Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ,A cắt và vuông góc với d.. Viết phương trình mặt phẳng α đi qua gốc tọa độ, đi qua M−2; 4; 0 và cắt mặt cầu theo một thiết diện là đường tròn có b
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1 [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn 2(z− = + −1) 3z ( )(i 1 i+2 ) Tìm phần thực của số phức
2
2 1
w= z −
Lời giải
Đặt z= +a bi⇒z = −a bi
5 5
=
=
a
b
2
25
Câu 2 [ĐVH]: Cho số phức z= − +1 3i Tính mô-đun của số phức w= + −z 3z z2
Lời giải
1 3 3 9 1
Câu 3 [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn (3+i z) ( )(+ +1 i 2+ = −i) 5 i Tìm phần ảo của số phức ( )2
1
w= −z
Lời giải
−
+
i
i
2
4 8
1
5 5
63 16
25 25
⇒ = + −
Nên phần ảo của w là 16
25
−
Câu 4 [ĐVH]: Cho số phức z= −3 2i Xác định phần thực và phần ảo của số phức ( )3 2
1
w= − + +iz z i z
Lời giải
3 2 3 2 1 3 3 3 2 =3 2 3 2 2 2 5 12 13 35
Nên w có phần thực là 13 và phần ảo là 35
Câu 5 [ĐVH]: Gọi z z là các nghiệm của phương trình 1; 2 3z2− + =z 2 0
Tính giá trị biểu thức ( )2 2 2
A= z −z + z + z
Lời giải
Theo định lí Vi-et ta có 1 2 ( ) (2 )2
1 2
1
1 8 23 3
4
3
+ =
=
z z
Do 3 2 2 0 1 1 23 , 2 1 23
Suy ra 12 22 1 23 2
36 36 3
DỰ ĐOÁN SỐ PHỨC – TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ 2015
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Suy ra 23 2.2 11
A
Câu 6 [ĐVH]: Cho các số phức z1 = +2 i z; 2 = −1 3i
Tìm phần thực và phần ảo của số phức w=2z1+ −z2 z z1 2
Lời giải
2 2 1 3 2 1 3 6 8
Nên w có phần thực là 6 và phần ảo là –8
Câu 7 [ĐVH]: Cho các số phức z1 = −3 2 ;i z2 = +1 4i Tìm số phức liên hợp của số phức
1 2 3 1 2
w= + +z z z z
Lời giải
Ta có z1= +3 2i, z2 = −1 4i
Khi đó, w= + +z1 z2 3z z1 2 = + + + +3 2i 1 4i 3 3 2 1 4( − i) ( − i)= − −11 36i⇒w= − +11 36i
Câu 8 [ĐVH]: Tìm số phức z thỏa mãn z 1 z 1
+ + =
Lời giải
Giả thiết ⇔ z2 + +z z2 =zz
Đặt z= +a bi ( ,a b∈ℝ) ta có ( )2 ( )2 2 2
a+bi + + + −a bi a bi =a +b
2 2
1, 0 0
a b
a b a
a b a bi a b a b a bi
b
Vậy z1 =0 và z2 = −1 là các số phức thỏa mãn đề bài
Câu 9 [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn iz+2z= −1 i Tìm phần ảo của số phức w=i z
Lời giải:
Đặt z= +a bi a b( , ∈ℝ)⇒z= −a bi Khi đó ta có: iz+2z= − ⇔1 i i a bi( + ) (+2 a bi− )= −1 i
z= +i⇒w=i − = − = +i i i i
Vậy phần ảo của w bằng 1
Câu 10 [ĐVH]: Cho z= +1 2i Tìm số phức nghịch đảo củaw= +z2 z z
Lời giải:
Ta có: ( ) (2 )( ) 2 2
1 2 1 2 1 2 4 4 1 1 4 4 2
w= + i + + i − i = i + + + −i i = +i
ω
4 2 2 4 2 4 4 16 20 10 5
i
Vậy số phức nghịch đảo của w là số phức ω 1 1
10 5i
Câu 11 [ĐVH]: Tìm modun của số phức z thỏa mãn điều kiện (2 4 )
2 19 1
i z
i
+
= + +
Lời giải
Gọi z= +a bi⇒z= −a bi, (a b, ∈ℝ )
Trang 3( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
3 4
Do đó z = 32 +42 =5
Câu 12 [ĐVH]: Tìm modun của số phức z thỏa mãn điều kiện 3z+ =3i (z−1 2 3) ( −i)
Lời giải
Gọi z = +a bi (a b, ∈ℝ)
1
1 3 3
a
b
=
Do đó ( )2
2
Câu 13 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(− −4; 2; 4) và đường thẳng
3 2
: 1
1 4
d y t
= − +
= −
= − +
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ,A cắt và vuông góc với d
Lời giải:
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là ud =(2; 1; 4− )
Lấy M(− +3 2 ;1t − − +t; 1 4t)∈d ⇒AM = +(1 2 ;3t − − +t; 5 4t)
