Mục tiêu : + Nắm được định nghĩa căn bậc hai, căn thức bậc hai + Biết cách tìm điều kiện của biến để căn thức bậc hai có nghĩa và có kỹ năng vận dụng trong các trường hợp phức tạp + Nắm
Trang 1Chuyên đề : NÂNG CAO
A Mục tiêu :
+ Nắm được định nghĩa căn bậc hai, căn thức bậc hai
+ Biết cách tìm điều kiện của biến để căn thức bậc hai có nghĩa và có kỹ năng vận dụng trong các trường hợp phức tạp
+ Nắm được liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương, phép chia và phép khai phương
và có kỹ năng dùng các liên hệ này để tính toán hay đơn giản biểu thức
+ Thành thạo việc áp dụng hằng đẳng thức A2 A, biết cách biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng hằng đẳng thức trên rồi tính, rút gọn
+ Có kỹ năng biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai và sử dụng kỹ năng đó trong tính toán, rút gọn, chứng minh
+ Biến được một số phép biến đổi căn bậc cao
C Tiến trình dạy học
Câu hỏi 1 : Thế nào là căn thức bậc hai ? Căn thức bậc hai có nghĩa khi nào ?
Trả lời :
Nếu A là một biểu thức thì ta gọi A là căn thức bậc hai
A có nghĩa (xác định, tồn tại) khi và chỉ khi A 0
Bài tập 1 : Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa ?
a) 5 3x b)
12
7 4
x
c)
20 4
4
1
7
x
e) 2
1
2
3
x f) 4 x 1 2 g) 2 7
4 x
k) 2 16
12 4
1
x x giải
a) 5 3x có nghĩa 5 - 3x 0 x
3 5
Vậy x
3
5
thì 5 3x có nghĩa
b) 412 7
x
có nghĩa
12
7 4
x
0 -4x - 7 0 x - 47 Vậy x -74 thì
12
7 4
x có nghĩa
c)
20
4
4
x có nghĩa
20 4
4
x 0 -4x + 20 < 0 x > 5 Vậy x > 5 thì
20 4
4
x có nghĩa
Trang 2d) 2
1
7
x
Vì (x - 1)2 > 0, với mọi x R nên 12
7
x < 0, với mọi x R Vậy không có giá trị nào của x làm cho căn thức 2
1
7
x có nghĩa
e) 2
1
2
3
x có nghĩa
2 12
3
x 0 2x + 1 0 x -21 Vậy x -21 thì 2
1 2
3
x có nghĩa
f) 4 x 1 2
Vì (4x - 1)2
0, với mọi x R nên 4 x 1 2 luôn luôn có nghĩa với mọi x R g) 2 7
x
Vì x2
0, với mọi x R nên x2 + 7 7 > 0 , với mọi x R
Vậy 2 7
x luôn luôn có nghĩa với mọi x R
h) 4 x2 có nghĩa 4 - x2
0 (2 - x)(2 + x) 0
0 2
0 2
0 2
0 2
x x
2
2
2
2
x
x
-2 x 2 Vậy -2 x 2 thì 4 x2 có nghĩa
k) 2 16
x có nghĩa x2 - 16 0 (x + 4)(x - 4) 0
0 4 0 4 0 4 0 4
x x
4
4 4
4
x
x
4
4
x x
Vậy
4
4
x
x
thì 2 16
x có nghĩa l) 5 2x 1 có nghĩa
0 1 2 5
0 1 2
x x
5 1 2 2 1
x
x
25 1 2 2 1
x
x
12 2 1
x x
Vậy
2
1
x 12 thì 5 2x 1 có nghĩa
m) 3x 2 5 có nghĩa
0 5 2 3 0 2 3
x x
5 2 3 3 2
x
x
25 2 3 3 2
x
x
9
3
2
x
x
x 9 Vậy x 9 thì 3x 2 5 có nghĩa
n)
12 4
1
x
x có nghĩa
12 4
1
x
x
0
0 12 4 0 1
0 12 4 0 1
x x x x
3 1 3 1
x x
-3 < x
1
Vậy -3 < x 1 thì 4 112
x
x
có nghĩa
Câu hỏi 2 : Viết hằng đẳng thức A2 ?
Trả lời
Trang 3Ta có : A2 = A =
0 A A;
a) 2
3
d) 4 7 4 7 e) 4 10 2 5 4 10 2 5
f) 4 15 4 15 2 3 5
Giải
a) 2
3
2 = 2 3 2 3
b) 9 4 5 = 2 52 2 5 5 2
c) A = 8 2 15 8 2 15 = 5 32 5 32 5 3 5 3 2 3
d) 4 7 4 7
Cách 1 : Đặt M = 4 7 4 7 , M > 0 M = M2
M2 = 4 + 7 + 4 - 7 - 2 4 7 4 7 = 8 - 2.3 = 2 M = 2, vì M > 0
Cách 2 : M = 4 7 4 7
2
1 7 1 7 2
1 7 2
1 7 2
7 2 8 2
7
2
e) Đặt C = 4 10 2 5 4 10 2 5 C = 2
C
C2 = 8 + 2 4 10 2 5 4 10 2 5 = 8 + 2 6 2 5 8 2 5 12 8 2 5 1
= 6 2 5 C = 6 2 5 5 12 5 1 5 1
f) D = 4 15 4 15 2 3 5
2
3 5 3
5 2
15 2 8 2
15 2 8 15 4 15 4
2 2
2
5 2 2
3 5 3
5
Tính riêng : 2 3 5 2 6 2 5 2 5 12 2 5 1 2 5 1 10 2
Vậy : D = 4 15 4 15 2 3 5 = 2
Chú ý : Câu c) cũng có thể giải theo cách khác bằng cách bình phương A , lưu ý là A < 0
Bài tập 3 : Chứng minh rằng các số sau đây là những số nguyên
A = 5 3 29 12 5
B =
2 6
48 13 5
3
2
Trang 4C =
2 11 3 9
6 2 5 6 20 49 6
2
5
D = 4 5 3 5 48 10 7 4 3
E = 3 1 6 2 2 3 2 12 18 128
Giải
A = 5 3 29 12 5 = 2
3 5 2 3
= 5 5 12 5 5 1 1 1 Z
B =
2 6
48 13 5
3
2
Ta có : 2 3 5 13 48 = 2
1 3 2 5 3
1 3
3
2 = 2 3 3 1 = 2 2 3 = 4 2 3 8 4 3 6 22 6 2
Vậy : B =
2 6
48 13 5 3 2
2 11 3 9
6 2 5 6 20 49 6
2
5
Tử = 5 2 6 49 20 6 5 2 6 = 5 2 6 5 2 6 5 2 6 3 2
= (25 - 24). 3 2 2 3 2 3 23 9 3 11 2
2 11 3 9
6 2 5 6 20 49 6 2 5
D = 4 5 3 5 48 10 7 4 3 = 2
3 2 10 48 5 3 5
3 5 5 3 5 4 3 10 28 5 3 5 4 3 2 10 48 5 3
5
= 4 5 3 5 5 3 4 5 3 25 5 3 4 25 4 5 9 3 Z
E = 3 1 6 2 2 3 2 12 18 128 = 2
2 4 12 2 3 2 2 6 1
= 3 1 6 2 2 3 2 12 4 2 3 1 6 2 2 3 2 2 3 4 2
= 3 1 6 2 2 3 4 2 3 3 1 6 2 2 3 3 12 3 1 6 2 2 3 3 1
= 3 1 6 2 2 2 3 3 1 6 2 4 2 3 3 1 6 2 3 1 3 1 4 2 3
= 3 1 3 12 3 1 3 1 3 1 2 Z
Bài tập 4 : Rút gọn
A = 4 1 4 1 1
x
B = 6 25 4 6 3 1 2 6 3 1 2 6
C = 10 5 3 2 2 5
2
10 6
19
D =
3 2 2
3 2 3
2
2
3
2
Trang 5A = 4 1 4 1 1
x
Ta có : 4 1 4 1
x x x
x = x 1 2 4 x 2 x x 1
A = 4 1 4 1 1
1 1
.
x
= x2 + x + 1 ( x 0)
B = 6 25 4 6 3 1 2 6 3 1 2 6
Ta có : 6 25 4 6 = 6 1 2 62 3 1 2 6
Vậy B = 6 25 4 6 3 1 2 6 3 1 2 6 = 3 1 2 6 3 1 2 6 3 1 2 6 0 3 1 2 6 0
C = 10 5 3 2 2 5
2
10 6
19
2
2 5
2
5 2 2 3 5 2 2 3 4
10 12 38
2
5 2 2 3 5 2 2 3 5 2 2 3 2
5 2
2
D =
3 2 2
3 2 3
2
2
3
2
Cách 1 : D =
3 2 4 2
6 2 2 3 2 4 2
6 2 2
=
1 3 2
6 2 2 1
3 2
6 2 2
=
1 3 2
6 2 2 1
3
2
6
2
2
3 3 3 3
3 3 6 2 2 3 3 6 2 2 3 3
6 2 2 3 3
6 2 2
6
2 6 6
2 3 6 3 6 2 2 6 2 3 6 3 6
2
2
6
Cách 2 :
Áp dụng công thức căn phức tạp, ta có :
2
1 3 2
1 2
3
3
2 ;
2
1 3 2
1 2
3 3
2
D =
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
3 3
3 2 3 3
3 2 2 2
1 3 2
3 2 2
1 3 2
3 2
3 3 3 3 2 6 3 3 3 3 2 6 2 3
3 3 3
3 3 3 2 3 3 3
2
.
a) A = 3 2 1998
2 8
3x x với x =
5 6 14 5
38 5 17 2
5 3
b) B = x 3 4 x 1 x 15 8 x 1
c) C =
24 1
2 1
1 2 1 2
4 8
2
3
3 3
b
b b
b b
b
Trang 6d) D =
x
x x
x x
x
x
3
1 2 2
3 6
5
9 2
giải
a) Ta có : x =
5 6 14 5
38 5 17 2
5 3
=
3
1 5 3 5
2 5 2 5 5
3 5
2 5 2 5
2
Vậy : A = 3 2 1998
2 8
3x x = 31998
b) B = x 3 4 x 1 x 15 8 x 1 = 2 2
4 1 2
x
= x 1 2 x 1 4
Nếu 1 x 5 thì B = 6 - 2 x 1
Nếu 5 x 17 thì B = 2
Nếu x > 17 thì B = 6 + 2 x 1
c) C =
24 1
2 1
1 2 1 2
4 8
2
3
3 3
b
b b
b b
b
, đặt x = 3 b
C =
8
24 2
2
2 4 2
8
2 8
24 2
2 2
4
2 3
2 3
3 3
2 3
3 3
3
x x x
x
x x x
x
x x
x x
x
2 2
3 3
4 3
2 3 2
2
3
2 8
2 24 4 2 4 2 2 8
24 2
2
4 4
2
2
2
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x
x
x
x
4 2 2
2
3
3 2
2
x x
x x x x
d) D =
x
x x
x x
x
x
3
1 2 2
3 6
5
9 2
, đặt a = x
2 3
2 3 2 9 9
2 3
2
2 1 2 9 9
2 3
1 2 2
3 6
5
9
2
a a
a a a
a a
a
a a a
a a
a a
a a
a
a
=
1 3
1 3
2
1 2 3
.
2
2
2
x
x a
a a
a
a a a
a
a
a
Tìm x nguyên để D nhận giá trị nguyên
Ta có : D =
3
4 1 3
1
x x
x
Để x nguyên thì x 3 1 ; 2 ; 4 Giải ra và so sánh điều kiện
Vậy x = 1 ; 16 ; 25 ; 49 thì D nhận giá trị nguyên
Bài tập 6 : Trục căn thức ở mẫu
a A = 3 5422 5 b B = 23 2 22 3 4
Trang 7c C = 23 2 62 3 4
giải
a A = 3 5 42 2 5
4
5 2 2 5 3 4 4
5 2 5 3 5 3 5
3
5 2 5 3 5 2 2
5
3
5 2
5
3
.
2
= 1 - 5 2
b Đặt a = 3 2 x3 = a x2 = 3 4
4 2
2
2
2
x
x x x x
x x
x x
x
2 2
3 2
2 3 4
3
1 2 1
) 1 (
1
A = 3 4 3 2
c C = 3 4 3 2
d D = 2 - 3 4
Bài tập 7 : Cho biểu thức A =
1
1 1 1
4
1 2 1
2
x
x x x
x
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Rút gọn A
Giải
a) A có nghĩa khi và chỉ khi x > 2 hoặc 1 < x < 2
b) A =
1
1 1 1
4
1 2 1
2
x
x x x
x
1
2 2
1 1
1 1
2
2 2
x
x x
x x
=
2
; 1
2
2 1
;
1
2
x x
x x
Bài tập 8 : Cho biểu thức A = x2 2 x 1 x2 2 x 1
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Tính A khi x 2
Giải
a) A có nghĩa khi và chỉ khi x -1 hoặc x 1
2 2
2 1 1 x 1 1
x
Bài tập 9 : Rút gọn biểu thức B = 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1
x
Đáp số : B = x x 1 x x 1 2 x khi x 1
Bài tập 10 : Rút gọn biểu thức C =
x x x x
x x
1 :
1
ĐKXĐ : x 0 và x 1
Đặt a = x suy ra kết quả C = 21 1 11
x a
Bài tập 11 : Giải các phương trình sau :
a) 2x2 + 3x + 2 2 3 9
x
Trang 8Đặt y = 2 2 3 9
x
Từ (1) suy ra y2 + y - 42 = 0 y 6y 7 = 0 y = 6 hoặc y = -7 (loại)
y = 6 2 2 3 9
x
x = 6 2x2 + 3x - 27 = 0 (x - 3)(2x + 9) = 0
x = 3 hoặc x = -4,5
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 3 và x2 = -4,5
b) x 4 + x 4 + 12 - 2x = 2 2 16
x (2) Đặt y = x 4 + x 4 0 y2 = 2x + 2 2 16
x
(2) y2 - y - 12 = 0 (y - 4)(y + 3) = 0 y = 4 hoặc y = -3 (loại)
Với y = 4 y2 = 16 2x + 2 2 16
x = 8 - x (3)
ĐK : x 8 và x 4
Bình phương hai vế (3) và giải ra ta được x = 5
Vậy phương trình có một nghiệm x = 5
Bài tập về nhà :
1 2
1
1
2 1
1 2
x
x x x x
x
x x x x x
x x
a Tìm ĐKXĐ của E
b Rút gọn E
Đáp số : ĐKXĐ : x 0 và x 1 và x 41
x
x
2 Cho biểu thức A =
1
1 1
1 1
2
x x
x
x x
x x
a Rút gọn A
b Tìm x để A < 31
c Tính B = 13 30 2 9 4 2
Đáp số :
a ĐKXĐ : x 0 và x 1 ; A =
1
x x x
b x 0 và x 1
3 Cho biểu thức P =
3 3
2 2
2
.
:
y y x y
x x
y x
y x
y y
x x
a Rút gọn P
b Tính P khi x y 5 và x. y 6
Đáp số :
ĐKXĐ : x 0 ; y 0 và x y
P = 1397
Trang 94 Cho biểu thức P = 1
2
1 1
2 2
3 9 3
x x
x x
x
x x
a Tìm x để P = 1
b Tìm x để P2 > P
c Tìm x nguyên để P nguyên
6
9 2
3 3
2 :
9
3 1
a a
a a
a a
a a
a a
a Rút gọn Q
b Tìm a nguyên để Q nguyên
c Tìm a để Q + Q = 1
6 Thực hiện phép tính
a 4 15 10 2 4 15
b 4 3 2 2 40 2 57
c 51 36 2 2 18 12 2 3 3 2 62 2 2 3 62 3
7 Giải các phương trình sau
x x
x
b x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5
c 10 24 40 60 2005 2x 1 2 3 5
d 3 2 6 2 7 12
x
e x - x 2006 = 2008
f x4 + 2 2005
x
x
Họ và tên : Môn : Tự chọn
I/ Trắc nghiệm (5 đ)
Câu 1 : Điều kiện xác định của căn thức
x
1
2
là a) x 1 b) x 1 c) x > 1 d) không có giá trị của x
Câu 2 : Kết quả của phép tính 4 2 3 3 là
Câu 3 : Kết quả của việc đưa thừa số vào trong dấu căn của x 3 (khi x < 0) là a) - 3x2 b) 3x2 c) 3x2 d) Một kết quả khác
Câu 4 : Giá trị của biểu thức 2 1 3 2 1 3
Câu 5 : Nếu x thỏa mãn điều kiện 3 x = 3 thì x bằng
Trang 10Câu 6 : Kết quả của phép tính 9 17 9 17 bằng
Câu 7 : Nếu 2 4 4
x
x = -1 thì a) x = 1 b) x = 3 và x = 1 c) x = 3 d) không có giá trị của x
Câu 8 : Điều kiện xác định của biểu thức x 1 x là
a) x > 0 và x 1 b) x 0 và x 1 c) x 0 d) x 1
Câu 9 : Với những giá trị nào của x thì
3
1
x
x
nhận giá trị nguyên a) x = 1 b) x = 1, 9, 16, 25 c) x = 1, 25, 49 d) x = 1, 16, 25, 49
Câu 10 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + x 3 + 1 là
-2
II/ Tự luận : (5 đ)
Cho A = 2 2
4 5 5
y x
y xy x y
x
xy y
x
; 0
; 0 :
4
3 3
2
Rút gọn A, B rồi tìm x, y để A = B và x = 4y
Họ và tên : Môn : Tự chọn
I/ Trắc nghiệm (5 đ)
Câu 1 : Điều kiện xác định của căn thức
x
2
3 là a) x 2 b) x 2 c) x > 2 d) không có giá trị của x
Câu 2 : Kết quả của phép tính 6 2 5 5 là
Câu 3 : Kết quả của việc đưa thừa số vào trong dấu căn của x 2 (khi x < 0) là a) 2x2 b) - 2x2 c) 2x2 d) Một kết quả khác
Câu 4 : Giá trị của biểu thức 2 1 3 2 1 3
Câu 5 : Nếu x thỏa mãn điều kiện 2 x = 2 thì x bằng
Câu 6 : Kết quả của phép tính 2 1 2 1 bằng
Trang 11a) 4 b) -4 c) 1 d) -1
Câu 7 : Nếu 2 6 9
x
x = -1 thì a) x = 2 b) x = 2 và x = 4 c) x = 4 d) không có giá trị của x
Câu 8 : Điều kiện xác định của biểu thức
x
x 2
8
là a) x > 0 và x 4 b) x 0 và x 4 c) x 0 d) x 4 và
x 0
Câu 9 : Với những giá trị nào của x thì
3
1
x
x nhận giá trị nguyên a) x = 1, 9, 25 b) x = 1, 9, 16, 25 c) x = 1, 25, 49 d) x = 1, 16, 25, 49
Câu 10 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 - x 3 + 1 là
a)
2
-2
II/ Tự luận : (5 đ)
Cho M = 2 2
5 4 2
y x
y xy x y
x
xy y
x
; 0
; 0 :
4
3 3 2
Rút gọn M, N rồi tìm x, y để M = N và x = 4y
A Mục tiêu :
+ Nắm vững các công thức định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn
+ Hiểu và nắm vững các hệ thức liên hệ giữa cạnh, góc, đường cao, hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền trong tam giác vuông
+ Biết vận dụng linh hoạt các hệ thức trong tam giác vuông để tính các cạnh, các góc hoặc
để giải tam giác vuông
C Tiến trình dạy học
Trang 12Ngày soạn :20/10/2008 Ngày dạy :23/10/2008
Tiết 1,2 tuần 10 : MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I Mục tiêu :
1 Kiến thức : HS biết thiết lập các hệ thức b2 = a.b’, c2 = a.c’, h2 = b’.c’
2 Kỹ năng : HS biết cách áp dụng các công thức vào giải bài tập
3 Thái độ : HS vận dụng linh hoạt các công thức trên
II Phương pháp giảng dạy : Phương pháp luyện tập thực hành
III Tiến trình dạy học :
Hoạt động 1 : Kiểm tra bài cũ (5 phút)
Nêu các hệ thức về cạnh và đường cao trong
tam giác vuông ?
Hoạt động 2 : Luyện tập (80 phút)
Bài tập 1 : Cho hình vẽ, biết 43
AC
AB
, tính
độ dài x và y trên hình
Đề bài cho ta biết những gì ?
Yêu cầu ta làm gì ?
Theo em ta tính cạnh nào trước ?
GV lưu ý HS vận dụng ngay giả thiết đã cho
Nêu cách tính BC ? AH ?
GV gọi 1 HS lên bảng giải, cả lớp cùng làm
và nhận xét kết quả
Ngoài cách làm đó ra ta còn cách nào giải
khác không ?
GV định hướng thêm các cách giải khác để
HS tham khảo và về nhà giải
GV yêu cầu HS giải bài tập 2
HS chép đề vào vở, 2 HS đọc đề bài tập
Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 3 : 4, có
nghĩa là gì ?
GV hướng dẫn HS cách biểu thị trên
Làm cách nào để tính a ?
Áp dụng kiến thức nào để tính độ dài các
hình chiếu ?
GV gọi 1 HS lên bảng giải, lớp cùng làm và
nhận xét kết quả
Bài 1 : Cho hình vẽ, biết 43
AC
AB
, tính độ dài x và y trên hình ?
15
y
x
C H
B
A
Giải
Ta có : 43
AC
AB
4
3 15
AC AC = 20 (cm)
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC ta có : BC2 = AB2 + AC2 = 625
y = BC = 25 (cm)
Áp dụng định lý 3, ta có : AH.BC = AB.AC x = AH = 12 (cm)
Bài 2 : Cho tam giác ABC, biết tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 3 : 4, cạnh huyền bằng 125 cm Tính độ dài các cạnh góc vuông và độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền ?
Giải
Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 3 : 4, có nghĩa là nếu 1 cạnh có độ dài 3a thì cạnh kia
có độ dài là 4a
Ta có : (3a)2 + (4a)2 = 1252 a = 25
Áp dụng định lý 1, giải ra ta được hình chiếu bằng 45 cm và 80 cm
