Bài tập phương trình mặt phẳng có đáp án thầy nguyễn bá tuấn

Bài 1: Trong không gian h t a đ Oxyz cho hai đi m A = (1, 2, 3); B = (3, 4, -1)

a Vi t ph ng trình m t ph ng (P) là m t ph ng trung tr c c a AB

b Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) qua A, vuông góc v i (P) và vuông góc v i mp(yOz)

c Vi t ph ng trình m t ph ng (R) qua A và song song v i (P)

Gi i:

a Ta có:

- G i I là trung đi m c a AB Khi đó I có t a đ I = (2, 3, 1)

- M t ph ng (P) là m t ph ng trung tr c c a AB khi đó:

(2,3,1)

(2, 2, 4)

qua I

vtpt AB







b Ta có:

- M t ph ng (yOz) nh n n1(1, 0, 0) làm m t vect pháp tuy n

- M t ph ng (Q) vuông góc v i (yOz) nh n n1(1, 0, 0) làm m t vect ch ph ng

- M t ph ng (Q) vuông góc v i m t ph ng (P)  nh n AB(2, 2, 4)làm m t vect ch ph ng

Th y r ng : n AB 1, không cùng ph ng V y:

1 1

(1, 2,3) (1, 2,3)

, (0, 4, 2) / /(0, 2 1)

qua A qua A







V y ph ng trình t ng quát c a mp(Q) là: 2y – z – 1 = 0

c Ta có:

M t ph ng (R) qua A và song song v i (P)  (R) nh n AB làm vect pháp tuy n

V y ph ng trình m t ph ng (R) qua A(1, 2, 3) là:

( ) : 2(R x 1) 2(y 2) 4(z  3) 0 ( ) :R x y 2z 6 0

PH NG TRÌNH M T PH NG

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N BÁ TU N

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Ph ng trình m t ph ng thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn

s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho đ ng th ng d: 1

x  y  z

 và m t ph ng (P): 2x y 2z 2 0

Vi t ph ng trình m t ph ng ch a d và vuông góc v i (P)

Gi i:

d có vect ch ph ng a  ( 2;1;1), (P) có vect pháp tuy n n(2; 1; 2)

G i (Q) là m t ph ng ch a d và vuông góc v i (P) Ta có A(0; 1; 0)  nên (Q) đi qua A và ,d a n là vect pháp tuy n c a (Q)

Ta có: a n,  = 3(1; 2; 0)

Ph ng trình m t ph ng (Q) là: x + 2y – 2 = 0

Bài 3: Trong không gian h t a đ Oxyz , cho t di n ABCD có các đ nh A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2;-1;1)

và D(0; 3;1) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua A, B sao cho kho ng cách t C đ n (P) b ng kho ng cách t (D) đ n (P)

Gi i:

M t ph ng (P) th a mãn yêu c u bài toán trong hai tr ng h p sau:

Tr ng h p 1: (P) qua A, B và song song v i CD

Vect pháp tuy n c a (P): n AB CD, 

( 3; 1; 2), ( 2; 4;0) (8; 4; 14)

Ph ng trình (P): 4x2y7z150

Tr ng h p 2: (P) qua A , B và c t CD Suy ra (P) c t CD t i trung đi m I c a CD

I(1; 1; 1) AI (0; 1;0) ; vect pháp tuy n c a (P): nAB AI, (2;0;3)

Ph ng trình (P): 2x   3z 5 0

V y (P): 4x2y7z150 ho c (P): 2x3z  5 0

Bài 4: Trong không gian h t a đ Oxyz , cho các đi m A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và m t ph ng (P): x  y z 200 Xác đ nh t a đ đi m D thu c đ ng th ng AB sao cho đ ng th ng CD song song

v i m t ph ng (P)

Gi i:

( 1;1; 2)

AB  , ph ng trình AB:

2 1 2

 



  



 



D thu c đ ng th ng AB D(2t;1t; 2 )t CD (1 t t; ; 2 )t

Vect pháp tuy n c a m t ph ng (P): n(1;1;1)

C không thu c m t ph ng (P)

2

2 2

Bài 5: Trong không gian h t a đ Oxyz, cho ba đi m A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0; 1)

a Vi t ph ng trình m t ph ng đi qua ba đi m A, B, C

b Tìm t a đ đi m M thu c m t ph ng: 2x2y  z 3 0 sao cho MA = MB = MC

Gi i:

a Vi t ph ng trình m t ph ng đi qua ba đi m A, B, C

Ta có: AB(2; 3; 1),  AC   ( 2; 1; 1), tích có h ng c a hai vect

AB AC l nAB AC 

M t ph ng đi qua ba đi m A, B, C nh n n làm vect pháp tuy n nên có ph ng trình:

2(x 0) 4(y 1) 8(z   2) 0 x 2y4z 6 0

b Tìm t a đ đi m M……

Ta có: AB AC  nên đi m M thu c đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng (ABC) t i trung đi m 0

I(0; -1; 1) c a BC

T a đ c a đi m M th a mãn h ph ng trình:





Suy ra M(2; 3; -7)

Bài 6 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đi m A(2; 4; 1), B(–1;1;3) và m t ph ng (P):

x–3y2 –5 0z  Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) đi qua hai đi m A, B và vuông góc v i m t ph ng (P)

Gi i

(Q) đi qua A, B và vuông góc v i (P)  (Q) có VTPT nn AB P, (0; 8; 12) 0  

 ( ) : 2Q y3 11 0z 

Bài 7 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua hai đi m

A(2;1;3), (1; 2;1)B  và song song v i đ ng th ng d y x t t

1

3 2

   

 



   



Gi i

Ta có BA(1;3;2), d có VTCP u(1;2; 2)

G i n là VTPT c a (P)  n BA

n u

 

 

  ch n nBA u,  ( 10;4; 1)

 Ph ng trình c a (P): 10x4y z 19 0

Bài 8 Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho 2 đ ng th ng ( )d1 và ( )d2 có ph ng trình:

( );

( ) :

L p ph ng trình m t ph ng (P) ch a (d1) và ( )d2

Gi i

D th y (d1) // (d2) do 2 VTCP song song v i nhau

Có A(1; -1; 2) thu c (d1), B(4; 1; 3) thu c (d2)

=> (P) qua A, B và có VTPT là n AB u,  d1 

=> (P): x + y – 5z +10 = 0

Bài 9: Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M( ;- ; ) và hai đ ng th ng

( ) : 1

d   

  và

( ') :

d    

Ch ng minh: đi m M, (d), (d ) cùng n m trên m t m t ph ng Vi t ph ng trình m t ph ng đó

Gi i:

*(d) đi qua M1(0; 1;0) và có vtcp u1   (1; 2; 3)

(d ) đi qua M2(0;1; 4) và có vtcp u2 (1; 2;5)

*Ta có u u1; 2    ( 4; 8; 4)O , M M1 2 (0; 2; 4)

Xét u u1; 2.M M1 2   16 140 =>(d) và (d ) đ ng ph ng

*G i (P) là m t ph ng ch a (d) và (d ) => (P) có vtpt n (1; 2; 1) và đi qua M1 nên có ph ng trình: x2y z  2 0

*D th y đi m M(1;-1;1) thu c mf(P) , t đó ta có đpcm

Bài 10: Trong không gian v i h t a đ Oxyz,vi t ph ng trình m t ph ng (P) ch a tr c Oz và t o v i

m t ph ng (Q): 2x + y - 5z = 0 m t góc 600

Gi i

Mp(P) ch a tr c Oz nên có d ng Ax + By = 0, np (A;B;0) và nQ (2;1; 5)

2 2

0

10 2

2 2

1 5 1 4

2 60

cos ) ,

B A

B A n

















6A2 16AB6B2 0

Ch n B = 1 ta có : 6A2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3

V y có hai m t ph ng (P) c n tìm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0

Bài 11: Trong không gian h t a đ Oxyz, cho đi m A( ; ; 3) và đ ng th ng d có ph ng trình:

1

x y  z



a Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua A và vuông góc v i đ ng th ng d

b Tìm t a đ đi m M thu c đ ng th ng d sao cho tam giác MOA cân t i đ nh O

Gi i:

a Vi t ph ng trình m t ph ng (P)……

Vect ch ph ng c a đ ng th ng d là u(1; 1; 2)

Do (P) vuông góc v i d nên (P) có vect pháp tuy n là nP  (1; 1; 2)

Ph ng trình m t ph ng (P) là:

1.(x 1) 1.(y 1) 2(z    3) 0 x y 2z 6 0

b Tìm t a đ đi m M thu c đ ng th ng d sao cho tam giác MOA cân t i đ nh O

+) M d M t ; t;1 2t

+) MOA cân t i đ nh O OMOA và M, O, A không th ng hàng

OMOA  t t t   t ho c 5

3

t 

+) V i t = 1 ta có: M(1; -1; 3)

+) V i 5

3

t   ta có: 5 5; ; 7

+) Th l i: c hai đi m M tìm đ c đ u th a mãn đi u ki n M, O, A không th ng hàng

V y có hai đi m M th a mãn yêu c u bài toán là M1(1; -1; 3) và 2 5 5; ; 7

Bài 12: Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho 3 đi m A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và m t ph ng (P) có ph ng trình: x   y z 3 0 Tìm trên (P) đi m M sao cho MA2MB3MC nh nh t

Gi i:

G i I là đi m tho : IA2IB3IC  0 23 13 25; ;

Ta có: T = MA2MB3MC  MIIA 2 MIIB3MIIC  6MI 6MI

Do đó: T nh nh t  MI nh nh t  M là hình chi u c a I trên (P)

Ta tìm đ c: 13; 2 16;

Vi t ph ng trình m t ph ng (P) qua  và cách 1 2m t kho ng l n nh t

Gi i:

- D th y

2

1/ /

  , do v y, kho ng cách t  t i (P) b ng kho ng cách t m1 t đi m b t kì c a  t i (P) 1

L y A(-4; -1; 3)  , bài toán tr v1 : " Xác đ nh m t ph ng (P) qua  và cách A m t kho ng l n nh t." 1

- Ta xác đ nh hình chi u H c a A trên 2 , d có H(0; 0; 2)

 m t ph ng (P) có véct pháp tuy n AH =( 4; 1; -1)

V y (P) qua H và có vtpt AH có ph ng trình: 4x + y - z + 2 = 0

Ngu n : Hocmai.vn