Tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu hạn

Vì vậy tôi chọn đề tài “Tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu hạn” với mục đích tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu hạn để hiểu và nắm vững các đặc điểm cũng như tính chất của các nhóm hữ

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khi nghiên cứu các hệ vật lý, một trong những tính chất đặc biệt được quan tâm trước hết là tính đối xứng Từ tính chất đối xứng này ta có thể suy ra các định luật bảo toàn Lý thuyết nhóm cho phép ta nghiên cứu các cách đối xứng trong không gian, từ không gian 3 chiều tới không gian 4 chiều hoặc nhiều hơn Vì vậy lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng trong vật lý và đây là một môn học trong chương trình bậc đại học

Trong quá trình học vật lý, việc giải bài tập có vai trò rất quan trọng, hoạt động này giúp người học hiểu sâu kiến thức, biết phân tích và vận dụng chúng một cách linh hoạt Đồng thời việc giải bài tập là một hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hóa kiến thức và biến kiến thức đó thành vốn riêng của người học Khi nhập môn lý thuyết nhóm, có rất nhiều bạn gặp khó khăn trong việc

giải bài tập của học phần này Vì vậy tôi chọn đề tài “Tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu hạn” với mục đích tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu

hạn để hiểu và nắm vững các đặc điểm cũng như tính chất của các nhóm hữu hạn thường dùng trong vật lý

Tôi hi vọng đề tài này có thể là tài liệu tham khảo cho những bạn bước đầu làm quen với bộ môn lý thuyết nhóm

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về các nhóm hữu hạn

Giải một số bài tập về nhóm hữu hạn

3 Đối tƣợng nghiên cứu

Một số bài tập về nhóm hữu hạn

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra cơ sở lý thuyết của nhóm hữu hạn

Giới thiệu một số bài tập về nhóm hữu hạn cùng cách giải các bài tập đó

5 Các phương pháp nghiên cứu

Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán

6 Cấu trúc khóa luận

Gồm 2 chương:

Chương 1: Nhóm hữu hạn

Chương 2: Một số bài tập

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: NHÓM HỮU HẠN 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ

Định nghĩa

Một tập hợp G a b c: , , ,  được gọi là một nhóm nếu có một toán tử ∙,

được gọi là phép nhân nhóm, mà toán tử này cùng với các phần tử của G thỏa

mãn các điều kiện sau:

Tập R với phép nhân thông thường tạo thành một nhóm

Nhưng không phải bất kì phép nhân nào với một tập hợp cho trước đều tạo thành một nhóm vì không thỏa mãn đồng thời bốn tính chất trên Ví dụ:

Tập R với phép nhân thông thường, tập hợp các vectơ trong không gian ba

chiều với phép nhân vô hướng,…

 Nhóm Abelian: là nhóm mà phép nhân nhóm đòi hỏi có tính chất giao

hoán:

a b    b a với  a b ,  G

 Nhóm tuần hoàn: là một nhóm có thể được sinh ra từ một tập hợp sinh

chỉ gồm một phần tử a Nếu nhóm được viết theo lối nhân thì mỗi phần tử của nhóm là một lũy thừa của a, còn khi nhóm được viết theo lối cộng thì mỗi phần tử của nhóm là một bội của a.

 Hạng của nhóm: là số phần tử của nhóm (nếu nhóm là hữu hạn).

Nhóm mà số phần tử của nhóm là hữu hạn được gọi là nhóm hữu hạn, ngược lại là nhóm vô hạn

 Bảng nhân nhóm: là một bảng thể hiện luật nhân nhóm của các phần tử

Ví dụ 3: Nhóm đơn giản tiếp theo có 2 phần tử, trong đó có một phần tử đơn

vị Ta biểu thị nhóm này bởi  e a, Tùy theo tính chất của e, ta phải có ee=e

và ea=ae=a Vậy chỉ còn aa cần được xác định Hoặc aa=e, hoặc aa=a Khả năng thứ hai là không thể vì nếu nhân cả 2 vế với a -1

thì dẫn tới a=e

Luật nhân nhóm được tóm tắt ngắn gọn qua bảng 1.1 Nhóm này được kí

hiệu là C 2 Rõ ràng các số +1 (e) và -1 (a) hình thành nhóm này cùng với

phép nhân thông thường

1,e i  ,ei  với luật nhân

thông thường, (ii) các toán tử đối xứng của tam giác đều trong mặt phẳng, tức

Ví dụ 5: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất là hạng 4 Nó thường được gọi

là nhóm bốn hoặc nhóm nhị diện và kí hiệu bởi D 2 Nếu ta biểu thị bốn phần

tử này là e a b c, , , , bảng nhân được đưa ra ở bảng 1.3 Bốn phần tử này

tương ứng với các phép biến đổi đối xứng trong hình 1.1: (i) giữ hình không đổi, (ii) phép chiếu lên trục thẳng đứng (1,3), (iii) phép chiếu lên trục nằm ngang (2,4) và (iv) phép quay quanh tâm một góc  trong mặt phẳng

Ví dụ 6: Nhóm không Abelian nhỏ nhất là hạng 6 Nó được tạo ra từ các phép

biến đổi đối xứng dạng hình học hình 1.2

Đây là nhóm nhị diện D3 bao gồm: (i) phép biến đổi đơn vị, (ii) phép chiếu xuống các trục (1, 1’), (2, 2’), (3, 3’), (iii) phép quay quanh tâm với các góc 2 / 3 và 4 / 3 

Các phép chiếu làm đổi chỗ hai điểm, chiếu thêm lần nữa ta sẽ trở lại hình ban đầu Ví dụ chiếu xuống trục (3, 3’) làm đổi chỗ của 1 và 2,… Do đó ta biểu thị ba toán tử chiếu này là (12), (23), (31) Các phép quay (theo chiều kim đồng hồ) với góc 2 / 3 và 4 / 3 dẫn tới hoán vị tuần hoàn của cả ba điểm, sẽ được biểu thị lần lượt là (321) và (123)

Ta nhận thấy rằng có một và chỉ một sự tương ứng giữa các phép biến đổi đối xứng và các hoán vị của ba điểm này hình thành nhóm hoán vị S3 Có thể

dễ dàng kiểm tra rằng nếu thực hiện các phép biến đổi (12) và (123) liên tiếp thì tùy thuộc vào thứ tự áp dụng sẽ cho kết quả là (31) hoặc (23) Điều đó chứng tỏ đây là nhóm không Abelian

Bảng 1.4: Bảng nhân nhóm của D3 (hay S3)

Ví dụ 2: Nhóm S3 có bốn nhóm con riêng biệt như sau:

 

e, 12 , e, 23 ,   e, 31 , à   v e, 123 , 321     Ba nhóm con đầu là nhóm hạng 2, nhóm còn lại là nhóm hạng 3

Tập hợp bất kì các ma trận n n  khả nghịch bao gồm ma trận đơn vị và các ma trận có tính kín dưới phép nhân ma trận, hình thành một nhóm ma trận Một số nhóm quan trọng thường dùng sau:

(i) Nhóm tuyến tính tổng quát GL(n) bao gồm tất cả các ma trận n n  khả nghịch

(ii) Nhóm Unita U(n) bao gồm tất cả các ma trận unita, tức là các ma trận

Kết quả này có nghĩa là: Nếu b và c là những phần tử khác nhau của G thì

pb và pc cũng khác nhau Bởi vậy nếu tất cả các phần tử của G được sắp xếp theo một trật tự và đều nhân trái với cùng một phần tử p thì thứ tự của kết quả

cũng đúng với thứ tự sắp xếp ban đầu Tất nhiên kết quả cũng giống như vậy nếu ta áp dụng phép nhân phải

Hãy xét trường hợp với nhóm hữu hạn hạng n Ta biểu thị các phần tử của

nhóm là  g g1, 2, , gn Nhân mỗi phần tử này với một phần tử không đổi h

thì kết quả là hg hg1, 2, ,hg n  g h1,g h2, ,g hn ở đây  h h1, 2, , hn là một hoán vị của các số 1, 2, , n được xác định bởi h Từ đó ta tìm được bản 

chất mối quan hệ giữa phần tử h G  và một hoán vị được đặc trưng bởi

ở đây mỗi phần tử trong hàng đầu tiên được thay thế bởi một phần tử tương

ứng ở hàng thứ hai Tập hợp n! hoán vị của n đối tượng hình thành một nhóm

S n, gọi là nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng

Không khó để nhận thấy rằng kết quả thứ hai của sự đổi chỗ sẽ dẫn tới một hoán vị Điều này định nghĩa phép nhân nhóm Phần tử đơn vị tương ứng việc không có sự đổi chỗ, tức là

1 2

1 2

n e

Vì 1 được thay thế bởi 3, 3 được thay thế bởi 4, 4 được thay thế bởi 1nên

ba đối tượng này hình thành một chu kì-3 và được kí hiệu là (134) Tương tự,

2 và 5 hình thành một chu kì-2, được kí hiệu là (25) Số 6 không bị xáo trộn,

nó có dạng chu kì-1, được kí hiệu là (6) Các kí hiệu tuần hoàn (134)(25)(6)

đã xác định rõ phép hoán vị

Với kí hiệu này, phần tử đơn vị bao gồm n chu kì-1 và nghịch đảo của

p p1, 2, , p mlà những số giống như vậy trong cấp nghịch đảo, tức là

p m, p m1, , p1 Rõ ràng rằng vị trí tuyệt đối của một số trong chu kì là không quan trọng, chỉ cần kể đến bậc tuần hoàn

Phép đẳng cấu: Hai nhóm G và G  được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một và

chỉ một sự tương ứng giữa các phần tử của chúng Các phần tử này đều tuân theo luật nhân nhóm Nói cách khác, nếu gi   G gi G  và g g1 2  g3

trong G thì g g1 2  g3 trong G  và ngược lại

Ví dụ: (i) Nhóm A bao gồm các số  1, i cùng với phép nhân thông thường

đẳng cấu với nhóm tuần hoàn hạng 4,  2 / 4 4 / 4 6 / 4

4 1, i , i , i

C  e  e  e  , kí hiệu

4

A C ; (ii) Nhóm nhị diện D 3 đẳng cấu với nhóm đối xứng S3, D3  S3

Định lí 1.1 (Cayley): Mọi nhóm G hạng n đẳng cấu với một nhóm con của S n

Chứng minh: Bổ đề sắp xếp đã đưa ra một sự tương ứng từ G tới S n:

Đặt ab=c trong G Ta có sự tương ứng:

C e a ba là đẳng cấu với nhóm con

của S 3 gồm các phần tử e, 123 , 321     Ta thực hiện ví dụ này dựa vào chứng minh tổng quát ở trên

Nếu có ba phần tử của C 3 là (g 1 , g 2 , g 3 ) thì nhân trái với e (=g 1) cho ta một tập hợp không đổi Vì vậy eC3  e    1 2 3 S3 Tiếp theo nhân các

phần tử nhóm với a (=g 2 ) làm cho tập hợp được sắp xếp lại (a, b, e)=(g 2 , g 3 ,

g 1 ) Do đó tập hợp của các số (a 1 , a 2 , a 3) là (2, 3, 1) và ta thu được

Rõ ràng hai nhóm trên là hoàn toàn đẳng cấu

Ví dụ 2: Nhóm nhị diện D2 : , , ,e a b c đẳng cấu với nhóm con của S 4 bao

gồm các phần tử e, 12 34 , 13 24 , 14 23         

Hơn nữa, các kí hiệu tuần hoàn xuất hiện trong một hoán vị bất kì kết hợp với một phần tử cho trước của nhóm phải có cùng kích thước Điều này rõ ràng đúng trong tất cả các ví dụ trên Kết quả này đưa ra một hệ quả đó là:

Nếu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm con tương ứng của S n chỉ

gồm các chu kì-n

Định lí 1.2: Nếu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm đó phải đẳng

cấu với C n

1.4 LỚP LIÊN HỢP VÀ NHÓM CON BẤT BIẾN

Các phần tử của một nhóm G có thể được chia thành các lớp liên hợp và

các lớp kề Các cách cấu thành khác nhau để sắp xếp các phần tử của nhóm sẽ

sử dụng trong việc nghiên cứu cấu trúc của nhóm và lý thuyết biểu diễn

Các phần tử liên hợp: Một phần tử b  G được gọi là liên hợp với a  G

nếu tồn tại một phần tử khác p  Gsao cho 1

b  pap Ta sẽ biểu thị mối

quan hệ này bằng kí hiệu 

Ví dụ: Trong nhóm hoán vị S3 e, 12 , 23 , 31 , 123 , 321           với luật nhân nhóm được thể hiện ở bảng 1.4

Phần tử (12) liên hợp với phần tử (31) vì     1  

23 12 23   31 Cũng giống

như vậy (123) liên hợp với (321) vì     1  

12 123 12   321

Sự liên hợp là một mối quan hệ tương đương: Trong đó

i) Mỗi phần tử liên hợp với chính nó a  a (phản xạ)

ii) Nếu a  b thì b  a (đối xứng)

iii) Nếu a  b và b  c thì a  c (bắc cầu)

Ba tính chất này có thể thiết lập một cách dễ dàng Ta sẽ kiểm tra lại tính chất cuối cùng: Nếu a  b và b  c thì tồn tại ,p qG sao cho a  pbp1

và bqcq1 dẫn tới 1 1     1

a pqcq p   pq c pq  hay a  c Điều này được hiểu là một mối quan hệ tương đương bất kì sẽ cho ta một cách phân loại các phần tử của một tập hợp

Lớp liên hợp: Các phần tử của một nhóm liên hợp với nhau thì hình thành

một lớp

Mỗi phần tử của một nhóm chỉ thuộc một lớp Phần tử đơn vị hình thành một lớp với chính nó

Ví dụ: Nhóm S3 ở trên có thể chia thành 3 lớp như sau: Lớp đơn vị 1  e,

lớp chu kì-2 2       12 , 23 , 31 và lớp chu kì-3 3     123 , 321 Ví dụ này minh họa cho kết quả tổng quát của các nhóm đối xứng: Các hoán vị có cùng cấu trúc tuần hoàn thuộc cùng một lớp

(123) (321)

(31) e (23)

(12)

(123) (321)

e (31) (23)

(12)

(123) (321)

(31) (23)

(12)

e

H 1

M

M 1

M 2

H 2

ζ 1

ζ 2

Hình 1.3: (a) Các lớp kề trái của H1 (b) Các lớp kề trái của H2 (c) Các lớp của S3.

Nếu H là một nhóm con của G và a  G, thì  1 

;

H  aha hH cũng hình thành một nhóm con của G H được gọi là một nhóm con liên hợp với

H Rõ ràng rằng, nếu H và Hliên hợp với nhau thì chúng có cùng số phần tử

Nhóm con bất biến: Nhóm con H của G được gọi là nhóm con bất biến nếu H

đồng nhất với tất cả các nhóm con liên hợp của nó

Mọi nhóm G có ít nhất hai nhóm con bất biến tầm thường:  e và chính

G Nhóm đơn điệu và bán đơn điệu: Một nhóm là đơn điệu nếu nó chỉ chứa

các nhóm con bất biến tầm thường Một nhóm là bán đơn điệu nếu nó không chứa bất kì một nhóm con bất biến Abelian nào

Ví dụ: (i) Nhóm tuần hoàn C n với n là số nguyên tố là nhóm đơn điệu; (ii) C n

với n không phải là số nguyên tố không là nhóm đơn điệu, cũng không là nhóm bán đơn điệu; (iii) Nhóm S 3 không đơn điệu, cũng không bán đơn điệu,

nó có một nhóm con bất biến Abelian là e, 123 , 321    

1.5 LỚP KỀ VÀ NHÓM THƯƠNG

Lớp kề: Nếu gọi H h h1, 2,  là một nhóm con của G và p là một phần tử

của G ( p H ) thì tập hợp các phần tử pH ph ph1, 2,  được gọi là lớp

kề trái của H Tương tự như vậy, Hph p h p1 , 2 ,  được gọi là lớp kề phải

của H

Các lớp kề của H không phải là các nhóm con vì chúng không chứa phần

tử đơn vị Số các phần tử của mỗi lớp kề chính là hạng của nhóm con H Điều

này như một hệ quả của bổ đề sắp xếp

Bổ đề: Hai lớp kề trái của một nhóm con H hoặc là trùng nhau hoàn toàn,

hoặc là không có phần tử nào chung

Chứng minh: Gọi pH và qH là hai lớp kề Giả sử phi  qhj với một số

Định lí 1.3 (Lagrange): Hạng của một nhóm hữu hạn phải bằng một số

nguyên lần hạng của nhóm con bất kì của nó

Ví dụ: Xét nhóm hoán vị S 3: (i) Nhóm con H1: , 123 , 321e      có một lớp

kề M : 12 , 23 , 31       thu được bằng cách nhân trái (12) hoặc (23) hoặc

(31) với các phần tử của H; (ii) Nhóm con H2: , 12e    có hai lớp kề trái:

  

M1: 23 321 thu được bằng cách nhân (23) hoặc (321) với các phần tử

của H 2 , và M2 : 31 123    thu được bằng cách nhân (31) hoặc (123) với các

phần tử của H 2 Như vậy ta đã minh họa việc phân chia các phần tử của S 3

(i) H=eH đóng vai trò của phần tử đơn vị;

(ii) p -1 H là nghịch đảo của pH;

(iii) pHqH rH   pH qH rH pqr H

Nhóm thương: Nếu H là một nhóm con bất biến của G, tập hợp các lớp kề

cùng với luật nhân pH qH  pq H hình thành một nhóm, gọi là nhóm thương của G Nhóm thương được kí hiệu là G/H, và có hạng n G /n H

M  a a hình thành nhóm thương C 4 /H Áp dụng luật nhân của các

lớp kề miêu tả ở trên, rõ ràng rằng HM=M=MH, HH=H và MM=H Ta thấy rằng cả nhóm con H và nhóm thương C 4 /H đều hạng 2 và đẳng cấu với C 2

H  e a a Tiêu chuẩn (i) ở trên được thỏa mãn vì C 6

là nhóm Abelian và (ii) có thể được kiểm tra qua bảng 1.5 Ta có

e  ee a  a a a  ea a  a e a  ea a  a a Ở đây trong

mỗi đẳng thức, thừa số bên vế trái là tích trực tiếp của H 1 và H 2 Vì H 1 đẳng

cấu với C 2 ( H1 C2), H 2 đẳng cấu với C 3 (H2 C3) nên ta thu được

C  C C

Bây giờ có thể hình thành nhóm thương G/H 2 (G/H 1) và chứng minh rằng

nó đẳng cấu với H 1 (H 2), tức là G H/ 2  H1 G H/ 1  H2 Điều này không quá ngạc nhiên khi dựa vào các thuật ngữ như “tích” và “thương” Tuy nhiên phải kiểm tra lại tất cả các nhận định này Ví dụ ngược lại với điều trên là

không đúng, nếu H là một nhóm con bất biến của G và H   G H / thì không

thể dẫn tới G  H  H  Ta đưa ra trường hợp cụ thể như S 3 có nhóm con bất biến H e, 123 , 321    , nhóm thương S 3 /H đẳng cấu với nhóm con bất kì

 

i

H  e jk ( i, j, k = hoán vị tuần hoàn của 1, 2, 3) Nhưng S 3 không phải

là tích trực tiếp của H và H i vì các phần tử của H và H i không giao hoán