Chứng tỏ rằng nếu phơng trình có hai nghiệm đều là số nguyên thì a2 4b2 là hợp số.. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C tuỳ ý.. 1 Chứng minh tứ giác IDKM nội tiếp.. 3 Xác định vị trí củ
Trang 1§Ò thi tuyÓn sinh THPT m«n : To¸n
Hä, tªn ngêi so¹n : NguyÔn Xu©n Phan
§¬n vÞ c«ng t¸c : Trêng T.H.C.S NguyÔn HuÖ
CÈm Giµng
§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn
n¨m häc 2008 - 2009 C©u 1: (2,5 ®iÓm)
1) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: 3 125 3 125
Trang 22) Tìm a biết: 3 1 8 1 3 2008 1 8.2008 1
Câu 2: (2 điểm)
1) Tìm nghiệm dơng của hệ phơng trình:
2 2
1 1
4
12
x y
x y
2) Cho phơng trình x2 ax 2008b 1 0 trong đó a b , Chứng tỏ rằng nếu phơng trình có hai nghiệm đều là số nguyên thì a2 4b2 là hợp số
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho P(x) là đa thức bậc 3 với hệ số của x3 là số nguyên khác 0 và khác - 1 Biết P(2007) 2008 và P(2008) 2009
Chứng minh rằng: P(2009) P(2006) là hợp số
Câu 4: (3 điểm)
Cho (O) đờng kính AB Trên tia đối của tia BA lấy điểm C tuỳ ý Qua C kẻ tiếp tuyến CD với (O) Qua D kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại E (khác D) và cắt AB tại M Đờng tròn đờng kính EC cắt (O) tại K ( khác E) Hạ DH AE (H AE) AK cắt DH tại I
1) Chứng minh tứ giác IDKM nội tiếp
2) Chứng minh I là trung điểm của HD
3) Xác định vị trí của C trên tia đối của tia BA sao cho tam giác EKC cân
Câu 5: (1 điểm)
Cho a3;b4;c và 5 a2 b2 c2 61
Tìm giá trị nhỏ nhất của A a b c
hớng dẫn chấm
125
27
2
2
1
6 0(*)
A
Phơng trình (*) vô nghiệm Vậy A = 1
0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 3, với a > 1
2
2
2
1
B
Phơng trình (*) vô nghiệm (vì a > 1) Do đó B = 1 thay a = 2008 ta có:
32008 2008 1 8.2008 1 3 2008 2008 1 8.2008 1 1
Mặt khác theo đề bài ta có:
3 1 8 1 3 2008 1 8.2008 1
Trừ từng vế của (1) cho (3), của (2) cho (3) ta đợc:
1 8 1 2008 1 8.2008 1
2008
1 8 1 2008 1 8.2008 1
2008
a
a
1 8 1 2008 1 8.2008 1
2008
1 8 1 2008 1 8.2008 1
2008
2 2.2008 2008
a
a
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2 2
1 1
4 (1)
12 (2)
x y
x y
Do x; y > 0 nên 1 1
suy ra 1 1
4
Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1
Từ (1) suy ra x = y = 1 Thay vào phơng trình (2) đợc:
0,25
0,25
Trang 4
4
z
z z
Nghiệm dơng của hệ là: 1
x y z
0,25
0,25
2
x ax b có nghiệm nguyên là x x1; 2
+ Nếu b = 0 phơng trình (*) trở thành:
2
1 2
x ax x x Do x x1; 2nguyên x1x2 1
2 2
là hợp số
+ Nếu b 0, theo Viét có x x1 2 2008b 1 là số lẻ suy ra
1 ; 2
x x là số lẻ
1 2
a x x
là số chẵn a2 4b2 4 nên là hợp số
0,25 0,25
0,25 0,25
Gọi hệ số của x3 trong P(x) là a, a ,a 0,a 1
Đặt P x( ) a x( 2006)(x 2007)(x 2008) b x( 2007)(x 2008) c x( 2008) d
Có P(2007) 2008 d c 2008
P(2008) 2009 d 2009 Do đó c = 1
Do a 0;a 1 2a 1 1 3(2a 1) là hợp số
Suy ra P(2009) P(2006) là hợp số
0,25
0,25
0,25 0,25
0,5
4
b
d
k
o
I
m
r
h
Có E đối xứng với D qua đờng kính AB nên CE là tiếp tuyến của (O) KEC KAE có KEC KMC KMC KAE
tứ giác IDKM nội tiếp
0,25
0,25 0,25 0,25
2 Xét (O) có KDE KEC KMC
Trang 5 90 0 90 0
Có tứ giác IDKM nội tiếp DIM DKM 180 0(2)
Từ (1) và (2) suy ra DIM 90 0 IM DH IM / /HE
Có MD = ME suy ra I là trung điểm của DH
0,5
0,25 0,25
3
Gọi r là bán kính của (O) Có tam giác EKC vuông tại K nên EKC cân KEC 45 0 KAE 45 0
2.
Có 1
2
DAH COE DOE AHI OEC g g
Cách xác định điểm C:
Dựng một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là r và 2r, khi đó cạnh huyền của tam giác vuông là r 5
Dựng (O; r 5) cắt tia OB tại C Khi đó C là điểm cần tìm
0,25 0,25
0,25
0,25
Đặt a 3 x b; 4 y c; 5 z x y z; ; 0
Có a2 b2 c2 61 (3 x) 2 (4 y) 2 (5 z) 2 61
11 6 x 8y 10z x 2 y2 z2
Giả sử x y z 1 0 x y z, , 1 11 7 x 9y 11z
11 11( x y z ) 11 vô lí, vậy suy ra x y z 1
Dấu “=” xảy ra
2 2 2
1
x y z
x y z
3 0
4 1
6
a
x y
b z
c
Vậy GTNN của A là 13 đạt đợc khi a = 3; b = 4; c = 6
0,25
0,25
0,25
0,25