Chuyên đề luyện thi toán vào lớp 10

Do đó phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt.. a Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu... b Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ

Trang 1

Luyện thi vào lớp 10 www.TOANTUYENSINH.com

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

I RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Chuyên đề: LUYỆN THI VÀO LỚP 10

Trang 3

Trang 5

Trang 7

II RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA BIẾN Chuyên đề: LUYỆN THI VÀO LỚP 10

Trang 8

Bài 04: Cho biểu thức: 4 . 2 1

b) Với những giá trị nào của a thì P = 3

2 x - 2x + 1

x - 1 4x , với 0 < x < 1

 2 2

Trang 9

2 2

x x x

x

x x

với x  0.

M =

1

) 1 (

1

) 1

x x x

x

x x

+ x + 1

1

) 1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1 (

x

x x x x x

x

x x x x

1 + x

Bài 12: Rút gọn biểu thức: 1 2 1

1

x P

Trang 10

Bài 13: Cho biểu thức :P= 3 62 4

0 1

2

x x x

2 P=

) 1 )(

1 (

) 4 6 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( ) 1 )(

1 (

4 6 1

x x x

x

x x

x

) 1 (

1

1 )

1 )(

1 (

) 1 (

) 1 )(

1 (

1 2 )

1 )(

1 (

4 6 3 3

2

2 2

x x

x

x x

x x x

x

x x

Bài 14: Cho biểu thức: P =

2 3

Trang 11

Trang 12

Bài 19: Cho biểu thức: P = a a - 1 - a a + 1 : a +2

Trang 13

2) Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2 3

1) K = x - x (2 x - 1)

x - 1 x ( x - 1) = x - 2 x + 1 = x - 1

x - 12) Khi x = 4 + 2 3, ta có: K = 4  2 3- 1 =  2

2

1

a a a

a

a a a a a a a a a a a

2 2

4 )

1 ( 2

2) Ta có: P   2 - 2 a > - 2  a < 1  0 < a < 1

Kết hợp với điều kiện để P có nghĩa, ta có: 0 < a < 1

Vậy P > -2 a khi và chỉ khi 0 < a < 1

Bài 24: Cho biểu thức P = 1 1 : x

Trang 14

1 3

a

a a

a

3

3 3

3 1 3

1 3

3 )(

3 (

) 3 (

Trang 15

Bài 27: Rút gọn biểu thức: P =

3 2

1 : 1

2 1

a a a a

a a

1 2

2

x

x x

x

x x

x

x x

x

) 1 (

4

4 ) 1 ( 1

) 1 ( ) 1 ( 4

) 1

Trang 16

Bài 30: Cho biểu thức: P =

a

a a

1 3

3 (

3 7 3 4 6

2 )

3 )(

3 (

3 7 ) 3 )(

1 ( ) 3 ( 2

a a

a a a a

a

a a

a

=

3

3 ) 3 )(

3 (

) 3 ( 3 ) 3 )(

3 (

9 3

a

a a a

a

a a

x

x x x

1 1

) 1 )(

nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên

Trang 17

Trang 18

a

a    (Thoả mãn điều kiện)

Vậy a = 2 thì P = a

Trang 19

Bài 35: Cho biểu thức: 2 1 1 : 2 1

1

a K

Trang 20

Bài 37: Cho biểu thức x 2 x 2  

Trang 21

2/ Khi A = 1  1 2

2 x = 1 2 x = 2  2x = 4  x = 2 (Thỏa điều kiện xác định)

Vậy khi A = 1 giá trị của x = 2

Bài 39: Cho biểu thức: B 2(x 4) x 8

b Tìm x để giá trị của B là mô ̣t số nguyên

b Dễ thấy B ≥ 0 (vì x  0)

Trang 22

III CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI

Chuyên đề: LUYỆN THI VÀO LỚP 10

Bài 1: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 b) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7

a) Ta có ∆’ = m2 + 1 > 0, m  R Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1

Ta có: x1 + x2 – x1x2 = 7(x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7

4m2 + 3 = 7m2 = 1 m = ± 1

Bài 2: Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình trên khi m = 6

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x 1  x 2  3

Mặt khác theo bài ra thì x1 x2  3 (3)

Từ (1) và (3) suy ra x1 = 4; x2 = 1 hoặc x1 = 1; x2 = 4 (4)

Từ (2) và (4) suy ra: m = 4 Thử lại thì thoả mãn

Trang 23

Bài 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình đã cho khi m = 3

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

Bài 5: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1)

a) Giải phương trình đã cho với m = 0

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

Trang 24

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m

Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ), ta được:

(1 + m)(1 + m – 2) = 3m2 = 4 m = ± 2

Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn

Bài 6: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện

a Giải phương trình với m = 5

b Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có

Trang 25

Bài 8: Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0

a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của phương trình

a) Phương trình có nghiệm x = 0 nên: m + 1 = 0 m   1

b) Phương trình có 2 nghiệm khi:

a

Bài 9: Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = -3

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức 2 2

Trang 26

Bài 11: Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0

a) Giải phương trình với m = -2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6

a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai

nghiệm phân biệt x1, 2 = - 3 33

Bài 12: Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = 0

a) Giải phương trình với k = -

2

1

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k

Trang 27

'

 = (1 - 2k)2 - k(3k - 2) = 1- 4k + 4k2 - 3k2 + 2k

= k2 - 2k + 1 = (k - 1)2 > 0 với mọi k

Vậy phương trình có nghiệm với mọi k

Bài 13: Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3

b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: , 2

Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - 3

Bài 14: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2

c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn

Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*)

Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

Trang 28

Bài 15: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt:

Bài 16 Cho phương trình 2x2 2m 1xm 1  0 với m là tham số

a) Giải phương trình khi m 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

2

1 2

2 1

m x x

m x

 m

Trang 29

Bài 17 Cho phương trình x2  2xm 3  0 với m là tham số

b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn điều kiện: x12  2x2 x1x2   12

a) Khi m 3 phương trình trở thành x2  x2  0  xx 2  0  x 0; x 2

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2   '  1 m 3 0  m 4

Khi đó theo định lí Vi-et ta có: x1 x2  2 (1) và x1x2  m 3 (2)

Điều kiện bài toán x12  2x2 x1x2   12  x1x1x2 2x2   12

 2x1 x2 2   12 (do (1))  x1 x2   6 (3)

Từ (1) và (3) ta có: x1   2 ,x2  4 Thay vào (3) ta được:   2 4 m 3

 m  5, thoả mãn điều kiện Vậy m  5

Bài 18 Cho phương trình x2 3 mx 2m 5 0 với m là tham số

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm

2



x

b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm x 5  2 2

a) Thay x 2 vào vế trái của phương trình ta được:

2

2   3 m .2 2(  m    5) 4 6 2m 2m 10  0 đúng với mọi m

nên phương trình có nghiệm x  2 với mọi m

b) Vì phương trình luôn có nghiệm x 2 nên để nó có nghiệm x 5  2 2 thì theo định lý Vi-et ta có: 25  2 2 2m 5  5  2 2 m 5  m 10  2 2

Bài 19 Cho phương trình 2

1 0

x ax  b với a, b là tham số

a) Giải phương trình khi a 3 và b  5

b) Tìm giá trị của a, b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn điều kiện:

2 1

x x

Trang 30

Bài toán yêu cầu

2 1

x x

3

2 1

x x

Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm

Bài 20: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1)

a) Giải phương trình đã cho với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa

Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – 1 )2 = 9( x1 + x2 ), ta được:

Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn

Bài 21: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – x – 3 = 0

Trang 31

Do đó P = 2 2  2

x  x  x  x  2x x = 1 4 13

9   3 9

Bài 23 Cho phương trình 2x2 m 3xm 0 (1) với m là tham số

b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2 1

m x

x

m x x

1 m2  m  m 2 

Do m 12  0 nên m 12  8  8  2 2, suy ra A  2

Dấu bằng xảy ra  m 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt được khi m 1

Bài 24: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1)

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm

Trang 32

Bài 25: Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) x + m + 1 = 0 với m là tham số

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

Bài 26: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1



1

m 4

; m = 0

Trang 33

Bài 27: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1)

b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

25hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

Bài 28: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = - 3

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2

2 2 1

1 1

Trang 34

Bài 29: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m + 1= 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = - 1

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn 4

1 2 2

1  

x

x x

Đối chiếu đk (1) thì cả 2 nghiệm đều thoả mãn

Bài 30: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1)

b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia

Trang 35

Bài 31 : Cho phương trình: 2

(1  3)x  2x 1   3  0 (1) a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x , x 1 2 Lập một phương trình bậc

Bài 32: Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn



x x x x đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 36

a/ Phương trình (1) có ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > 0 với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = b 2m

Bài 34: Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0

và thỏa điều kiện 1 2

2 1

8 3

a  0 Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm  0 mà m  0   > 0 và x1.x2 < 0

Bài 35: Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0

a) Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m

b) Tìm giá trị của m để biểu thức A = 2 2

1 2

x  x đạt giá trị nhỏ nhất

a) Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m

Trang 37

Vậy với m  2thì A đạt minA 2

Bài 36: Cho phương trình (ẩn số x): 2 2  

Vậy (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa x2   5x1

Theo hệ thức VI-ET có :x1.x2 = - m2 + 3 ;x1+ x2 = 4;

mà x2   5x1 => x1 = - 1 ; x2 = 5

Thay x1   1;x2  5 vào 2

x x  m   m 

Bài 37: Cho phương trình: x2 – 2m 1 x m2 – 6 0  (m là tham số)

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa 2 2

1 2 16

x x 

a) Thay x = 3 vào phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - 6 = 0 và giải phương trình:

x2 - 4x + 3 = 0 bằng nhiều cách và tìm được nghiệm x1 = 1, x2 = 3

b) Theo hệ thức Viét, gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình

Trang 38

Bài 38: Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình có nghiê ̣m x1 ; x2 mà biểu thức

A = x1 – x1x2 + x2 đạt giá tri ̣ nhỏ nhất? Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất đó

a) Giải phương trình khi m=1 Đáp án a) x1 =  2  5 ; x2 =  2  5

b) Thấy hệ số của pt : a = 1 ; c = A – 1  pt luôn có 2 nghiê ̣m

Theo vi- ét ta có x1 + x2 =2(m – 3) ; x1x2 = –1

Mà A=x1 – x1x2 + x2 = (x1 + x2 )2 – 3x1x2 = 4(m – 3)2 + 3  3

 GTNN củ a A = 3  m = 3

Bài 39: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) với m = 2

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn

(x1+m)(x2+m)=3m2 + 12

a) Thay m = 2 vào phương trình (1) ta được phương trình:

x2 – 6x + 8 = 0 Khi và chỉ khi (x – 2)(x – 4) = 0 khi và chỉ khi x = 2 hoặc x = 4 Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 = 2 , x2 = 4

x x

1 1+

x x x x





Trang 39

Bài 41: Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn

Bài 42: Cho phương trình 2

x  2(m 1)x     m 2 0, với x là ẩn số, m R 

a Giải phương trình đã cho khi m  – 2

b Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 Tìm hệ

thức liên hệ giữa x1 và x 2 mà không phụ thuộc vào m

a) Giải phương trình đã cho khi m  – 2

Bài 43: Cho phương trình bậc hai x2 + 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1; x2

Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm (x1 + 1 ) và ( x2 + 1)

Trang 40

Bài 44: Chứng minh rằng pt: 2

x mx m luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của pt đã cho,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

Vậy minB=1 khi và chỉ khi m = -1

Bài 45: Cho parapol   2

1 1

1

m

m m

c) Cách 1: Ký hiệu x A;x B là hoành độ của điểm A và điểm B thì x A;x B là nghiệm của phương trình 2 2

Định dạng
Số trang	173
Dung lượng	7,67 MB