6 tọa độ KHÔNG GIAN OXYZ

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian  Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua

I KIẾN THỨC TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VÉCTƠ

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian

(hay   i; j; k: véc tơ đơn vị )

Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)

II Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:

1 Định nghĩa 1: Cho Mkg Oxyz( ) Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo   i j k, , bởi hệ thức có dạng :   

( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

2 Định nghĩa 2: Cho a kg Oxyz  ( )

Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất theo   i j k, , bởi hệ thức có dạng :   

O

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

II Các cơng thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

 Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng

hoặc nằm trên hai đường thẳng song song

 Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

 Định lý 3 : Cho hai véc tơ a và với b b  0

a cùng phương b   !k  sao cho a k b  

Nếu a  0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:

 Định lý 5: Cho hai véc tơ a  ( ;a a a1 2 ; 3 ) và b  ( ; ;b b b1 2 3 )

 Định lý 6: Cho hai véc tơ a  ( ;a a a1 2 ; 2 ) và b  ( ; ;b b b1 2 3 )

V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:

Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như :

MA k MB 

  

Định lý 11 : Nếu A x y z( A; A; A) , B(x ;B y z B; B) và MA k MB 

( k 1 ) thì

1 1 1

M

A B M

A B M

x k x x

k

y k y y

k

z k z z

A B M

A B M

A B M

x x x

y y y

z z z

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A x y z( A; A; A) , B(x ;B y z B; B), C(x ;C y z C; C)

G là trọng tâm tam giác ABC 

3 3 3

A B C G

A B C G

x x x x

y y y y

z z z z

VI Tích cĩ hướng của hai véc tơ:

1 Định nghĩa: Tích cĩ hướng của hai véc tơ a  ( ;a a a1 2; 3) và b  ( ; ;b b b1 2 3)

A

B C

B C D

II MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

 Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau

 Một đường thẳng () hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó

và một VTCP của nó

2 Cặp VTCP của mặt phẳng:

Cho mặt phẳng  xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b Gọi a là

VTCP của đường thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b Khi đó :

Cặp ( , )a b được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng 

a

b

a b

n

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

 Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó

4 Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:

Định lý: Giả sử mặt phẳng  có cặp VTCP là : 1 2 3

1 2 3

( ; ; ) ( ; ; )

II Phương trình của mặt phẳng :

Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M x y z0( ;0 0; )0 và

n 

)

;

; ( 0 0 0

0 x y z M

2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

 Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại

( ; 0; 0) (0; ; 0) (a,b,c 0) (0; 0; )

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)

Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A1;2;3 , B 2; 3;1   Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB

Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  P :x 2y 3z  4 0 và

 R : 3x 2y z   1 0 Viết phương trình mặt phẳng  R đi qua A1;1;1 đồng thời vuông góc với cả  P và  Q

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất

III Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

1 Một số quy ước và ký hiệu:

Hai bộ n số : 1 2

1 2

( , , , ) ( , , , )

n n

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  , xác định bởi phương trình :

c O

1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

( ) // ( )

A A ( ) ( )

II ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

I Phương trình của đường thẳng:

1.Phương trình tham số của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số của đường thẳng ( )  đi qua điểm

0 ( ; 0 0 ; ) 0

M x y z và nhận a  ( ;a a a1 2; 3)

làm VTCP là :

2 Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình chính tắc của đường thẳng ( )  đi qua

điểmM x y z0( ;0 0; )0 và nhận a  ( ;a a a1 2; 3)

làm VTCP là :

A B và trọng tâm G0; 2; 1   Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm

C và vuông góc với mặt phẳng ABC

Ví dụ 3:

Cho điểm M(-2;1;1) và đường thẳng

x 1 2t (d) : y 1 t

qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d)

Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng (d) :x z z

1  11 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M và đường thẳng (d)

0

M M(x,y,z)

a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

II Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho: đường thẳng 0 0 0

x,y,z Suy ra: M(x,y,z)

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0

Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x 2y 3z 14 0     Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P)

