CMR khi điểm M di động trên tia Ax, đờng thẳng O’B’luôn tiếp xúc với mặt cầu đờng kính AC.. Trong P cố định, cho nửa đờng tròn đờng kính AB, trên nửa đờng tròn lấy điểm C tùy ý CA,B.. T
Trang 1Lớp 11.
Năm học 2002 – 2003. 2003.
Bảng B.
Bài 1.
a) CMR: 2sin 2 0 4sin 4 0 6sin 6 0 178sin178 0 180sin180 0 90cot g1 0
sin A sin B cos C
2
Hãy tính các góc của tam giác
Bài 2.
Cho dãy số thực :
a) CMR: un 1 c , n 1, 2,3,
b) Chứng minh dãy số trên có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn của dãy
Bài 3.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Trên tia Ax (ABCD)tại A, lấy M tùy ý Gọi B’, D’ lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ A tới MB, MD Đặt MA = m
a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AB’D’) theo a và m
b) Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua AB CMR khi điểm M di động trên tia Ax, đờng thẳng O’B’luôn tiếp xúc với mặt cầu đờng kính AC
Bài 4.
Xét số thực x thỏa mãn : x (0;1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = x29(1 - x)3
Lớp 11.
Năm học 2003 – 2003. 2004.
Bảng B.
Bài 1.
a) CMR: 8sin 183 0 8sin 182 0 1
b) Giải hệ phơng trình:
sin 2x sin y 1
4 sin 2ysin x 1
4
Bài 2.
Dãy số (un) đợc cho nh sau : n 30sin n 3cos n
u
n 2004
với n = 1, 2, 3, CMR dãy số đã cho có giới hạn Tìm giới hạn đó
Bài 3.
Trong (P) cố định, cho nửa đờng tròn đờng kính AB, trên nửa đờng tròn lấy điểm C tùy ý (CA,B)
Kẻ CHAB (HAB) Gọi I là trung điểm CH Trên nửa đờng thẳng It(P) tại I lấy điểm S sao cho
AS SB
a) Tính (SAB),(P) ?
b) CMR khi C chạy trên nửa đờng tròn đã cho thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABI chạy trên một đờng thẳng cố định
Bài 4.
CMR: (1 x)(1 y)(1 z) 1 3 xyz , x, y, z 03 Khi nào xảy ra dấu bằng ?
Lớp 12.
Năm học 2004 – 2003. 2005.
Bảng A.
Bài 1
Trang 2Giải PT: x(x8 +x2 +16) = 6(4 – x2)
Bài 2.
Cho dãy số(xn) xác định bởi :
x e ; x e ; x x x với n , n 2
a) CMR : cosn6
n
với n , n 1
b) Lập dãy số (yn) nh sau :y1 = x1 ; n
y x x x với n , n 2
Tính nlim yn
Bài 3.
Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b, các cạnh còn lại đều bằng c Gọi E, F lần lợt là trung điểm các cạnh AB, CD Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c để mặt cầu đờng kính EF tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD
Bài 4.
Cho đa thức P(x) = 3 2
x x 4x 1 a) CMR: P(x) có 3 nghiệm phân biệt
b) Gọi x , x , x 1 2 3 là 3 nghiệm của P(x) Tính tổng: 3 3 3
S
Lớp 12.
Năm học 2004 – 2003. 2005.
Bảng b.
Bài 1
Giải PT: x(x8 +x2 +16) = 6(4 – x2)
Bài 2.
Tính giới hạn :
x
sin x lim x
Bài 3.
Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b, các cạnh còn lại đều bằng c Gọi E, F lần lợt là trung điểm các cạnh AB, CD
a) CMR: EF là đờng vuông góc chung của AB và CD Tính độ dài EF theo a, b, c
b) Giả sử a + b = 2c CMR: mặt cầu đờng kính EF tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện Bài 4
Cho 2 số a, b với a > 0 thỏa mãn: đa thức P(x) = x 3 ax 2 a x b 2 có 3 nghiệm phân biệt
CMR: 27b 11a 3 16a3
Trang 3Lớp 12 Năm học 2003 – 2004.
Bảng A.
Bài 1.
a = ? để BĐT : x 6 6x 5 12x 4 ax 3 12x 2 6x 1 0 đúng x
Bài 2.
Cho dãy (xn) xác định bởi : 2 *
n
khi và chỉ khi a = -1
Bài 3.
Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = c Các
điểm M và N lần lợt di động trên các cạnh OB và OC thỏa mãn OM + ON = OA
a) CMR (AMN) luôn tiếp xúc với 1 mặt cầu cố định
b) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OAMN
Bài 4.
Tìm hàm f(n), xác định với mọi số nguyên dơng n, chỉ nhận giá trị dơng và thỏa mãn đồng thời điều kiện sau:
a) f(4) = 4
f (1).f (2) f (2).f (3) f (n).f (n 1) f (n 1)
a = ? để BĐT : x 6 6x 5 12x 4 ax 3 12x 2 6x 1 0 đúng x
Cách 1
Xét x = 0 thì BĐT đúng
Xét x 0 chia cả 2 vế cho x3 và đặt 1
x
ta đợc : t3 6t2 9t a 12 0, t 2
Đặt : f (t) t 3 6t2 9t a 12 0, t 2 Nhận thấy f(t) là hàm số lẻ nên f(t) không thể không âm với
t 2 Vậy không tồn tại giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán
Cách 2.
Làm tơng tự nh trên ta có : f (t) t 3 6t2 9t a 12 (t 3) 3 a 39 0, t 2
Với t 2 thì f (t) a 38 0 a 38 vì (t 3) 3 1 , t 2
Với t 2 mà (t 3) 3 1 , t 2 nên không thể có f (t) 0 , t 2 Vậy với t 2 thì không có giá trị của a thỏa mãn
KL: Vậy không tồn tại giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán