Tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu hạn

1.3 BỔĐỀSẮP XẾP VÀ NHÓM ĐỐIXỨNGNHÓM HOÁN VỊ Sựtồntạithànhphầnnghịchđảocủamỗiphầntửlàtínhchấtđặctrưngc ủa nhóm.Hệquả trựctiếpcủatínhchấtnàylà bổđềsắpxếp... Hãyxéttrườnghợpvớinhómhữuhạnhạn

vậndụngchúngmộtcáchlinhhoạt.Đồngthờiviệcgiảibàitậplàmộthìnhthứccủngcố,ônt ập,hệthốnghóakiếnthứcvàbiếnkiếnthứcđóthànhvốnriêngcủangườihọc.Khinhậpmônlýthuyếtnhóm,córấtnhiềubạngặpkhókhăntrongviệcgiảibàitậpcủahọc

phầnnày.Vìvậytôichọnđềtài“Tổnghợpmộtsốbàitậpvềnhómhữuhạn”vớimục

đíchtổnghợpmộtsốbàitậpvềnhómhữuhạnđểhiểuvànắmvữngcácđặcđiểmcũngnhưtínhchấtcủacácnhómhữuhạnthườngdùngtrongvậtlý

Tôihivọngđềtàinàycóthểlàtàiliệuthamkhảochonhữngbạnbướcđầulàmquenvớibộmônlýthuyếtnhóm

 Hạngcủanhóm:làsốphầntửcủanhóm(nếunhómlàhữuhạn).

Nhómmàs ố phầnt ử củanhómlàhữuhạnđượcgọil à nhómhữuhạn,ngượclạilànhómvôhạn

Vídụ 3 : Nhómđơngiảntiếptheocó2phầntử,trongđócómộtphầntửđơn

vị.Tabiểuthịnhómnàybởie,a.Tùytheotínhchấtcủae,taphảicóee=evàea=ae= a.Vậychỉcònaacầnđượcxácđịnh.Hoặcaa=e,hoặcaa=a.Khảnăngthứhailàkhôngt hểvìnếunhâncả2vếvớia -1thì dẫntớia = e

Vídụ 4 :ChỉcóduynhấtmộtnhómbaphầntửC 3vớibảngnhânnhómđượcđưaraởbảng1

.2.Vìa -1 =bnêntacóthểbiểuthị3phầntửnàybởie,a,a1

vớiđòihỏirằnga 3 =e.

i2/3 i2 /3

CácvídụcụthểvềnhómC 3l à :(i)cácsố vớiluậtnhânthôngthường,

tửnàylàe,a,b,c,bảngnhânđượcđưaraởbảng1.3.Bốnphầntửn à y

tươngứngvớicácphépbiếnđổiđốixứngtronghình1.1:(i)giữhìnhkhôngđổi,

(ii)phépchiếulêntrụcthẳngđứng( 1 , 3 ) ,

(iii)phépchiếul ên trụcnằmngang(2,4)và(iv)phépquay quanhtâmmộtgóctrongmặtphẳng.

1’

Hình1.2:DạngđốixứngD3

Đâyl à nhómn h ị diệnD3baogồm:( i ) phépbiếnđổiđơnv ị ,

(ii)phépchiếuxuốngcáctrục(1,1’),(2,2’),(3,3’),(iii)phépquayquanhtâmvớicácgóc2/

3 và4/3

Cácphépchiếulàmđổichỗhaiđiểm,chiếuthêmlầnnữatasẽtrởlạihìnhbanđầu.Vídụchiếuxuốngtrục(3,3’)làmđổichỗcủa1và2,…

Dođótabiểuthịbatoántửchiếunàylà(12),(23),(31).Cácphépquay( t h e o chiềukimđồnghồ)vớigóc2/3 và4/

3

dẫntớihoánvịtuầnhoàncủacảba

điểm,sẽ đượcbiểuthịlầnlượtlà(321)và(123)

TanhậnthấyrằngcómộtvàchỉmộtsựtươngứnggiữacácphépbiếnđổiđốixứngvàcáchoánvịcủabađiểmnàyhìnhthànhnhómhoánvịS3.Cóthểdễdàngkiểmtrarằngnếuthựchiệncácphépbiếnđổi(12)và(123)liêntiếpthìt ù y thuộcvàothứt ựápdụngsẽchokếtquảlà(31)hoặc(23).ĐiềuđóchứngtỏđâylànhómkhôngAbelian

, e,b  và e,

c 

dụ 2 : NhómS3cóbốnnhómconriêngbiệtnhưsau:

e,12 ,e,23 ,e,31 ,vàe,123,321 .Banhómconđầulànhómhạng2,nhómcònlạilànhómhạng3

1.3 BỔĐỀSẮP XẾP VÀ NHÓM ĐỐIXỨNG(NHÓM HOÁN VỊ)

Sựtồntạithànhphầnnghịchđảocủamỗiphầntửlàtínhchấtđặctrưngc ủa nhóm.Hệquả trựctiếpcủatínhchấtnàylà bổđềsắpxếp

Bổđềsắpxếp:Nếucó p,b,c 

Chứngminh:Nhântráicảhaivếvới

p 1

Kếtquảnàycónghĩalà:NếubvàclànhữngphầntửkhácnhaucủaGthìpbvàpccũ ngkhácnhau.BởivậynếutấtcảcácphầntửcủaGđượcsắpxếptheomộttrậttự

vàđềunhântráivớicùngmộtphầntửpthìthứtựcủakếtquả

Hãyxéttrườnghợpvớinhómhữuhạnhạngn.Tabiểuthịcácphầntửcủanhó

mlà g1,g2, ,gn.Nhânmỗiphầntửnàyvớimộtphầntửkhôngđổih

thìkếtquảlàhg1,hg2, ,hg n g h1 ,g h2, ,

g hn ởđây h1,h2, ,hn làmộthoánvịcủacácsố1,2, ,n được xácđịnhbởih.Từđótatìmđượcbản

ứhai.Tậphợpn!

hoánvịcủanđốitượnghìnhthànhmộtnhómS n,gọilànhómhoánvịhaynhómđốixứng.Khôngkhóđểnhậnthấyrằngkếtquảthứhaicủasựđổichỗsẽdẫntới

mộthoánvị.Điềunàyđịnhnghĩaphépnhânnhóm.Phầntửđơnvịtươngứngviệckhôngcósựđổichỗ,tứclà

3vàđượckíhiệulà(134).Tươngtự,2

và5hìnhthànhmộtchukì-

2,đượckíhiệulà(25).Số6khôngbịxáotrộn,nócódạngchukì-1,đượckíhiệulà(6).Cáckíhiệutuầnhoàn(134)(25)(6)đ ã xácđịnhrõphéphoánvị.Vớik íhiệunày,phầnt ửđơnvịbaogồm nc hu kì-1v ànghịchđảocủa

p1,p2, ,p mlànhữngsốgiốngnhưvậytrongcấpnghịchđảo,tứclà

p m ,p m1 , ,p1.R õ ràngrằngvịtrítuyệtđốicủamộtsốtrongchukìlàkhôngquantrọng, chỉcầnkểđếnbậctuầnhoàn

Phép đẳngcấu:Hainhóm GvàGđược gọilàđẳngcấunếutồntạimộtvà

củaS 3gồmc á c phầnt ử e,123,321 .Tathựchiệnv ídụnàydựavàochứngminhtổngquátởtrên

NếucóbaphầntửcủaC 3 là(g 1 ,g 2 ,g 3 )thìnhântráivớie(=g 1)chotamột

tậphợpkhôngđổi.Vìv ậy eC3 e123

cvídụtrên.Kếtquảnàyđưaramộthệquảđólà:Nếuhạngncủanhómlàmộtsốnguyê ntốthìnhómcontươngứngcủaS nchỉ g ồ m các chukì-n.

Địnhlí1.2:Nếuhạngncủanhómlàmộtsốnguyêntốthìnhómđóphảiđẳngc ấ u vớiC n

1.4 LỚPLIÊNHỢPVÀ NHÓM CONBẤT BIẾN

CácphầntửcủamộtnhómGcóthểđượcchiathànhcáclớpliênhợpvàcáclớpkề.

Cáccáchcấuthànhkhácnhauđểsắpxếpcácphầntửcủanhómsẽs ử dụngtrongviệcnghiêncứucấutrúccủanhómvà lýthuyếtbiểudiễn

M 2 M 1

(123)(321) e (31) (23) (12)

ζ 1

(123)(321)

e

(31) (23) (12)

Sựliênhợplàmộtmốiquanhệtươngđương:Trongđó

i) Mỗiphầntửliênhợpvớichínhnóaa (phảnxạ).

ii) Nếuab thìba (đốixứng).

iii) Nếuab

Lớpliênhợp:Cácphầntử củamộtnhómliênhợpvớinhauthìhìnhthànhmộtlớp.

Mỗiphầntửcủamộtnhómchỉthuộcmộtlớp.Phầntửđơnvịhìnhthànhmộtlớpvớichínhnó

H 1

(123) (321)

(31)e(23)

(12)

Hình1.3:(a)Cáclớp kềtráicủa H 1 (b)Cáclớp kềtráicủa H 2 (c)CáclớpcủaS 3.

Vídụ : (i)NhómtuầnhoànC nvới nlàsốnguyêntốlànhómđơnđiệu;

(ii)C nvới n khôngphảil à s ố nguyêntốkhôngl à nhómđơnđiệu,cũngkhôngl à nhómbá nđơnđiệu;(iii)NhómS 3khôngđơnđiệu,cũngkhôngbánđơnđiệu,

bổđềsắpxếp.

 1

Xétc á c l ớ p k ề củamộtnhómconbấtbiếnH nhưcá c phầnt ử củamộtnhómmới PhépnhâncủahailớpkềpHvàqHđượcđịnhnghĩalàmộtlớpkề

1.6 TÍCHTRỰC TIẾP

Tíchtrựctiếp:GọiH 1 vàH 2 là cácnhómconcủaGvớicáctính chấtsau:

(i) MọiphầntửcủaH 1giao hoánvớimọiphầntửcủaH 2,tứclà

 1

cũngcó ga2g H2g  Gvàa2H2.

BâygiờcóthểhìnhthànhnhómthươngG/H 2( G/H 1)vàchứngminhrằng

nóđẳngcấuvớiH 1( H 2),tứclà G/H

2 H1G/H1H2.Điềunàykhôngquángạcnhiênkhidựavàocácthuậtngữnhư“tích”và“thương”.Tuynhiênphảikiểmtralạitấtcảcác nhậnđịnhnày.Vídụ ngượclạivớiđiềutrênlà

khôngđúng,nếuHlàmộtnhómconbấtbiếncủaGvà HG/

H thìkhông

thểdẫntớiGHH.TađưaratrườnghợpcụthểnhưS 3 cónhóm

con

bấtbiến He,123,321 ,nhómthươngS 3 /Hđẳngcấuvớinhómconbấtkì

H ie,

jk  (i,j,k=hoánvịtuầnhoàncủa1,2,3).NhưngS 3khôngphải

làtíchtrựctiếpcủaHvàH ivì cácphầntửcủaHvàH ikhônggiaohoán

 1

tậ p 3 : Hãy xâydựngbảngnhânnhómcủanhómtuầnhoànC 4 Giải:

NhómtuầnhoànC 4gồmcácphầntửnhư sau: Ca e4  ,a,a ,a



-i -i i 1 -1

Tacó:

nó e  e  e  e1

Dođóphầntửđơnvịhìnhthànhmộtlớpvớichính

 1

N

4 4

g3h g3h g2h gh h g3 g2 g e

a) Xétvớimọis ốnguyêndươngi v à chứngminhtheophươngphápquy

GiảsửrằngHkhôngphảilànhómconbấtbiếnthìtồntạip  Gsaocho

PHẦNIII:KẾT LUẬN

Đềtàinàyđãgiớithiệuđượccáckháiniệmcơbảnc ủ a lýthuyếtnhómnhư:địnhnghĩanhóm,nhóm con,nhómconbấtbiến,lớpliênhợp,lớpkề,nhómthương,tíchtrựctiếp,phépđẳngcấucùngvớinhữngvídụđơngiản

Quađây,nhữnglýthuyếtcơsởvềnhómhữuhạnphầnnàođượchiệnrõ.Dựatrênlýthuyếtnày,đềtàiđãtổnghợpđượcmộtsốdạngbàitậpthườnggặpvàđưarađượcnhữngcáchgiảicụthể

Tuynhiêndođiềukiệnnghiêncứucònnhiềuhạnchếvàthờigiannghiêncứucóhạnnênđềtàikhôngtránhkhỏinhữngthiếusót.Vậyrấtmongđượcs ự gópýcủaquýthầy

cô vàcácbạnđểđềtàiđượchoànthiệnhơn

[1]NguyễnHoàngPhương(2002),LýthuyếtnhómvàứngdụngvàoVậtlýhọcLượngt ử,NXBGiáoDục.