứng đầu trong bảng thành tích của chương trình này

PISA là chương trình đánh giá học sinh quốc tế do OECD( Tổ chức hợp tác

và phát triển kinh tế thế giới) khởi xướng PISA được đưa vào triển khai thực hiện từ năm 2000 với mục đích kiểm tra, đánh giá và so sánh trình độ học sinh ở

độ tuổi 15 giữa các nước trên thế giới Đây được coi là chương trình nghiên cứu

so sánh, đánh giá chất lượng giáo dục có quy mô lớn nhất trên thế giới cho đến nay

Theo V.V.Firxov: “việc giảng dạy toán ở trường phổ thông không thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học toán học Điều đó phải được thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế” Chúng ta cũng đều thấy

rõ rằng: khi xã hội càng hiện đại, khoa học kĩ thuật càng phát triển, nhất là trong thời đại công nghệ thông tin như hiện nay, thì vai trò của toán học càng không thể thiếu được Toán học như một công cụ đắc lực trong nghiên cứu, ứng dụng toán trong lao động sản xuất và rất nhiều mặt khác trong đời sống Trên thế giới phương pháp dạy học gắn với thực tiễn, phương pháp kiểm tra đánh giá theo chương trình PISA đang ngày càng được nhiều quốc gia áp dụng Lần đầu tiên Việt Nam tham gia PISA với mục tiêu là hội nhập mạnh mẽ với giáo dục quốc

tế, so sánh với giáo dục của các quốc gia trên thê giới, đổi mới phương pháp đánh giá, cách dạy- học, đón đầu cho đổi mới nền giáo dục nước nhà vào năm 2015…Có thể nói, với cách tiếp cận, hội nhập cùng giáo dục các nước trên thế giới, chúng ta có nhiều hy vọng vào việc đổi mới toàn diện, triệt để, nâng cao chất lượng giáo dục Việt Nam Trong bối cảnh giáo dục còn nặng nề về bệnh thành tích thì PISA có tác động rất lớn đến việc thay đổi việc dạy và học một cách tích cực, thay đổi thi cử một cách hữu hiệu, thay đổi cách đánh giá, kiểm định chất lượng giáo dục tiến bộ hơn sát với thế giới hơn…

1.1.2 Thực trạng vận dụng toán vào thực tiễn đời sống của giáo dục toán học phổ thông trong nước

Đối với Việt Nam chúng ta, chương trình giảng dạy sử dụng trước năm 2000, chịu ảnh hưởng rất lớn cách làm chương trình của một số nước như: Liên Xô (cũ), Cộng hòa dân chủ Đức, Pháp Theo tác giả Trần Kiều:

“mặc dầu đã xác định đi theo hướng “ôn hòa” song không thể tránh khỏi những biểu hiện về sự hoàn chỉnh lý thuyết, quá chú trọng đến tính khoa học chặt chẽ của hệ thống kiến thức,…Các khâu thực hành, ứng dụng, nhất

là ứng dụng vào các tình huống thực tiễn, chưa được coi trọng đúng mức

Nhiều kỹ năng cần thiết cho cuộc sống ít có cơ hội được rèn luyện phát triển” Với chương trình và cách thức đào tạo như vậy thì sản phẩm tạo ra

là những con người không có khả năng thích ứng với một cuộc sống đa chiều, đầy biến động là điều không thể tránh khỏi Sớm nhìn nhận được điều sai lệch trong giáo dục toán học, các nhà khoa học giáo dục nước ta đã

có những ý kiến xác đáng GS Nguyễn Cảnh Toàn có nhận xét về tình hình dạy học toán hiện nay: “Dạy và học toán tách rời cuộc sống đời thường”,

GS Hoàng Tụy có nhận xét: kiểu cách dạy học hiện nay còn mang nặng nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài tập oái ăm, giả tạo, không phát triển trí tuệ mà xa rời thực tiễn Nói đến những yêu cầu đối với Toán học trong nhà trường nhằm phát triển văn hóa toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học Toán trong nhà trường phổ thông không chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy mang tính lý thuyết,…cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống” Trong các công trình nghiên cứu về khoa học giáo dục, nhiều tác giả cũng khẳng định: ứng dụng Toán học vào thực tế là một trong những năng lực Toán học cơ bản, cần rèn luyện cho học sinh Trước bối cảnh đó, ngành giáo dục và đào tạo đã có một cuộc cách mạng là thay chương trình bậc học phổ thông bắt đầu triển khai từ năm 2000, với định hướng là: giảm nhẹ tính chặt chẽ của

lý thuyết, tăng cường ứng dụng thực tiễn, coi trọng hoạt động tự chiếm lĩnh tri thức của người học,…Các nhà khoa học biên soạn sách giáo khoa nói chung, sách giáo khoa bộ môn toán nói riêng, đã cụ thể hóa tư tưởng định hướng trên trong các giáo trình bộ môn Chẳng hạn, trong sách giáo khoa

