Phương trình oxyz hệ tọa độ KHÔNG GIAN OXYZ NÂNG CAO 81 BTTN ( lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải)

Xác định toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và toạ độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành này; 3.. Tìm tọa độ giao điểm của phân giác trong, phân giác ngoài gó

CÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ

Phương pháp:

� Dựa vào định nghĩa tọa độ của điểm, tọa độ của véc tơ

� Dựa vào các phép toán véc tơ

Áp dụng các tính chất sau:

Cho các vectơ ur ( ; ; ),u u u1 2 3 vr( ; ; )v v v1 2 3 và số thực k tùy ý Khi đó ta có a)

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a (1;0; 2), b ( 2;1;3),c ( 4;3;5)r  r   r 

1 Tìm toạ độ vectơ 3.a 4.b 2cr r r

2 Tìm hai số thực m , n sao cho m.a n.b cr r r

2 Xác định toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

và toạ độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành này;

3 Xác định toạ độ điểm M sao cho MAuuuur 2MBuuur

Lời giải.

1 Xác định tọa độ trọng tâm G

Theo tính chất của trọng tâm G ,ta có :

A B C G

A B C G

2 Xác định tọa độ điểm D

Vì A,B,C là ba đỉnh của một tam giác ,do đó

2

ABCD là hình bình hành

Giao điểm I của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD là

trung điểm của AC ,suy ra

A C I

A C I

A C I

3 Xác định tọa độ M.

Gọi x; y;z là toạ độ của M,ta có 

4x3

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC có A(1;0; 2),B( 1;1;0),C( 2;4; 2)    

của tam giác ABC.

2 Tìm tọa độ giao điểm của phân giác trong, phân giác ngoài góc

A với đường thẳng BC.

Ta có ��AB;ACuuur uuur�   � ( 8; 6; 5). Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ

AH.BC 0 x 3y 2z 3

29 22 2 BH.CA 0 3x 4y 7 H ; ;

25 25 5 8x 6y 5z 2

AB,AC AI 0

ngoài góc A với đường thẳng BC. Từ EB FB AB 3

A(-1,2,3) ,C(1; 4; 5) ,B’(-3;3;-2) , D’(5;3;2) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp

D'

Gọi E, E’ lần lượt là trung điểm của AC và B’D’ thì ta có

EE' AA ' BB' CC' DD'uuur uuuur uuuur uuuur uuuur    và

4

3 x 1BB' EE' 3 y 0 B( 4;3;2)

x 1 1CC' EE' y 4 0 C'(2;4;1)

D D D

5 x 1DD' EE' 3 y 0 D(4;3;6)

Ví dụ 6 Cho hình chóp S ABCD. với điểm A(4; 1;2),  B( 1;0; 1)   và

(0;0; 2),

C  D(10; 2;4)  Gọi M là trung điểm của CD Biết SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và thể tích khối chóp V S ABCD.  66 (đvtt) Tìm tọa độ đỉnh S

Lời giải.

Ta có uuurAB( 5;1; 3),   uuuurDC( 10;2; 6)   �DCuuuur 2.uuurAB nên ABCD là hình thang và

2 ,

ADC ABC

S  S hay S ABCD  3S ABC.

Vì uuurAB( 5;1; 3),   uuuurAC( 4;1; 4)   nên ��uuur uuuurAB AC, �   � ( 1; 8; 1), do đó

S

5

Vì ��uuur uuuurAB AC, ��uuur uuur uuuurAB, ��AB AC, �� uuuurAC nên giá của véc tơ ��uuur uuuurAB AC, �� vuông góc với mặt phẳng (ABCD), mà SM  (ABCD) nên tồn tại số thực k sao cho:

, ( ; 8 ; ).

SM k AB AC�� ��  k k k

uuuur uuur uuuur

Suy ra 2 66  SMuuuur  ( ) k2  ( 8 )k2  ( )k2 � k  2 � k � 2.

M là trung điểm CD nên M(5; 1;1)  �SMuuuur(5 x S; 1   y S;1 z S).

� Nếu k 2 thì SMuuuur  (5 x S; 1   y S;1  z S) ( 2; 16; 2)     nên tọa độ của điểm S là S(7;15;3).

� Nếu k  2 thì SMuuuur  (5 x S; 1   y S;1 z S) (2;16;2)  nên tọa độ của điểm

S là S(3; 17; 1)  

Vậy tọa độ các điểm S cần tìm là S(7;15;3) hoặc S(3; 17; 1)  

Ví dụ 7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho tam giác ABC có

A(2; -1;3) , B(3;0; -2) , C(5; - 1; -6)

1 Tính cos �BAC ,suy ra số đo của �BAC ;

2.Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên BC và toạ độ

điểm A’ đối xứng của A qua đường thẳng BC

Lời giải.

1.Tínhcos �BAC và số đo của �BAC

Ta có : AB (1;1; 5) , AC (3;0; 9)uuur  uuur  ,suy ra

cos BAC cos(AB, AC)� AB.AC

AB AC

uuur uuuruuur uuur

2 Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên đường thẳng BC.

Kí hiệu (x;y;z) là toạ độ của H ,tacó

A' B

C

AH (x 2;y 1;z 3),BC (2; 1; 4)uuur    uuur   , BHuuuur (x 3; ;y z2)

AH BCuuur uuur �AH.BC 0uuur uuur �2(x 2) (y 1) 4(z 3) 0     

Tọa độ A’ đối xứng của A qua BC

A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng BC�H là trung điểm của AA’

Ví dụ 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho tam giác ABC có

A(4;2;0) , B(2;4;0) và C(2;2;1) Xác định tọa độ trực tâm và tâm

đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Lời giải.

Toạ độ trực tâm của tam giác ABC

Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC ,ta có

Trong đó AH (x 4; y 2;z)uuur   , BCuuur(0; -2;1) , BH (x 2; y 4;z)uuur   , AC ( 2;0;1)uuur 

* AH BCuuur uuur �AH.BC 0uuur uuur �2(y 2) z 0   � 2y z 4 

* BH ACuuur uuur �BH.AC 0uuur uuur �2(x 2) z 0   �2x z 4. 

* BC,AC,AHuuur uuur uuurđồng phẳng �[BC,AC].AH 0uuur uuur uuur (trong đó [BC,AC] ( 2; 2; 4)uuur uuur     )�- 2(x – 4) -2(y – 2) – 4z =0

7

�x + y + 2z = 6

Giải hệ:

2y z 42x z 4

Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,ta có

Câu 4 Cho A 1; 2;0 , B 3;3;2 ,C( - ) ( ) (- 1;2; 2 , D 3;3;1) ( ) Thể tích của tứ diện ABCD bằng

Câu 5 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD

cho bởi công thức nào sau đây:

Câu 6 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 3;3;2 ,C( - ) ( ) (- 1;2;2 , D 3;3;1) ( )

Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC là)

Câu 7 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;0;2), B( 2;1;3),C(3; 2;4), D(6;9; 5)- -

Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1), B(2; 1; 2)- Điểm M trên trục Ox và cách

đều hai điểm A, B có tọa độ là

Câu 10 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 1; 2;3), B(0;3;1),C(4;2;2)- - Cosin của góc

Câu 11 Tọa độ của vecto nr

vuông góc với hai vecto ar=(2; 1;2), b- r=(3; 2;1)- là

A nr=(3; 4; 1- ) B nr=(3; 4;1) C nr= -( 3; 4; 1- ) D nr=(3; 4; 1- - ).

Câu 12 Cho ar =2; br =5, góc giữa hai vectơ ar và br bằng 2

3

p, ur=ka b; vr r r- = +a 2b.r r Để urvuông góc với vr thì k bằng

6.45-

Câu 13 Cho ur=(2; 1;1 , v- ) r=(m;3; 1 , w- ) ur=(1; 2;1) Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng

Câu 17 Trong không gian Oxyzcho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1),C(2;1;1) Tam giác ABC

có diện tích bằng

10

sao cho vectơ xr

đồng thời vuông góc với a, b,cr r r

Câu 22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1)- , B(2; 1;3)- ,

C( 2;3;3)- ĐiểmM a;b;c là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó ( ) P=a2+ -b2 c2 có giá trị bằng

Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho ba điểm A(1; 2; 1)- , B(2; 1;3)- ,C( 2;3;3)

- Tìm tọa độ điểmD là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC

A D(0;1;3). B D(0;3;1). C D(0; 3;1)- D D(0;3; 1)-

Câu 24 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A( 1;3;5) , B( 4;3;2) , C(0;2;1) Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

11

8 8 5I( ; ; )

3 3 3 .

Câu 25 Trong không gian Oxyz, cho 3 vectơ aur= -( 1;1;0 , b) r=(1;1;0 , c) r=(1;1;1) Cho hình hộpOABC.O A B C���� thỏa mãn điều kiện OA a, OB b, OC' cuuur=r uuur=r uuur=r Thể tích của hình hộp nói trên bằng:

13

Câu 26 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A 2; 1;1 , B 1;0;0 ,( - ) ( )

C 3;1;0 , D 0;2;1 Cho các mệnh đề sau:

1) Độ dài AB= 2

2) Tam giác BCD vuông tại B

3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6

13

3 13.13

Câu 29 Cho hình chóp tam giác S.ABC với I là trọng tâm của đáy ABC Đẳng thức nào sau đây

ur uur uur uur

12

C SI SA SB SC.ur=uur uur uur+ + D SI SA SB SC 0.ur uur uur uur+ + + =r

Câu 30 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D( 2;1; 1)- - Thể tích của tứ diện ABCD bằng

Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD biết A(- 2;2;6 , B) (- 3;1;8 ,C) (- 1;0;7 , D 1;2;3) ( ) Gọi H là trung

điểm của CD, SH^(ABCD) Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27

Câu 36 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B(3;0;1), C(2; 1;3)- - và D

thuộc trục Oy Biết VABCD= và có hai điểm 5 D 0; y ;0 , D 0; y ;0 thỏa mãn yêu cầu bài toán 1( 1 ) 2( 2 )

Khi đó y1+ bằng y2

Câu 37 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A( 1;2;4), B(3;0; 2), C(1;3;7)- - Gọi D

là chân đường phân giác trong của góc A Tính độ dài OD uuur

207.3

Câu 38 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC , biết A(1;1;1), B(5;1; 2)- ,

C(7;9;1) Tính độ dài phân giác trong ADcủa gócA

3 74

Câu 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4; 1)- ,B(1;4; 1)- , C(2;4;3)

D(2;2; 1)- Biết M x; y;z , để( ) MA2+MB2+MC2+MD2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x+ + bằngy z

Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1), B( 1; 2;0)- ,C(1;1; 2)- .

H là trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng

A 870

870

870

870.12

Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0), B nằm trên mặt

phẳng (Oxy) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H(2;1;1) là trực tâm của tam giác

ABC Toạ độ các điểm B, C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD , B(3;0;8), D( 5; 4;0)- -

Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CBuuur uur+ bằng:

Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC , biết A(5;3; 1)- ,B(2;3; 4)- ,C(3;1; 2)- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:

Câu 44 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M 3;0;0 , N m, n, 0 , P 0;0;p ( ) ( ) ( )

Biết MN= 13, MON� =600, thể tích tứ diện OMNP bằng 3 Giá trị của biểu thức

Câu 46 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;1) và gốc tọa độ

O(0;0;0) goim M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC, AB, BC, CA Thể tích của

15

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2;1), B(1;1;0), C(1;0;2) Khoảng

cách từ trọng tâm của tam giác ABC đến trung điểm cạnh AB bằng:

A 3

2B

2

3C

3

2 2D

Câu 52 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) và B(2; 0;–1) Tìm toạ độ

điểm M thuộc mặt phẳng (P): 3x y z   1 0 để MAB là tam giác đều.

Câu 53 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;5;4) , (3;1;4)B Tìm tọa độ điểm

C thuộc mặt phẳng( ):P x y z   1 0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17.