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

pt pt

III Góc trong không gian:

)

;

; ( 2 2 2

n 

0 0

n 

) (

)

;

; (a b c

a 

0

0  

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

3.Góc giữa hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ;

D(-5,-4,8) Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

)

;

; (

1 a b c

a  1



2



) '

; '

; ' (

a 

0 0

0 x y z M

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :

0

M

' 0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

III MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian

Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D Xác định tâm và bán

kính của mặt cầu

II Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) cĩ phương trình :     

1 ( ) cắt mặt cầu (S) d(I; ) < R

2 ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) d(I; ) =R

3 ( ) không cắt mặt cầu (S) d(I; ) > R

I R

R I

O

R

)

;y z M

)

(S

I

Chú ý:

Khi  cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C) Đường tròn (C) nầy có:

 Tâm là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng 

 Bán kính r R2 d2( , )I 

Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : x 2  y 2  z 2  4x 2y 2z 3 0     Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu tại

điểm M(0;1;-2)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

IV BÀI TẬP VÍ DỤ

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x     y z 8 0 và đường thẳng

và cắt (d)

Bài giải

 Lấy điểm N  (d), tọa độ N có dạng N 1 3t; 1 2t;5 3t     , ta có:

MN  2 3t; 3 2t; 6 5t     

 MN  a   MN.a    0  6 2 3t   2  3 2t 3 6 5t     0 t 0

 Đường thẳng cần tìm đi qua M có VTCP là MN  2; 3; 6  

có phương trình là:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

thẳng   nằm trong (P) saocho   vuông góc với (d) và khoảng cách từ M đến  bằng 42

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1; 0;1 , B 1; 2;1 ; C 4;1; 2       và mặt

phẳng (P): x    y z 0 Tìm trên (P) điểm M sao cho 2 2 2

MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất

 Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là:

phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P) và cắt    d , d 1 2 lần lượt tại A,

B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Bài giải

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Suy ra: (S) có tâm I 1; b; 2 , R    1 b  2  4  b 2  5

 Do (S) tiếp xúc với (P) nên:

2 2 2 2

S : x y z 2x 4z 0

S : x y z 2x 5y 4z 0

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 0;1; 2 , B 1;1;1 , C 2; 2;3       và mặt

phẳng (P): x     y z 3 0 Tìm điểm M trên (P) sao cho MA     MB MC 

đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt

phẳng 5x  4y 3z   20  0;3x  4y z 8    0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x  22y 3  2z 1  2  289

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng .

2

1 2

3 1

2 :

Xét hình bình hành ABCD có A( 1 ; 0 ; 0 ),C( 2 ; 2 ; 2 ), Dd. Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 3 2

Bài giải

2

1 2

3 1

1 ,

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A

và vuông góc với đường thẳng và tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho tam giác ABM vuông tại M

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1;0;3), C(0;2;1)

Lập phương trình mặt cầu đường kính AB và tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ

A của tam giác ABC

Tìm được tọa độ tâm I của mặt cầu I(0;-1;2), bán kính mặt cầu:R  3

Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;5;1 và mặt phẳng

( ) : 6P x 3y 2z 24  0 Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) Suy ra:

Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784, suy ra 2

4 R  784 R 14

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên IH ( )P  I d

Do đó tọa độ điểm I có dạng I2 6 ;5 3 ;1 2  t  t  t, với t  1

Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ

điểm O’ đối xứng với O qua (ABC)

*Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0

*Gọi H là hình chiếu vuông góc của O l ên (ABC), OH vuông góc với

(ABC) nên OH//n( 2 ; 1 ;  1 ) ;HABC

Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t=

1

; 3

2

; 3

4 (

  Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d; tìm tọa độ điểm

A thuộc d sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 2 3

Ta có phương trı̀nh tham số của d là

7 18

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD  BC

Gọi D (x; 0 ; 0 ) Ta có AD  BC ( x 3)2 42 02 42 02 32

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng  P :x   y z 1 0 và hai điểm A1; 3; 0 ,   B5; 1; 2    Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng  P sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất

Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng  P

Gọi B x y z' ; ;  là điểm đối xứng với B5; 1; 2   

Suy ra B  ' 1; 3; 4 Lại có MA MB  MA MB ' AB'  const

Vậy MA MB đạt giá trị lớn nhất khi M A B, , ' thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng AB' với mặt phẳng  P

'

AB có phương trình

1 3 2

AB song song với (P)

+ Đường thẳng AB đi qua A, VTCP AB   12; 6; 4   

Câu 11 Trong khoâng gian Oxyz cho đđường thẳng (d1) : 2 3

  và đường thẳng (d2) : 1 1 2

Tọa độ giao điểm I(1;2;-1)

Trên (d1) lấy M1(2;0;-3).tọa độ hình chiếu của M1lên (d2) là H(13 17; ; 16)

7 4 1 7

Câu 12 Trong không gian oxyz cho điểm A(0;2;2) Viết phương trình đường thẳng 

qua A và vuông góc đường thẳng 1: 1 2

d     ; đồng thời cắt

2 :

2 1

có PTTS:

2 2

Vậy phương trình đường thẳng  : 3 2 4

x y z

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Câu 14 Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d)

 Phương trình vô nghiệm  d // (P)

Lấy điểm A(0; 1;1) d

Gọi  là đường thẳng qua A và vuông góc với mp(P)

Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) H  (P)

Thay x, y, z của phương trình  vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

Gọi A = d1(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2  (P) suy ra B(2; 3; 1)

Đường thẳng  thỏa mãn bài toán đi qua A và B

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng  là u  (1; 3; 1) 

Phương trình chính tắc của đường thẳng  là: 1 2

Đường thẳng () có phương trình tham số:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Tính khoảng cách từ A đến mp(P)

a/  d1 đi qua điểm M1(1; 2;3)  , có vtcp u 1 (1;1; 1) 

 d2 đi qua điểm M2(3;1;5), có vtcp u 2 (1;2; 3)

a Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (α)

b Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

a (S) có tâm I(2;-1;-2) và bán kính R=4



  



Vậy (β) có pt là x-2y+2z+12=0 hoặc x-2y+2z-12=0

Câu 21 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;3; 1  , B  1;1;3 và đường thẳng d có phương trình 1 2

x y z

 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn

AB và tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho CAB là tam giác cân tại C

Tọa độ trung điểm M của đoạn AB: M0; 2; 1, AB   2; 2; 4  

Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi qua M, nhận n  1; 1;  2

làm VTPT nên có phương trình:

Mặt khác (P) tiếp xúc với (S) nên ta có

   



  



Vậy pt của (P) là x+2y-z-2+4 6=0 hoặc x+2y-z-2-4 6=0

Pt của d được viết dưới dạng tham số 1 2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Gọi d’ là đt cần tìm,và H(t ;1+2t ;2-t) là giao điểm của d và d’

(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3 (Q) chứa Ox  (Q): ay + bz = 0

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (Q) đi qua tâm I

Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a0)  (Q): y – 2z = 0

Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;2),  B(0; 0;2) và đường thẳng 3 6 1

:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và

vuông góc với d và phương trình mặt cầu có tâm B, tiếp xúc với (P)

Véc tơ chỉ phương của d là u   ( 2; 2;1)

(P) d (P) nhận u   ( 2; 2;1)

là véc tơ pháp tuyến

Phương trình của(P) : 2(  x 2)  2(y 1) (  z 2)  0   2x 2y z 4  0

Gọi (S) là mặt cầu tâm B, có bán kính là R

Ta có (S) tiếp xúc với (P) nên ta có Rd(B; (P))  2

Giả sử có mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu đề bài

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

Viết lại 1 và 2 dưới dạng tham số

Giải hệ phương trình tìm được giao điểm A(3; 0; 2)

Theo đề bài mặt phẳng (P) có VTPT  

1;3;1

; 3; 2; 3 2;3;0