bộ môn Toán cấp THPT quán triệt các quan điểm sau: sát thực, trực quan, nhẹ nhàng và đổi mới Các quan điểm đó đã hàm chứa sự thay đổi cả nội dung và phương pháp trình bày của sách giáo khoa, với hy vọng rằng có thể cải thiện được tình hình dạy học toán như trên đã trình bày Để có thể rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tốt các tri thức toán học vào đời

sống thực tiễn “Toán học hóa” trong dạy học toán ở bậc phổ thông cũng được đề cập đến và xem đây là một yếu tố quan trọng cấu thành vốn văn hóa toán học của mỗi cá nhân rất cần thiết cho người lao động trong xã hội hiện đại Đặc biệt trong sách giáo khoa toán trường phổ thông, các tác nhân xây dựng nhiều mô hình toán học để mô tả các tình huống thực tiễn, tạo điều kiện rất tốt cho giáo viên tổ chức cho học sinh thực hiện hoạt động này

Tuy đã chuyển biến về mặt lý luận, đường lối nhưng thực trạng dạy học toán ở các trường phổ thông Viêt Nam, trong những năm vừa qua, vẫn chưa có những chuyển biến mạnh mẽ Trong dạy học chưa thực sự chú trọng mảng tri thức thực hành ứng dụng Nhiều giáo viên còn quan niệm lệch lạc rằng: vấn đề

đó chỉ nhằm vào mục đích ôn tập lại nội dung phần lý thuyết đã học sau từng bài, từng chương; bởi vậy, dạy học mảng tri thức này chưa được đúng hướng Những năng lực, kỹ năng thực hành ứng dụng quan trọng của người lao động, không được chú ý rèn luyện, đặc biệt là năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn Mạch toán ứng dụng chưa được chú trọng đúng với vai trò của nó; thậm chí

có nơi có lúc còn bị cắt giảm một cách tùy tiện chỉ vì một lý do là: “không thuộc vào phần thi cử” Chiều hướng thiên về “lý thuyết hàn lâm” trong dạy học toán vẫn tái diễn, việc đánh giá các hoạt động vận dụng toán học vào trong đời sống còn mang tính qua loa đại khái Chính những điều đó, đã làm cho học sinh không có hứng thú khi tham gia vào các hoạt động ứng dụng toán học, làm tách biệt nhà trường với cuộc sống đời thường Thực trạng đó đã dẫn đến nhiều học sinh sau khi ra trường chưa thể hiện được vốn văn hóa toán học trong các hoạt động thực tiễn của bản thân Biểu hiện rõ nhất hầu như không sử dụng tri thức, phương pháp toán học trong các tình huống cụ thể; sự chênh lệch về hiệu quả công tác của người có học vấn phổ thông và người không đạt được đến trình độ

đó không phân biệt được

Trong khoa học cũng như trong đời sống hàng ngày chúng ta thường gặp các hiện tượng “biến cố” ngẫu nhiên Đó là các biến cố mà ta không thể dự đoán một cách chắc chắn rằng chúng xảy ra hay không xảy ra

Ngay đầu thế kỉ 20, nhà triết học người Anh Well đã dự báo “trong một tương lai không xa, kiến thức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu

tố không thể thiếu được trong học vấn phổ thông của mỗi công dân giống như khả năng biết đọc và biết viết”

Chính vì thế, UNESCO đã khẳng định Xác suất- Thống kê là một trong các quan điểm chủ chốt để xây dựng học vấn trong thời đại ngày nay Mặc dù trong bài học về Xác suất- Thống kê được trình bày trong sách giáo khoa, bản thân nó

đã phần nào giúp học sinh nhận thấy được ứng dụng của nó trong đời sống Tuy nhiên học sinh chưa thể nhìn thấy mối liên hệ giữa kiến thức Xác suất và Thống

kê với thực tiễn Việc thiết kế những bài giảng có sự tăng cường liên hệ thực tiễn sẽ giúp học sinh hiểu được mối liên hệ đó Từ đó, học sinh có cách nhìn toàn diện, đa chiều trong nhiều lĩnh vực khác nhau trong khoa học và cuộc sống,

và có thể ứng dụng những kiến thức đã được trang bị trong nhà trường vào công việc của mình sau này

1.2 Nội dung Xác suất và Thống kê trong giáo trình môn toán ở trường phổ thông góp phần làm đậm nét mạch toán ứng dụng

Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và thực hành của toán học là góp phần thực hiện lý luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường gắn liền với cuộc sống

Ở bậc phổ thông học sinh cần phải được cung cấp những kiến thức cần thiết cho cuộc sống và cung cấp công cụ để học tốt các môn học Khi học đến phần Xác suất- Thống kê, học sinh cần nắm được kiến thức và ứng dụng đối với cuộc sống Tổ chức nhiều hoạt động thực hành toán học trong nhà trường và ngoài nhà trường như ở nhà máy, đồng ruộng,…kể cả những hoạt động có tính tập dượt nghiên cứu bao gồm cả khâu đặt bài toán, xây dựng mô hình, thu thập dữ liệu, xử lí mô hình để tìm lời giải với thực tế để kiểm tra và điều chỉnh Mạch toán ứng dụng nhất là các yếu tố về Xác suất- Thống kê trong chương trình Trung học phổ thông là sự thể hiện rõ nét nhất việc vận dụng toán học vào trong thực tiễn đời sống Do đó, khi dạy phần Xác suất- Thống kê, cần khai thác khía

cạnh này, góp phần làm đậm nét mạch toán ứng dụng trong chương trình môn toán ở trường Trung học phổ thông

