Phương trình oxyz hệ tọa độ KHÔNG GIAN OXYZ NÂNG CAO 81 BTTN ( lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải) image marked

Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC; 2.. Xác định toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và toạ độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành này; 3.. Tìm tọa độ

1

CÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ

Phương pháp:

• Dựa vào định nghĩa tọa độ của điểm, tọa độ của véc tơ

• Dựa vào các phép toán véc tơ

Áp dụng các tính chất sau:

Cho các vectơ u=( ;u u u1 2; 3),v=( ; ; )v v v1 2 3 và số thực k tùy ý Khi đó ta có

a x

a x

2

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a=(1; 0; 2) , b− = −( 2;1;3) , c= −( 4;3;5)

1 Tìm toạ độ vectơ 3.a 4.b 2c− +

2 Tìm hai số thực m , n sao cho m.a n.b c+ =

1 Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC;

2 Xác định toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và toạ độ giao

điểm hai đường chéo của hình bình hành này;

3 Xác định toạ độ điểm M sao cho MA= −2MB

Lời giải

1 Xác định tọa độ trọng tâm G

Theo tính chất của trọng tâm G ,ta có :

OG 1(OA OB OC)

3

A B C G

A B C G

A B C G

3

Vì A,B,C là ba đỉnh của một tam giác ,do đó

ABCD là hình bình hành

A C I

A C I

3 Xác định tọa độ M

Gọi (x; y; z) là toạ độ của M,ta có

4x3

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC có A(1;0; 2),B( 1;1;0),C( 2;4; 2) − − − −

1 Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác

Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz, , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(-1,2,3) ,C(1; 4; 5)

,B’(-3;3;-2) , D’(5;3;,B’(-3;3;-2) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp

D'

Gọi E, E’ lần lượt là trung điểm của AC và B’D’ thì ta có EE' AA ' BB' CC' DD'= = = = và

D − Gọi M là trung điểm của CD Biết SM vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) và thể tích khối chóp V S ABCD. = 66 (đvtt) Tìm tọa độ đỉnh S

S

M là trung điểm CD nên M(5; 1;1) − SM(5 −x S; 1 − − y S;1 −z S).

• Nếu k =2 thì SM = (5 −x S; 1 − −y S;1 −z S) = − − ( 2; 16; − 2) nên tọa độ của điểm S là (7;15; 3).

S

• Nếu k = −2 thì SM = (5 − x S; 1 − − y S;1 −z S) = (2;16; 2) nên tọa độ của điểm S là (3; 17; 1).

Vậy tọa độ các điểm S cần tìm là S(7;15; 3) hoặc S(3; 17; 1) − −

Ví dụ 7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(2; -1;3) , B(3;0; -2) ,

C(5; - 1; -6)

1 Tính cos BAC ,suy ra số đo của BAC ;

2.Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên BC và toạ độ điểm A’ đối xứng của A qua đường thẳng BC

2 Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên đường thẳng BC

Kí hiệu (x;y;z) là toạ độ của H ,tacó

H A

A' B

C

Tọa độ A’ đối xứng của A qua BC

A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng BCH là trung điểm của AA’

Ví dụ 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(4;2;0) , B(2;4;0) và

C(2;2;1) Xác định tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Lời giải

Toạ độ trực tâm của tam giác ABC

Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC ,ta có

Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,ta có

Câu 6 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 3;3; 2 , C( - ) ( ) (- 1; 2; 2 , D 3;3;1) ( )

Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC là )

A Tam giác vuông tại C B Tam giác cân tại C

C Tam giác vuông cân tại C D Tam giác đều

Câu 17 Trong không gian Oxyzcho tam giác ABC có A(1; 0; 0), B(0; 0;1), C(2;1;1) Tam giác ABC

có diện tích bằng

Câu 22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1)- ,

B(2; 1;3)- ,C( 2;3;3)- ĐiểmM a; b;c la( ) ̀ đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó

2 2 2

P= a + b - c có giá trị bằng

Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho ba điểm A(1; 2; 1)- ,

B(2; 1;3)- ,C( 2;3;3)- Tìm tọa độ điểmD là chân đường phân giác trong góc A củ a tam

giác ABC

A D(0;1;3) B D(0;3;1) C D(0; 3;1)- D D(0;3; 1)-

Câu 24 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A( 1;3; 5)− , B( 4;3; 2)− , C(0; 2;1) Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

3 3 3 D

8 8 5I( ; ; )

3 3 3

Câu 25 Trong không gian Oxyz, cho 3 vectơ a= -( 1;1; 0 , b) = (1;1; 0 , c) = (1;1;1)

Cho hình hộp OABC.O A B C¢ ¢ ¢ ¢ thỏa mãn điều kiện OA a, OB b, OC' cuuur= r uuur= r uuur= r Thể tích của hình hộp nói trên bằng:

13

Câu 26 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A 2; 1;1 , B 1;0;0 ,( - ) ( )

C 3;1;0 , D 0; 2;1 Cho các mệnh đề sau:

1) Độ dài AB= 2

2) Tam giác BCD vuông tại B

3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6

Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diê ̣n ABCD , biết A(1; 0;1),B( 1;1; 2)- ,

C( 1;1; 0)- , D(2; 1; 2)- - Đô ̣ dài đường cao AHcủ a tứ diê ̣n ABCD bằng:

A. 1

2

13

3 13.13

Câu 29 Cho hình chóp tam giác S.ABC với I là trọng tâm của đáy ABC Đẳng thức nào sau đây

13

C SIur= SAuur+ SBuur+SC.uur D SIur+SAuur+SBuur+SCuur= 0.r

Câu 30 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C(0; 0;1), D( 2;1; 1)- - Thể tích của tứ diện ABCD bằng

A 1

2

SA= SB= a,SC= 3a, ASB= CSB= 60 , CSA= 90 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó khoảng cách SG bằng

Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD biết A(- 2; 2;6 , B) (- 3;1;8 , C) (- 1;0;7 , D 1; 2;3) ( ) Gọi H là trung

điểm của CD, SH^ (ABCD) Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27

14

Câu 36 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B(3; 0;1), C(2; 1;3)- - và D

thuộc trục Oy Biết VABCD= 5 và có hai điểm D 0; y ;0 , D 0; y ;0 thỏa mãn yêu cầu bài toán 1( 1 ) 2( 2 )

Khi đó y1+ y2 bằng

Câu 37 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A( 1; 2; 4), B(3; 0; 2), C(1;3; 7)- - Gọi D

là chân đường phân giác trong của góc A Tính độ dài OD uuur

207.3

Câu 38 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC , biết A(1;1;1),

B(5;1; 2)- ,C(7;9;1) Tính đô ̣ dài phân giác trong ADcủ a gócA

A 2 74

3 74

Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1), B( 1; 2; 0)- ,C(1;1; 2)-

H là trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng

A 870

870

870

870.12

Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1; 0), B nằm trên mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H(2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC Toạ độ các điểm B, C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC , biết A(5;3; 1)- ,B(2;3; 4)- ,

C(3;1; 2)- Bán kính đường tròn nô ̣i tiếp tam giác ABC bằng:

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2;1), B(1;1;0), C(1;0;2) Khoảng

cách từ trọng tâm của tam giác ABC đến trung điểm cạnh AB bằng:

16

A 3

2B

2

3C

3

2 2D

ê = ë

Câu 49 Trong không gian Oxyz,cho tứ diện ABCE có ba đỉnh

Câu 53 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;5; 4) , (3;1; 4)B Tìm tọa độ điểm

C thuộc mặt phẳng( ) :P x− − − =y z 1 0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17

A C (4;3;0) ;1 C (7;3;3) 2 B C (4;3;0) ;1 C (7;0;3) 2

C C ( 4;3;0)1 - ;C (7;3;3) 2 D C (4;3;0) ;1 C ( 7;3;3)2 -

Câu 54 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2;1),− B(2; 0;3) và mặt phẳng

( ) : 2P x− − + =y z 4 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA =MB và (ABM)⊥( )P

18

Câu 58 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3),

C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x– – – 3 0y z = Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức F=MA2+MB2+MC2 Khi đó tìm toạ độ của M

Câu 59 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt

phẳng (P) có phương trình: x+ + − =y z 3 0 Tìm trên (P) điểm M sao cho MA+2MB+3MC nhỏ nhất

Câu 60 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A 1;1;1 ; ( ) B 1; 2;1 ; ( ) C 1;1; 2 ; ( ) D 2; 2;1 Tâm I của ( )

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ là:

Câu 61: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tìm

tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất

19

A 6 B. 33

50 C 5 3 D.

5033

Câu 64: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 0;0; 2 , ( ) C 1;1;0 và ( ) D 4;1; 2 ( )

Tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mp(ABC)?

Câu 67: Trong mặt phẳng Oxyz, Cho tứ diện ABCD có A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(3;2;1) Độ

dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là

Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;0), M(1;1;1) và mặt phẳng (P)

qua A, M cắt oy, oz tại B(0;b;0), C( 0;0;c) (b>0;c>0) Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất khi

A b=c=3 B b=c=4 C b=4, c=3 D b= 3, c=4

Câu 69 Trong không gian Oxyz, gọi I, J, K là các điểm sao cho OI =i, OJ= j OK, =k

Gọi M là trung điểm của JK, G là trọng tâm của IKJ Xác định tọa độ của MG

A (1; 0; 0) B ( 1; 0;1)- C (1; 0; 1)- D ( 1; 0; 1)-

-Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1),C(3;1; 1)- Tìm tọa độ điểm

P thuộc (Oxy) sao choPA+ PCngắn nhất ?

A (2;1; 0) B ( 2;1; 0)- C (2; 1; 0)- D ( 2; 1; 0)-

-Câu 73 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 2)- ,B( 5; 6; 4)- ,C(0;1; 2)-

Độ dài đường phân giác trong của góc A của DABC là:

Câu 74: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1),B( 1; 1; 0)- - ,C(3;1; 1)- Tọa

độ điểm N thuộc (Oxy) cách đều A, B, C là :

A (0; ; 2)7

4 B.

7(2; ; 0)

4 C.

7(2; ; 0)4

4 C.

7(2; ; 0)4

A Cả điểm M và N B Chỉ có điểm M C Chỉ có điểm N D Chỉ có điểm P

Câu 81: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm M 2; 3;5 , N 4;7; 9 ,( - ) ( - )

22