A C (4;3;0) ;1 C (7;3;3) 2 B C (4;3;0) ;1 C (7;0;3) 2

C C ( 4;3;0)1 - ;C (7;3;3) 2 D C (4;3;0) ;1 C ( 7;3;3)2 -

Câu 54 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2;1), (2;0;3) B và mặt phẳng

( ) : 2P x y z   4 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA =MB và (ABM)( )P

điểm A(–1;2;3), (3;0;–1) B Tìm điểm M (P) sao cho MA 2 MB2 nhỏ nhất.

Câu 58 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3),

C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x y z– – – 3 0 Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F MA 2MB2MC2 Khi đó tìm toạ độ của M

Câu 59 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt

phẳng (P) có phương trình: x y z 3 0    Tìm trên (P) điểm M sao cho MA uuur2MB uuur3uuur MC nhỏnhất

Câu 60 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A 1;1;1 ; ( ) B 1; 2;1 ; ( ) C 1;1; 2 ; ( ) D 2;2;1 Tâm I của ( )

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ là:

Câu 61: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tìm

tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;1;1 ,( ) B(- -1; 1;0),C 3;1; 1( - ) Tọa

độ điểm N thuộc (Oxy) cách đều A, B,C là :

A 6 B. 33

50 C.5 3 D. 50

33

Câu 64: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 0;0;2 , ( ) C 1;1;0 và ( ) D 4;1;2 ( )

Tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mp(ABC)?

A 11 B. 11

11 C 1 D 11

Câu 65: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểmB( 1; 1;0)- - ,C(3;1; 1)- Tìm tọa độ

điểm M thuộc Oyvà cách đều B,C?

Câu 67: Trong mặt phẳng Oxyz, Cho tứ diện ABCD có A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(3;2;1) Độ

dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là

A

37

C. 3

7

3

Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;0), M(1;1;1) và mặt phẳng (P)

qua A, M cắt oy, oz tại B(0;b;0), C( 0;0;c) (b>0;c>0) Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất khi

A b=c=3 B b=c=4 C b=4, c=3 D b= 3, c=4

Câu 69 Trong không gian Oxyz, gọi I, J, K là các điểm sao cho OI iuur r uur r uuur r , OJ j OK, k

Gọi M là trung điểm của JK, G là trọng tâm của IKJ Xác định tọa độ của MGuuuur

Câu 70.Trong không gian Oxyz, cho A(-1;0;-3), B(0;-2;0), C(3;2;1) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ

-Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1),C(3;1; 1)- Tìm tọa độ điểm

P thuộc (Oxy) sao cho PA PC+ ngắn nhất ?

A (2;1;0) B ( 2;1;0)- C (2; 1;0)- D ( 2; 1;0)-

-Câu 73 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;2)- ,B( 5;6; 4)- ,C(0;1; 2)- .

Độ dài đường phân giác trong của góc A của ABCD là:

Câu 74: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1),B( 1; 1;0)- - ,C(3;1; 1)- Tọa

độ điểm N thuộc (Oxy) cách đều A, B,C là :

A (0; ; 2)7

4 B.

7(2; ;0)

4 C.

7(2; ;0)4

Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A 1;0;1 ,( ) B 0;2;3 , ( ) C 2;1;0( )

Độ dài đường cao kẻ từ C của tam giác ABC là:

Câu 77: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A( 2;2; 1)- - , B(- 2;3;0 ,) C x;3; 1( - ).Giá trị

của x để tam giác ABC đều là

Câu 78: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1),B( 1; 1;0)- - ,C(3;1; 1)- Tìm

tọa độ điểm N thuộc (Oxy) và cách đều A, B,C ?

A (0; ; 2)7

4 B.

7(2; ;0)

4 C.

7(2; ;0)4

- D.( 2; 7;0)

4

-

-Câu 79: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1), B 0;3; 1( - )và điểm C nằm

trên mặt phẳng Oxy sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Điểm C có tọa độ là

Câu 81: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm M 2; 3;5 , N 4;7; 9 ,( - ) ( - ) P 3;2;1 ,( )

21

60A 61D 62C 63D 64B 65A 66A 67 68 69

22