1.3 Thực tiễn dạy học vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn nói chung và dạy học các tri thức về Xác suất- Thống kê nói riêng

Tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học những tri thức về vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn nói chung và các tri thức về Xác suất- Thống kê nói riêng luôn được coi là một vấn đề quan trọng và cần thiết Tuy nhiên, theo các nhà toán học và các nhà làm Khoa học Giáo dục cũng như trong thực tế vì nhiều lí do khác nhau, trong một thời gian trước đây cũng như hiện nay, việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học toán cho học sinh vẫn, chưa được đánh giá đúng mức và chưa đáp ứng được những yêu cầu cần thiết Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn (1998) khi nhận xét về tình hình dạy và học toán hiện nay ở nước ta thì một vấn đề quan trọng- một yếu kém cơ bản là trong thực tế dạy toán ở trường phổ thông, các giáo viên không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn Học sinh bây giờ thường phải đi tìm những mắc xích suy diễn phức tạp trong các bài toán khó Họ được rèn luyện tư duy kỹ thuật khi phải tìm những thủ thuật lắt léo để giải những bài toán không mẫu mực Nhưng những khía cạnh nhân văn trong thực tế cuộc sống đời thường hay bị bỏ qua Chẳng hạn, trong toán học có chứng minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thường khuyên nhau: “nghĩ đi rồi phải nghĩ lại”, “có qua có lại”, “sống phải có trước có sau”; trong toán học, khi biện luận phải xét cho hết mọi trường hợp có thể xảy

ra, thì trong đời thường ta thường khuyên nhau: “nghĩ cho hết nước hết cái” Trong môn toán ở trường Trung học phổ thông, nội dung Xác suất- Thống

kê là một nội dung không dễ, vì đây là phần kiến thức mới đưa vào trong chương trình lớp 10 và 11 nên khá mới mẻ và thú vị vì nó liên quan đến thực tiễn đời sống Mặc dù trong nội dung bài học về Xác suất- Thống kê được trình bày trong sách giáo khoa, bản thân nó đã phần nào giúp học sinh thấy được ứng dụng của nó trong đời sống Tuy nhiên, khi dạy học nội dung phần thống kê, đa

số các giáo viên chỉ chú ý cho học sinh nắm được các khái niệm cơ bản trong

sách giáo khoa như tần số, tần suất, mốt,…, hiểu được một số biểu đồ đơn giản trong sách giáo khoa và làm được các bài tập trong sách giáo khoa Cũng như phần xác suất, học sinh cần nắm được định nghĩa xác suất, các quy tắc tính xác suất và biết cách làm bài tập

Có thể nói thống kê và xác suất là một trong những phần có liên hệ với đời sống thực tiễn Nhưng phần thống kê không có nhiều trong nội dung thi học kỳ

và hầu như không có trong nội dung thi đại học nên khi dạy học về phần này giáo viên không khai thác nhiều, chỉ dạy các phần nội dung có trong sách giáo khoa Vấn đề liên hệ thống kê với tình huống thực tiễn quả thực là các giáo viên chưa nghĩ tới cách khai thác Về phần xác suất, phần này giáo viên chú trọng cho học sinh tư duy thuật giải, đưa ra một vài ví dụ giúp các em liên hệ thực tiễn Nhưng có thể nói giáo viên chưa chú trọng cho các em học sinh về phần liên hệ với thực tiễn Một số giáo viên dạy nhiều công thức, quy trình thống kê, xác suất tách rời với tình huống thực tiễn, không phù hợp với lứa tuổi các em

Số liệu thống kê lộn xộn, có nhiều lí giải khác nhau dựa trên những giả thuyết khác nhau… Tất cả điều đó dẫn đến những khó khăn khi gây hứng thú, lôi kéo học sinh tham gia hào hứng môn học

Đa số các giáo viên chỉ dừng lại ở mức độ cung cấp, rèn luyện cho học sinh các kỹ năng, quy trình, kỹ thuật tính toán của môn học, những điều đó tuy là một mặt cần thiết nhưng không giúp ích được nhiều cho học sinh trong việc phát triển năng lực đọc hiểu cũng như năng lực suy luận thống kê, xác suất Khi gặp tình huống trong một số bài toán thống kê, xác suất có thể làm cho học sinh hiểu sai, các em dựa trên những kinh nghiệm, trực giác sai lầm chủ quan của bản thân

để đưa ra lời giải cho bài toán, giáo viên chưa kịp thời giúp học sinh hiểu đúng vấn đề Học sinh chỉ thực sự chú trọng vào việc áp dụng các công thức để tính toán, mục đích của học sinh chỉ là làm sao để giải được bài toán đó mà học sinh

ít quan tâm tới cách vận dụng bài toán đó trong thực tiễn Cơ sở vật chất phục vụ đổi mới phương pháp giảng dạy môn học còn nhiều bất cập, dẫn đến nhiều hạn chế trong việc phát triển năng lực suy luận thống kê và suy luận xác suất

Chủ đề Xác suất và Thống kê là một chủ đề mới được đưa vào chủ đề Toán

ở Trung học phổ thông trong những năm gần đây, trong đó xuất hiện nhiều thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm mới Mặt khác, những giáo viên (có tuổi) Trung học phổ thông rất ngại dạy học những đơn vị kiến thức này, nội dung này ít nằm trong thi

cử cho nên nhiều giáo viên tùy tiện cắt bỏ nội dung này Nội dung chương trình chưa mô tả hết được quy trình vận dụng những đơn vị kiến thức này vào đời sống thực tiễn

1.4 Vận dụng phương pháp mô hình hóa vào dạy học Xác suất- Thống

kê

Các tri thức về Xác suất và Thống kê toán là những tri thức có liên hệ trực tiếp với thực tiễn; do đó, dạy học những vấn đề này có điều kiện đưa toán học xâm nhập sâu rộng vào đời sống của con người Quá trình vận dụng các phương pháp xác suất và thống kê toán vào trong thực tiễn Hay nói một cách khác, các bảng số liệu, biểu đồ, đồ thị, đa giác tần số (tần suất) ghép lớp trong thống kê và khái niệm xác suất là các mô hình toán phản ánh một sự vật, hiện tượng nào đó Khoa học Thống kê là một lĩnh vực của khoa học toán học liên quan tới việc thu thập, phân tích và diễn giải hay giải thích và trình bày số liệu Xác suất

và Thống kê cung cấp những công cụ để dự đoán và dự báo bằng việc sử dụng

số liệu và các mô hình thống kê Xác suất- Thống kê đã xâm nhập vào cuộc sống đời thường ngày càng phổ biến và mạnh mẽ Các mẫu trong số liệu có thể được

mô hình hóa theo cách mà họ có thể kiểm soát được tính ngẫu nhiên và tính không chắc chắn trong quan sát Nhằm xác định, thực hiện được hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế, là một phần của phương pháp mô hình hóa

Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà con người dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các sự vật và hiện tượng Quá trình mô hình hóa một sự kiện nào đó thường xảy ra ba giai đoạn chính:

- Giai đoạn 1là giai đoạn xây dựng mô hình, đó là quá trình tìm “vật” đại diện; thông thường cần sự liên tưởng đến những vấn đề tương tự Trong giai đoạn này, vai trò của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng

- Giai đoạn 2 là giai đoạn nghiên cứu trên mô hình Trong giai đoạn này,

mô hình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người ta áp dụng các phương pháp lí thuyết và thực nghiệm khác nhau

- Giai đoạn 3 là giai đoạn xử lí kết quả và điều chỉnh mô hình Trong giai đoạn này, kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu

để đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình

Ba giai đoạn trong quy trình mô hình toán chính là cơ sở để hình thành, làm tiền đề tương ứng với quá trình vận dụng xác suất vào thực tiễn như sau: Nắm chắc phép thử (sự vật, hiện tượng) ) → Xây dựng không gian mẫu (mô hình toán của phép thử) → Dựa trên không gian mẫu đánh giá khả năng xác suất của biến

cố Mỗi giai đoạn xây dựng những mô hình tổng quát, khái quát hóa để từ đó từng bước cụ thể hóa, đưa ra các bước cho học sinh tìm xác suất Cho nên việc vận dụng phương pháp mô hình hóa vào dạy học Xác suất Thống kê là rất quan trọng và cần thiết để đem lại hiệu quả cho chất lượng dạy học

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ QUAN ĐIỂM VỀ DẠY HỌC XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TRONG NHÀ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Nội dung Thống kê- Xác suất trong chương trình THPT

2.1.1 Nội dung Thống kê trong chương trình Trung học phổ thông

Bài 3: Số trung bình cộng Số trung vị Mốt

Bài 4: Phương sai và độ lệch chuẩn

Phân tích

a) Phương pháp thu thập số liệu

Trước hết, nếu nhìn vào tựa bài ta nhận thấy hai bài đầu nói về phương pháp trình bày số liệu, hai bài sau nói về các tham số đặc trưng (xử lí số liệu) Nhưng thực ra phần phương pháp thu thập số liệu được nhắc lại trong bài đầu ở phần ôn tập, kiến thức này đã được học ở lớp 7 Tuy nhiên qua một giai đoạn dài không được nhắc lại nên đối với học sinh có thể xem như là kiến thức mới Ở mảng kiến thức thứ nhất này sách giáo khoa nêu:

Khi thực hiện điều tra thống kê (theo mục đích đã định trước), cần xác định tập hợp các đơn vị điều tra và thu thập các số liệu

Tập hợp các đơn vị điều tra là tập hợp 31 tỉnh, mỗi một tỉnh là một đơn vị điều tra Dấu hiệu điều tra là năng suất lúa hè thu năm 1998 ở mỗi tỉnh

Ở đây sách giáo khoa đưa ra ví dụ có nội dung thực tiễn nhưng không đưa

ra vấn đề thực tiễn, do đó cũng không đưa ra cách xây dựng mô hình phỏng thực tiễn mà chỉ đưa ra dạng mô hình Toán học Các khái niệm cũng chỉ được nhắc lại một cách sơ sài thông qua ví dụ 1 chứ không đưa ra khái niệm về dấu hiệu, đơn vị điều tra…

b) Phương pháp trình bày số liệu

Có hai nội dung được xem xét trong phần này là phương pháp trình bày bảng và phương pháp trình bày biểu đồ Phương pháp trình bày dạng bảng gồm:

số liệu rời rạc, bảng tần số- tần suất, bảng tần số- tần suất ghép lớp

Sách giáo khoa thông qua ví dụ 1 ở trên, thấy có năm giá trị khác nhau, giá trị x 1 25 xuất hiện 4 lần, và gọi n 1 4 là tần số của giá trị x , tương tự cho các 1

giá trị còn lại Giá trị x có tần số là 4 do dó chiếm tỷ lệ là 1 4

12,9%

31 và gọi đó

là tần suất của giá trị x , tương tự cho các giá trị còn lại Sau đó lập bảng gồm 3 1

cột: Năng suất lúa, tần số, tần suất và gọi bảng trên là bảng phân bố tần số, tần suất Ở đây sách giáo khoa chủ yếu là chỉ cho học sinh biết cách tìm tần số, tần suất Phần này, sách giáo khoa dùng lại ví dụ 1 ở trên nên vấn đề thực tiễn không được đặt ra Hơn nữa, việc trình bày ở sách giáo khoa cũng chưa cho thấy nhu cầu xuất hiện của bảng tần số- tần suất là cần thiết Sách giáo khoa cũng chưa đưa ra khái niệm tần số, tần suất và công thức tính tần suất mà chỉ ngầm định qua ví dụ Mặt khác, sách giáo khoa cũng không nhắc đến mẫu, kích thước mẫu khi điều tra Sang phần bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, sách giáo khoa đưa ra ví dụ 2:

Để chuẩn bị may đồng phục cho học sinh, người ta đo chiều cao của 36 học sinh trong một lớp học và thu được các số liệu thống kê ghi trong bảng , và sách giáo khoa đưa ra bảng số liệu Tiếp theo sách giáo khoa nêu: Để xác định hợp lí

số lượng quần áo cần may cho mỗi “kích cỡ” ta phân lớp các số liệu trên như sau Sách giáo khoa chia thành 4 lớp, và nêu tiếp là có 6 số liệu thuộc lớp 1, ta

gọi n  là tần số của lớp 1, các lớp khác sách giáo khoa nêu tương tự Sau đó, 1 6

tính các tỷ số 1 6 16,7%, 2,

36

f   f và gọi là tần suất của các lớp Các kết quả

trên được trình bày gọn trong bảng gồm 3 cột: lớp đo số chiều cao, tần số, tần suất Như vậy, sách giáo khoa khi trình bày phần này cũng chỉ đưa ra ví dụ rồi thông qua ví dụ đó chỉ cho học sinh cách tính tần số, tần suất trong mỗi khoảng

và cách lập bảng

Mặc dù ví dụ trên có nêu mục đích là để chuẩn bị may đồng phục cho học sinh, nhưng sau đó lại cho sẵn bảng số liệu đo chiều cao của 36 học sinh, vậy nên vấn đề thực tiễn (mục đích) đặt ra xem như không có ý nghĩa Sách giáo nêu

ra lí do để phân lớp cho các số liệu cũng chưa thật thuyết phục và cũng chỉ có tính áp đặt cho ví dụ này Vậy nên khi đứng trước một vấn đề thực tiễn khác học sinh sẽ không biết xử lí

Sau khi tính toán sách giáo khoa có nêu: số liệu trên cho ta cơ sở để xác định số lượng quần áo cần may của mỗi cỡ Chẳng hạn, vì số học sinh có chiều cao thuộc lớp thứ nhất chiếm 16,7% tổng số học sinh, nên số quần áo cần may thuộc cỡ tương ứng với lớp đó chiếm 16,7% số lượng quần áo cần may Ta cũng

có kết luận tương tự đối với các lớp khác

Nếu lớp học trên đại diện được cho toàn trường thì có thể áp dụng kết quả

đó để may quần áo cho học sinh cả trường

Ở đây sách giáo khoa lúc đầu đưa ra ví dụ rồi dùng kiến thức toán học để tính toán, sau đó dùng kết quả để làm cơ sở cho vấn đề đặt ra Tuy nhiên 36 học sinh trong một lớp học thì không thể nào đại diện cho học sinh cả trường được nên ví dụ cũng chỉ mang tính hình thức mà thôi Trong phần này, sách giáo khoa cũng chưa làm cho học sinh thấy được nhu cầu và ý nghĩa thật sự của việc chia lớp, trong mỗi lớp cũng chưa nêu giá trị đại diện cho lớp

Biểu đồ:

