Ly thuyet cuc tri ham trung phuong

Bài toán quay trở về dạng B.. Tìm đk để đồ thị hàm số có cực tiểu mà ko có cực đại.. Tìm đk để đồ thị hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu.. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạ

Đà Nẵng, ngày 30/10/2012

CHƯƠNG 3: CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

Hàm số: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥4+ 𝑏𝑥2 + 𝑐

Ta có: 𝑦′ = 𝑓′

𝑥 = 4𝑎𝑥3+ 2𝑏𝑥

𝑦′ = 0 <=> 2𝑥 2𝑎𝑥2+ 𝑏 = 0 <=> 𝑥2 = −𝑥 = 0𝑏

2𝑎 (1)

A Kiến thức cơ bản:

- Hàm số luôn nhận 𝑥 = 0 làm 1 điểm cực trị

- Hàm số có 1 điểm cực trị khi phương trình 𝑦′ = 0 có 1 nghiệm thì phương trình (1)

có 2 nghiệm kép bằng 0, hoặc phương trình (1) vô nghiệm

<=> −

𝑏 2𝑎 = 0 <=> 𝑏 = 0 (đã 𝑥é𝑡 𝑎 ≠ 0)

−2𝑎𝑏 < 0 hay − 𝑏

2𝑎 ≤ 0

- Hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình 𝑦′ = 0 có 3 nghiệm thì phương trình (1)

có 2 nghiệm phân biệt khác 0

<=> −2𝑎𝑏 > 0 khi đó ta có 𝑦′ = 0 <=>

𝑥 = 0

𝑥 = −2𝑎𝑏

𝑥 = − −2𝑎𝑏

- Luôn giả sử được tọa độ các điểm cực trị là 𝐴 0; 𝑐 , 𝐵 𝑥1; 𝑦1 , 𝐶(𝑥2; 𝑦2)

hoặc 𝐴 0; 𝑐 , 𝐵 −2𝑎𝑏 ; 𝑦𝑏 , 𝐶 − −2𝑎𝑏 ; 𝑦𝑐 và tam giác ABC luôn cân tại A

B Một số câu hỏi thường gặp

1 Tìm đk để đồ thị hàm số có 1 cực trị

B1: Tính 𝑦′ = 𝑓′

𝑥 = 4𝑎𝑥3+ 2𝑏𝑥 B2: Giải pt: 𝑦′ = 0 <=> 2𝑥 2𝑎𝑥2+ 𝑏 = 0 <=> 𝑥2 = −𝑥 = 02𝑎𝑏 (1)

B3: Để đồ thị hàm số có 1 cực trị thì 𝑦′ = 0 có 1 nghiệm thì phương trình (1) có 2 nghiệm kép bằng 0, hoặc phương trình (1) vô nghiệm

<=> − 𝑏

2𝑎 ≤ 0

2 Tìm đk để đồ thị hàm số có 3 cực trị

B1: Tính 𝑦′ = 𝑓′

𝑥 = 4𝑎𝑥3+ 2𝑏𝑥

B2: Giải pt: 𝑦′ = 0 <=> 2𝑥 2𝑎𝑥2+ 𝑏 = 0 <=> 𝑥2 = −𝑥 = 02𝑎𝑏 (1)

B3: Để đồ thị hàm số có 1 cực trị thì 𝑦′ = 0 có 1 nghiệm thì phương trình (1) có 2 nghiệm nghiệm phân biệt khác 0

<=> − 𝑏

2𝑎 > 0

3 Tìm đk để đồ thị hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại

Bài toán quay trở về dạng B 2 và cần thêm điều kiện 𝑎 < 0

4 Tìm đk để đồ thị hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại

Bài toán quay trở về dạng B 2 và cần thêm điều kiện 𝑎 > 0

5 Tìm đk để đồ thị hàm số có cực tiểu mà ko có cực đại

Bài toán quay trở về dạng B 1 và cần thêm điều kiện 𝑎 > 0

6 Tìm đk để đồ thị hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu

Bài toán quay trở về dạng B 1 và cần thêm điều kiện 𝑎 < 0

7 Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác vuông

B1: Tính 𝑦′

B2: Giải pt 𝑦′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm

B3: Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông tại đỉnh A

Khi đó ta có đk: 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 0

Trong đó: 𝐴𝐵 = − 𝑏

2𝑎; 𝑦𝑏− 𝑐 và 𝐴𝐶 = − − 𝑏

2𝑎; 𝑦𝑐 − 𝑐 Như vậy ta sẽ có: 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 0 <=> 𝑏

2𝑎+ 𝑦𝑏 − 𝑐 2 = 0

Cách khác: Dùng định lý Pi-ta-go

Ta có: 𝐴𝐵2+ 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 <=> 2𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶2

8 Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác đều

B1: Tính 𝑦′

B2: Giải pt 𝑦′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm

B3: Do tam giác ABC đã cân nên chỉ cần cạnh bên bằng cạnh đáy, hay 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶

=> 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶2 <=> −𝑏

2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2 =

−2𝑏 𝑎 Trong đó:

𝐴𝐵 = −2𝑎𝑏

2 + 𝑦𝑏− 𝑐 2

và 𝐵𝐶 = − −2𝑎𝑏 − −2𝑎𝑏

2 + 𝑦𝑐− 𝑦𝑏 2 = 2 −2𝑎𝑏

2

Cách khác:

Do tam giác ABC đã cân nên chỉ cần có thêm góc 𝐵𝐴𝐶 = 600

Ta sẽ có:

cos 𝐵𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 .𝐴𝐶

𝐴𝐵 𝐴𝐶 <=>12=

𝑏 2𝑎 + 𝑦𝑏−𝑐 2 −2𝑎𝑏

2

+ 𝑦𝑏−𝑐 2 −2𝑎𝑏

2

+ 𝑦𝑐−𝑐 2

<=> 1

2=

𝑏 2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2 −2𝑎𝑏

2 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2

9 Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có 1 góc bằng

1200

B1: Tính 𝑦′

B2: Giải pt 𝑦′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm

B3: Do tam giác ABC đã cân nên chỉ cần có thêm góc 𝐵𝐴𝐶 = 1200

Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏) là trung điểm của 𝐵𝐶

Ta có: cos 𝐻𝐴𝐵 =𝐴𝐻

𝐴𝐵 <=> 𝑐𝑜𝑠600 = 𝐴𝐻𝐴𝐵 <=> 𝐴𝐵 = 2𝐴𝐻 <=> 𝐴𝐵2 = 4𝐴𝐻2 Trong đó:

𝐴𝐵 = − 𝑏

2𝑎

2 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2

𝐴𝐻 = 0 − 0 2+ 𝑦𝑏 − 𝑐 2 = 𝑦𝑏− 𝑐 2

Như vậy ta có: −2𝑎𝑏

2 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2 = 4 𝑦𝑏 − 𝑐 2

Cách khác:

Do tam giác ABC đã cân nên chỉ có thể góc 𝐵𝐴𝐶 = 1200

Ta sẽ có:

cos 𝐵𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 .𝐴𝐶

𝐴𝐵 𝐴𝐶 <=> −12 =

𝑏 2𝑎 + 𝑦𝑏−𝑐 2 −2𝑎𝑏

2

+ 𝑦𝑏−𝑐 2 −2𝑎𝑏

2

+ 𝑦𝑐−𝑐 2

<=> −1

2=

𝑏 2𝑎+ 𝑦𝑏− 𝑐 2 −2𝑎𝑏

2 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2

10 Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có một góc

𝜑 < 900

B1: Tính 𝑦′

B2: Giải pt 𝑦′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm

B3: Xét 2 trường hợp xảy ra

+ TH1: 𝐵𝐴𝐶 = 𝜑

Ta có: cos 𝐵𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 .𝐴𝐶

𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 + TH2: 𝐵𝐴𝐶 ≠ 𝜑, tức là 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐶𝐵 = 𝜑

Ta sẽ tính được 𝐵𝐴𝐶 như sau: 𝐵𝐴𝐶 = 1800− 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐶𝐵 = 1800 − 2𝜑

Khi đó: cos 𝐵𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 .𝐴𝐶

𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 𝑐𝑜𝑠 1800− 2𝜑

Lưu ý: Các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có một góc 𝜑 ≥ 900 thì có ngay

𝐵𝐴𝐶 = 𝜑

11 Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích 𝑆0 cho trước

B1: Tính 𝑦′

B2: Giải pt 𝑦′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm

B3: Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏) là trung điểm của 𝐵𝐶

Khi đó diện tích tam giác ABC sẽ là:

𝑆∆𝐴𝐵𝐶 =1

2𝐴𝐻 𝐵𝐶 <=> 2𝑆0 = 𝐴𝐻 𝐵𝐶 <=> 4𝑆02 = 𝐴𝐻2 𝐵𝐶2 Trong đó:

𝐵𝐶 = − − 𝑏

2𝑎− −

𝑏 2𝑎

2 + 𝑦𝑐 − 𝑦𝑏 2 = 2 − 𝑏

2𝑎 2

𝐴𝐻 = 0 − 0 2+ 𝑦𝑏 − 𝑐 2 = 𝑦𝑏− 𝑐 2

Như vậy ta có:

4𝑆02 = 𝑦𝑏− 𝑐 2 −2𝑏

𝑎

12 Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước

B1: Tính 𝑦′

B2: Giải pt 𝑦′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm

B3: Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏) là trung điểm của 𝐵𝐶

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC:

𝑆∆𝐴𝐵𝐶 =𝑎𝑏𝑐

4𝑅 <=> 𝑅 =

𝑎𝑏𝑐 4𝑆∆𝐴𝐵𝐶 =

𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐴

4.12𝐴𝐻 𝐵𝐶 =

𝐴𝐵2 2𝐴𝐻 Trong đó:

𝐴𝐵 = − 𝑏

2𝑎

2 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2

𝐴𝐻 = 0 − 0 2+ 𝑦𝑏 − 𝑐 2 = 𝑦𝑏− 𝑐 2

Như vậy:

𝑅 =

−2𝑎𝑏

2 + 𝑦𝑏− 𝑐 2

2 𝑦𝑏− 𝑐 2

13 Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r cho trước

B1: Tính 𝑦′

B2: Giải pt 𝑦′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm

B3: Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏) là trung điểm của 𝐵𝐶

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC:

𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑝 𝑟 <=> 𝑟 =𝑆∆𝐴𝐵𝐶

1

2𝐴𝐻 𝐵𝐶 1

2 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 =

𝐴𝐻 𝐵𝐶 2𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 Trong đó:

𝐴𝐵 = − 𝑏

2𝑎

2 + 𝑦𝑏 − 𝑐 2

𝐴𝐻 = 0 − 0 2+ 𝑦𝑏 − 𝑐 2 = 𝑦𝑏− 𝑐 2

𝐵𝐶 = − − 𝑏

2𝑎− −

𝑏 2𝑎

2 + 𝑦𝑐 − 𝑦𝑏 2 = 2 − 𝑏

2𝑎 2

Như vậy ta có: 𝑟 = 𝑦𝑏−𝑐

2 −2𝑎𝑏

2

−2𝑎𝑏

2

+ 𝑦 𝑏 −𝑐 2 + −2𝑎𝑏

2

14 Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có trọng tâm

𝐺 0; 𝑦𝐺 cho trước

B1: Tính 𝑦′

B2: Giải pt 𝑦′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm

B3: Vì 𝐺 0; 𝑦𝐺 là trọng tâm tam giác ABC nên ta có

𝑦𝐺 =𝑦𝐴+ 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶

𝑐 + 2𝑦𝐵

3 <=> 3𝑦𝐺 = 𝑐 + 2𝑦𝐵

15 Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm 𝐷 𝑥𝐷; 𝑦𝐷 cho trước

B1: Tính 𝑦′

B2: Giải pt 𝑦′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm

B3: Gọi 𝐼 𝑥𝐼; 𝐼𝑦 là tâm đường tròn ngoại tiếp

Ta có: 𝐼𝐴

2 = 𝐼𝐷2

𝐼𝐵2 = 𝐼𝐶2

𝐼𝐵2 = 𝐼𝐴2 Trong đó:

𝐼𝐴 = 0 − 𝑥𝐼 2+ 𝑐 − 𝑦 2

𝐼𝐵 = − 𝑏

2𝑎− 𝑥𝐼

2 + 𝑦𝑏− 𝑦𝐼 2

𝐼𝐶 = − − 𝑏

2𝑎− 𝑥𝐼

2 + 𝑦𝑐 − 𝑦𝐼 2 = − 𝑏

2𝑎+ 𝑥𝐼

2 + 𝑦𝑐− 𝑦𝐼 2

𝐼𝐷 = 𝑥𝐷− 𝑥𝐼 2+ 𝑦𝐷− 𝑦𝐼 2

Tài liệu soạn gấp nên nếu có sai sót xin được các bạn góp ý thêm, thank!

Mình sẽ cố gắng cập nhật các dạng mới lạ cho các bạn, sẽ có bản cập nhật mới cho các bạn khi có các dạng câu hỏi mới Hẹn gặp lại!

Chúc các bạn học tập tốt!

………HẾT………