CHỦ ĐỀ 1: Một số bài toán về Biến đổi đồng nhấ t các biểu thức Đại số1.. Có kỷ năng: Vận dụng “phương pháp phân tích đi lên” để tìm tòi hướng chứng minh một vài dạng bài tập và bài
Trang 1CHỦ ĐỀ 1: Một số bài toán về Biến đổi đồng nhấ t các biểu thức Đại số
1 Mục tiêu: Sau khi học xong chủ đề, học sinh có khả năng sau:
Biết:
Khái niệm về căn bậc hai (bậc chẵn), căn bậc ba (bậc lẻ), các tính chất cơ bản và các phép biến đổi đơn giản cũng như phân biệt rõ hai đại diện cho căn bậc chẵn và căn bậc lẻ
Nhận dạng tốt hai thành phần cơ bản của bài toán và của những kiến thức liên quan khi giải hay thực hiện phép biến đổi
Hiểu:
Cơ sở luận, cơ sở lý thuyết của các phép biến đổi đồng nhất và không đồng nhất các biểu thức đại số
Cấu trúc và sơ đồ của “phương pháp phân tích đi lên”
Có kỷ năng:
Vận dụng “phương pháp phân tích đi lên” để tìm tòi hướng chứng minh một vài dạng bài tập và bài toán liên quan trong Sách giáo khoa và trong thực tế
Vận dụng “phương pháp phân tích đi lên” để tìm tòi hướng chứng minh một vài Bài toán khó liên quan trong Sách hay trong thực tế
2 Các tài liệu hổ trợ:
Sách giáo khoa, Sách bài tập và một số Sách Bài tập nâng cao
Các tài liệu khác:
Giải một bài toán như thế nào?
Các chuyên đề Đại số cấp II
Phương pháp dạy học Toán THCS
3 Nội dung:
Vấn đề 1: So sánh các số
oOo
Ôn tập giáo khoa:
Với hai số dương a, b Ta có:
- a >b⇔a2 >b2 - a >b⇔ a > b - a>b⇔a±m>b±m
-
<
<
>
>
⇔
>
0 c nếu bc ac
0 c nếu bc ac b
a - a>b, b>c⇔a>c -
b a b
a> ⇔ 1 <1
Bài tập áp dụng:
Bài 1: a)
3 2 2 3
12 3
2
18 2
3
3 2 và 2 3
>
=
=
3 -3 48 4 1
1 3 1 nên 3 2
1 3 3 3 -3
1 3 48 4 1
3 -3 và 48 4 1
>
−
>
>
−
=
⋅
=
c) ( ) ( )
3 2 2 3
0 3 3
2 2 3 2 1
3 và 2 1
3 2 và 2 3
2 2
+
>
+
+
=
+
= +
+
+ +
Trang 2e) ( )
2
1
3 2
1 3 4
1 3 4
3 2
4 2
3
2 2
3
1
2
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
1 3 1
3
1 3 3
6
10
3
2
2
+
+
= +
+
= +
+
Bài 2:
a) a.b= a.b vớia.b≥0 b) a3.b3 =a.b a.b vớia.b≥0
c) 2( 1)2 (1 ) vớia 0, b 1
≤
≥
−
=
b
a d) (a−b)2(4a2 −4a+1)=(a−b)(2a−1)vớia≥b,a≥ 21
Bài tập tự rèn luyện:
1 So sánh các số sau (không dùng máy tính):
d) 2 3 và 3 2 ; e) 4 5 và 5 3 f) 2+ 3 và 3+ 2;
g) 4− 3 và 6− 5; h) 3− 10 và 2− 5
2 So sánh 2 số sau đây( không dùng máy tính):
d) 2 2 và 3 5 e) 2 6 và 5 f) 7−2 2 và 4
g) 2+ 5 và 6− 2 h) 3 2 − và 5−2 3 i)
3 So sánh các số sau:
a) 26 + 17+ 10 + 5+ và 15
b) 20001 1999 1999 1 1998 21 1 và 20 5
+ + + +
+
Vấn đề 2: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức, chứng minh biểu thức thỏa điều kiện
oOo
Ôn tập giáo khoa:
Ôn luyện về Căn bậc hai
1.Định nghĩa: Căn bậc hai của một số a là một số mà lũy thừa bậc hai bằng a.
2.Dấu hiệu nhận biết: ( )
=
=
≥
⇔
=
a a x
x x
3.Điều kiện tồn tại: a có nghĩa khi a≥0
4.Các tính chất:
a) A2 = A b) A.B = A BvớiA≥0,B≥0 c) = vớiA≥0,B>0
B
A B A
5.Các phép biến đổi:
a) A2B = A B vớiB≥0 b) = 1 A.B vớiA≥0,B>0
B B A
Trang 3c) ( ) vớiA≥0,B≥0,A≠B
−
=
B A M B
A
Ôn luyện về Căn bậc ba
1.Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là một số mà lũy thừa bậc ba bằng a.
2.Dấu hiệu nhận biết: 3 a =x ⇔x3 =( )3 a 3 =a
3.Điều kiện tồn tại: 3 a có nghĩa với mọi a là một số thực
4.Các tính chất:
a) 3 A3 =A
b) 3 A.B =3 A.3 B
c) 3 = 33 vớiB≠0
B
A
B
A
Bài tập áp dụng:
Rút gọn, Thực hiện phép tính,…
Bài 1: a) (2− 2) (2 + 2−1)2 = 2− 2 + 2 −1 =2− 2+ 2−1=1
b) ( 3−5) (2 + 1− 3)2 = 3−5 +1− 3 =5− 3+ 3−1=4
c) ( 7−2) (2 + 7−5)2 = 7−2 + 7−5 = 7−2+5− 7 =3
Bài 2: a)
6
6 5 2
6 3
6 2
3 3
2
= +
= +
=
21 1 6 6
6
5 6
25 6 1 6
A
4 3
2 3 2 3 2 2 3 2
3
2 3 2
2 2
2
2 2
+
−
=
−
+
=
−
=
−
−
= +
−
x
x x
x
2
1 2 2 2
2 2 1 1 2
1 1
2
1
− +
+ +
=
−
+
x
x
2
A 4.4 8 1 7
Bài 4: a) 4a+ (1−a)4 =4a+ (1−a)2 =4a+(1−a) (2 = 1+a)2
<
−
=
−
−
>
−
= +
−
=
−
− +
−
=
−
− +
−
2 a với a 1 1 a 2
2 a với 1 1
2 2
2 2
2
2 2
2
a
a a
a
a a
2
= +
− +
= +
+
−
−
− +
= +
+ +
−
−
b a
b a b
a
b a b a b
a
ab b
a b
a
b
a
Trang 4b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 0
3 2
3 2 1 3
2
1 2
1 2
1 3
2
1
=
−
=
− +
+
=
− +
−
− + + + +
=
− +
+
−
+
a
a a
a a a
a a
a a
a
a a a
a a a
a a a
a
−
−
−
+
+ +
=
−
−
−
+
+
1 2
1 2 1
1
1 1
1 2
2 1 1 1
Bài tập tự rèn luyện:
1 Tính (rút gọn):
1 a) 2 3− 75+2 12− 147; b) 20+2 45−3 80+ 125; c) 3 2− 8+ 50 −4 32
2 a)
6 2 5
1 6
2 5
1
−
−
2 2 5
2
+
−
5 3 5
3 3 3
6 7 2 7
+
−
−
7 1
7 7 7 1
7 7
6 1
5 2
3
3 2 2 3
+
−
−
5 a) 6 12 − 20−2 27+ 125; b) −2 50+ 18+3 80+2 45
2 Tính giá trị của biểu thức sau(sau khi rút gọn, nếu được):
1 A= 4a2 −12a+9− a−1với a= 21.
2 B= x4− x2+1− x4−6x2 +9với x= 2
3 Rút gọn ( loại bỏ dấu căn thức và dấu giá trị tuyệt đối):
1 a) (x−1)2 ; b) (2−x)2 ; c) 2
x
1
2 a) x2− x+4; b) 9− x+x2 ; c) −4x2 +4x−1.
3 a)
1 x
1 x 2
x2
−
+
2 x
4 x 4
x2
−
− +
9 x 12 x
x 3
2+ −
−
−
4 a) (x 2)2 x2x 42x 4
−
+
− +
3 2 2
3
y xy y x x
y xy y x x A
−
− +
+
−
−
=
a Rút gọn biểu thức A b Tính các giá trị của A khi cho x= 3 và y= 2
c Với giá trị nào của x và y thì A = 1
6 x x
5 3
x
2 x
−
+
− +
− +
+
=
a Rút gọn biểu thức B b Tính giá trị của B, biết
3 2
2 x
+
=
c Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
Trang 56 Cho biểu thức ( )
− +
+
⋅
+
−
− +
−
x 1
x 1 x x 1
x 1 : x 1
x 1 x
2 2
a Rút gọn biểu thức C b Tính giá trị của C khi x= 3+2 2
c Tính giá trị của x để cho 3.C = 1
2 2
2
x x 2
x x : x 2
x 2 4 x
x x 2
x 2 D
−
−
+
−
−
−
−
−
+
=
a Rút gọn biểu thức D b Tính giá trị của D khi x−5 =2
4 x
1 x 1 x 2 1 x 4
−
− + +
−
=
a Rút gọn biểu thức E b Tìm x để E > 0
9 x x
3 x 2 x 4 9 x
+
−
− +
−
−
=
a Rút gọn biểu thức F b Tìm các giá trị nguyên của x sao cho F là một số nguyên
−
+
−
− +
+
−
−
−
+
=
1 x
2 x 1
x 1 x
1 : 1 x
1 x 1 x
1 x
a Rút gọn biểu thức G b Tính giá trị của biểu thức G khi x= 4+2 3
c Tìm giá trị của x để G = –3
11 Cho biểu thức
1 x
x x x 1 x
1 x
1 x
1
−
− +
+
−
+
−
−
=
a Rút gọn biểu thức H b Tính giá trị của biểu thức H khi
7 2 9
53 x
−
=
c Tính giá trị của x khi H = 16
12 Cho niểu thức
−
− +
−
−
+ +
=
1 x x x x
x 2 1
x
1 : 1 x
x 1 K
a Rút gọn biểu thức K b Tính giá trị của biểu thức K khi x=4+2 3
c Tìm giá trị của x để K > 1
13 Cho biểu thức +− + ⋅ −+ −
−
+
b a
b a L
2 2 2
2 2
a Rút gọn biểu thức L b Tính giá trị của biểu thức L khi 2
b
+ +
− +
−
+ +
=
ab 2 b a
a b
a
a : a b
a b a
a
a Rút gọn biểu thức M b Tính giá trị của biểu thức M khi cho a=1+ 2 và b=1− 2
c Tìm các giá trị của a và b trong trường hợp ba =21 thì M = 1
15 Cho biểu thức N aba b abb a− a+abb
−
+ +
=
Trang 6a Rút gọn biểu thức N b Tính giá trị của biểu thức N khi a= 4+2 3 và b= 4−2 3
c Chứng minh rằng nếu ba ba 51
+
+
= thì N có giá trị không đổi
(x 1) (x 3)
3 x 4 1 x 3 x
− +
−
−
−
−
=
a Rút gọn biểu thức P b Tính giá trị của biểu thức P khi x= 3+2 2
c Tìm các giá trị của x để P > 1
−
−
−
+ +
−
−
−
=
1 x 3
2 x 3 1 : 1 x
x 8 1 x 3
1 1
x 3
1 x Q
a Rút gọn biểu thức Q b Tính giá trị của biểu thức Q khi x=6+2 5
c Tìm các giá trị của x khi Q=65
18 Cho biểu thức
6 b 3 a 2 ab
ab 6 6
b 3 a 2 ab
b 3 a 2 R
+ + +
−
−
−
− +
+
=
a Rút gọn biểu thức R Chứng minh rằng nếu R bb 8181
−
+
= thì khi đó
b
a
là một số nguyên chia hết cho 3
−
−
−
− +
−
=
1 x
1 1 x : 1 x
1 3 x S
a Rút gọn biểu thức S b Tìm các giá trị của x khi S > 5
c Tính giá trị của biểu thức S khi x= 12+ 140
+
− + +
+ +
−
+
=
1 x
1 x 1 x x
1 x 1
x x
2 x : 1 T
a Rút gọn biểu thức T b Chứng minh T > 3 với mọi giá trị x > 0, x ≠ 1
21 Cho biểu thức
3 x
3 x 2 x 1
2 x 3 3 x 2 x
11 x 15 U
+
+
−
−
− +
− +
−
=
a Rút gọn biểu thức U b Tìm giá trị của x khi U=21
c Tìm giá trị lớn nhất của U và giá trị tương ứng của x
+ +
−
+ +
−
+
+
−
=
6 x 5 x
2 x x
3
2 x 2 x
3 x : x 1
x 1
V
a Rút gọn biểu thức V Tìm giá trị của x để V < 0
x 1
1 x 1
1 Y
+ +
+
−
−
+
+
−
=
a Rút gọn biểu thức Y b Tính giá trị của Y khi x=1+ 2
c Tìm giá trị của x khi Y=23
4 Hướng dẫn các việc làm tiếp (Có sự hướng dẫn của giáo viên):
Xem thêm các bài tập trong phần Ôn tập Chương của Sách giáo khoa và Sách bài tập
Trang 75 Phụ lục, các hướng dẫn thêm (nếu có):
Nghiên cứu thêm các chuyên đề Đại số 9 liên quan
ĐỀ KIỂM TRA số 1
Bài 1: (2,5 điểm) Điền vào chỗ trống (…) để có khẳng định đúng và chứng minh đúng
Chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Định lý: “Với hai số a không âm, b dương thì ab a
b
Chứng minh: Ta phải chứng minh: ………và ………
a 0≥ ⇒………… và b 0> ⇒………… Do đó: a
b ………
2
a
b
=
Vậy: ………
Bài 2: (1,5 điểm) Bài tập trắc nghiệm (khoanh tròn chữ cái đứng trước kết quả đúng)
Câu 1: Cho biểu thức M x 2
x 2
+
=
− Điều kiện xác định của biểu thức M là:
A x 0> B x 0≥ và x 4≠ C x 0≥
Câu 2: Giá trị của biểu thức ( )2
2− 3 + 7 4 3+ bằng:
Câu 3: Giá trị của biểu thức − −9 4( ) bằng:
Bài 3: (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: 2 8−3 18+4 32−5 50+6 72
b) Rút gọn rồi trục căn thức ở mẫu:
2 2 3
2
−
3
1 4 20 x 5
d) Chứng minh : a a b b ab : a b( ) a b
Bài 4: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức:
x 1
−
+
b) N= x2+ −4 4x+3 x3+27x 9x− 2−27
Trang 8ĐỀ KIỂM TRA số 2
Bài 1: (2,5 điểm) Điền vào chỗ trống (…) để có khẳng định đúng và chứng minh đúng
Chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
Định lý: “Với hai số a và b không âm thì a.b= a b ”
Chứng minh: Ta phải chứng minh: ………và ………
a 0≥ ⇒………… và b 0≥ ⇒………… Do đó: a b ………
a b =………
Vậy: ………
Bài 2: (1,5 điểm) Bài tập trắc nghiệm (khoanh tròn chữ cái đứng trước kết quả đúng)
Câu 1: Cho biểu thứcM x 2
x 2
−
= + Điều kiện xác định của biểu thức M là:
A x 0> B x 0≥ và x 4≠ C x 0≥
Câu 2: Giá trị của biểu thức ( )2
2+ 3 + 7 4 3− bằng:
Câu 3: Giá trị của biểu thức − −9 4( ) bằng:
Bài 3: (4 điểm)
e) Rút gọn biểu thức: 6 72 2 8 5 50 4 32 3 18+ − + −
f) Rút gọn rồi trục căn thức ở mẫu: 5
3 5 5−
g) Tìm x biết: x 5 4x 20 4 1 16x 80
4
Bài 4: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức:
x 2
−
+
d) N= x2 + −4 4x+3 x3+27x 9x− 2 −27
Trang 9TÊN CHỦ ĐỀ 2: Hàm số và đồ thị
1 Mục tiêu: Sau khi học xong chủ đề, học sinh có khả năng sau:
Biết:
Khái niệm về hàm số, các cách xác định một hàm số, tập xác định của hàm số, tập giá trị của một hàm số, tương quan giữa các hàm số
Nhận dạng tốt các dạng đồ thị của từng loại hàm số và đồ thị cũa nó, xác định tốt tọa độ giao điểm của hai hàm số bằng phương pháp đồ thị và phương pháp đại số
Hiểu:
Cơ sở luận, cơ sở lý thuyết của hàm số và hình ảnh của nó trên mặt phẳng tọa độ
Cấu trúc và sơ đồ của “Khảo sát hàm số” ở bước cơ bản
Có kỷ năng:
Vận dụng tốt các kiến thức về hàm số để tìm tòi hướng chứng minh và giải tốt một vài dạng bài tập và bài toán liên quan trong Sách giáo khoa và trong thực tế
Vận dụng tốt phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp đồ thị và phương pháp quỹ tích tương giao trong những bài toán cụ thể và ứng dụng tốt trong các bài toán thực tế liên quan
2 Các tài liệu hổ trợ:
Sách giáo khoa, Sách bài tập và một số Sách Bài tập nâng cao
Các tài liệu khác:
Giải một bài toán như thế nào?
Các chuyên đề Đại số cấp II
Phương pháp dạy học Toán THCS
3 Nội dung:
oOo
Ôn tập giáo khoa:
+ Hàm số y = ax + b.
Tập xác định của hàm số y = ax + b là R
Hàm số y = ax + b đồng biến trong R nếu a > 0, nghịch biến trong R nếu a < 0
Đường thẳng y = ax đi qua O(0;0) và E(1;a)
Đường thẳng y = ax + b đi qua P(0;b) và Q(-b/a;0)
+ Hàm số y = ax 2
Tập xác định của hàm số y = ax2 là R
Nếu a > 0 hàm số y=ax2 đồng biến trong R+ nghịch biến trong R- và bằng 0 khi x=0
Nếu a < 0 hàm số y=ax2 đồng biến trong R- nghịch biến trong R+ và bằng 0 khi x=0
Đồ thị hàm số y=ax2 là một đường Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O, trục đối xứng Oy, nằm phía trên trục hoành nếu a > 0, và nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0
+ Sự tương giao của đồ thị của hai hàm số.
Trang 103 2 1 0 1 2 3
2 1
1 2 3 4 5
6 6
2
x
2 x 1
3
Tọa độ giao điểm của đồ thị của hai hàm số là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số mà mỗi phương trình của hệ là một phương trình của hàm số
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
=
=
⇔
=
+
−
⇔
−
=
=
1
1 1
2 1
2 2
y
x x
y
x x x
y
x
y
Dựa vào đồ thị ta cũng có nghiệm của hệ phương
trình là
=
=
1
1
y
x
Bài 2: Dùng phương pháp giải như bài tập 7 ta đưa
về được phương trình bậc hai, tìm được ∆, biện luận
∆ cho số nghiệm của phương trình, đưa về giải bất
phương trình hay phương trình ẩn số là m.
Bài tập tự rèn luyện:
1 Cho hàm số (x)= x+2
1 Tìm tập giá trị của hàm số
2 Tìm giá trị của x để f(x) = 1
3 Chứng minh hàm số f(x) đồng biến trên tập xác định
2 Cho hàm số f(x) = (m + 1)x + 2
1 Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến
2 Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua A(1; 4)
3 Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp này
3 Xác định hàm số y = ax + b, biết:
1 Đồ thị hàm số đi qua A(1; –1) và có hệ số góc là 2
2 Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2 – 3x và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1
4 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B(1; 4) và C(–2; 3)
5 Cho hàm số: y = – 2x2
1 Chứng minh hàm số nghịch biến với x > 0 ; Đồng biến với x < 0
2 Vẽ đồ thị của hàm số
3 Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = x – 3
6 Vị trí tương đối của 2 điểm đối với các trục, đối với gốc O Đường thẳng qua gốc O
Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A(2;1)
1 Tìm các điểm đối xứng của A qua trục hoành, trục tung, gốc hệ trục
2 Tính khoảng cách OA
Trang 114 Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với OA.
7 Lập phương trình đường thẳng
Lập phương trình của đường thẳng (D) trong các trường hợp sau và vẽ các đường thẳng ấy trong mặt phẳng tọa độ:
1 (D) có hệ số góc a = 2 qua A(2; 1)
2 (D) có hệ số góc a = –1 và qua B(–1; 2)
3 (D) qua C(1; 1) và song song với đường thẳng (D’): y = x
2
1
4 (D) qua E(2; –1) và vuông góc với đường thẳng (D’): y = –2x + 1
5 (D) qua F(2; 3) và song song với trục tung
6 (D) qua G(-1; -2) và song song với trục hoành
7 (D) qua 2 điểm H(2; 1) và K(3; 3)
Các câu trên độc lập với nhau, có thể vẽ riêng
8 Toán tổng hợp về đường thẳng trong hệ trục:
Trong mặt phẳng toạ độ, gọi (D) là đường thẳng có phương trình: y – 2x – 2 = 0
1 Vẽ (D) qua giao điểm A của (D) với trục tung y’y và giao điểm B của (D) với trục hoành x’x
2 Viết phương trình đường thẳng (D1) qua C(1;0) và song song với (D)
3 (D1) cắt trục tung tại E Giải thích rõ tính chất đặc biệt của tứ giác ABEC
4 Viết phương trình đường thẳng (D2) qua A và vuông góc với (D)
5 (D2) cắt (D1) tại F Tìm toạ độ của F; tính diện tích của tứ giác ABEF
9 Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) và sự tương giao với y = ax + b
Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P):y=x2 và đường thẳng (D): y = x + 2
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số y=x2
2 Vẽ (D)
3 Tìm tọa độ giao điểm của A và B của (P) và (D) bằng đồ thị và phép toán
4 Từ A và B vẽ AH ⊥ x’x; BK ⊥ x’x Tính diện tích của tứ giác AHKB
10 Xác định hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Đặc điểm hình học qua tọa độ:
Cho hàm số y=ax2có đồ thị (P)
1 Tìm a biết (P) qua điểm A(1; –1) Vẽ (P) với a vừa tìm được
2 Trên (P) lấy điểm B có hoành độ bằng –2, tìm phương trình của đường thẳng AB và tìm toạ độ giao điểm D của đường thẳng AB và trục tung
3 Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và song song với AB, xác định toạ độ giao điểm C của (d) và (P) (C khác O)
4 Chứng tỏ OCDA là hình vuông
4 Hướng dẫn các việc làm tiếp (Có sự hướng dẫn của giáo viên):
Xem thêm các bài tập trong phần Ôn tập Chương của Sách giáo khoa và Sách bài tập
5 Phụ lục, các hướng dẫn thêm (nếu có):
Nghiên cứu thêm các chuyên đề Đại số 9 liên quan
ĐỀ KIỂM TRA số 1