Sách giáo khoa trình bày 3 loại biểu đồ: biểu đồ tần suất hình cột, biểu đồ

đường gấp khúc tần suất, biểu đồ hình quạt Sách giáo khoa nêu: Ta có thể mô tả

một cách trực quan các bảng phân bố tần suất (hoặc tần số), bảng phân bố tần suất (hoặc tần số) ghép lớp bằng biểu đồ hoặc đường gấp khúc

Sau đó đưa ra ví dụ cho từng loại biểu đồ nhưng trong đó chỉ có biểu đồ đường gấp khúc tần suất là có trình bày cách vẽ còn hai loại còn lại sách giáo khoa chỉ đưa ra biểu đồ mà không trình bày cách vẽ Ở đây, sách giáo khoa cũng chưa làm cho học sinh thấy rõ nhu cầu của việc lập biểu đồ cũng như ý nghĩa của biểu đồ trong việc trình bày số liệu

c) Xử lý số liệu

Phần này sách giáo khoa giới thiệu các số đặc trưng của mẫu số liệu gồm các tham số định tâm (số trung bình cộng, số trung vị, mốt) và các tham số đo độ phân tán (phương sai, độ lệch chuẩn)

* Số trung bình cộng:

Đầu tiên sách giáo khoa áp dụng công thức tính số trung bình đã học ở lớp

7 để tính số trung bình của ví dụ ở bài 1 và chỉ đưa ra kết quả, không nhắc lại công thức Sau đó sách giáo khoa trình bày 2 cách tính số và công thức tính số trung bình cộng trong trường hợp bảng phân bố tần số ghép lớp và tần suất ghép lớp:

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:

phát từ vấn đề thực tiễn đặt ra mặc dù ví dụ có nội dung thực tiễn Sách giáo khoa chưa nêu được ý nghĩa của số trung bình cộng mà chỉ ngầm ẩn qua phần nhận xét của học sinh trong bài tập trên Do đó, học sinh cũng chưa hiểu được tại sao phải tính số trung bình cộng và ý nghĩa thực sự của nó khi dùng để giải quyết một vấn đề thực tiễn đặt ra

* Số trung vị:

Sách giáo khoa đưa ra ví dụ: Điểm thi toán cuối năm của một nhóm 9 học sinh lớp 6 là: 1, 1, 3, 6, 7, 8, 8, 9, 10

Điểm trung bình của nhóm là: x 5,9

Sau đó nhận xét: hầu hết học sinh (6 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm trung bình và có những điểm vượt rất xa Như vậy, điểm trung bình không đại diện được cho trình độ học lực của nhóm Từ đó, sách giáo khoa đưa ra khái niệm số trung vị

Ở đây, nhu cầu xuất hiện số trung vị sách giáo khoa có đề cập đến thông

qua ví dụ trên, ngoài ra sách giáo khoa có nêu: Khi các số liệu thống kê có sự chênh lệch lớn thì số trung bình không đại diện được cho các số liệu đó Khi đó,

ta chọn số đặc trưng khác đại diện thích hợp hơn, đó là số trung vị

Tuy nhiên, nếu xét về góc độ mô hình hóa thì ở đây vấn đề thực tiễn cũng chưa được đặt ra, ví dụ trên cũng chỉ thuần túy về mặt toán học, ý nghĩa của số trung vị chưa được đề cập rõ

* Mốt:

Sách giáo khoa nhắc lại khái niệm mốt đã học ở lớp 7: Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là M Sau đó đặt ra e

câu hỏi để làm rõ hơn khi bảng phân bố có nhiều hơn một mốt

Phần này sách giáo khoa chỉ đưa ra khái niệm mốt và trình bày cho học sinh biết cách tìm mốt mà không hề đề cập đến nhu cầu xuất hiện mốt cũng như

ý nghĩa của mốt Vấn đề thực tiễn ở đây cũng không được đặt ra

* Phương sai và độ lệch chuẩn:

Phương sai:

Đầu tiên, sách giáo khoa đưa ra ví dụ, các số liệu cho sẵn dưới dạng 2 dãy

số liệu, trung bình cộng của mỗi dãy số liệu bằng nhau Sau đó, bình phương các

độ lệch, trung bình cộng các bình phương độ lệch và gọi đó là phương sai Sách giáo khoa cũng đưa ra một ví dụ tính phương sai trong trường hợp mẫu số liệu thống kê dạng ghép lớp Tuy nhiên, trước đó khi chưa tính bình phương các độ lệch sách giáo khoa đã nhận xét được độ phân tán của dãy số liệu Điều đó cho thấy việc tính phương sai không còn ý nghĩa Vì thế, ví dụ mà sách giáo khoa đưa ra vẫn chưa đạt Sách giáo khoa trình bày công thức tính phương sai trong 2 trường hợp:

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:

Sách giáo khoa nêu: nếu để ý đơn vị đo của phương sai là bình phương đơn

vị đo của dấu hiệu được nghiên cứu Muốn tránh điều này, có thể dùng căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn

Trong phần này, sách giáo khoa đưa ra ví dụ sau đó nêu cách tính phương sai và độ lệch chuẩn, sách giáo khoa không đưa ra khái niệm phương sai cũng như độ lệch chuẩn Về ý nghĩa của phương sai thì sách giáo khoa không trình

bày rõ mà đưa vào chú ý: Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có

số trung bình cộng bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, nếu phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu thống kê càng bé

Phương sai và độ lệch chuẩn ở đây nhìn chung thì sách giáo khoa cũng chỉ

trình bày cho học sinh về cách tính toán còn về ý nghĩa cũng thể hiện một cách

mờ nhạt Phương sai và độ lệch chuẩn không được xuất phát từ một vấn đề thực

tiễn, nhu cầu xuất hiện không được đề cập đến Và cũng vì không xuất phát từ

vấn đề thực tiễn nên sau khi tính phương sai và độ lệch chuẩn thì không nêu

nhận xét, ya nghĩa hay kết luận được điều gì

Từ sự phân tích trên, chúng tôi nhận thấy rằng: hầu hết các ví dụ và bài tập

trong sách giáo khoa đều có nội dung thực tiễn, nhưng hầu hết đã được phát biểu

ở dạng ngôn ngữ toán học Một số bài có yêu cầu nhận xét hay nêu ý nghĩa

nhưng do vấn đề thực tiễn không được đặt ra nên việc nêu ý nghĩa hay nhận xét

cũng chỉ mang tính hình thức chứ không phản ánh được ý nghĩa thực sự của nó

2.1.2 Nội dung Xác suất trong chương trình Trung học phổ thông

Khái niệm xác suất được đưa vào giảng dạy chương II có tên gọi là Tổ hợp

và xác suất trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 Chương này được dạy

trong 20 tiết, gồm các nội dung sau:

- Hai quy tắc đếm cơ bản

- Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

- Công thức nhị thức Newton

- Biến cố và xác suất của biến cố

- Các quy tắc tính xác suất

- Xác suất có điều kiện

- Phân bố xác suất của biến cố ngẫu nhiên rời rạc

- Kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc

Mục tiêu về kỹ năng mà học sinh phải đạt được sau khi học chương II là:

“Biết vận dụng kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác

suất” “Biết cách mô tả, xây dựng không gian mẫu, mô tả các biến cố có liên

quan với phép thử và tính xác suất của nó theo định nghĩa cổ điển”

Phần Đại số tổ hợp đã được khẳng định là công cụ chủ yếu cho tính toán

xác suất: “Các bài toán về xác suất ở đây có liên quan chặt chẽ đến vấn đề tổ

hợp Do đó, nếu học sinh có kỹ năng giải toán tổ hợp tốt thì có nhiều thuận lợi khi giải các bài toán về tính xác suất

2.1.2.1 Một số khái niệm liên quan đến khái niệm xác suất

a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:

* Trước khi đưa ra định nghĩa, sách giáo khoa đưa ra một ví dụ về một mô hình rất quen thuộc đó là gieo súc sắc: “Khi gieo một con súc sắc, số chấm trên mặt xuất hiện được coi là kết quả của việc gieo súc sắc Ta nhận thấy rằng rất khó dự đoán trước được kết quả của mỗi lần gieo Nó có thể là bất

kỳ một con số nào trong tập hợp 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Ta gọi việc gieo súc sắc nói trên là một phép thử ngẫu nhiên”

Trong ví dụ này, sách giáo khoa cũng đã nêu ra một số đặc điểm của hành động “gieo một con súc sắc” Và hành động “gieo súc sắc” gọi là phép thử ngẫu nhiên Như vậy, với ví dụ này sách giáo khoa đã nêu ra một số thuộc tính bản chất của khái niệm, hình thành biểu tượng về khái niệm, từ đây có thể phác thảo được định nghĩa về phép thử ngẫu nhiên

Qua đó, sách giáo khoa đã đưa ra định nghĩa như sau: Một phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:

- Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau;

- Kết quả của nó không dự đoán trước được;

- Có thể xác định được tâp hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó

Phép thử thường được kí hiệu chữ T

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ  (đọc là ô-mê-ga)

* Sau cùng, sách giáo khoa đưa ra hai ví dụ kèm lời giải và hoạt động H1 với yêu cầu là tìm không gian mẫu của phép thử “gieo ba đồng xu phân biệt” Đây là dạng hoạt động để củng cố khái niệm không gian mẫu

Như vậy, khái niệm phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu được đưa vào tiến trình  công cụ đối tượng bằng con đường quy nạp

b) Biến cố liên quan đến phép thử

* Sách giáo khoa đã sử dụng thuật ngữ “biến cố” ngay trong ví dụ 3 để dẫn dắt đến khái niệm biến cố liên quan đến phép thử “Giả sử T là phép thử

“gieo một con súc sắc” Xét biến cố A: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một

số chẵn” Ta thấy việc xảy ra hay không xảy ra biến cố A tùy thuộc vào kết quả của T Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T là 2, hoặc 4, hoặc

6 Do đó, biến cố A được mô tả bởi tập hợp A 2 , 4 , 6 Biến cố A được gọi là biến cố liên quan đến phép thử T

Cũng như ở phần trên, ví dụ này cũng nêu ra những đặc điểm của biến cố A liên quan đến phép thử T Sau đó, sách giáo khoa đưa ra tên gọi cho A là “biến

cố liên quan đến phép thử T” Tiếp theo, sách giáo khoa đưa ra hoạt động H2:

“Xét biến cố B: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số lẻ” và biến cố C: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố” Hãy viết ra tập hợp  ,B C mô tả các biến cố B,C”

Việc đưa ra hoạt động này có tính chất luyện tập theo ví dụ mẫu

* Sau đó, sách giáo khoa tổng quát lên thành định nghĩa: “Một biến cố A liên quan đến phép thử T được mô tả bởi một tập con A nào đó của không gian mẫu  của phép thử đó Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập hợp A Mỗi phần tử của A được gọi là một kết quả thuận lợi cho A” Như vậy, sách giáo khoa cũng đã sử dụng tiến trình đối tượng 

công cụ và con đường quy nạp để đưa vào khái niệm biến cố Sách giáo khoa không đồng nhất biến cố A với “tập hợp mô tả” nó mà có sự phân biệt một cách rất thận trọng

2.1.2.2 Về định nghĩa của khái niệm xác suất

Cấu trúc của tiến trình đưa vào khái niệm xác suất trong sách giáo khoa là:

Đại số tổ hợp

Xác suất theo định nghĩa cổ điển

Xác suất theo định nghĩa thống kê

Trình tự này là hợp lí bởi vì nó tuân theo lịch sử hình thành khái niệm xác suất

* Sách giáo khoa đã sử dụng thuật ngữ “khả năng” trong lúc đặt vấn đề đi đến khái niệm xác suất như sau: “Trong cuộc sống hàng ngày, khi nói về biến cố

ta thường nói về biến cố này có khả năng xảy ra hơn biến cố kia Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng cách gán cho mỗi biến cố một con số không âm, nhỏ hơn hay bằng 1 gọi là xác suất (phần chắc) của biến cố đó Xác suất của biến cố A được kí hiệu là P A Nó đo lường khả năng khách quan sự xuất hiện của biến cố A Biến cố chắc chắn (biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác suất bằng 1 Biến cố không thể (biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác suất bằng 0”

Ở đây, xác suất có nghĩa là “khả năng xảy ra” nó có dạng “một con số không âm nhỏ hơn hay bằng 1”

a) Định nghĩa cổ điển của xác suất

*Sau đó, sách giáo khoa đưa ra ví dụ 4 (đã được lược bỏ bảng liệt kê các kết quả của phép thử: “Giả sử T là phép thử “Gieo hai con súc sắc” Kết quả của

T là cặp số x, y, trong đó x và ytương ứng là kết quả của việc gieo con súc sắc thứ nhất và thứ hai Xét biến cố A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là 7”

Tập con A của  mô tả A gồm 6 phần tử là:

6

 được gọi là xác suất của A”

Trong ví dụ này, sách giáo khoa đã đưa ra bảng liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử, và phân tích các điều kiện về không gian mẫu hữu hạn

và các kết quả đồng khả năng xuất hiện: “Phép thử T có 36 kết quả có thể Nếu con súc sắc được chế tạo cân đối thì các mặt của con súc sắc đều có cùng khả năng xuất hiện Ta nói 36 kết quả của T là đồng khả năng”

Xác suất của biến cố A trong ví dụ là tỉ số

36

6 (chính là tỉ số của số kết quả

thuận lợi cho biến cố A với tất cả các kết quả xảy ra)

* Sau ví dụ dẫn dắt trên, sách giáo khoa đưa ra định nghĩa “định nghĩa cổ điển của xác suất” như sau: “Giả sử phép thử T có không gian mẫu  hữu hạn

và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên quan tới phép thử T và A là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số, kí hiệu

là P A , được xác định bởi công thức:  

có bước kiểm tra các điều kiện đó

Hơn nữa, trong sách giáo khoa cũng không nói đến việc khi nào có thể giả thiết các kết quả đồng khả năng Sách giáo viên có viết: “Thông thường đó là khi mà ta không có một lí do nào đó để xem kết quả này có khả năng xảy ra nhiều hơn kết quả kia Chẳng hạn như: khi gieo con súc sắc chế tạo một cách cân đối thì khả năng lật mặt sấp và mặt ngửa là như nhau; khi ta chọn ngẫu nhiên một người trong một nhóm người một cách vô tư, không thiên vị thì khả năng được chọn của mỗi người là như nhau; khi ta chia một cỗ bài túi lơ khơ thì

cỗ bài phải tráo thật kĩ thì kết quả mới đồng khả năng”

Vậy là, qua một số ví dụ, sách giáo viên đã nêu lên cách nhận biết xem một phép thử kết quả đồng khả năng hay không Với cách trình bày như trên, sách giáo khoa đã đưa định nghĩa cổ điển của xác suất vào theo tiến trình đối tượng

 công cụ và bằng con đường quy nạp

b) Định nghĩa thống kê của xác suất:

* Sách giáo khoa đã đưa ra định nghĩa như sau: “Xét phép thử T và biến cố

A liên quan đến phép thử đó Ta tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần