Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007 - 2008 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng B
(1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t2 + 3 - m = 0 <=> m =
2 2
(2)
0,5
Xét f(t) =
2 2
, t 0 ; f/(t) =
2
t 2t (t t 1)
0,5
f/(t) = 0 <=> t 0
t 2
Bảng biến thiên
0,5
f(t)
3
2 5
3 Phơng trình (1) có nghiệm <=> phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn t 0 0,25
<=> 5
m 3
cosx x
(1)
3,0
(1) <=> tgx.sin2x - x3 > 0
Xét f(x) = tgx.sin2x - x3 ; x (0; )
2
0,25
f/(x) = tg2x + 2sin2x - 3x2
f//(x) = 2tgx 12
cos x + 4sinx.cosx - 6x = 3
2sin x cos x + 2sin2x - 6x.
f///(x) =
6
2cos x 6sin x.cos x
4cos2x 6 cos x
0,25 0,25
0,25
=
2 4
2cos x 6sin x
8cos x 10 cos x
4
8cos x 10cos x 4cos x 6
cos x
=
4
2(cos x 1) (4cos x 3)
0 cos x
; x (0; )
2
0,5
Trang 2=> f//(x) đồng biến trên (0; )
2
=> f//(x) > f//(0) = 0 , x (0; )
2
0,5
=> f/(x) đồng biến trên (0; )
2
=> f/(x) > f/(0) = 0 , x (0; )
2
0,5
=> f(x) đồng biến trên (0; )
2
=> f(x) > f(0) = 0 , x (0; )
2
0,5
Xét hàm số y = x + 1 x 2 trên đoạn [-1; 1], ta có:
y/ = 1 -
2
x
1 x
=
2 2
1 x
0,5
<=> x 02 2 1
x 2
Khi đó y(-1) = - 1 ; y( 1
Vậy max y = 2 khi x = 1
2 min y = - 1 khi x = - 1
0,25 0,25
x y sinx
sin y cos2y sin 2y sin x cos x 1 (2)
4
Ta có (1) <=> sin xx sin yy /
(1 )
Trang 3<=> 1 - cos2x + sin2x - (sinx + cosx) = 0
<=> 2sin2x + 2sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
<=> 2sinx(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0
<=> (sinx + cosx) (2sinx - 1) = 0
<=> sinx = 1
2 (do sinx + cosx > 0 x (0; )4
0,25
<=>
6 5
6
Do x (0; )
4
nªn x =
6
0,25 VËy hÖ cã nghiÖm: ;
6 6
Bµi 3.
T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: cos 3x 9x2 160x 800 1
8
Ta cã (1) <=> (3x 9x2 160 800) k2
8
169x 800 (3x 16k) 2
3x - 16k 0 9x
<=> 2
16k
3
3k 5
Ta cã (2) <=> 9x = 24k - 40 - 25
Do k vµ x nguyªn nªn 3k + 5 lµ íc cña 25
Trang 4Bài 4 5,5
S = 1
2CH.AB (1).
Phơng trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = a b 5
2
do đó: (1) <=> 3 1 a b 5
<=> a b 8
a b 2
0,25
0,25
0,25
Toạ độ G(a 5 b 5
;
)
Ta có: G <=> 3(a 5) b 5
8 0
<=> 3a - b = 4
0,5
=> C(-2; -10)
0,25 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 65 89
=> r = 2S 3
TH2: a b 2 a 1
=> C(1; -1)
0,25 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 5 2
=> r = 3
Ta có tâm I(1; 2), bán kính R = 1
d(I, ) = 1 2 12 2
2 R
1 ( 1)
I M
T1
Trang 5Phơng trình đờng tròn (C) là:
(x - m 2 2 m 2 2 m2 (m 2)2
<=> x2 + y2 - (m + 2)x - (m + 2)y + 3m + 1 = 0 0,5
=> phơng trình đờng thẳng T1T2 là: mx + (m - 2) y - 3m + 3 = 0 0,5 Gọi A(x0; y0) là điểm cố định mà T1T2 luôn đi qua
Ta có: mx0 + (m - 2) y0 - 3m + 3 = 0 m R
<=>
0
0
0
3 x
y 2
=> đờng thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định A(3 3
;
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
