Tuy nhiên qua nhiều năm giảng dạy môn Toán tôi nhận thấy các em thường hay gặp nhiều khó khăn trong việc tìm dãy số, dãy phân số viết theo quy luật của một biểu thức trong đó việc vận dụ
Trang 1M C L C: ỤC LỤC: ỤC LỤC:
PHẦN THỨ NHẤT – ĐẶT VẤN ĐỀ 2
PHẦN THỨ HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3
1)CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ 3
2)THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 3
3) BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 4
4) HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN 14
PHẦN THỨ BA – KẾT LUẬN 14
TÀI LIỆU THAM KHẢO 16
Trang 2PHẦN THỨ NHẤT – ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là một trong những môn học về khoa học tự nhiên Trong các
môn học ở trường THCS, môn Toán có vị trí rất quan trọng Các kiến thức, kỹ năng của môn Toán ở THCS cũng được ứng dụng nhiều trong cuộc sống và trong các môn học khác
Chuyên đề về dãy số, dãy phân số viết theo quy luật là một bộ phận của chương trình môn Toán cấp THCS Thông qua các hoạt động dạy học toán tạo cơ hội phát triển năng lực trừu tượng hoá, khái quát hoá trong học Toán; đồng thời tiếp tục phát triển khả năng diễn đạt của học sinh theo mục tiêu của môn Toán ở THCS
Tuy nhiên qua nhiều năm giảng dạy môn Toán tôi nhận thấy các em thường hay gặp nhiều khó khăn trong việc tìm dãy số, dãy phân số viết theo quy luật của một biểu thức trong đó việc vận dụng các hằng đẳng thức các em làm sai rất nhiều mà chuyên đề dãy số, dãy phân số viết theo quy luật là cơ sở để các em học tiếp các chuyên đề chứng minh bất đẳng thức dãy … Xuất phát từ những lí
do trên để giúp học sinh học tốt môn toán tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật ” Qua đó để có thể học hỏi, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp để nâng cao trình độ chuyên môn của bản thân
Trang 3PHẦN THỨ HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1)CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Muốn nâng cao chất lợng dạy bồi dỡng học sinh giỏi toán thì trớc hết phải xây dựng đợc một nội dung hợp lý, khoa học và những phơng pháp giảng dạy phù hợp, phát triển đợc khả năng t duy linh hoạt, sáng tạo của học sinh
Qua thực tế tham gia dạy bồi dỡng học sinh lớp 6 của trờng tôi thấy đợc thực trạng việc dạy học và giải toán nâng cao của giáo viên và học sinh còn nhiều vấn đề phải quan tâm Đó là: Nội dung dạy bồi dỡng học sinh giỏi cha
đảm bảo logic, giáo viên khi nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy bài nào hay thì chọn để dạy cho học sinh chứ cha phân đợc dạng, loại trong mỗi mạch kiến thức
Về phơng pháp dạy giải các bài toán nâng cao cha hợp lí, có những phơng pháp giải cha phù hợp với đặc điểm tâm lý và khả năng tiếp thu của học sinh; về phía chuyên môn cha có tài liệu chỉ đạo cụ thể về nội dung và phơng pháp dạy bồi d-ỡng học sinh giỏi Toán để giáo viên lấy đó làm cơ sở Học sinh cha có một
ph-ơng pháp t duy logic để giải quyết các dạng bài tập nhất là các bài tập về dãy số, dóy phõn số viết theo quy luật Chính vì vậy, chất lợng dạy bồi dỡng học sinh giỏi cha cao
Để từng bớc nâng cao chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi, tôi đã chọn đề tài :” Một số kinh nghiệm giỳp học sinh khỏ, giỏi nắm vững một số dạng bài toỏn dóy số, dóy phõn số viết theo quy luật“
2)THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Ngay từ đầu thỏng 9 tụi đó tiến hành khảo sỏt học sinh chất lượng mụn toỏn
để chọn ra một số học sinh khỏ giỏi đủ tiờu chuẩn cho cỏc em vào đội tuyển bồi dưỡng học sinh giỏi
Tổng số học sinh: 80 học sinh
Kết quả đạt được:
Điểm giỏi: 20 học sinh chiếm 25%
Điểm khỏ: 30 em chiếm 37,5%
Điểm trung bỡnh: 20 em chiếm 25%
Điểm yếu, kộm: 10 em chiếm 12,5%
Kết quả trờn trung bỡnh là: 87,5 %
Căn cứ vào kết quả bài khảo sỏt của học sinh và tỡnh hỡnh thực tế tụi nhận thấy
cú những thuận lợi và khú khăn sau
Thuận lợi:
Cơ sở vật chất và đồ dựng dạy học của nhà trường khỏ đầy đủ
Trang 4Học sinh có đầy đủ sách giáo khoa và đồ dùng học tập.