Ta có AM ⊥( )d ⇔ AM u d = ⇔ + − + −0 2 4t 3 t 20 16+ t = ⇔0 21t= ⇔ =0 t 1
Đường thẳng ∆ đi qua A có véctơ chỉ phương là AM =(3; 2; 1− )
Vậy phương trình ∆ là: 4 2 4
x+ = y+ = z−
− 1
1 : 1 2
1 2
x t
= +
= +
Câu 14 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu tâm I(1; 2; 4 ,− ) bán kính 5 cm Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ, đi qua M(−2; 4; 0) và cắt mặt cầu theo một thiết diện là đường tròn có bán kính 3 cm
Lời giải:
(α) đi qua gốc tọa độ nên phương (α) có dạng ( 2 2 2 )
ax by+ + =cz a + + >b c (α) đi qua M(−2; 4; 0) nên 2− +a 4b= ⇔ =0 a 2b
5
b= ⇔ =a Chọn c=1⇒ Phương trình ( ) α là z=0
2
c= − b Cho b=1⇒a=2,c= −2⇒ Phương trình ( ) α là 2x+ −y 2z=0
Vậy z=0 và 2x+ −y 2z=0 là các mặt phẳng cần tìm
Trang 4Câu 15 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 2
− và mặt phẳng ( )Q :x−2y−2z+ =7 0. Tìm tọa độ điểm B là giao điểm của d và ( )Q Viết phương trình mặt cầu
( )S có tâm I thuộc d và bán kính R=IB= 6
Lời giải:
Phương trình tham số của d là ( )
2
2 2
= − +
Mà B∈( ) (Q ⇒ b− −2) (2 1− −b) (2 2b+ + = ⇔ =2) 7 0 b 1⇒B(−1; 0; 4 )
I∈d ⇒I t− −t t+ ⇒BI= −t −t t− ⇒BI = t− + −t + t− = t−
2
2
Đ/s: B(−1; 0; 4) và ( ) ( ) ( )
2
Câu 16 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 2
− và hai mặt phẳng ( )P :x+2y+2z+ =3 0,( )Q :x−2y−2z+ =7 0. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với (P) và (Q) Tính độ dài đoạn thẳng AB Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I là trung điểm của AB và bán kính
R=AB
Lời giải:
Phương trình tham số của d là
2 : 1
2 2
d y t
= − +
= −
Do A B, ∈d ⇒A a( −2;1−a; 2a+2 , ) (B b−2;1−b b; 2 +2 )
Bài ra I là trung điểm của 8 5 2; ;
3 3 3
⇒ −
Ta có
Trang 5
Do đó ( ) 8 2 5 2 2 2 188
Vậy 188
3
AB= và ( ) 8 2 5 2 2 2 188
Câu 17 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 2; 1 ,− ) (B 3; 0;1 ,) (C 2;3; 2− ) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng trung trực của AB
Lời giải:
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực cảu AB Ta có trung điểm của AB là I(2;1; 0), AB(2; 2; 2− )
Do mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và vuông góc với AB nên ta chọn 1 ( )
1; 1;1 2
P
Khi đó : ( )P :x− + − =y z 1 0 Khi đó ( ( ) )
2 3 2 1 4
;
3
Vậy 4
3
d=
Câu 18 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2;1; 0 ,) (B −2;1; 2 ,) (C 1;1; 3− )
Chứng minh rằng điểm C không nằm trên mặt phẳng trung trực của AB Viết phương trình mặt cầu tâm C
tiếp xúc với mặt phẳng đó
Lời giải:
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực cảu AB Ta có trung điểm của AB là I(0;1;1), AB(−4; 0; 2)
Do mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và vuông góc với AB nên ta chọn 1 ( )
2; 0; 1 2
P
Khi đó : ( )P : 2x− + =z 1 0 Thay toạ độ điểm C vào phương trình mặt phẳng ( ) P
ta có: 2.1 3 1+ + ≠0 nên điểm C không thuộc mặt phẳng (P)
Gọi ( )S là mặt cầu cần tìm ta có tâm mặt cầu là C(1;1; 3− ) và bán kính ( ( ) ) 2 2
;
5
2 1
Khi đó ( ) ( ) (2 ) (2 )2 6
5
Vậy ( )P : 2x− + =z 1 0 và ( ) ( ) (2 ) (2 )2 6
5
Câu 19 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A(4;3; 4 ,) và đường thẳng
1 2
3
= +
= −
Chứng minh rằng đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính bằng 5.
Lời giải:
Phương trình mặt cầu tâm A(4;3; 4) bán kính R= 5 là ( ) ( ) (2 ) (2 )2
Gọi H(1 2 ; 2+ t −t;3+t) là hình chiếu chiếu của A trên d ta có : AH(− +3 2 ; 1t − − − +t; 1 t)
Khi đó: AH u d = ⇔ − +0 2( 3 2t) (− − − + − + = ⇔ =1 1 t) (1 1 t) 0 6t 6⇒t =1
Do đó AH(− −1; 2; 0)⇒AH =d A d( ; )= 5=R nên đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính
Trang 6Câu 20 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A(1; 1;3− ) và mặt phẳng ( ) :P x−2y+ − =z 1 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) Viết phương trình mặt phẳng trung trực
của AH
Lời giải:
Phương trình đường thẳng AH qua A và vuông góc với ( )P là:
1
1 2 3
x t
= +
= − −
Gọi H(1+ − −t; 1 2 ;3t +t), do H thuộc ( ) : P x−2y+ − =z 1 0 nên ( ) (1+ − − −t 2 1 2t)+ + − =3 t 1 0
5 1 2 13
6 6 3 6
Gọi I là trung điểm của AH ta có:
7 1 31
; ;
12 6 12
Phương trình mặt phẳng trung trực của AH nhân nP = −(1; 2;1) là VTPT và đi qua I nên có phương trình là:
7
2
x− y+ − =z
Câu 21 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A(1; 2;1 ,− ) (B 2; 2;1) và mặt phẳng ( ) :P x− +y 2z− =5 0 Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của trung điểm đoạn AB trên (P) Tính độ dài đoạn thẳng MH
Lời giải:
Ta có: AB(1; 4; 0)
nên phương trình đường thẳng AB là:
1
2 4 1
x t
z
= +
= − +
Gọi M(1+ − +t; 2 4 ;1t ) là giao điểm của AB và (P) ta cho M∈( )P ta có: 1+ − − +t ( 2 4t)+ − =2 5 0
0 1; 2;1
⇔ = ⇒ ≡ − Gọi trung điểm của AB là 3; 0;1
2
ta có
2 2
MH = MI −IH
Trong đó ( ( ) ) 3
;
2 6
MI = ⇒MH =
Vậy 62
4
MH = là giá trị cần tìm
Câu 22 [ĐVH]: Trong không gian toạ độ Oxy cho điểm A(4; 2; 0− ) và đường thẳng
:
Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng d và viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d
Lời giài:
Phương trình tham số của d:
3 2 1
4 2
y t
= +
= +
Gọi H(3 2 ;1+ t +t; 4 2+ t) ta có: AH(− +1 2 ;3t +t; 4 2+ t)
Ta có: AH u d = ⇔ − + + + + + = ⇔ = −0 2 4t 3 t 8 4t 0 t 1⇒H(1; 0; 2)
Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có tâm A(4; 2; 0− ) và bán kính R= AH = 32+ +22 22 = 17
CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG SỐ PHỨC – OXYZ TRONG ĐỀ THI 2015