Câu 4: 2điểm Cho tam giác ABC vuông tại A.. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh BC, lấy N đối xứng với M qua AB.. Gọi E là giao điểm của AB và MN.. AB cắt CN tại I.. Các tia CI, HE cắt nhau t
Trang 1Họ và tên : Nguyễn Xuân Phan
Đơn vị công tác : T.H.C.S Nguyễn Huệ – Cẩm Giàng
Đề thi môn : Toán
Nơi nhận : Phòng khảo thí và kiểm định CLGD
Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dơng
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2007 - 2008
Câu 1: (2điểm)
Rút gọn biểu thức :
M
Trang 2Câu 2: (2điểm)
a/ Giải phơng trình: x2 3x 2 6 x 3 3 x 2 2 x2 2x 3
b/ Cho phơng trình x2 29x 3 0 Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x1, x2 Tính giá trị của biểu thức A = x1 15 222 x2
Câu 3: (2điểm)
Cho các đờng thẳng 2x – 3y = 4 (d) ; 3x + 4y = 5 (d’)
Tìm trên trục Oy điểm có tung độ là số nguyên dơng nhỏ nhất, sao cho nếu qua điểm đó ta dựng đờng vuông góc với Oy thì đờng vuông góc ấy cắt các
đờng thẳng d và d’ tại các điểm có toạ độ là các số nguyên
Câu 4: (2điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là điểm bất kì trên cạnh BC, lấy N
đối xứng với M qua AB Gọi E là giao điểm của AB và MN AB cắt CN tại I Hạ IH BC Các tia CI, HE cắt nhau tại K Chứng minh :
I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AHK
Câu 5: (2điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AD Trên cung AD của
đờng tròn (O) không chứa C lấy điểm E BE cắt AC tại M, MO cắt DE tại
N Kẻ CH vuông góc với MN ( H thuộc đờng tròn (O)) Chứng minh :
a/ Tứ giác HENM nội tiếp
b/ Tam giác BCN vuông
hớng dẫn chấm Câu 1: (2điểm)
2
2
( 4) ( 3) ( 4)( 4) ( 3)( 3)
( 4) ( 3) ( 4)( 4) ( 3)( 3)
M
*a > 3 ( 4) 3[( 4) 3 ( 4) 3] ( 4) 3
( 4) 3[( 4) 3 ( 4) 3] ( 4) 3
M
*a -3, a - 4
( 4) 3[ ( 4) 3 ( 4) 3 ] (4 ) 3
( 4) 3 [ ( 4) 3 ( 4) 3] ( 4) 3
M
Câu 2: (2điểm)
a/ ĐKXĐ: x 3 Đa phơng trình về dạng:
Trang 31 2
h
k i
m
a n
1
e 2
1 2 1
h
m
n
b
c
a
e
2 3 2 6 3 3 2 2 2 2 3
1 2 6 3 3 2 2 1 3
( 1 x 3)( 2 x 2 3 x) 0
Giải phơng trình tiếp đợc 14
8;
3
cả hai nghiệm đều thoả mãn ĐKXĐ
Vậy phơng trình có hai nghiệm là: 14
8;
3
b/ Theo Viét ta có x1x2 29; x x1 2 3 :0,25đ
C/m đợc x1 15 222 x1 suy ra A = 222 x1 222 x2 :0,25đ
2
222 222 2 (222 )(222 )
A x x x x
444 (x x ) 2 49284 222(x x ) x x.
= 444 29 2 49284 222.29 3 1 Vì A 0 A 1 :0,25đ
Câu 3: (2điểm)
Gọi toạ độ của điểm phải tìm là: (0; a) với a là số nguyên dơng nhỏ nhất sao cho đ-ờng thẳng y = a cắt các đđ-ờng thẳng d và d’ thứ tự tại B(b; a) và C(c; a) trong đó b; c
là các số nguyên Nh vậy phải tìm số nguyên dơng a nhỏ nhất sao cho các số nguyên b, c thoả mãn: 2 3 4
3 4 5
b a
c a
:0,5đ
b c b c
Do b; c là số nguyên nên 1
8
c k
, k là số nguyên :0,5đ
Tính đợc c 8k 1;b 9k 5;a 6k 2 :0,5đ
Do a là số nguyên dơng nhỏ nhất nên k 0 a 2;b 5;c 1
Câu 4: (2điểm)
Tứ giác AIHC nội tiếp , có: H1 = C2 (1) : 0,25đ
MN // AC C2 = N = M1 (đối xứng) (2) : 0,25đ
Tứ giác HEIM nội tiếp M1 = H2 (3)
Từ (1); (2); (3) H1 = H2 HI là phân giác AHK (*) :0,25đ
BHK = AHC ; tứ giác AIHC nội tiếp
AHC = AIC; AIC = KIB(đối đỉnh)
BHK = BIK tứ giác BHIK nội tiếp :0,5đ
có BHI = 1v suy ra BKI = 1v Do đó BKC = BAC = 1v
tứ giác BCAK nội tiếp A1 = C1
Tứ giác AIHC nội tiếp C1 = A2 :0,25đ
Do đó A1 = A2 AI là phân giác HAK (**) :0,25đ
Từ (*) và (**) I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AHK :0,25đ
Câu 5: (2điểm)
Trang 4a/ Xét (O) có OM CH OM đi qua trung điểm của CH
H đối xứng với C qua MN
HMN = CMN = 900 - MCH = HCD :0,5đ Lại có tứ giác HEDC nội tiếp (O) HCD + HED = 1800
Do đó HMN + HED = 1800 Tứ giác HENM nội tiếp :0,5đ b/ Xét (O) có BCH = BEH (1)
Tứ giác HENM nội tiếp BEH = MNH (2)
Mặt khác có MNH = MNC ( đối xứng) (3)
Từ (1); (2); (3) BCH = MNC :0,5đ Lại có OM CH MNC = 900 - HCN BCH = 900 - HCN
BCN = 900 tam giác BCN vuông tai C :0,5đ