Nhà trường luôn tích cực trong những hoạt động nâng cao chất lượng
Tập thể giáo viên đoàn kết có tinh thần tương trợ lẫn nhau
Đa số học sinh có ý thức học tập tích cực
Phụ huynh học sinh luôn quan tâm ủng hộ việc học tập của con em mình
Do ảnh hưởng của môi trường xã hội nên một số học sinh còn mải chơi chưa chịu khó học tập, gặp một dạng khó là các em dễ bị nản, dễ có tâm lý lười suy nghĩ, lười vận động
3) BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Bước 1: Tiến hành khảo sát.
Bước 2: Đưa ra các kiến thức vận dụng
Bước 3: Phân loại các dạng toán.
Hướng dẫn phương pháp giải
Xác định những sai lầm thường gặp
Đưa ra lời giải đúng
Khai thác bài toán dưới một dạng khác
Tổng quát hóa bài toán
Kiến thức vận dụng
1 Quy đồng mẫu số nhiều phân số:
- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng
2 Các phép tính của phân số:
a Cộng, trừ phân số cùng mẫu:
M
B A
M
B
M
M
B A
M
B
M
b Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:
- Quy đồng mẫu các phân số
- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung
c Nhân các phân số: .DC B.DA.
B
(B, D 0)
d Chia 2 phân số:
B.C
A D
C : B
(B, C, D 0)
3 Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:
Trang 5a Tính chất giao hoán:
- Phép cộng:
b d d
c b
(b, d 0)
- Phép nhân: .b
d d
c b
(b, d 0)
b Tính chất kết hợp :
n
m d
c b n d
c b
(b, d, n 0)
n
m d
c b n
d
c b
(b, d, n 0)
c Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ):
d
c n
b
a n
.
d
c
b
4 Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b
Tính chất:
- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c
- Tính chất đơn điệu của phép cộng:
Nếu a > b thì a + c > b + c
- Tính chất đơn điệu của phép nhân:
Nếu a > b thì a c > b c (c > 0)
- Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d
5 Một số tính chất của bất đẳng thức:
a 11 12 11
n n
n
b k12 kk1 1 k11 k1
n
n
n
n
d n n2 n n1
Dạng 1: Tính tổng của các dãy số viết theo quy luật.
Ví dụ 1: Tính tổng S100 1 2 3 4 5 6 100
Hướng dẫn:
Ta thấy số đầu cộng số cuối = 101 tương tự ta có số thứ 2 cộng số cuối 101
Mà từ 1 đến 100 có 100 số vậy có 50 cặp có tổng 101
5050 2
.
101
S
Trang 6Tổng quát: 1 2 3 4 nn21
n
S n
Ví dụ 2: Tính tổng S100 2 4 6 8 100
Sai lầm thường gặp: 5100
2
2 100 100
S
Lời giải đúng:
Ta thấy tổng trên có 1 50
2
2 100
số hạng
Ta thấy số đầu cộng số cuối = 102 tương tự ta có số thứ 2 cộng số cuối 102
Mà từ 2 đến 100 có 50 số vậy có 25 cặp có tổng 102
2550 25
.
102
S
Ví dụ 3: Tính tổng S99 1 3 5 7 99
Làm tương tự ví dụ 2 ta có
2500 25
.
100
99
S
Dạng 2: Dạng bài toán tính tổng của các tích, tổng của các lũy thừa
Ví dụ 1:Tính tổng:
1 99 2 98
98
2
99
.
1
98
3 2
1
100 98
4
.
2
3
.
1
50 49 48
4 3
2
3
.
2
.
1
99 98
4 3 3
.
2
2
.
1
2 2
2
2
E
D
C
B
A
HDG:
100
.
98
.
33
100
.
99
.
98
3
100
.
99
.
98
99 98 97
4 3 2 3 2 1 100 99 98
4
3
.
2
3
.
2
.
1
97 100 99 98
2 5 4 3 1 4 3 2 0
3
.
2
.
1
3 99 98
3 4 3 3 3 2 3
.
2
.
1
3
A
A
A
Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c nh sau: Bài 1: Tính tổng
3393401
99 46 100
.
98
.
33
98
3 2 1 99 98
4 3
3
.
2
2
.
1
1 99 98
1 3
2
1
2
1
98 98
3 3
2
.
2
1
.
1
98
3 2
1 2 2 2 2
D
D
Trang 7
51 50
.
49
.
12
51 50
.
49
.
48
4
50 49 48 47
5 4 3 2 4 3 2 1 51 50 49 48
5 4 3 2
4
.
3
.
2
.
1
47 51 50 49 48
1 5 4 3 2 0 4
.
3
.
2
.
1
4
4 50 49 48
4 4 3 2 4
.
3
.
2
.
1
4
50 49 48
4 3 2
3
.
2
.
1
B
B
B
B
B
Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c nh sau: Bài 2: Tính tổng
3 3
3
3 2 3 100
A
Hướng dẫn giải
Sử dụng (n-1)n(n+1)=n 3 n
n3 n (n-1)n(n+1)
101994850 101989800
5050
101 100 99
4 3 2 3 2 1 100
3
2
1
101 100 99
4 3 2 3 3 2 1 2
1
3402799
99 46 100
.
98
.
33
98
2 1 99 98
3
.
2
2
.
1
1 99 98
1 3 2
1
2
.
1
100 98
4
.
2
3
.
1
C
C
Ví dụ 2:Tính tổng:
A=1.3+.3.5+5.7+ +97.99
Hướng dẫn giải:
6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6+…+97.98.6
=1.3.(5+1)+3.5(7-1)+5.7.(9-3)+ +97.99.(101-95)
=3+1.3.5+3.5.7-1.3.5+3.5.7-5.7.9+ +97.99.101
=3+97.99.101
A=161651
Tõ kÕt qu¶ cña ví dụ 2 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c nh sau: Bài 1: Tính tổng: A= 1.3.5+3.5.7+5.7.9+ +95.97.99
8A= 1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+ +95.97.99.8
=1.3.5(7+1)+3.5.7(9-1)+5.7.9(11-3)+ +95.97.99(101-93)
A=11517600
Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 1 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c nh sau:
Bài 2: Tính tổng: A=1 3 3 3 5 3 99 3
Sử dụng (n-2)n(n+2)=n3 4n n3 n 2 n n 2 4n
A=1+1.3.5+4.3+3.5.7+4.5+… +97.99.101+4.99
=1+(1.3.5+3.5.7+…+97.99.101)+4(3+5+7+….+99)
=12497500
Trang 8Ví dụ 3:Tính tổng:
TÝnh tæng: G= 3 + 32 + 33 + 34 +32008
Lêi gi¶i:
3G = 32 + 33 + 34 +35 +32009
2G = 3G – G = (32 + 33 + 34 +35 +32009) – (3 + 32 + 33 + 34 +32008)
= 32009 – 3
G=
2
3
3 2009
Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 1 thµnh bµi to¸n sau:
TÝnh tæng:
G= a + a2 + a3 + a4+…+an (víi mäi a vµ n lµ sè nguyªn d¬ng a 1) Lêi gi¶i:
aG = a2 + a3 + a4 +a5+ +an
(a-1)G = aG – G = (a2 + a3 + a4 +a5+ +an+1) –( a + a2 + a3 + a4+ +an)
= an+1 – a
G=
1
1
a
a
a n
Tõ kÕt qu¶ cña Ví dụ 3 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c nh sau:
Bài 1 : Tính tổng
B= 2100-299+298-297+… +22
Suy ra 2B = 2101-2100+299-298+…+23-22suy ra
2B+B= 2101-2
3B = 2( 2100-1)
Suy ra B = 2(2100-1)/3
Trang 9Dạng 3: Dạng bài toán khử liên tiếp
Ví dụ 1:
Tính tổng
a) A =
100 99
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1
Ta cã:
2
1 1
1 2
.
1
1
3
1 2
1 3 2
1
;
4
1 3
1 4 3
1
100
1 99
1 100 99
1
VËy A = 1+
100
99 100
1 1 100
1 99
1 99
1
3
1 3
1 2
1 2
1
Tõ kÕt qu¶ cña Ví dụ 1:ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c nh sau:
Tính tổng
39 38 37
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3
.
2
.
1
1
F
Sai lầm thường gặp:
3 2
1 2
.
1
1
3
.
2
.
1
1
Lời giải đúng
) 3 2
1 2 1
1
(
2
1
3
.
2
.
1
1
F
F
F
F
39
38
1
2
1
2
39 38
1 38 37
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1
2
.
1
1
2
39 38 37
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3
.
2
.
1
1
Bài toán tương tự
Tính tổng:
30 29 28 27
1
5 4 3 2
1 4
.
3
.
2
.
1
1
G
Tõ kÕt qu¶ cña các ví dụ trên ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c nh sau:
10 9
19
4 3
7 3
2
5 2
1
3
2 2 2
2 2 2 2
HDG:
10
1 1 10
1 9
1
3
1 2
1 2
1 1 10 9
9 10
3 2
2 3 2
.
1
1
2
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
Bài 2: cho biểu thức
5 7
.
100 99
1
4
.
3
1
2
.
1
1
A
CM
A
Trang 10100 99
1
4
.
3
1
2
.
1
1
12
7 100 99
1
6 5
1 12
7 100 99
1
6 5
1 4
1 3
1 2
1 1 100
1 99
1
4
1
3
1
2
1
1
1
6
5 100
1
5
1 4
1 ) 3
1 2
1 1 ( 100
1 99
1
4
1
3
1
2
1
1
1
Vớ dụ 2:Tính tổng
H = 2 3 2008
5
1
5
1 5
1 5
1
Ta có thể tính tổng H theo bài toán 2 bằng cách đặt a
5
1
thì
H = a + a2 + a3 + a4+…+a2008
Tuy vậy ta còn có cách khác phù hợp hơn:
5.H = 2 3 2007
5
1
5
1 5
1 5
1
1
5
1
5
1 5
1 5
1
1 ) –( 2 3 2008
5
1
5
1 5
1 5
1
= 1- 2008
5
1
= 20082008
5
1
5
H = 2008
2008
5 4
1
5
Ta có thể tổng quát bài toán 3 thành bài toán sau:
Tính tổng
a a
a a
1
1 1 1
3
(với mọi a và n là số nguyên dơng a 1)
Bài giải:
a.H= 1 1 12 13 1a1
a a
a a
(a-1)H = aH – H = (1 1 12 13 1a1
a a
a
a a
a a
1
1 1 1
3
=1-a n
1
= n n
a
H = n
n
a a
a
) 1 (
1
Từ kết quả của bài toán 3 ta có thể khai thác dới một dạng khác nh sau:
Vớ dụ 6 : Tớnh tổng
B= 2100-299+298-297+… +22
Trang 112B+B= 2101-2
3B = 2( 2100-1)
Suy ra B = 2(2100-1)/3
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức tử và mẫu có chứa dãy viết theo quy luật
Ví dụ 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
20
1
) 4 3 2 1 ( 4
1 ) 3 2 1 ( 3
1 ) 2 1
(
2
1
Hướng dẫn giải
= 2 5 9 2007.2006 2 4 10 18 2007.2006 2
3 6 10 2006.2007 6 12 20 2006.2007
Mµ: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
A = 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004
2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009
2
21 20 20
1
2
5 4 4
1 2
4 3 3
1 2
3 2 2
1
=
= 1+ 2 3 4 21
2
1 2
21
2
4
2
3
1
2
22
.
21
2
1
= 115.
Ví dụ 2:: Tính giá trị của biểu thức:
a)
1
A
b)
B
Hướng dẫn:
Trang 12a) Biến đổi số bị chia:
Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50
b) Biến đổi số chia:
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia Vậy 1
100
Dạng 5: Chứng minh tổng của các dãy viết theo quy luật chia hết cho 1 số
Ví dụ 1:Tổng:
a 991
51
1
50
1
bằng phân số a/b cmr a chia hết cho 149
b cho 2 3 4 98
98
1
3
1 2
1 1
1
A
CM A chia hết cho 99
3
1 2
1
1
1
C Bằng phân số a/b CMR a chia hết cho 97
HDG:
a
99
51
.
50
75 74
149
99
.
50
149
75
1 74
1
99
1 50
1 99
1
51
1
50
1
K
B
K là mẫu chung thì thừa số phụ các mẫu là k1 ,k2 k25
99
51
.
50
,
149 k1 k2 k25
b
a
Tử chia hết cho số nguyên tố 149 còn mẫu không chứa thừa số nguyên tố 149 khi rút gọn phân số đến tối giản a vẫn chia hết cho 149
4) HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN
Sau khi nghiên cứu và xây dựng nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, cụ thể
là trong những giờ học nỗ lực của thầy và trò, các em đã có những tiến bộ rõ rệt, các em đã tự tin hơn, chăm chỉ hơn và chắc chắn hơn về kiến thức cơ bản, kĩ
Trang 13năng giải bài tập, khả năng lập luận, suy luận đảm bảo có tính hệ thống chặt chẽ hơn, vận dụng được vào thực tiễn Cùng với sự trợ giúp của các đồng nghiệp nên việc áp dụng của tôi đạt hiệu quả tương đối tốt được thể hiện qua bài khảo sát chuyên đề
Tổng số học sinh tham gia khảo sát: 20 học sinh Đạt 20 học sinh
PHẦN THỨ BA – KẾT LUẬN
Qua thực tế nghiên cứu và giảng dạy môn toán và giảng dạy về các bài toán
“Dãy số viết theo quy luật” trong trường THCS, bằng những kinh nghiệm của bản thân và đồng nghiệm với mục đính xây dựng một phương pháp giảng dạy,
tôi đã thể hiện vấn đề này qua đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật”
nhằm thể hiện phương pháp giảng dạy cho giáo viên và nâng cao chất lượng học tập nhận thức của học sinh
Trong nội dung của đề tài này tôi đã đưa ra các dạng bài toán “Dãy số, dãy phân
số viết theo quy luật”, phương pháp tìm lời giảng của từng bài toán để đưa ra cách giải cụ thể cho từng bài để có một bài toán tổng quát cho từng dạng bài Qua đề tài này tôi muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi lời giải một bài toán trên cơ sở kiến thức đã được học Đề tài này nhằm nối giữa lý thuyết với thực hành toán học
Mỗi bài toán tôi đưa ra:
- Phương pháp tìm lời giải
- Các sai lầm thường gặp
- Cách giải
- Bài toán tổng quát
Từ cách đưa ra như thế này, giáo viên, học sinh có thể nhận dạng bài toán thật
dễ dàng nếu nhanh có thể đọc được ngay đáp số với những bài toán thuộc quy luật
Trên đây là toàn bộ phần trình bày nội dung của đề tài Mong rằng những vấn đề được đề cập đến trong đề tài này ít nhiều góp phần vào việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi